1、6.2 平面向量的运算平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算向量的加法运算 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则， 并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律， 并能 作图解释向量加法运算律的合理性. 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和 的法则 三角形法则 已知非零向量 a， b， 在平面内任取一点 A， 作AB a， BC b，则向量AC 叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即 abAB BC AC. 这种求向量和的
2、方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量 a，规定 a00aa 平行四边形 法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB， 则以 O 为起点的对角线OC 就是 a 与 b 的和.把这种作两个 向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 力的合成可以看作向量加法的平行 四边形法则的物理模型. 思考 |ab|与|a|，|b|有什么关系？ 答案 (1)当向量 a 与 b 不共线时，ab 的方向与 a，b 不同，且|ab|b|，则 ab 的方向 与 a 相同，且|ab|a|b|；若|a|AC.( ) 5.|AB |B
3、C|AC|.( ) 一、向量加法法则 例 1 (1)如图所示，求作向量 ab. (2)如图所示，求作向量 abc. 解 (1)首先作向量OA a，然后作向量AB b，则向量OB ab.如图所示. (2)方法一 (三角形法则)如图所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量OA a，再作向量AB b，则得向量OB ab，然后作向 量BC c，则向量OC (ab)cabc 即为所求. 方法二 (平行四边形法则)如图所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量OA a，OB b，OC c， 以 OA，OB 为邻边作OADB，连接 OD， 则OD OA OB ab. 再以 OD，OC 为邻边作ODEC，连接
4、OE， 则OE OD OC abc 即为所求. 反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形 是平行四边形法则作出 图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个 向量求和 跟踪训练 1 如图所示，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，化简下列向量. (1)OA OC _；(2)BC FE_；(3)OA FE _. 答案 (1)OB (2)AD (3)0 解析 (1)因为四边形 OABC 是以 OA， OC 为邻边的平行四边形， OB 是其对角线， 故OA OC OB .
5、 (2)因为BC FE，故BCFE与BC方向相同，长度为BC的长度的 2 倍，故BCFEAD . (3)因为OD FE ，故OA FE OA OD 0. 二、向量加法运算律的应用 例 2 化简： (1)BC AB；(2)DB CD BC ；(3)ABDF CD BC FA. 解 (1)BC ABABBCAC. (2)DB CD BC BCCD DB (BC CD )DB BD DB 0. (3)AB DF CD BC FA AB BCCD DF FA AC CD DF FA AD DF FA AF FA0. 反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了
6、变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运 算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照 任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调 整向量相加的顺序. 跟踪训练 2 已知正方形 ABCD 的边长等于 1，则|AB AD BC DC |_. 答案 2 2 解析 |AB AD BC DC |AB BCAD DC |AC AC|2|AC|2 2. 三、向量加法的实际应用 例 3 河水自西向东流动的速度为 10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的 速度为 10 3 km/h，求小船
7、的实际航行速度. 解 设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O 作OA a，OB b，以OA ，OB 为邻边作矩形 OACB，连接OC ，如图，则OC ab，并且OC 即为小船的实 际航行速度. |OC |ab|2 |a|2|b|220(km/h)， tanAOC10 3 10 3，AOC60 ， 小船的实际航行速度为 20 km/h，沿北偏东 30 的方向航行. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量 问题. (3)
8、还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 跟踪训练 3 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，ACW150 ， BCW120 ，求 A 和 B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解 如图所示， 设CE ， CF分别表示 A， B 所受的力， 10 N 的重力用CG 表示， 则CE CFCG . 由题意可得ECG180 150 30 ，FCG180 120 60 . |CE |CG |cos 30 10 3 2 5 3(N)， |CF |CG |cos 60 101 25(N). A 处所受的力为 5 3 N，B 处所受的力为 5 N.
9、1.化简CB AD BA 等于( ) A.DB B.CA C.CD D.DC 答案 C 解析 根据平面向量的加法运算， 得CB AD BA (CBBA)AD CA AD CD . 2.下列等式不正确的是( ) a(bc)(ac)b； AB BA0； AC DC AB BD . A. B. C. D. 答案 B 解析 错误，AB BA0，正确. 3.在四边形 ABCD 中，AC ABAD ，则( ) A.四边形 ABCD 一定是矩形 B.四边形 ABCD 一定是菱形 C.四边形 ABCD 一定是正方形 D.四边形 ABCD 一定是平行四边形 答案 D 解析 由AC ABAD 知，A，B，C，D
10、构成的四边形一定是平行四边形. 4.如图，四边形 ABCD 是梯形，ADBC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则OA BC AB DO 等于( ) A.CD B.DC C.DA D.DO 答案 B 解析 OA BC ABDO DO OA AB BCDA AB BCDB BC DC . 5.已知向量 a 表示“向东航行 3 km”，b 表示“向南航行 3 km”，则 ab 表示_. 答案 向东南航行 3 2 km 解析 根据题意由于向量 a 表示“向东航行 3 km”，向量 b 表示“向南航行 3 km”，那么 可知 ab 表示向东南航行 3 2 km. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量加法的运算律. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移 到共同起点.