1、6.4.3 第第 3 课时课时 余弦定理余弦定理、正弦定理应用举例正弦定理应用举例 学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 知识点一 距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识点二 高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得 BCa，BCAC，AB a tan C. 底部不可达 点 B 与 C， D 共线 测得 CDa 及 C 与ADB 的 度数. 先由正弦定理求出AC或AD，
2、再解三角形得 AB 的值. 点 B 与 C， D 不共线 测得 CDa 及BCD， BDC，ACB 的度数. 在BCD 中由正弦定理求得 BC，再解三角形得 AB 的值. 知识点三 角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题， 如确定目标的方位， 观察某一建筑物 的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中， 该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个 三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.( ) 2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质
3、是构造已知两边及夹角的三角形并求解. ( ) 3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. ( ) 4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.( ) 一、距离问题 例 1 如图所示，在一岸边选定两点 A，B，望对岸标记物 C，测得CAB30 ，CBA 75 ，AB120 m，则 BC 为 m. 答案 60( 6 2) 解析 由题意知，ACB180 30 75 75 ， 由正弦定理，BC AB sinACB sinCAB 120 sin 75 sin 30 120 6 2 4 1 260( 6 2). 反思感悟 求不可达的两点间的距离时， 由于构造
4、的三角形的两边均不可直接测量， 故只能 寻求构造已知两角及一边的三角形. 跟踪训练 1 A，B 两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点 C，测得 CA7 km，CB 5 km，C60 ，则 A，B 两点之间的距离为 km. 答案 39 解析 由余弦定理， 得 AB2CA2CB22CA CB cos C 72522751 2 39. AB 39. 二、高度问题 例 2 如图， 为测得河对岸塔 AB 的高， 先在河岸上选一点 C， 使 C 在塔底 B 的正东方向上， 测得点 A 的仰角为 60 ，再由点 C 沿北偏东 15 方向走 10 m 到位置 D，测得BDC45 ， 则塔 AB 的高是(
5、) A.10 m B.10 2 m C.10 3 m D.10 6 m 答案 D 解析 在BCD 中，CD10 m，BDC45 ， BCD15 90 105 ，DBC30 ， 由正弦定理，得 BC sinBDC CD sinDBC， BC10sin 45 sin 3010 2(m). 在 RtABC 中，tan 60 AB BC，ABBCtan 60 10 6(m). 反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所 在直线不经过“目标物”， 解决办法是把目标高度转化为地平面内某量， 从而把空间问题转 化为平面内解三角形问题. 跟踪训练2 某登山队在山脚A处测得
6、山顶B的仰角为35 ， 沿倾斜角为20 的斜坡前进1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65 ，则山的高度为 m.(精确到 1 m) 答案 811 解析 如图，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E， 因为DAC20 ， 所以ADE160 ， 于是ADB360 160 65 135 . 又BAD35 20 15 ，所以ABD30 . 在ABD 中，由正弦定理，得 ABADsinADB sinABD 1 000sin 135 sin 30 1 000 2(m). 在 RtABC 中，BCABsin 35 811(m). 所以山的高度为 811 m. 三、角度问题 例 3 甲船在
7、 A 点发现乙船在北偏东 60 的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行驶，已 知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在ABC 中， BCat 海里， AC 3at 海里， B90 30 120 ， 由 BC sinCAB AC sin B， 得 sinCABBCsin B AC atsin 120 3at 3 2 3 1 2， 0 CAB60 ，CAB30 ， DAC60 30 30 ， 甲船应沿着北偏东 30 的方向前进，才能最快与乙船相遇. 跟踪训练 3 当太阳光与水平面的倾斜角为 6
8、0 时，一根长为 2 m 的竹竿如图所示放置，要 使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案 B 解析 设竹竿与地面所成的角为 ，影子长为 x m. 由正弦定理，得 2 sin 60 x sin120 ， x4 3 3 sin(120 ). 30 120 120 ， 当 120 90 ，即 30 时，x 有最大值. 即当竹竿与地面所成的角是 30 时，影子最长. 1.如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者与 A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定 一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，ACB45 ，CAB105 后，可以计算出 A，B
9、 两点 的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.25 2 2 m 答案 A 解析 ABC180 45 105 30 ，在ABC 中， 由 AB sin 45 50 sin 30 ，得 AB100 2 2 50 2(m). 2.如图，要测出山上一座天文台 BC 的高，从山腰 A 处测得 AC60 m，天文台最高处 B 的 仰角为 45 ，天文台底部 C 的仰角为 15 ，则天文台 BC 的高为( ) A.20 2 m B.30 2 m C.20 3 m D.30 3 m 答案 B 解析 由题图，可得B45 ，BAC30 ，故 BCAC sinBAC sinB 6
10、0sin 30 sin 4530 2(m). 3.如图，在河岸 AC 测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( ) A.a，c， B.b，c， C.c，a， D.b， 答案 D 4.甲骑电动车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车 的北偏东 30 方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75 方向上，则电动 车在点 B 时与电视塔 S 的距离是 ( ) A.6 km B.3 3 km C.3 2 km D.3 km 答案 C 解析 由题意知，AB241 46(km)，BAS30 ，ASB75 30 45 . 由正弦定理
11、，得 BSABsinBAS sinASB 6sin 30 sin 453 2(km). 5.如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15 ，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45 ，若 CD50 m，山坡对 于地平面的坡度为 ，则 cos 等于( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 31 D. 21 答案 C 解析 在ABC 中，由正弦定理得 AB sin 30 AC sin 135 ， AC100 2(m). 在ADC 中， AC sin90 CD sin 15 ， cos sin(90 )AC sin 15 CD 31. 1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：方位角是易错点.