1、6.2.3 向量的数乘运算向量的数乘运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运 算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法. 知识点一 向量数乘的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，其长度与方向规定 如下： (1)|a|a|. (2)a (a0)的方向 当0时，与a的方向相同； 当0时，与a的方向相反. 特别地，当 0 时，a0. 当 1 时，(1)aa. 知识点二 向量数乘的运算律 1.(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特别地，()aa(a)，(ab)ab. 2.
2、向量的线性运算 向量的加、 减、 数乘运算统称为向量的线性运算， 对于任意向量 a， b， 以及任意实数 ， 1， 2，恒有 (1a 2b)1a 2b. 知识点三 向量共线定理 向量 a (a0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 ba. 思考 向量共线定理中为什么规定 a0? 答案 若将条件 a0 去掉，即当 a0 时，显然 a 与 b 共线. (1)若 b0，则不存在实数 ，使 ba. (2)若 b0，则对任意实数 ，都有 ba. 1.若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数 使 ba.( ) 提示 当 b0，a0 时，实数 不唯一. 2.若 ba，则 a 与 b 共线.(
3、 ) 3.若 a0，则 a0.( ) 提示 若 a0，则 a0 或 0. 4.|a|a|.( ) 提示 |a| |a|. 一、向量的线性运算 例 1 (1)若 a2bc，化简 3(a2b)2(3bc)2(ab)等于( ) A.a B.b C.c D.以上都不对 答案 C 解析 原式3a6b6b2c2a2b a2b2c2bc2b2cc. (2)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0，则 x_. 答案 4b3a 解析 由已知，得 3x3a2x4a4x4a4b0， 所以 x3a4b0， 所以 x4b3a. 反思感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，
4、实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用， 但是这里的“同类项”、 “公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法： 向量也可以通过列方程来解， 把所求向量当作未知数， 利用解方程的方法求解， 同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练 1 计算：(ab)3(ab)8a. 解 (ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a4b8a10a4b. 二、用已知向量表示其他向量 例 2 如图，在ABCD 中，E 是 BC 的中点，若AB a，AD b，则DE 等于( ) A.1 2ab B.1 2ab C.a1 2
5、b D.a1 2b 答案 D 解析 因为 E 是 BC 的中点， 所以CE 1 2CB 1 2AD 1 2b， 所以DE DC CE ABCEa1 2b. 反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时， 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已 知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练 2 在ABC 中，若点 D 满足BD 2DC ，则AD 等于( ) A.1 3AC 2 3AB B.5 3AB 2 3AC C.2 3AC 1 3AB D.2 3AC 1 3AB 答案 D 解析 示意图如图所示， 由题意可得AD A
6、B BD AB 2 3BC AB 2 3(AC AB)1 3AB 2 3AC . 三、向量共线的判定及应用 例 3 设 a，b 是不共线的两个向量. (1)若OA 2ab，OB 3ab，OC a3b，求证：A，B，C 三点共线； (2)若 8akb 与 ka2b 共线，求实数 k 的值. (1)证明 AB OB OA (3ab)(2ab)a2b， 而BC OC OB (a3b)(3ab)(2a4b)2AB ， AB 与BC共线，且有公共点 B， A，B，C 三点共线. (2)解 8akb 与 ka2b 共线， 存在实数 ，使得 8akb(ka2b)， 即(8k)a(k2)b0， a 与 b 不
7、共线， 8k0， k20， 解得 2，k2 4. 反思感悟 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在实数 ，使得AB AC(或BC AB 等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求 ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 跟踪训练 3 已知向量 e1，e2不共线，如果AB e 12e2，BC 5e 16e2，CD 7e12e2， 则共线的三个点是_. 答案 A，B，D 解析 AB e 12e2，BD BC CD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB ， AB ，BD 共线，且有公共点 B， A，B，D 三点
8、共线. 三点共线的常用结论 典例 如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不 同的两点 M，N，若AB mAM ，AC nAN，则 mn 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 连接 AO(图略)，O 是 BC 的中点， AO 1 2(AB AC). 又AB mAM ，AC nAN，AO m 2AM n 2AN . 又M，O，N 三点共线，m 2 n 21，则 mn2. 素养提升 (1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点存在实数 x，y，使OA xOB yOC ，且 xy
9、1. (2)应用时一定注意 O 是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养. 1.下列运算正确的个数是( ) (3) 2a6a； 2(ab)(2ba)3a； (a2b)(2ba)0. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；(a2b)(2ba)a2b2ba 0，是零向量，而不是 0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为 2. 2.如图，已知 AM 是ABC 的边 BC 上的中线，若AB a，ACb，则AM 等于( ) A.1 2(ab) B.1 2(ab) C.1 2(ab) D.1 2(ab) 答案 C 解析 因为 M 是 BC 的中点，所以
10、AM 1 2(ab). 3.设 P 是ABC 所在平面内一点，BC BA2BP，则( ) A.PA PB0 B.PC PA0 C.PB PC0 D.PA PBPC0 答案 B 解析 因为BC BA2BP，所以点 P 为线段 AC 的中点，故选项 B 正确. 4.化简 4(a3b)6(2ba)_. 答案 10a 解析 4(a3b)6(2ba)4a12b12b6a10a. 5.设 e1与 e2是两个不共线向量，AB 3e 12e2，CB ke 1e2，CD 3e12ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k_. 答案 9 4 解析 因为 A，B，D 三点共线， 故存在一个实数 ，使得AB BD ， 又AB 3e 12e2，CB ke 1e2，CD 3e12ke2， 所以BD CD CB 3e 12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2， 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 所以 33k， 22k1， 解得 k9 4. 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)向量共线定理. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.