1、6.4.3 余弦定理余弦定理、正弦定理正弦定理 第第 1 课时课时 余弦定理余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的 解三角形问题. 知识点一 余弦定理 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2b2c22bccos A， b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C 推论 cos Ab 2c2a2 2bc ， cos Ba 2c2b2 2ac ， cos Ca 2b2c2 2ab 思考
2、在 a2b2c22bccos A 中，若 A90 ，公式会变成什么？ 答案 a2b2c2，即勾股定理. 知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 知识点三 解三角形 一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素.已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 1.在ABC 中，已知两边及夹角时，ABC 不一定唯一.( ) 2.在ABC 中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( ) 3.在ABC 中，若 a2b2c20，则角 C 为直角.( )
3、 4.在ABC 中，若 a2b2c20，则角 C 为钝角.( ) 一、已知两边及一角解三角形 例 1 (1)在ABC 中，已知 b3，c2 3，A30 ，求 a； (2)在ABC 中，已知 b3，c3 3，B30 ，求角 A、角 C 和边 a. 解 (1)由余弦定理，得 a2b2c22bccos A 32(2 3)2232 3cos 30 3，所以 a 3. (2)由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 32a2(3 3)22a3 3cos 30 ， 即 a29a180，解得 a3 或 a6. 当 a3 时，A30 ，C120 ； 当 a6 时，由余弦定理 cos Ab 2c2a2 2
4、bc 0， A90 ，C60 . 反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形， 必须先判断该角是给出两边中一边的对角， 还是给出两 边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角， 可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 跟踪训练 1 已知在ABC 中，a1，b2，cos C1 4，则 c ；sin A . 答案 2 15 8 解析 根据余弦定理，得 c2a2b22abcos C12222121 44，解得 c2.由 a 1，b2，c2，得 cos Ab 2c2a2 2bc 7 8，所以 sin A 1 7 8
5、2 15 8 . 二、已知三边解三角形 例 2 在ABC 中，已知 a7，b3，c5，求最大角. 解 acb，A 为最大角. 由余弦定理的推论，得 cos Ab 2c2a2 2bc 3 25272 235 1 2. 又0 a2，且 c2a2b2. ABC 为钝角三角形a2b2c，C 为最小角且 C 为锐角， 由余弦定理，得 cos Ca 2b2c2 2ab 7 24 32 132 274 3 3 2 . 又C 为锐角，C 6. 3.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2 3ac，则角 B 为( ) A. 6 B. 3 C. 3或 2 3 D. 6或 5 6
6、答案 A 解析 a2b2c2 3ac， cos Ba 2c2b2 2ac 3ac 2ac 3 2 ， 又 B 为ABC 的内角，B 6. 4.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.90 B.120 C.135 D.150 答案 B 解析 设ABC 三边分别为 AB5，AC7，BC8， 则由余弦定理得 cos BAB 2BC2AC2 2 AB BC 5 28272 258 1 2，B 为ABC 的内角， B60 ， BCACAB，ABC， 最大角与最小角的和为 AC180 B120 . 5.在ABC 中，已知 a2，b2 2，C15 ，则 A . 答案 6 解析 由余弦定理，得 c2a2b22abcos C84 3， 所以 c 6 2. 由余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc 3 2 ， 又 A 为ABC 的内角，所以 A 6. 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.