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河北省唐山市2020年高考4月联考理科数学试卷(含答案)

1、高三理科数学第 1 页(共 6 页) 0.5 唐山市 20192020 学年度高三 4 月六校联考 理科数学 注意事项: 1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写 在答题卡上,写在本试卷上无效。 3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 A x | 2 x 0 , B x Z | y ln(x

2、1) ,则 A B A1, 2 B (1, 2 C0,1, 2 D 1, 0,1, 2 2. 设复数 z 满足| z i | z i | , i 为虚数单位,且 z 在复平面内对应的点为 Z (x, y) ,则 下列结论一定正确的是 A. x 1 B. y 1 C. x 0 D. y 0 3. 在ABC 中, AB , BC 2 , ABC 135 ,若使该三角形绕直线 BC 旋 转一周,则所形成的几何体的体积是( ) A. 2 B C 3 D 2 3 2 4. 中华文化博大精深,我国古代算书周髀算经中介绍了用统计概率得到圆周率的 近似值的方法古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图 1)

3、做统计,现将其抽象 成如图 2 所示的图形,其中圆的半径为 2cm,正方形的边长为 1cm,在圆内随机取点,若 统计得到此点取自阴影部分的概率是 P,则圆周率的近似值为( ) 4 A. 1 p 1 B. 1 p 1 C. 1 4 p 1 D 4(1 p) 5. 已知3a 4 3b1,c b log (2x2 4x 4) ,则实数 a,b,c 的大小关系是( ) A. c b a B. a b c C. b a c D. a c b 高三理科数学第 2 页(共 6 页) 6. 已知圆C : x2 y2 1 ,定点 P x0 , y0 ,直线l : x0 x y0 y 1 ,则“点 P 在圆C 外

4、” 是“直线l 与圆C 相交”的( ) A充分而不必要条件 C必要而不充分条件 B充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列an 的公差不为零,Sn 为其前 n 项和,S3 9 ,且 a2 1,a3 1 ,a5 1 构成等比数列,则 S5 =( ) A -15 B15 C25 D 30 8. 对于函数y f x ,如果其图象上的任意一点都在平面区域 x, y | y x y x 0 内,则称函数f x 为“蝶型函数”,已知函数:y sinx ; y ,下列结论正确的是( ) A 、 均是“蝶型函数” B 、 均不是“蝶型函数” C. 是“蝶型函数”; 不是“蝶型函数” D. 不是

5、“蝶型函数”: 是“蝶型函数” 9已知向量 a (1, t),b (2, y) ,其中 y t2 2 1 t2 1 ,则当 y 最小时, cos a,b A. 5 5 B. 5 5 C 2 5 5 D 2 5 5 10 函 数 f (x) Asin(2x ) ( , 2 A 0 ) 部 分 图 像 如 图 所 示 , 且 f (a) f (b) 0 ,对不同的 x1 , x2 a,b ,若 f (x1 ) f (x2 ) ,有 f (x1 x2 ) , 则( ) A. f (x) 在( B. f (x) 在( 5 , ) 上是减函数 12 12 5 , ) 上是增函数 12 12 5 C. f

6、 (x) 在( , ) 上是增函数 3 6 5 D. f (x) 在( , ) 上是减函数 3 6 x 2 1 高三理科数学第 3 页(共 6 页) F , F x2 y2 F 11. 已知 1 2 分别为椭圆 1的左、右焦点, M 是椭圆上一点,过点 2 作 16 8 F1MF2 的角平分线的垂线, 垂足为 N , 若| ON | 2( O 为坐标原点) , 则| OM |( ) A. 3 2 B. 3 3 C 2 D 2 12已知函数 f (x) 是定义在100,100 的偶函数,且 f (x 2) f (x 2) 当 x 0, 2 时, f (x) (x 2)ex ,若方程 f (x)2

7、 mf (x) 1 0 有 300 个不同的实数根,则实数 m 的取值范围为 A e 1 , 5 B e 1 , 5 C (, 2) D e 1 , 2 e 2 e 2 e 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13(1 mx)6 a a x a x2 a x6 且 a a a a a a 63 ,则负实数 0 1 2 6 m 的值为 1 2 3 4 5 6 y2 14. 双曲线 a2 x 2 b2 1 (a0,b0)的渐近线方程为 y 2x,则其离心率为 15. 在ABC 中,已知 B , CA CB AB 0 且 S AB BC BC CA CA AB 的值是 ABC

8、 ,则 AB ; 16. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4,点 P 是 AA1 的中点,点 M 在侧面 AA1B1B 内,若 D1M CP ,则BCM 面积的最小值为 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17(12 分) 已知ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,设 a cos B b cos A c , (1) 求 A ; (2) 若 a , ABC 的面积为 1,求以 a,2b,2c 为边的A1B

9、1C1 的面积。 高三理科数学第 4 页(共 6 页) 15 18(12 分) 如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的多面体中,四边形 ACDF 是菱形, FAC 600 , 四边形 BCEF 为平行四边形, AB BC 3, AF 2 , BF , (1) 求证:平面 ABC平面 ACDF (2) 求平面 AEF 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值 19(12 分) 设 F 为抛物线C : y2 2 px 的焦点,A 是C 上一点,FA 的延长线交 y 轴于点 B ,A 为 FB 的中点,且 FB 3 . (1) 求抛物线C 的方程; (2) 过 F 作两条互相垂直的直线l1 ,

10、l2 ,直线l1 与C 交于 M , N 两点,直线l2 与C 交 于 D , E 两点,求四边形 MDNE 面积的最小值. 20(12 分) 已知函数 f (x) k 2 a ln x ( k, a R 且 a 0 ). x (1) 求 f (x) 在2, ) 上的最小值; (2) 若 a 1 ,函数 f (x) 恰有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 x2 4 . 21(12 分) 世界军人运动会,简称“军运会”,是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格 的大型综合性运动会,每四年举办一届,会期 7 至 10 天,比赛设 27 个大项,参赛规模 约 100 多个国家 8000

11、 余人,规模仅次于奥运会,是和平时期各国军队展示实力形象、增 进友好交流、扩大国际影响的重要平台,被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识,军运 会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在武汉举行,赛期 10 天,共设置射击、游泳、田径、篮 球等 27 个大项、329 个小项其中,空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞 5 个项目为军事特色项目,其他项目为奥运项目现对某国在射击比赛预赛中的得分数 据进行分析,得到如下的频率分布直方图: 高三理科数学第 5 页(共 6 页) (1) 估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值 x (同一组中的数据用该组区间的中点值 代表); (2) 根

12、据大量的射击成绩测试数据,可以认为射击成绩 X 近似地服从正态分布 N , 2 ,经计算第(1)问中样本标准差 s 的近似值为 50,用样本平均数 x 作为的 近 似值,用样本标准差 s 作为的估计值,求射击成绩得分 X 恰在 350 到 400 的概率;参考数 据:若随机变量服从正态分布 N , 2 ,则: P 0.6827 , P 2 2 0.9545 , P 3 3 0.9973 ; (3) 某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏, 送 大奖”,活动,客户可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控 1 车最终停在“胜利大本营”,则可获得购

13、车优惠券已知骰子出现任意点数的概率都是 , 6 方格图上标有第 0 格,第 1 格,第 2 格,第 50 格遥控车开始在第 0 格,客户每抛 掷一次骰子,遥控车向前移动一次,若抛掷出正面向上的点数是 1,2,3,4,5 点,遥 控车向前移动一格(从 k 到k 1 ),若抛掷出正面向上的点数是 6 点,遥控车向前移动 两格(从 k 到 k 2 ),直到遥控车移动到第 49 格(胜利大本营)或第 50 格(失败大本 营)时,游戏结束设遥控车移动到第 n 格的概率为 Pn ,试证明Pn Pn11 n 49 是 等比数列,并求 P50 ,以及根据 P50 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力

14、高三理科数学第 6 页(共 6 页) (二)选考题:共 10 分请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分 22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为cos m ,曲线C 的极坐标方程为 2 12 1 2 3 sin2 (1) 求曲线C1 的直角坐标方程和曲线C2 的参数方程; (2) 设曲线C1 与曲线C2 在第二象限的交点为 A ,曲线C1 与 x 轴的交点为 H ,点 M (1, 0) ,求AMH 的周长l 的最大值 23选修 4-5:不等式选讲(

15、10 分) 已知函数 f (x) 2 | x 1 | mx , m R (1) 当 m 3 时,求不等式 f (x) 4 0 的解集; (2) 若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形,求 m 的值 唐山市20192020学年度高三4月六校联考 理科数学参考答案 一选择题:CDADB BCACB DA 二填空题: 13-3 14 2 6 1532 -10 16 8 5 5 三解答题: 17解: (1)由cAbBa coscos 结合正弦定理,得CABBAsincossincossin, 又BACsinsin=BABAsincoscossin所以ABABcossincossin

16、-,因为 0sinB ,所以0cosA ,因为 A0 所以 2 A 5分 高三理科数学第 7 页(共 6 页) (2)依题意1 2 1 bcS ABC , 得 2bc且5 22 cb,设 111 CBA中,内角 111 ,CBA 的对边分别为 cba2 ,2 ,,则 cb cb A 222 544 cos 22 1 = bc cb 8 54 22 = 16 15 ,则 16 31 sin 1 A, 所以 111 CBA的面积 1 sin22 2 1 111 AcbS CBA = 1 sin2Abc= 4 31 。 12分 18 (1)证明:设O是AC中点,连结OF、OB、FC,在ABC中,AB

17、BC, OBAC, 四边形ACDF是菱形,60FAC,FAC是等边三角形,OFAC, FOB是二面角FACB的平面角,在Rt FAO中, 2 3AF , 11 3 22 AOACAF, 22 1233OFAFAO , 22 936OBABOA ,又15BF , 222 OFOBBF, 90FOB, 平面ABC 平面ACDF 5分 (2)由(1)知OB、OC、OF两两垂直,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴, OF为z轴,建立空间直角坐标系, 则(0A, 3,0),( 6B,0,0), (0C ,3, 0), (0F ,0,3), (0AF ,3,3),(0AC ,2 3,0), 四边形BCEF

18、是平行四边形,(6, 3FEBC ,0), (6,2 3AEAFFE ,3), 设平面AEF的法向量 (nx ,y, ) z, 则 330 630 n AFyz n FEyy , 取3x ,得( 3, 6,2)n , 设平面ACE的法向量 (ma ,b, ) c, 则 62 330 2 30 m AEabc m ACb ,取3a ,得 ( 3,0, 2)m , 设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为,则 |155 cos | |5555 m n mn 平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 55 55 12分 高三理科数学第 8 页(共 6 页) 19解: (1)如图,A为FB的中点

19、,A到y轴的距离为 4 p , 3|3 | 42422 pppFB AF, 解得2p 抛物线C的方程为 2 4yx; 4分 (2)由已知直线 1 l的斜率存在且不为0,设其方程为(1)yk x 由 2 (1) 4 yk x yx ,得 2222 (24)0k xkxk 0,设 1 (M x, 1) y、 2 (N x, 2) y 12 2 4 2xx k , 则 12 2 1 |24(1)MNxx k ;同理设 3 (D x, 3) y 、 4 (E x, 4) y , 2 34 24xxk,则 2 34 |24(1)DExxk 四边形MDNE的面积32 1 28 2 1 2 2 k kDEM

20、NS 当且仅当1k 时,四边形BCDE的面积取得最小值32 12分 20解: (1)定义域 22 22 (0,)( ) aax fx xxx , 若2 2 a 即1a 时,在2,)上 0 xf, ( )f x单调递增,故( )f x在2,)的最小值 为(2)1ln2fka ; 若2 2 a 当01a时,在 2 2, a 上 0 xf, ( )f x单调递减,在 2 , a 上 0 xf, ( )f x单调递增,故( )f x在2,)的最小值为 22 lnfkaa aa 综上所述,当1a 时,故 ( )f x在2,)上的最小值为(2)1ln2fka ; 当01a时, ( )f x在2,)的最小值

21、为 22 lnfkaa aa 6分 (2)当1a 时,不妨 12 0xx , 11 1 2 ln0f xkx x , 22 2 2 ln0f xkx x , 得 12 12 22 lnlnxx xx ,故 21 2 21 2 11 2 lnlnln xxx xx x xx 令 2 1 (1) x t t x ,则 1 2(1) ln t t tx , 1 2(1) ln t x tt , 高三理科数学第 9 页(共 6 页) 所以 2 12 21 (1) ln t xxx t tt ,故 2 12 21 21 442ln lnln t xxtt tttt , 令 1 ( )2lng ttt t

22、 , 而 2 22 12(1) ( )10 t g t ttt ,所以 ( )g t在(1,)上单调递增 又1t ,所以( )(1)0g tg,而0lnt ,故 12 4xx 12分 21. 解:(1) 0.002X ; 3 分 (2)因为XN(300,50 2), 所以 1 3504000.95450.68270.1359 2 PX; 5分 (3)摇控车开始在第0格为必然事件,P01,第一次掷骰子,正面向上不出现6点,摇 控车移动到第1格,其概率为 5 6 ,即 1 5 6 P ;摇控车移到第n格(2n49)格的情况是 下列两种,而且也只有两种; 摇控车先到第n-2格,抛掷出正面向上的点数为

23、6点,其概率为 2 1 6 n P; 摇控车先到第n-1格,抛掷骰子正面向上不出现6点,其概率为 1 5 6 n P , 故 21 15 66 nnn PPP , 112 1 6 nnnn PPPP ,故1n49时,Pn-Pn-1是首项为 10 1 6 PP ,公比为 1 6 的等比数列,故 1 1 6 n nn PP , 9分 PnP0(P1-P0)(P2-P1)(Pn-Pn-1) 1 21 1 1 111616 11 166676 1 6 n nn , 高三理科数学第 10 页(共 6 4949 5048 11 61111 11 66 76762 PP , 4950 1 1 2 PP ,

24、故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大,对意向客户有吸引力 12分 22解: (1)将 cosx 代入 cosm ,可得x m , 所以曲线 1 C的直角坐标方程为xm 由 2 2 12 3sin 可得 222 3sin12, 将 siny , 222 xy代入上式,可得 222 3312xyy, 整理可得 22 1 43 xy ,所以曲线 2 C的参数方程为 2cos ( 3sin x y 为参数)5分 (2)由题可设2cos , 3s n()iA, 2 ,2cos(0),H, 所以3|i|s nAH, 1|2|cosHM , 222 (1 2cos )3sincos4cos42c|osAM

25、, 所以3sin(12cos )|(2cos )|lAHHMAM 3sin3cos32 3sin()3 3 , 所以当 32 ,即 6 时,l取得最大值为2 33, 所以AMH的周长l的最大值为2 33 10分 23解: (1)当3m 时, ( )421| 34|f xxx ,由 ( )40f x 可得2 1| 34| xx , 所以 (34)2(1)34xxx ,解得2x , 所以不等式 ( )40f x 的解集为(2, ) 5分 (2)由题可得 (2)2,1 ( ) (2)2,1 mxx f x mxx , 因为函数 ( )f x的图象与x轴恰好围成一个直角三角形, 所以 2)21()(mm ,解得 3m ,当3m 时,(1)30f,函数 ( )f x的图 象与x轴没有交点,不符合题意. 10分