1、第 1 页 绝密绝密 启封并使用完毕前启封并使用完毕前 九江市九江市 2020 届届第二次高考模拟统一考试第二次高考模拟统一考试 理科数学理科数学答案答案 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第卷（
2、选择题 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合|1Axx=-Z， 2 |2Bx x=)的左右焦点分别为 12 ,F F，以原点O为圆心， 1 OF为半径的圆与 双曲线E的右支相交于,A B两点，若四边形 2 AOBF为菱形，则双曲线E的离心率为(A) A.31+ B.3 C.2 D.21+ 解:如图，Q四边形 2 AOBF为菱形， 22 AFOAOFc=，又 12 FFQ是圆O的直径， 1 3AFc=, 12 2( 3 1)AFAFac-=-, 2 31 31 e =+ - ，故选 A. 1
3、0.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档” ，档 中横以梁，梁上两珠，每珠作数五， 梁下五珠， 每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠， 梁 下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠， 个位档拨上一颗上珠， 则表 示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠， 再随机选择两个档 位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为(D) A. 3 8 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 解:依题意得所拨数字共有 12 44 C C24=种可能.若上珠拨的是千位档或百位档， 则有 12 24 C C12=种； 若上珠拨的 是个位档或十位档，则有 12
4、 23 C C6=种，则所拨数字大于 200 的概率为12 63 244 + =，故选 D. 11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为1 234 , ,l l l l，则(B) A.1 234 llll时， min ( )(e)0F xF=，又( )F x为偶函数， (, 1)(1,)x - -+U时， min ( )0F x=，正确.考查函数( )yG x=，令( )0G x =得ln11xx- = ， x y O 1 F A 2 F B 第 4 页 ( )0f x Q，ln1 1xx - =，又 22
5、11 ()1 1 ee f=+ ， 22 (e )e31f=-，直线1y =与函数( )yf x=恰有 两个交点，故( )yG x=有两个零点，正确.故选 C. 第卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量,a b满足1=a，2=b，()-aab，则a与b的夹角为60. 解:()-Qaab， 2 0-=aa b，1 1 2cos,0- =a b， 1 cos, 2 =a b ，a与b的夹角为60. 14
6、.设, x y满足约束条件 220 220 xy xy yx +- -+ ，则32zxy=-的最大值是 2 3 . 解:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 2 2 ( , ) 3 3 时 取得最大值，即 max 222 32 333 z= - =. 15.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为10的正四棱锥PABCD-中，大球 1 O内切于该四棱锥，小球 2 O与大球 1 O及四棱锥的四个侧面相切，则小球 2 O的体积为 2 24 p. 解:设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M， 连接,PM OM PO， 则1OM =， 22 10 13PMPAAM=-=- =，9 12
7、 2PO=- =，如图，在截面PMO中， 设N为球 1 O与平面PAB的切点， 则N在PM上， 且 1 O NPM， 设球 1 O的半径 为R， 则 1 O NR=， 1 sin 3 OM MPO PM =Q， 1 1 1 3 NO PO =， 则 1 3POR=， 1 1 42 2POPOOOR=+=， 2 2 R=， 设球 1 O与球 2 O相切于点Q，则PQ = 22PORR-=， 设球 2 O的半径为r， 同理可得4PQr=， 2 24 R r =， 故小球 2 O的体积 342 324 Vr=p=p. 16.已知单调数列 n a的前n项和为 n S，若 2 1 n n SSnn +
8、+=+，则首项 1 a的取值范围是 1 (0, ) 2 . 解:当1n=时, 1 2 2SS+=， 21 22aa=-，当2n时， 2 1 n n SSnn + +=+， 2 1 (1)(1) n n SSnn - +=-+-， 两式相减得 1 2 n n aan + +=. 2 3 4aa+=， 1 3 22aa=+， 当3n时， 1 2(1) n n aan - +=-，-得 1 1 2 n n aa - + -=， 数列 n a从第 2 项起，偶数项成公差为 2 的等差数列，从第 3 项起，奇数项成公差为 2 的等差数列， 数列 n a单调递增，则满足 1232 2aaaa.已知sinc
9、oscossinsin2sinABCBBA-=- ()求证:, ,a b c成等差数列； O 1 O 2 O P M Q N y x121 1 1 2 O 1 O P 2 O C B A D 第 5 页 ()若5b=， 5 3 sin 14 B =，求, a c的值 解:()证明:sincoscossinsin2sinABCBBA-=-Q，sincoscossinsin2sin()ABCBBBC-=-+ 1 分 sincoscossinsin2sincoscossinABCBBBCBC-=-2 分 sincos2sincoscossinABBBBC=-3 分 abcQ，cos0B4 分 sin
10、2sinsinABC=-，即2sinsinsinBAC=+5 分 由正弦定理得2bac=+，即, ,a b c成等差数列6 分 () 5 3 sin 14 B =Q，B为锐角， 11 cos 14 B=7 分 5b =Q，10ac +=， 由余弦定理 222 2cosbacacB=+-得 22 ()2(1cos)bacacB=+-+，即 22 11 5102(1) 14 ac=-+9 分 21ac=10 分 由 10 21 ac ac ac += = 得7,3ac=12 分 18.(本小题满分 12 分） 如图所示的几何体 111 ABCA BC-中，四边形 11 ABB A是矩形，四边形 1
11、1 BCC B是梯形， 11/ BCBC，且 11 1 2 BCBC=，ABAC=，平面 11 ABB A平面ABC. ()求证:平面 11 AAC 平面 11 BCC B； ()若120CAB=，二面角 111 CACB-为120，求 1 AA AB 的值. 解:()取BC的中点E，连接 1 ,AE C E，ABAC=Q，AEBC1 分 11 ABB AQ是矩形， 1 BBAB，又平面 11 ABB A平面ABC， 1 BB平面ABC2 分 又AEQ平面ABC， 1 AEBB3 分 又 1 ,BC BB 平面 11 BCC B， 1 BCBBB=I，AE平面 11 BCC B4 分 11/
12、BCBCQ，且 11 1 2 BCBC=， 11/ BCBE，四边形 11 BBC E为平行四边形， 111 /C E B B A A，四边形 11 AAC E为平行四边形， 11 /AE AC5 分 11 AC平面 11 BCC B ,又 11 AC 平面 11 AAC，平面 11 AAC 平面 11 BCC B6 分 ()由()得， 以E为原点， 1 ,EC AE EC所在的直线分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系， 设2ABAC=， 1 AAa=，120CAB=Q，1AE=，3CE =，则( 3,0,0)C, 1(0, 1, ) Aa-, 1(0,0, ) Ca, 1 ( 3,1,
13、)ACa=- uuuu r ， 11 (0,1,0)AC = uuuur 7 分 易知平面 111 ABC的一个法向量为(0,0,1)=m8 分 设( , , )x y z=n为平面 11 CAC的法向量，由 1 11 0 0 AC AC = = uuuu r uuuur n n 得 30 0 xyaz y +-= = ， A B C 1 A 1 B 1 C x y z A B C 1 A 1 B 1 C E 第 6 页 令xa=，得( ,0, 3)a=n10 分 2 | 31 cos,= | | |2 3a + nm m n m n ，解得3a =， 1 3 2 AA AB =12 分 19
14、.(本小题满分 12 分） 在直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 :1 yx C ab +=(0ab)的离心率为 2 2 ， 左右焦点分别为 12 ,F F， 过 1 F且 斜率不为0的直线l与椭圆C交于,A B两点， 11 ,AF BF的中点分别为,E F，OEFD的周长为2 2 ()求椭圆C的标准方程； ()设 2 ABFD的重心为G，若 2 | 6 OG =，求直线l的方程 解:() 2 2 c e a =Q，2ac=Q2 分 连接 22 ,AF BF，,E OQ分别为 112 ,AF FF的中点， 11 1 2 EFAF=， 2 1 2 OEAF=， 同理 11 1 2 FFB
15、F=， 2 1 2 OFBF=3 分 OEFD的周长为 1122 1 ()22 2 2 AFBFAFBFa+=，2a=，1c=4 分 又 222 bac=-，1b =，椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y+=5 分 ()lQ过点 1( 1,0) F -且斜率不为0，可设l的方程为1xmy=-，设 1122 (,),(,)x yxyAB， 由 2 2 1 1 2 xmy x y =- += 得 22 (2)210mymy+- =7 分 12 2 2 2 m yy m += + ， 12 21 2 yy m = - + 8 分 1212 24 ()2 2 xxm yy m +=+-= - +
16、 ，又 2( , ) 1 0FQ， 1212+1 (,) 33 xxyy G + ,即 2 22 22 (,) 3(2) 3(2) mm G mm - + 9 分 422 2 2 2222 (2)(2 )4 | 9(2)9(2)3(2) mmm OG mmm -+ =+= + 10 分 令 4 2 2 4 3(2) 6 m m + = + ，解得2m = 11 分 直线l的方程为210xy+ =或210xy-+ =12 分 20.(本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )lnf xxxxax=+-(Ra). ()若3a =，求( )f x的单调性和极值； ()若函数 1 ( ) ex yf
17、 x=+至少有1个零点，求a的取值范围. 解:()法一:当3a =时， 2 ( )ln3f xxxxx=+-,( )ln22fxxx=+-1 分 当01x，220x-，( )ln220fxxx=+-2 分 ( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增3 分 ( )f x在1x =处取得极小值，极小值为( )21f= -，无极大值4 分 第 7 页 法二：当3a =时， 2 ( )ln3f xxxxx=+-，( )ln22fxxx=+-1 分 ( )fxQ在(0,)+上单调递增，且(1)ln1220 f =+-=， 当( , )0 1x时，( )0fx2 分 ( )f x在( ,
18、)0 1上单调递减，在(1,)+上单调递增3 分 ( )f x在1x =处取得极小值，极小值为( )21f= -，无极大值4 分 () 211 ( )ln ee xx f xxxxax+=+-+Q，由 21 ln0 ex xxxax+-+=得 1 ln ex axx x =+5 分 令 1 ( )ln ex g xxx x =+，则 2 2 22 11ee1( e1)(1) ( )1 eee xxx xxx xxxxxx g x xxxx +-+ =+ -=6 分 由( )0g x=得e1 x x=. 令( )exh xx=，当0x 时，( )()e01 x h xx=+，( )exh xx=
19、在( ,)0 +单调递增， 1e ( )1 22 h=，存在 0 1 ( , ) 1 2 x ，使得 0 0e 1 x x=7 分 且当 0 (0,)xx时，( )1h x 8 分 10x+ Q， 2e 0 x x，当 0 (0,)xx时，( )0g x， ( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (,)x +上单调递增9 分 ( )g x在 0 xx=处取得最小值 0 000 0 1 ()ln ex g xxx x =+10 分 0 0e 1 x x=Q， 0 0 ln( e )ln10 x x=，即 00 ln0xx+=， 0 00 0 11 ln01 e1 x xx x +=+=
20、，即 0 ()1g x=11 分 当1aQ，函数 1 ( ) ex yf x=+至少有1个零点， 故a的取值范围是1,)+12 分 21.(本小题满分 12 分） 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发 球权.每一局中，获胜规则如下:率先得到21分的一方赢得该局比赛；如果双方得分出现20:20，需要 领先对方2分才算该局获胜；如果双方得分出现29:29，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运 动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q. ()若 2 3 pq=，记“甲以21:i(19i ,N
21、i)赢一局”的概率为() i P A，试试比较比较 9 ()P A与与 10 ()P A的大小的大小； ()根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右2 2列联表部分数据.若不考虑其它因 素对比赛的影响，并以表中两人发球时时甲得分的频率作为, p q的值. 完成2 2列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、 发球有关”？ 已知在某局比赛中， 双方战成27:27， 且轮到乙发球， 记双方再战X 回合此局比赛结束，求X的分布列与期望. 参考公式: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd - = + ，其中nabcd=+. 临界值表供参考： 甲
22、得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 第 8 页 解:()Q甲以21:i (19i ,Ni)获胜，则在这21 i+个回合的争夺中，前20i+个回合里，甲赢下20个 回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜1 分 2021 2020 22221 ()( )(1)( )( ) 33333 iiii iii P ACC + =-=， 9219 929 21 ()( )( ) 33 P AC=， 102110 1030 21 ()( )( ) 33 P AC=2 分 9219 29 9 102110 10 30 21 ( )( ) ()29!10! 20! 33
23、 31 21 ()9! 20!30! ( )( ) 33 C P A P A C = Q， 910 ()()P AP A=4 分 ()2 2列联表如右:5 分 2 2 190 (50 3060 50) 5.40 100 90 110 80 K - = 6 分 5.403.841Q，有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” 7 分 由2 2列联表知 1 2 p =， 2 3 q =，此局比赛结束，比分可能是29:27，30:28，30:29， 2,4,5X=8 分 若比分为29:27，则甲获胜概率为 211 323 =，乙获胜概率为 111 339 =， 114 (2) 399 P X=+=
24、， 若比分为30:28，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率 212112111 6 32323322 +=， 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率 211112112 27 32333323 +=， 1213 (4) 62754 P X=+=， 若比分为30:29，则 41317 (5)1(2)(4)1 95454 P XP XP X= -=-= -=， X的分布列为 X 2 4 5 P 4 9 13 54 17 54 11 分 41317185 245 9545454 EX=+ =12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 2
25、2.选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 12cos 2sin x y j j = + = (j为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系，直线 1l,2 l的极坐标方程分别为 0 qq=， 0 2 qq p =+( 0 (0, )qp)，1l交曲线E于点,A B， 2 l交曲线E于点,C D. 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 50 100 乙发球 60 30 90 总计 110 80
26、 190 第 9 页 ()求曲线E的普通方程及极坐标方程； ()求 22 BCAD+的值. 解:()由E的参数方程 12cos 2sin x y j j = + = (j为参数)，知曲线E是以(1,0)为圆心，半径为2的圆， 曲线E的普通方程为 22 (1)4xy-+=2 分 令cosxrq=，sinyrq=得 222 ( cos1)cos4rqrq-+=， 即曲线E极坐标方程为 2 2 cos30rrq-=4 分 ()依题意得 1l2 l，根据勾股定理， 222 BCOBOC=+， 222 ADOAOD=+5 分 将 0 qq=， 0 2 qq p =+代入 2 2 cos30rrq-=中，
27、得 2 0 2 cos30rrq- =， 2 0 2 sin30rrq+-= 7 分 设点, , ,A B C D所对应的极径分别为 1234 ,r rrr，则 012 2cosrrq+=， 12 3r r= -， 034 2sinrrq+= -， 12 3r r= -8 分 222222 222222 123412123434 ()2()2BCADOAOBOCOD rrrrrrr rrrr r +=+=+=+-+- 22 00 4cos64sin616qq=+=10 分 23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分） 已知函数 12 ( ) 21 xx f x x +- = - 的最大
28、值为m ()求m的值； ()若, ,a b c为正数，且abcm+ + =，求证:1 bcacab abc +. 解:()( )f x的定义域为 1 R | 2 xx， 12(1)(2)21xxxxx+ -+-=-Q， 当且仅当 (1)(2)0 1 2 xx x +- ，即 1 1 2 x- 或 1 2 2 x时取等号3 分 21 ( )1 21 x f x x - = - ，1m=5 分 ()由()知1abc+ +=6 分 22 bcacbc ac c abab +=Q，22 bcabbc ab b acac +=，22 acabac ab a bcbc +=8 分 相加得2()2() bcacab abc abc +，当且仅当 1 3 abc=时取等号9 分 1 bcacab abc +10 分 命题人：王锋 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航