1、6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加平面向量加、减运算的坐标表示减运算的坐标表示 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算 的坐标表示. 知识点一 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取i，j作为 基底.对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y， 使得 axiyj.平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯
2、一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y). 2.在直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 答案 区别 表示形式 不同 向量 a(x，y)中间用等号连接，而点 A(x，y)中间没有等号 意义不同 点 A(x， y)的坐标(x， y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置， a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方 向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指 明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的 坐标相同 知识点三
3、平面向量加、减运算的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 ab(x1x2，y1y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和 向量减法 ab(x1x2，y1y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的差 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB (x 2x1，y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 1.零向量的坐标是(0,0).( ) 2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) 3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) 4
4、.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.( ) 一、平面向量的坐标表示 例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA4，AB3，AOx45 ，OAB105 ，OA a，AB b.四边形 OABC 为平行四边形. (1)求向量 a，b 的坐标； (2)求向量BA 的坐标； (3)求点 B 的坐标. 解 (1)作 AMx 轴于点 M， 则 OMOA cos 45 4 2 2 2 2， AMOA sin 45 4 2 2 2 2. A(2 2，2 2)，故 a(2 2，2 2). AOC180 105 75 ，AOy45 ， COy30 . 又OCAB3， C 3 2， 3 3 2 ，AB O
5、C 3 2， 3 3 2 ， 即 b 3 2， 3 3 2 . (2)BA AB 3 2， 3 3 2 . (3)OB OA AB (2 2，2 2) 3 2， 3 3 2 2 23 2，2 2 3 3 2 . 点 B 的坐标为 2 23 2，2 2 3 3 2 . 反思感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利 用向量、点的坐标定义求坐标. 跟踪训练 1 已知点 M(5，6)，且MN (3,6)，则 N 点的坐标为_. 答案 (2,0) 解析 MN (3,6)，设 N(x，y)， 则MN ON OM (x5，y6)(3,6). x53， y66， 解得 x2
6、， y0. 即 N(2,0). 二、平面向量加、减运算的坐标表示 例 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)，则向量BC等于( ) A.(7，4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4) 答案 A 解析 设 C(x，y)，则AC OC OA (x，y1)(4，3)， 即 x4，y2， 故 C(4，2)，则BC OC OB (7，4). 反思感悟 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 跟踪训练 2 在ABCD 中，AC 为一条对角线
7、，若AB (2,4)，AC(1,3)，求BD 的坐标. 解 AC ABAD ， AD AC AB(1，1)， BD AD AB (3，5). 1.已知向量 a(1,2)，b(3,1)，则 ba 等于( ) A.(2,1) B.(2，1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B 解析 由题意得 ba(3,1)(1,2)(2，1). 2.已知向量OA (3，2)，OB (5，1)，则向量AB 的坐标是( ) A. 4，1 2 B. 4，1 2 C.(8,1) D.(8,1) 答案 C 解析 AB OB OA (5，1)(3，2)(8,1). 3.若 A(3,1)，B(2，1)，则BA 的坐标是(
8、 ) A.(2，1) B.(2,1) C.(1,2) D.(1，2) 答案 C 解析 BA OA OB (3,1)(2，1)(1,2). 4.若向量BA (2,3)，CA(4,7)，则BC_. 答案 (2，4) 解析 BC BAACBACA(2,3)(4,7) (2，4). 5.若 a(2,2)，b(3，4)，c(1,5)，则 abc_. 答案 (2,3) 解析 abc(231,245)(2,3). 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：已知 A，B 两点求AB 的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.