1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基 底选定后， 会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综 合问题. 知识点 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2. 2.基底：若 e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有
2、向量的一个基底.( ) 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底. 2.0，e可以作为基底.( ) 提示 由于 0 和任意向量共线，故0，e不可作为基底. 3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( ) 提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底. 4.若 e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则 1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所 有向量.( ) 一、平面向量基本定理的理解 例 1 (多选)设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是 ( ) A.e1e2和 e1e2 B.3e14e2和 6e18e2 C.e12e2和 2e1e2 D.
3、e1和 e1e2 答案 ACD 解析 选项 B 中，6e18e22(3e14e2)， 6e18e2与 3e14e2共线，不能作为基底，选项 A，C，D 中两向量均不共线，可以作 为基底. 反思感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基 底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练 1 已知向量a，b是一个基底，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b， 则 xy_. 答案 3 解析 因为a，b是一个基底， 所以 a 与 b 不共线， 由平面向量基本定理得 3x4y6， 2x3y3， 所以 x6， y3， 所以 x
4、y3. 二、用基底表示向量 例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点， 设AD a，AB b，试用a，b为基底表示DC ，EF ，FC. 解 因为 DCAB，AB2DC，E，F 分别是 DC，AB 的中点， 所以FC AD a，DC AF 1 2AB 1 2b. EF ED DA AF 1 2DC AD 1 2AB 1 2 1 2ba 1 2b 1 4ba. 延伸探究 1.本例中若取 BC 的中点 G，则AG _. 答案 1 2a 3 4b 解析 BC BAAD DC ba1 2ba 1 2b， 所以AG AB BG AB 1 2BC b
5、1 2a 1 4b 1 2a 3 4b. 2.本例中若 EF 的中点为 H，试表示出BH . 解 BH FH FB 1 2FE 1 2AB 1 2EF 1 2AB ， 因为EF 1 4ba， 所以BH 1 8b 1 2a 1 2b 1 2a 5 8b. 反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是 利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量. 跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设AB a，AD b，BD c，则以a
6、，b为基底时， AC 可表示为_，以a，c为基底时，AC可表示为_. 答案 ab 2ac 解析 以a，b为基底时，AC ABAD ab； 以a，c为基底时，将BD 平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC 2ac. 1.设点 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组： AD 与AB ；DA 与BC ；CA与DC ；OD 与OB . 其中可作为该平面其它向量基底的是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 易知AD 与AB 不共线，CA与DC 不共线. 2.如果e1，e2是平面 内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( ) A.若存在实数 1，
7、2使 1e12e20，则 120 B.对空间任意向量 a 都可以表示为 a1e12e2，其中 1，2R C.1e12e2(1，2R)不一定在平面 内 D.对于平面 内任意向量 a，使 a1e12e2的实数 1，2有无数对 答案 A 解析 B 错，这样的 a 只能与 e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C 错，在平面 内任意向量都可表示为 1e12e2的形式，故 1e12e2一定在平面 内；D 错，这样的 1， 2是唯一的，而不是无数对. 3.给出下列三种说法： 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； 一个平面内有 无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基
8、底；零向量不可作为基底中的向量. 其中，说法正确的为( ) A. B. C. D. 答案 B 4.在ABC 中，若AD 1 2(AB AC)，则下列关系式正确的是( ) A.BD2CD B.BDCD C.BD3CD D.CD2BD 答案 B 解析 由AD 1 2(AB AC)得 2AD AB AC， 即AD AB ACAD ， 即BD DC ，BDCD. 5.如图，ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，AB a，AD b，试用基底a，b表示MC ， MA ，MB . 解 AC ABAD ab， BD AD AB ba， 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以MC 1 2AC 1 2a 1 2b. MA MC 1 2a 1 2b，MD 1 2BD 1 2b 1 2a， 所以MB MD 1 2a 1 2b. 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)基底. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.