1、7.2.2 复数的乘复数的乘、除运算除运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘 法对加法的分配律. 知识点一 复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则 z1 z2(abi)(cdi)(acbd) (adbc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数 z1，z2，z3C，有 交换律 z1z2z2z1 结合律 (z1z2)z3z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 思考 |z|2z2，正确吗？ 答案 不正确.例如，|i|21，而 i21. 知识点二
2、 复数除法的法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，且 cdi0)是任意两个复数， 则z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(cdi0). 1.(1i)(2i)_. 答案 13i 解析 依题意得(1i)(2i)2i23i13i. 2.i 是虚数单位，复数13i 1i _. 答案 2i 解析 13i 1i 13i1i 1i1i 42i 2 2i. 3.复数 zi(2i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在第_象限. 答案 四 解析 因为 zi(2i)12i， 所以复数 z 对应的点在第四象限. 4.已知复数 z 5i 12i(i 是虚数单位)，则|
3、z|_. 答案 5 解析 |z| 5i 12i 5i12i 5 |i2| 5. 一、复数代数形式的乘法运算 例 1 计算下列各题. (1)(1i)(1i)(1i)； (2)(2i)(15i)(34i)2i. 解 (1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i. (2)(2i)(15i)(34i)2i (210ii5i2)(34i)2i (311i)(34i)2i (912i33i44i2)2i 5321i2i5323i. 反思感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开. 再将 i2换成1. 然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 (abi)2a2b22abi(a，b
4、R). (abi)(abi)a2b2(a，bR). (1 i)2 2i. 跟踪训练 1 (1)计算：(1i)2(23i)(23i)等于( ) A.213i B.132i C.1313i D.132i 答案 D 解析 (1i)2(23i)(23i)12ii2(49i2)132i. (2)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，) D.(1，) 答案 B 解析 因为 z(1i)(ai)a1(1a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a1,1a)， 又此点在第二象限， 所以 a10， 解得 a1. 二、复数代数形式的除法
5、运算 例 2 (1)如图，在复平面内，复数 z1，z2对应的向量分别是OA ，OB ，则复数z1 z2对应的点位 于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 由复数的几何意义知，z12i，z2i， 所以z1 z2 2i i 12i， 对应的点在第二象限. (2)计算：1i 7 1i 1i 7 1i 34i22i 3 43i . 解 原式(1i)23 1i 1i(1i) 23 1i 1i 834i1i3 34ii (2i)3 i(2i)3 (i)8 2i1i i 881616i16i. 反思感悟 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 首先将除式写为分式. 再
6、将分子、分母同乘以分母的共轭复数. 然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 1 ii； 1i 1ii； 1i 1ii. 跟踪训练 2 (1)设复数 z 满足1z 1zi，则|z|等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 A 解析 由1z 1zi 得 1zi(1z)， 即 z1i 1i 1i1i 1i1i 1i 2 2 i，|z|1. (2)计算： 7i 34i； 1i2i i . 解 7i 34i 7i34i 34i34i 2525i 25 1i. 1i2i i 3i i 3i i i i 13i. 三、在复数范围内解方程 例 3 在复数范围内
7、解方程 x26x100. 解 因为 x26x10x26x91(x3)21， 所以(x3)21， 又因为 i21， 所以(x3)2i2， 所以 x3 i， 即 x3 i. 反思感悟 当一元二次方程中 0 时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 跟踪训练 3 已知 1i 是方程 x2bxc0(b，c 为实数)的一个根. (1)求 b，c 的值； (2)试判断 1i 是不是方程的根. 解 (1)1i 是方程 x2bxc0 的根，且 b，c 为实数， (1i)2b(1i)c0，即 bc(b2)i0， bc0， 2b0， 解得 b2， c2. (2)由(1)知方程为 x22x20， 把 1i 代入方程左
8、边得(1i)22(1i)20右边， 即方程式成立. 1i 是方程的根. 1.若 a，bR，i 为虚数单位，且(ai)ibi，则( ) A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1 答案 D 解析 (ai)iai1bi， a1，b1. 2.复数(1i)2(23i)的值为( ) A.64i B.64i C.64i D.64i 答案 D 解析 (1i)2(23i)2i(23i)64i. 3.在复平面内，复数 i 1i(1 3i) 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 i 1i(1 3i) 21 2i 1 2132 3i 3 2 1 22 3 i，对应点在第二象限. 4.(1i)22i 2i_. 答案 3 5 14 5 i 解析 (1i)22i 2i2i 2i2 5 3 5 14 5 i. 5.方程 x230 在复数范围内的解为 x_. 答案 3i 1.知识清单： (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)复数的综合运算. (4)在复数范围内解方程. 2.方法归纳：分母实数化；配方法解方程；求根公式法. 3.常见误区：分母实数化时忽视 i21 造成运算错误.