1、6.4.3 第第 2 课时课时 正弦定理正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用 正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 知识点一 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 a sin A b sin B c sin C. 知识点二 正弦定理的变形公式 1.a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. 2.sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R(其中 R 是ABC 外接圆的半径). 思考 在正弦定理中， 三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等， 那么这个比值等于多少？ 与该
2、三角形外接圆的直径有什么关系？ 答案 等于 2R(R 为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等. 1.正弦定理对任意的三角形都成立.( ) 2.在ABC 中，等式 bsin Ccsin B 总能成立.( ) 3.在ABC 中，已知 a，b，A，则能求出唯一的角 B.( ) 4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( ) 一、已知两角及任意一边解三角形 例 1 在ABC 中，已知 A30 ，B60 ，a10，解三角形. 解 根据正弦定理，得 basin B sin A 10sin 60 sin 3010 3. 又 C180 (30 60 )90 ， c a2b220. 反思感
3、悟 (1)正弦定理实际上是三个等式： a sin A b sin B， b sin B c sin C， a sin A c sin C，每个 等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为 180 ，所以已知两角一定可以求出第三个角. 跟踪训练 1 在ABC 中，已知 B30 ，C105 ，b4，解三角形. 解 因为 B30 ，C105 ， 所以 A180 (BC)180 (30 105 )45 . 由正弦定理，得 a sin 45 4 sin 30 c sin 105 ， 解得 a4sin 45 sin 304 2，c 4sin 105 sin 30
4、2( 6 2). 二、已知两边及其中一边的对角解三角形 例 2 在ABC 中，已知 c 6，A45 ，a2，解三角形. 解 a sin A c sin C，sin C csin A a 6sin 45 2 3 2 ， 0 A. A 为小于 45 的锐角，且正弦值为 3 3 ，这样的角 A 只有一个. 反思感悟 这一类型题目的解题步骤为 用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； 用三角形内角和定理求出第三个角； 根据正弦定理求出第三条边. 其中进行时要注意讨论该角是否可能有两个值. 跟踪训练 2 在ABC 中，AB2，AC3，B60 ，则 cos C 等于( ) A. 3 3 B. 6 3 C. 3
5、 2 D. 6 2 答案 B 解析 由正弦定理，得 AB sin C AC sin B， 即 2 sin C 3 sin 60 ，解得 sin C 3 3 ， ABAC，CB，cos C 1sin2C 6 3 . 三、三角形形状的判断 例 3 在ABC 中，已知a b sin B sin A，且 sin 2Asin2Bsin2C.求证：ABC 为等腰直角三角形. 证明 a sin A b sin B， sin B sin A b a， 又a b sin B sin A， a b b a， a2b2即 ab， 设 a sin A b sin B c sin Ck(k0)， 则 sin Aa k，
6、sin B b k，sin C c k， 又sin2Asin2Bsin2C， a 2 k2 b2 k2 c2 k2，即 a 2b2c2， ABC 为等腰直角三角形. 反思感悟 判断三角形的形状， 就是根据题目条件， 分析其是不是等腰三角形、 直角三角形、 等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状 的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆的半径)； a b sin A sin B， a c sin A sin C， b c sin B sin C； (2)化
7、角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R(R 为ABC 外接圆的半径)； sin A sin B a b， sin A sin C a c， sin B sin C b c. 跟踪训练 3 在ABC 中，已知 2sin Acos Bsin C，那么ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 答案 B 解析 方法一 (利用边的关系进行判断) 由正弦定理和余弦定理， 2sin Acos Bsin C 可化为 2a a2c2b2 2ac c，即 a2c2b2c2，即 a2b2，故 ab.所
8、以ABC 是等腰三角形. 方法二 (利用角的关系进行判断) 因为在ABC 中，ABC， 即 C(AB)，所以 sin Csin(AB). 由 2sin Acos Bsin Csin(AB)， 得 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， 即 sin Acos Bcos Asin B0，所以 sin(AB)0. 因为AB，所以 AB0，即 AB. 所以ABC 是等腰三角形. 1.在ABC 中，a5，b3，则 sin Asin B 的值是( ) A.5 3 B. 3 5 C. 3 7 D. 5 7 答案 A 解析 根据正弦定理，得sin A sin B a b 5 3. 2
9、.在ABC 中，若 sin Asin C，则ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案 B 解析 由 sin Asin C 及正弦定理，知 ac， ABC 为等腰三角形. 3. 在ABC 中，一定成立的等式是( ) A.asin Absin B B.acos Abcos B C.asin Bbsin A D.acos Bbcos A 答案 C 解析 由正弦定理 a sin A b sin B，得 asin Bbsin A. 4.在ABC 中，已知 a8，B60 ，C75 ，则 b 等于( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4 答案 C 解析
10、 易知 A45 ，由 a sin A b sin B得 basin B sin A 8 3 2 2 2 4 6. 5.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B45 ，C60 ，c1，求ABC 最短边的边长. 解 由三角形内角和定理，得 A180 (BC)75 ，所以 B 是最小角，b 为最短边.由正 弦定理，得 b sin B c sin C，即 b sin 45 1 sin 60 ，则 b 6 3 . 1.知识清单： (1)正弦定理. (2)正弦定理的变形推论. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽视分类讨论. .