1、8.3.1 棱柱棱柱、棱锥棱锥、棱台的表面积和体积棱台的表面积和体积 1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A.22 B.20 C.10 D.11 答案 A 解析 所求长方体的表面积 S2(12)2(13)2(23)22. 2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为 2，体对角线长为 4，则这个棱柱的表面积 是( ) A.8 B.16 2 C.812 2 D.816 2 答案 D 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3 3 4 a2 B.3 4a 2 C.3 3 2 a2 D.6 3 4 a2
2、答案 A 4.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成12(从顶点到截面与从截面到底面)两部分， 那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( ) A.19 B.18 C.14 D.13 答案 B 解析 两个锥体的侧面积之比为 19，小锥体与台体的侧面积之比为 18. 5.如图，ABCABC是体积为 1 的三棱柱，则四棱锥 CAABB 的体积是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 答案 C 解析 V三棱锥CABC1 3V 三棱柱ABCABC1 3， V四棱锥CAABB11 3 2 3. 6.棱长都是 3 的三棱锥的表面积 S 为_. 答案 9 3 解析 因为三棱锥的四个
3、面是全等的正三角形， 所以 S4 3 4 329 3. 7.正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2， 侧棱长为 3， D 为 BC 的中点， 则三棱锥 AB1DC1 的体积为_. 答案 1 解析 正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 的中点， 底面 B1DC1的面积为1 22 3 3. A 到底面的距离就是底面正三角形的高 3. 三棱锥 AB1DC1的体积为1 3 3 31. 8.若在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是_. 答案 5 6 解析 易知 V181 3 1 2
4、1 2 1 2 1 2 5 6. 9.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，求点 A 到平面 A1BD 的距离 d. 解 在三棱锥 A1ABD 中，AA1是三棱锥 A1ABD 的高，ABADAA1a， A1BBDA1D 2a， 11 AABDAABD VV 三棱锥 三棱锥 ， 1 3 1 2a 2 a1 3 1 2 2a 3 2 2a d. d 3 3 a.点 A 到平面 A1BD 的距离为 3 3 a. 10.如图所示， 正四棱台 ABCDA1B1C1D1的上底面是边长为 2 的正方形， 下底面是边长为 4 的正方形，侧棱长为 2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.
5、 解 正四棱台的上底面是边长为 2 的正方形，下底面是边长为 4 的正方形，上底面、下 底面的面积分别是 4,16.侧棱长为 2，侧面是全等的等腰梯形，侧面等腰梯形的高为 4 42 2 2 3，一个侧面等腰梯形的面积为1 2(24) 33 3，四棱台的表面 积为 4163 342012 3. 11.有一塔形几何体由 3 个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点 是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2， 则该塔形几何体的表面积为 _. 答案 36 解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2， 2，1， S表222422( 2)21236. 该几何体的表面积
6、为 36. 12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分 别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_. 答案 1 12 解析 连接 AD1，CD1，B1A，B1C，AC， E，H 分别为 AD1，CD1的中点， EHAC，EH1 2AC. F，G 分别为 B1A，B1C 的中点， FGAC，FG1 2AC， EHFG，EHFG，四边形 EHGF 为平行四边形， 又 EGHF，EHHG，四边形 EHGF 为正方形. 又点 M 到平面 EHGF 的距离为1 2， 四棱锥 MEFGH 的体积为1 3 2 2 21 2
7、1 12. 13.如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1的中点.设三棱锥 F ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1V2_. 答案 124 解析 设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S，高为 h，则其体积为 V2Sh. D，E 分别为 AB，AC 的中点， ADE 的面积等于1 4S. 又F 为 AA1的中点， 三棱锥 FADE 的高等于1 2h，于是三棱锥 FADE 的体积 V1 1 3 1 4S 1 2h 1 24Sh 1 24V2， 故 V1V2124. 14.三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的
8、中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，三 棱锥 PABC 的体积为 V2，则V1 V2_. 答案 1 4 解析 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h， D，E 分别为 PB，PC 的中点， SBDE1 4SPBC， V1 V2 VADBE VAPBC 1 3SBDE h 1 3SPBC h 1 4. 15.用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的 最小面积是_. 答案 8 解析 如图为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形， 再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为 2 2，其 面积为 8
9、. 16.如图， 正六棱锥被过棱锥高PO的中点O且平行于底面的平面所截， 得到正六棱台OO 和较小的棱锥 PO. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥 PO 的侧棱长为 12 cm，小棱锥的底面边长为 4 cm，求截得的棱台的侧面面积和 表面积. 解 (1)由题意知 S小棱锥侧S大棱锥侧14，则 S大棱锥侧S小棱锥侧S棱台侧413. (2)如图所示，小棱锥的底面边长为 4 cm， 大棱锥的底面边长为 8 cm， 又 PA12 cm，A1A6 cm. 又梯形 ABB1A1的高 h 6222 4 2(cm)， S棱台侧648 2 4 2144 2(cm2)， S棱台表S棱台侧S上底S下底144 224 396 3(144 2120 3)(cm2).