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人教A版(新教材)必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 学案(含答案)

1、6.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘的运 算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法. 知识点一 向量数乘的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,其长度与方向规定 如下: (1)|a|a|. (2)a (a0)的方向 当0时,与a的方向相同; 当0时,与a的方向相反. 特别地,当 0 时,a0. 当 1 时,(1)aa. 知识点二 向量数乘的运算律 1.(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特别地,()aa(a),(ab)ab. 2.

2、向量的线性运算 向量的加、 减、 数乘运算统称为向量的线性运算, 对于任意向量 a, b, 以及任意实数 , 1, 2,恒有 (1a 2b)1a 2b. 知识点三 向量共线定理 向量 a (a0)与 b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数 ,使 ba. 思考 向量共线定理中为什么规定 a0? 答案 若将条件 a0 去掉,即当 a0 时,显然 a 与 b 共线. (1)若 b0,则不存在实数 ,使 ba. (2)若 b0,则对任意实数 ,都有 ba. 1.若向量 b 与 a 共线,则存在唯一的实数 使 ba.( ) 提示 当 b0,a0 时,实数 不唯一. 2.若 ba,则 a 与 b 共线.(

3、 ) 3.若 a0,则 a0.( ) 提示 若 a0,则 a0 或 0. 4.|a|a|.( ) 提示 |a| |a|. 一、向量的线性运算 例 1 (1)若 a2bc,化简 3(a2b)2(3bc)2(ab)等于( ) A.a B.b C.c D.以上都不对 答案 C 解析 原式3a6b6b2c2a2b a2b2c2bc2b2cc. (2)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0,则 x_. 答案 4b3a 解析 由已知,得 3x3a2x4a4x4a4b0, 所以 x3a4b0, 所以 x4b3a. 反思感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,

4、实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用, 但是这里的“同类项”、 “公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程法: 向量也可以通过列方程来解, 把所求向量当作未知数, 利用解方程的方法求解, 同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算. 跟踪训练 1 计算:(ab)3(ab)8a. 解 (ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a4b8a10a4b. 二、用已知向量表示其他向量 例 2 如图,在ABCD 中,E 是 BC 的中点,若AB a,AD b,则DE 等于( ) A.1 2ab B.1 2ab C.a1 2

5、b D.a1 2b 答案 D 解析 因为 E 是 BC 的中点, 所以CE 1 2CB 1 2AD 1 2b, 所以DE DC CE ABCEa1 2b. 反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时, 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已 知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练 2 在ABC 中,若点 D 满足BD 2DC ,则AD 等于( ) A.1 3AC 2 3AB B.5 3AB 2 3AC C.2 3AC 1 3AB D.2 3AC 1 3AB 答案 D 解析 示意图如图所示, 由题意可得AD A

6、B BD AB 2 3BC AB 2 3(AC AB)1 3AB 2 3AC . 三、向量共线的判定及应用 例 3 设 a,b 是不共线的两个向量. (1)若OA 2ab,OB 3ab,OC a3b,求证:A,B,C 三点共线; (2)若 8akb 与 ka2b 共线,求实数 k 的值. (1)证明 AB OB OA (3ab)(2ab)a2b, 而BC OC OB (a3b)(3ab)(2a4b)2AB , AB 与BC共线,且有公共点 B, A,B,C 三点共线. (2)解 8akb 与 ka2b 共线, 存在实数 ,使得 8akb(ka2b), 即(8k)a(k2)b0, a 与 b 不

7、共线, 8k0, k20, 解得 2,k2 4. 反思感悟 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说,要判定 A,B,C 三点是否共线,只需看是否存在实数 ,使得AB AC(或BC AB 等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求 ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 跟踪训练 3 已知向量 e1,e2不共线,如果AB e 12e2,BC 5e 16e2,CD 7e12e2, 则共线的三个点是_. 答案 A,B,D 解析 AB e 12e2,BD BC CD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB , AB ,BD 共线,且有公共点 B, A,B,D 三点

8、共线. 三点共线的常用结论 典例 如图所示,在ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不 同的两点 M,N,若AB mAM ,AC nAN,则 mn 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 连接 AO(图略),O 是 BC 的中点, AO 1 2(AB AC). 又AB mAM ,AC nAN,AO m 2AM n 2AN . 又M,O,N 三点共线,m 2 n 21,则 mn2. 素养提升 (1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论:若 A,B,C 三点共线,O 为直线外一点存在实数 x,y,使OA xOB yOC ,且 xy

9、1. (2)应用时一定注意 O 是共同的起点,主要是培养学生逻辑推理的核心素养. 1.下列运算正确的个数是( ) (3) 2a6a; 2(ab)(2ba)3a; (a2b)(2ba)0. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 根据向量数乘运算和加减运算规律知正确;(a2b)(2ba)a2b2ba 0,是零向量,而不是 0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为 2. 2.如图,已知 AM 是ABC 的边 BC 上的中线,若AB a,ACb,则AM 等于( ) A.1 2(ab) B.1 2(ab) C.1 2(ab) D.1 2(ab) 答案 C 解析 因为 M 是 BC 的中点,所以

10、AM 1 2(ab). 3.设 P 是ABC 所在平面内一点,BC BA2BP,则( ) A.PA PB0 B.PC PA0 C.PB PC0 D.PA PBPC0 答案 B 解析 因为BC BA2BP,所以点 P 为线段 AC 的中点,故选项 B 正确. 4.化简 4(a3b)6(2ba)_. 答案 10a 解析 4(a3b)6(2ba)4a12b12b6a10a. 5.设 e1与 e2是两个不共线向量,AB 3e 12e2,CB ke 1e2,CD 3e12ke2,若 A,B,D 三点共线,则 k_. 答案 9 4 解析 因为 A,B,D 三点共线, 故存在一个实数 ,使得AB BD , 又AB 3e 12e2,CB ke 1e2,CD 3e12ke2, 所以BD CD CB 3e 12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2, 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2, 所以 33k, 22k1, 解得 k9 4. 1.知识清单: (1)向量的数乘及运算律. (2)向量共线定理. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:忽视零向量这一个特殊向量.