1、7.2 复数的四则运算复数的四则运算 7.2.1 复数的加复数的加、减运算及其几何意义减运算及其几何意义 学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能 够利用“数形结合”的思想解题. 知识点一 复数加法与减法的运算法则 1.设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则 (1)z1z2(ac)(bd)i； (2)z1z2(ac)(bd)i. 2.对任意 z1，z2，z3C，有 (1)z1z2z2z1； (2)(z1z2)z3z1(z2z3). 知识点二 复数加减法的几何意义 如图，设复数 z1，z2对应向量分别为OZ1 ，OZ2 ，四边
2、形 OZ1ZZ2为平行四边形，向量OZ 与复 数 z1z2对应，向量Z2Z1 与复数 z1z2对应. 思考 类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？ 答案 |zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0的距离. 1.两个虚数的和或差可能是实数.( ) 2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( ) 3.复数与复数相加减后结果只能是实数.( ) 4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( ) 一、复数代数形式的加、减运算 例 1 (1)计算：(56i)(2i)(34i)； (2)设 z1x2i，z23yi(x，y
3、R)，且 z1z256i，求 z1z2. 解 (1)原式(523)(614)i11i. (2)因为 z1x2i，z23yi，z1z256i， 所以(3x)(2y)i56i， 所以 3x5， 2y6， 所以 x2， y8， 所以 z1z2(22i)(38i)(23)2(8)i110i. 反思感悟 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆 运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 跟踪训练 1 复数(12i)(34i)(53i)对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象
4、限 D.第四象限 答案 A 解析 复数(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其对应的点为(9,1)， 在第一象限. 二、复数加减法的几何意义 例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示 0,32i，24i.求： (1)AO 表示的复数； (2)对角线CA 表示的复数； (3)对角线OB 表示的复数. 解 (1)因为AO OA ， 所以AO 表示的复数为32i. (2)因为CA OA OC ， 所以对角线CA 表示的复数为(32i)(24i)52i. (3)因为OB OA OC ， 所以对角线OB 表示的复数为(32i)(24i)16i. 反思感悟
5、复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数 zabi(a，bR)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 跟踪训练 2 已知平行四边形 ABCD 中，AB 与AC对应的复数分别是 32i 与 14i，两对角 线 AC 与 BD 相交于点 O.求： (1)AD 对应的复数； (2)DB 对应的复数. 解 (1)因为 ABCD 是平行四边形， 所以AC ABAD ，于是AD AC AB， 而(14i)(32i)22i， 即AD 对应的复数是22i. (2)因为DB AB AD ， 而(32i)(22i
6、)5，即DB 对应的复数是 5. 三、复数模的综合问题 例 3 如果复数 z 满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是( ) A.1 B.1 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数 z，i，i，1i 在复平面内对应的点分别为 Z，Z1，Z2，Z3， 因为|zi|zi|2， |Z1Z2|2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 所以 Z 点在线段 Z1Z2上移动，|Z1Z3|min1， 所以|zi1|min1. 反思感悟 |z1z2|表示复平面内 z1， z2对应的两点间的距离.利用此性质， 可把复数模的问题 转化为复平面内两点间的距离问题， 从而进行数形结合， 把复数问题转化为几何
7、图形问题求 解. 跟踪训练 3 ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数 z 满足|zz1|zz2| |zz3|，则 z 对应的点是ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 A 解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数 z 的对应点 P 到ABC 的 顶点 A，B，C 的距离相等，P 为ABC 的外心. 1.复数(1i)(2i)3i 等于( ) A.1i B.1i C.i D.i 答案 A 解析 原式1i2i3i1i. 2.已知 z12i，z212i，则复数 zz2z1对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第
8、四象限 答案 C 解析 zz2z1(12i)(2i)13i. 故 z 对应的点为(1，3)，位于第三象限. 3.若复数 z 满足 z(34i)1，则 z 的虚部是( ) A.2 B.4 C.3 D.4 答案 B 解析 z(34i)1， z24i，故 z 的虚部是 4. 4.已知复数 z1(a22)(a4)i， z2a(a22)i(aR)， 且 z1z2为纯虚数， 则 a_. 答案 1 解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数， a2a20， a2a60， 解得 a1. 5.设平行四边形 ABCD 在复平面内， A 为原点， B， D 两点对应的复数分别是 32i 和 24i， 则点 C 对应的复数是_. 答案 52i 解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 5 2，1 ，设点 C 坐标为(x，y)，则 x5，y 2，故点 C 对应的复数为 52i. 1.知识清单： (1)复数代数形式的加减运算法则. (2)复数加减法的几何意义. (3)复平面上两点间的距离公式. 2.方法归纳：类比、数形结合. 3.常见误区：忽视模的几何意义.