1、7.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一 一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方 法. 知识点一 复平面 思考 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 答案 不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应 的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z00i0，表示的是实数. 知识点二 复数的几何意义 1.复数 zabi(a，bR)复平面内的点 Z(a，b). 2.复数 zabi(a，bR)平面向量OZ . 知
2、识点三 复数的模 1.定义：向量OZ 的模叫做复数 zabi(a，bR)的模或绝对值. 2.记法：复数 zabi 的模记为|z|或|abi|. 3.公式：|z|abi|a2b2. 知识点四 共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不 等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 zabi(a，bR)，则 z abi. 1.复平面内的点与复数是一一对应的.( ) 2.复数的模一定是正实数.( ) 3.若|z1|z2|，则 z1z2.( ) 4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.( ) 一、复数与复平面内
3、的点的关系 例 1 已知复数 z(a21)(2a1)i，其中 aR.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列 条件时，求 a 的值(或取值范围). (1)在实轴上； (2)在第三象限. 解 (1)若 z 对应的点 Z 在实轴上，则有 2a10，解得 a1 2. (2)若 z 对应的点 Z 在第三象限，则有 a210， 2a10， 解得1a1 2. 故 a 的取值范围是 1，1 2 . 反思感悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 zabi(a，bR)可以用复平面内的点 Z(a，b) 来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程： 此类问题可建立复数
4、的实部与虚部应满足的条件， 通过解方程(组)或不等式(组) 求解. 跟踪训练 1 在复平面内，若复数 z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点在虚轴上 和实轴负半轴上，分别求复数 z. 解 若复数 z 的对应点在虚轴上，则 m2m20， 所以 m1 或 m2，所以 z6i 或 z0. 若复数 z 的对应点在实轴负半轴上， 则 m2m2z2 B.z1|z2| D.|z1|z2| 答案 D 解析 |z1|53i| 5232 34，|z2|54i| 5242 41. 因为 34 41，所以|z1|z2|. (2)已知 0a3，复数 zai(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A.(1
5、， 10) B.(1， 3) C.(1,3) D.(1,10) 答案 A 解析 0a3，复数 zai(i 是虚数单位)， 则|z|a21(1， 10). 复数模的几何意义 典例 设 zC，且满足下列条件，在复平面内，复数 z 对应的点 Z 的集合是什么图形？ (1)|z|3；(2)|z|2. 解 (1)设 zxyi(x，yR)， 则|z| x2y2. 由题意知 x2y23， x2y29. 所以复数 z 对应的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，3 为半径的圆面，不包括边界. (2)根据模的几何意义，|z|2 表示复数 z 对应的点到原点的距离为 2. 所以满足|z|2 的点 Z 的集合为以原点
6、为圆心，2 为半径的圆. 素养提升 复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数 z 对应的点 Z 与原点之间的距离，从 而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养. 1.复数 z12i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 z12i 对应点 Z(1，2)，位于第三象限. 2.(多选)已知复数 z(m3)(m1)i 的模等于 2，则实数 m 的值可以为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 AC 解析 依题意可得 m32m122， 解得 m1 或 3. 3.已知 zm1(m2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1，) D.(，2) 答案 B 解析 zm1(m2)i 在复平面内对应的点在第二象限， m10，解得2m1， 则实数 m 的取值范围是(2,1). 4.设复数 zi，则 z 的共轭复数为_. 答案 i 1.知识清单： (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系. (2)复数的模及几何意义. (3)共轭复数. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；|z(abi)|表示复平面内的点到 点(a，b)的距离.