1、江门市 2020 年高考模拟考试 数学数学（文文科）科） 本试卷 4 页，23 题，满分 150 分，测试用时 120 分钟 注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将 自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型 填涂在答题卡相应位置上 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使
2、 用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4.考生必须保证答题卡整洁考试结束后，将试卷与答题卡一并交回 第卷第卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 ， ， ， ， ，则 的子集共有 A 个 B 个 C 个 D 个 2 是虚数单位，复平面内表示 的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各 个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为 A B C D 4数列 中， ， ， :， : : ，则 A B C D 5
3、执行右面的程序框图，如果输出的 的值是 ， 则输入的 的值是 A B C 或 D以上都不是 6 直角坐标系 中， 点 ， 在直线 上，则 A B C D 7已知 ， 、 ; ，则 A B C D 保密启用前 试卷类型：试卷类型：A 8 是正三棱柱，若 ， ，则 A B C D 9经过抛物线 （ ）的焦点且倾斜角为 的直线与抛物线相交于 、 两 点，若 | | ，则 A B C D 10给出下列结论：某学校从编号依次为 001，002，900 的 900 个学生中用系 统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为 053，098，则 样本中最大的编号为 862 甲组 5 个数据的方
4、差为 5，乙组数据为 5、6、9、10、5，那么这两组数据中较 稳定的是甲 若两个变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1 对 A、B、C 三种个体按 312 的比例进行分层抽样调查，若抽取的 A 种个体 有 15 个，则样本容量为 30 其中，正确结论的个数是 A B C D 11直角坐标系 中，双曲线 的左焦点为 ， ， ， 是右支上的 动点，则 | | | | 的最小值是 A B C D 12已知函数 | |，若 ，且 ，则 的取值范围是 A ， B ， C ， D ， 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做 答第 22 23
5、 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13 是等比数列，若 ， ，则数列 的前 项和 14 是边长为 的正方形， 、 分别是 、 的中点， 则 15设 ， 满足 ， 则 的取值范围是 （用区间表示） 16函数 : : : 的最大值为 ，最小值为 ，则 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 某贫困地区的 户居民中，平原地区 户，山区 户在 2020 年脱贫 攻坚战中，为更好实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法收集该地区 户家庭 2019 年年收入数据（单位：万元） （1）山区家庭的数据应收集多少户？ （2）根据这
6、 150 个样本数据，得到 2019 年家庭收入的频率分布直方图如下，其 中样本数据分组区间为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如 果将频率视作概率，估计该地区 2019 年家庭收入超过 1.5 万元的概 率； （3）样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，请完成 2019 年家庭收 入与地区的列联表，并判断是否有 90的把握认为“该地区 2019 年家庭年收入与地 区有关”？ 附： ; : : : : 18（本小题满分 12 分） 的角 、 、 的对边为 、 、 ，已知 、 、 成等差数列， 7 8 （1）若 ，求 ； （2）若 的周长为 ，求 的面积 超过 2 万
7、元 不超过 2 万元 总计 平原地区 山区 5 总计 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 的底面是边长为 的菱形， ， ， 平面 ， 、 分别是 、 的中点 （1）求证：直线 /平面 ； （2）求点 到平面 的距离 20（本小题满分 12 分） 直角坐标系 中， 椭圆 （ ） 的短轴长为 ， 离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率为 且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于 、 两点， 是椭圆上任 意一点，若 （， ） ，证明： 为定值 21（本小题满分 12 分） 已知函数 ; ， （1）求函数 的图象在点 处的切线方程； （2）求证： 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选
8、一题题中任选一题作作答，如果多做，则按所做的第一题答，如果多做，则按所做的第一题计计分。分。 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求 与 交点的直角坐标 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 | | | |， 是非零常数 （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若 ，求证： 参考答案参考答案 一、选择题 ABBC CADB DCBC 二、填空题 13. ; （直接代公式，没有化简也
9、可） ； 14. ； 15. ， （端点值各 1 分，区间符号各 1 分，其他 1 分）； 16. 三、解答题 17.解：（1）样本占总体的比例为 ， 。 故（答）应收集 户山区家庭的样本数据 3 分 （两个算式各 1 分，若两算式合并为 ，则算式与结果各 1 分；文 字说明或结论 1 分） （2）由直方图，估计该地区 2019 年家庭年收入超过 1.5 万元的概率为 6 分 （文字说明、列式、结果各 1 分） （3）样本数据中，年收入超过 2 万元的户数为 （户） 7 分 而样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，故列联表如下： （所填数据正确个数大于 4 个给 1 分，全对
10、2 分）9 分 由表得： ; 8 11 分 （列式、结果各 1 分） 有 90的把握认为“该地区 2019 年家庭年收入与地区有关” 12 分 18.解：（1）依题意， : 1 分 由余弦定理得， : ; : : ; : 7 8 3 分 （公式 1 分、其他 1 分） 即 5 分 解得 或 ，舍去负值得， 6 分 （2）（方法一）依题意， ， 7 分 所以 ， 8 分 超过 2 万元 不超过 2 万元 总计 平原地区 25 80 105 山区 5 40 45 总计 30 120 150 由余弦定理得， : ; : ; ; 7 8 9 分 解得 10 分 由 7 8 且 得， 8 11 分 的面
11、积 12 分 （方法二）由条件可得， 的三边长之比为 8 分 由 得 ， 10 分 由 7 8且 得， 8 11 分 的面积 12 分 19.解：（1）取 的中点 ，连接 、 1 分 因为 、 分别是 、 的中点，所以 ，且 ； ， 且 3 分 所以 ，且 ， 是平行四边形， 4 分 因为 平面 ， 平面 ，所以直线 /平面 6 分 （“因为”、“所以”各 1 分） （2） 连接 、 ， 设点 到平面 的距离为 ， 由 （1） 得， 点 到平面 的 距离为 7 分 设三棱锥 的体积为 ，则 8 分 依题意， 8 9 分 ， ， 9 11 分 由 8 9 得，点 到平面 的距离 7 9 12 分
12、 20.解：（1）依题意， ， ; 2 分 解得 ， ，椭圆的方程为 4 分 （ 、 任何一个正确 1 分、其他 1 分） （2） ，直线 的方程为 5 分 由 得， 6 分 设 ， 、 ， 、 ， ，则 ， 7 分 由 得 ， 8 分 因为 、 、 都在椭圆上，所以 ， ， ， 9 分 10 分 11 分 ， 所以， ， 是定值 12 分 （若只取特殊点如 得到 ，给 1 分） 21.解：（1） ， / ; 1 分 ， / 2 分 所求切线方程为 ，即 3 分 （点斜式、斜截式、一般式均给分） （2）（方法一）作函数 4 分 （其他适宜函数如 7 8 、 7 8 也相应给分） / 5 分 /
13、 ；当 时， / ；当 时， / 6 分 所以 ，即 ，等号当且仅当 时成立 7 分 作函数 8 分 / 9 分 / ；当 时， / ；当 时， / 10 分 所以 ，即 ，等号当且仅当 时成立 11 分 因为 ，综上所述， ， ; ，即 12 分 （方法二） / ; 在定义域区间 ， 单调递减 4 分 / / ，所以， / 有唯一零点 ，且 是极大值点 7 分 ; ，由 ; 得， ; ， 9 分 代入得， 10 分 因为 ，所以 ， 12 分 22.解：（1）由 得， 1 分 曲线 的直角坐标方程为 3 分 （2）由 即 得， ， 5 分 相乘得，曲线 的直角坐标方程为 6 分 由 得， 7
14、 分 解得 或 8 分 时， ， ； 时， 无实数解 9 分 所以， 与 交点的直角坐标为 ， 10 分 （第 8 分到第 10 分综合考虑给分： 第 8 分处只有 1 个解给 0.5 分， 第 9 分处讨论 1 种情况给 0.5 分， 第 10 分处只得到 1 个点给 0.5 分， 三处合计分四舍五入计分总分。 如果在第 8 分处根据 ，| | ，排除 ，则该处共 9 分） 23.解：（1） 时， | | | | 1 分 时， ，解 得 2 分 时， 3 分 时， ，解 得 4 分 不等式 的解集为 ， ) ， ( ， ， 5 分 （2） |( ) | | | 6 分 因为 ， ， ， ( ) ( ) 9 分（条件 1 分，公式 1 分，结果 1 分） 所以， | | | ( )| 10 分