1、6.2.4 向量的数量积向量的数量积 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2. 掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两 个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式. 知识点一 两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量 a 和 b，O 是平面上的任意一点，作OA a，OB b，则AOB (0)叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示). 当 0 时，a 与 b 同向；当 时，a 与 b 反向. 2.垂直：如果 a 与 b 的夹角是 2，则称 a 与 b 垂直，记作 ab. 知识点二 向
2、量数量积的定义 非零向量 a，b 的夹角为 ，数量|a|b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 0. 思考 若 a0，且 a b0，是否能推出 b0. 答案 在实数中，若 a0，且 a b0，则 b0；但是在数量积中，若 a0，且 a b0，不 能推出 b0.因为其中 a 有可能垂直于 b. 知识点三 投影向量 在平面内任取一点 O，作OM a，ON b，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则OM1 就 是向量 a 在向量 b 上的投影向量. 设与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b
3、的夹角为 ，则OM1 与 e，a， 之间的关系为OM1 |a|cos e. 知识点四 平面向量数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 ，e 是与 b 方向相同的单位向量.则 (1)a ee a|a| cos . (2)aba b0. (3)当 ab 时，a b |a|b|，a与b同向， |a|b|，a与b反向. 特别地，a a|a|2或|a| a a. (4)|a b|a|b|. 知识点五 平面向量数量积的运算律 1.a bb a(交换律). 2.(a) b(a b)a (b)(数乘结合律). 3.(ab) ca cb c(分配律). 思考 若 a bb c，是否可以得出结论 ac? 答案 不可以. 已知实数 a，b，c(b0)，则 abbcac，但是 a bb c 推不出 ac.理由如下： 如图，a b|a|b|cos |b|OA|， b c|b|c|cos |b|OA|. 所以 a bb c，但是 ac. 1.向量 a 在向量 b 上的投影向量一定与 b 共线.( ) 2.若 a b0两向量夹角为锐角， a b0两向量夹角为钝角.
