1、6.2.2 向量的减法运算向量的减法运算 学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 知识点一 相反向量 1.定义：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a(a)(a)a0. (3)若 a，b 互为相反向量，则 ab，ba，ab0. 知识点二 向量的减法 1.定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 aba(b)，因此减去一个向 量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做
2、向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则向量 abBA ，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起 点，被减向量的终点为终点的向量. 思考 若 a，b 是不共线向量，|ab|与|ab|的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示， 设OA a， OB b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义， 有OC ab， BA ab.因为四边形 OACB 是平行四边形， 所以|ab|OC |，|ab|BA |， 分别是以 OA，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 1.相反向量就是方向相反的向量.( ) 提
3、示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系. 2.向量AB 与BA是相反向量.( ) 提示 AB 与BA大小相等、方向相反. 3.abba.( ) 提示 向量减法不满足交换律. 4.两个相等向量之差等于 0.( ) 提示 两个相等向量之差等于 0. 一、向量的减法运算 例 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc. 解 方法一 如图， 在平面内任取一点 O， 作OA a， AB b， 则OB ab， 再作OC c， 则CB abc. 方法二 如图，在平面内任取一点 O，作OA a，AB b，则OB ab，再作CB c，连 接 OC，则OC abc
4、. 反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如 ab，可以先作b，然后作 a(b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量 的终点，指向被减向量的终点的向量. 跟踪训练 1 如图所示，O 为ABC 内一点，OA a，OB b，OC c.求作：bca. 解 方法一 以OB ，OC 为邻边作OBDC，连接 OD，AD， 则OD OB OC bc，AD OD OA bca. 方法二 作CD OB b， 连接 AD，则AC OC OA ca， AD AC CD cabbca. 二、向量减法法则的应用 例 2 (1)化
5、简：(AD BM )(BC MC )_. 答案 AD 解析 原式AD MB BC MC AD MC MC AD . (2)如图，P，Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且BP QC ，则化简AB ACAPAQ 的结果 为( ) A.0 B.BP C.PQ D.PC 答案 A 解析 AB ACAPAQ (AB AP)(ACAQ )PB QC QC BP 0. 反思感悟 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 首尾相连且为和. 起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 跟踪训练 2 如图，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，OA a，OB
6、b，OC c，则OD _. 答案 acb 解析 由已知AD BC ， 则OD OA AD OA BC OA OC OB acb. 1.在ABC 中，若BA a，BCb，则CA等于( ) A.a B.ab C.ba D.ab 答案 D 解析 CA BABCab. 2.化简OP QP PS SP等于( ) A.QP B.OQ C.SP D.SQ 答案 B 解析 原式(OP PQ )(PS SP)OQ 0OQ . 3.已知在四边形 ABCD 中，DB DA AC AD ，则四边形 ABCD 一定是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 由DB DA AC AD ，可得AB DC ， 所以四边形 ABCD 一定是平行四边形. 4.下列等式成立的个数是( ) abba； abba； 0aa； (a)a； a(a)0. A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B 解析 由题意知，成立. 5.(多选)下列各向量运算的结果与AC 相等的有( ) A.AO OC B.AO OC C.OA OC D.OC OA 答案 AD 解析 由题意知，AD 正确. 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则.