1、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条 件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示 已知 a(x，y)，则 a(x，y)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标. 知识点二 平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0. 则 a，b 共线的充要条件是存在实数 ，使 ab. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b(b0) 共线. 注意
2、：向量共线的坐标形式极易写错，如写成 x1y1x2y20 或 x1x2y1y20 都是不对的， 因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 1.若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 ab，则x1 y1 x2 y2.( ) 提示 当 y1y20 时不成立. 2.若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 x1y1x2y20，则 ab.( ) 3.若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，且 x1y2x2y10，则 ab.( ) 4.向量 a(1,2)与向量 b(4,8)共线.( ) 一、平面向量数乘运算的坐标表示 例 1 (1)已知向量 a(1,2)，2ab(3
3、,2)，则 b 等于( ) A.(1，2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 答案 A 解析 b2ab2a(3,2)(2,4)(1，2). (2)已知向量AB (2,4)，AC(0,2)，则1 2BC 等于( ) A.(2，2) B.(2,2) C.(1,1) D.(1，1) 答案 D 解析 1 2BC 1 2(AC AB)1 2(2，2)(1，1). 反思感悟 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数
4、的运算进行. 跟踪训练 1 已知 a(1,2)，b(2,1)，求： (1)2a3b；(2)a3b；(3)1 2a 1 3b. 解 (1)2a3b2(1,2)3(2,1) (2,4)(6,3)(4,7). (2)a3b(1,2)3(2,1) (1,2)(6,3)(7，1). (3)1 2a 1 3b 1 2(1,2) 1 3(2,1) 1 2，1 2 3， 1 3 7 6， 2 3 . 二、向量共线的判定 例 2 下列各组向量中，共线的是( ) A.a(2,3)，b(4,6) B.a(2,3)，b(3,2) C.a(1，2)，b(7,14) D.a(3,2)，b(6，4) 答案 D 解析 A 选
5、项，(2)634240， a 与 b 不平行； B 选项，22334950，a 与 b 不平行； C 选项，114(2)7280，a 与 b 不平行； D 选项，(3)(4)2612120， ab. 反思感悟 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断， 特别 是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配. 跟踪训练 2 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A.e1(0,0)，e2(1，2) B.e1(1,2)，e2(5,7) C.e1(3,5)，e2(6,10) D.e1(2，3)，e2 1 2， 3 4 答案 B 解析 A 选项，e10，e
6、1e2，不可以作为基底； B 选项，1725170，e1与 e2不共线，故可以作为基底； C 选项，310560，e1e2，故不可以作为基底； D 选项，2 3 4 (3)1 20， e1e2，不可以作为基底. 三、利用向量共线的坐标表示求参数 例 3 (1)已知向量 a(2,6)，b(1，)，若 ab，则 _. 答案 3 解析 由题意知62，所以 3. (2)已知点 P(1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，1).若向量PQ 与向量 a(，1)共线， 则 _. 答案 2 3 解析 点 P(1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，1)， 所以向量PQ 2(1(1)，12)(4
7、，6)， 又因为PQ 与向量 a(，1)共线， 所以 4160， 解得 2 3. 反思感悟 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理 ab(b0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值. 跟踪训练 3 (1)已知非零向量 a(m21，m1)与向量 b(1，2)平行，则实数 m 的值为 ( ) A.1 或1 2 B.1 或1 2 C.1 D.1 2 答案 D 解析 非零向量 a(m21，m1)与向量 b(1，2)平行， 所以2(m21)1(m1)0，且 m1， m1 2. (2)已知OA (k,2)，OB
8、(1,2k)，OC (1k，1)，且相异三点 A，B，C 共线，则实数 k _. 答案 1 4 解析 AB OB OA (1k,2k2)， AC OC OA (12k，3)， 由题意可知AB AC， 所以(3)(1k)(2k2)(12k)0， 解得 k1 4(k1 不合题意舍去). 定比分点坐标公式及应用 典例 (1)直线 l 上有两点 P1，P2，在 l 上取不同于 P1，P2的任一点 P，存在一个实数 ，使 P1P PP2 ， 叫做点 P 分有向线段 P1P2所成的比.设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P 分 P1P2所成 的比为 ，求 P 点的坐标. 解 设 P(x，y). P
9、1P (xx1，yy1)， PP2 (x2x，y2y)， P1P PP2 ， (xx1，yy1)(x2x，y2y)， xx1x2x， yy1y2y xx1x2 1 ， yy1y2 1 . (2)如图，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D 是边 AB 的中 点，G 是 CD 上的一点，且CG GD2，求点 G 的坐标. 解 D 是 AB 的中点， 点 D 的坐标为 x1x2 2 ，y1y2 2 ， CG GD2，CG 2GD ， 设 G 点坐标为(x，y)， 由定比分点坐标公式可得 x x32x1x2 2 12 x1x2x3 3 ， y y32
10、y1y2 2 12 y1y2y3 3 ， 即点 G 的坐标为 x1x2x3 3 ，y1y2y3 3 . 素养提升 (1)用有向线段的定比分点坐标公式 xx1x2 1 ， yy1y2 1 可以求解有向线段的定比 分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问 题.如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性.定比分 点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法. (2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 1.下列各组向量中，共线的是( ) A.a(1,2)，b(4,2) B.a(3,2)，b(6，4)
11、C.a 3 2，1 ，b(10,5) D.a(0，1)，b(3,1) 答案 B 解析 若 a 与 b(b0)共线， 则存在实数 使得 ab， 经过验证，只有 B 满足条件，b2a. 2.已知向量 a(2，1)，b(x1,2)，若 ab，则实数 x 的值为( ) A.2 B.2 C.3 D.3 答案 D 解析 因为 ab， 所以 22(1)(x1)0，得 x3. 3.已知AB (4,1)，BC(1，k)，若 A，B，C 三点共线，则实数 k 的值为( ) A.4 B.4 C.1 4 D. 1 4 答案 C 解析 因为 A，B，C 三点共线，所以AB BC， 所以 4k10，即 k1 4. 4.与
12、 a(12,5)平行的单位向量为( ) A. 12 13， 5 13 B. 12 13， 5 13 C. 12 13， 5 13 或 12 13， 5 13 D. 12 13， 5 13 答案 C 解析 设与 a 平行的单位向量为 e(x，y)， 则 x2y21， 12y5x0， x12 13， y 5 13 或 x12 13， y 5 13. 5.已知向量 a(1，)，b(2,1)，c(1，2)，若向量 2ab 与 c 共线，则 _. 答案 9 2 解析 因为向量 a(1，)，b(2,1)，c(1，2)， 所以 2ab(4,21)， 所以由 2ab 与 c 共线得8(21)0， 解得 9 2. 1.知识清单： (1)平面向量数乘运算的坐标表示. (2)两个向量共线的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.