1、8.3.2 圆柱圆柱、圆锥圆锥、圆台圆台、球的表面积和体积球的表面积和体积 1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.1 2 答案 A 解析 设球的半径为 R，则 4R24 3R 3，所以 R3. 2.两个球的体积之比为 827，那么这两个球的表面积之比为( ) A.23 B.49 C. 2 3 D. 8 27 答案 B 解析 由两球的体积之比为 827， 可得半径之比为 23， 故表面积之比是 49. 3.将边长为 4 cm 和 8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32 cm2 B.32 cm2 C.32 cm2
2、 D.16 cm2 答案 A 解析 当以 4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为 r， 则 2r8，2r8 ， S轴截面48 32 (cm2). 当以 8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为 R， 则 2R4,2R4 ， S轴截面84 32 (cm2). 综上，圆锥的轴截面的面积为32 cm2. 4.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C.2 2 D.4 2 答案 B 解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面 重合，等体积的圆锥，如图所示.每一
3、个圆锥的底面半径和高都为 2，故所求几何体的体积 V21 32 2 4 2 3 . 5.如图，圆柱形容器内盛有高度为 6 cm 的水，若放入 3 个相同的铁球(球的半径与圆柱的底 面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 答案 B 解析 由题意可得，设球的半径为 r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的 体积， 34 3r 3r2(6r6)，解得 r3，故选 B. 6.一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为 4 cm，则球的体积为 _cm3. 答案 500 3 解析 如图所示， 由已知
4、得 O1A3 cm，OO14 cm，从而 ROA5 cm. 所以 V球4 3 53500 3 (cm3). 7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是_. 答案 3 3 解析 圆锥的母线长 l2，设圆锥的底面半径为 r， 则 2r1 222，r1， 圆锥的高 h l2r2 3， 则圆锥的体积 V1 3r 2h 3 3 . 8.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个.若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个， 则新 的底面半径为_. 答案 7 解析 设新的底面半径为 r，则有1 3r 2
5、4r281 35 24228，解得 r 7. 9.如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积. 解 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S. 则 ROC2，AC4，AO 42222 3. 如图所示，易知AEBAOC，AE AO EB OC， 即 3 2 3 r 2，r1， S底2r22，S侧2r h2 3. SS底S侧22 3(22 3). 10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r1，l 3，试求该组合体的表面积和体积. 解 该组合体的表面积 S4r22rl41221310. 该组合体的体积 V
6、4 3r 3r2l 4 31 312313 3 . 11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面 是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.12 2 B.12 C.8 2 D.10 答案 B 解析 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形， 圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2， 该圆柱的表面积为 2( 2)22 22 212. 12.若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm2，则此球的体积为( ) A. 6 cm 3 B. 6 8 cm3 C.4 3 cm3 D. 6 6 cm3 答案 A 解析 设球的
7、半径为 R cm，正方体棱长为 a cm， 6a26，a1 cm，即 2R1，R1 2 cm， 球的体积 V4 3R 34 3 1 2 3 6 cm 3. 13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A.1 3 B.13 C.13 3 D.19 答案 C 解析 设正方体的棱长为 a，则其内切球的半径为a 2， V内4 3 a 2 3a 3 6 ， 正方体的外接球的半径为 3 2 a， V外4 3 3 2 a 33 3a 3 6 ， V内V外13 3. 14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为_. 答案 312 解析 设球的半
8、径为 R，则 V圆柱R2 2R2R3， V圆锥1 3R 2 2R2 3R 3， V球4 3R 3， 故 V圆柱V圆锥V球2R32 3R 34 3R 3 312. 15.已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90 ，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为_. 答案 144 解析 如图所示，设球的半径为 R， AOB90 ， SAOB1 2R 2. V三棱锥OABCV三棱锥CAOB， 而AOB 的面积为定值， 当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，三棱锥 OABC 的体积最大， 当动点 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥
9、 OABC 的体积最大， 此时 V三棱锥OABCV三棱锥CAOB1 3 1 2R 2R1 6R 336， 解得 R6， 则球 O 的表面积为 S4R2144. 16.已知四面体的各面都是棱长为 a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设 SO1是四面体 SABC 的高，则外接球的球心 O 在 SO1上. 设外接球半径为 R. 四面体的棱长为 a，O1为正ABC 的中心， AO12 3 3 2 a 3 3 a， SO1 SA2AO21a21 3a 2 6 3 a， 在 RtOO1A 中， R2AO21OO21AO21(SO1R)2， 即 R2 3 3 a 2 6 3 aR 2，解得 R 6 4 a， 所求外接球的体积 V球4 3R 3 6 8 a3.