1、在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）sin20cos10+cos20sin10（ ） A B C D 2 （5 分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分 100 分）进行数据 分析，将全部的分数按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100分成 5 组， 得到如图所示的频率分布直方图若成绩在 80 分及以上的学生人数为 360，估计该校高 二年级学生人数约为（ ） A1200 B1440 C7200 D12000 3 （5 分）已知等比数列an中，a4a54，则 a1a2a8（ ） A12
2、8 B128 C256 D256 4 （5 分）某教育局公开招聘了 4 名数学老师，其中 2 名是刚毕业的“新教师” ，另 2 名是 有了一段教学时间的“老教师” ，现随机分配到 A、B 两个学校任教，每个学校 2 名，其 中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率是（ ） A B C D 5 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式为（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 6 （5 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P，使APB 是钝角的概率等于（ ） A B C D 7（5 分）
3、ABC 中， M 是 AC 边上的点， AM2MC， N 是 BC 边的中点， 设， 则可以用表示为（ ） A B C D 8 （5 分） “x1，3） ，x2a0”成立的一个充分不必要条件是（ ） Aa0 Ba1 Ca9 Da9 9 （5 分）某企业通过前期考察与论证可知，投资每个 A 项目第一年需资金 20 万元，从中 可获利 5 万元；投资每个 B 项目第一年需资金 30 万元，从中可获利 6 万元现公司拟投 资 A， B 两个项目共不多于 8 个且投入资金不超过 200 万元， 需合理安排这两个项目的个 数使第一年获利最多，则获利最多可达到（ ） A40 万元 B44 万元 C48 万
4、元 D50 万元 10 （5 分）已知离心率为 2 的双曲线 C：的左右焦点分别为 F1（ c，0） ，F2（c，0） ，直线与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2的角 平分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 第 3 页（共 24 页） 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （5 分）
5、若命题 p：xR，|x|+10命题 q：对每一个无理数 x，x2也是无理数则下 列命题是真命题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dp（q） 12 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，等边ABC 的边长为 2，ADC30，AC CD，点 M 为 AB 边上一动点，记，则 的取值可以是（ ） A4 B C5 D10 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若，则 cos2 14 （5 分）若 x0，则的最小值等于 15 （5 分）直线 l 过抛物线的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，若|AB|16，则 AB 的
6、中点 D 到 x 轴的距离为 16 （5 分）已知数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 Sn2n2+3n，2Tn3bn3， 若两个数列的公共项按原顺序构成数列cn，若 cn2020，则 n 的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（a+2b）cosC+ccosA 0 （1）求 C； （2）若，求ABC 的面积 18 （12 分）某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有
7、居民在一年内 的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下： 销售地 A B C D 年收入 x（亿元） 15 20 35 50 第 4 页（共 24 页） 销售额 y（亿元） 16 20 40 48 （1）在图 a 中作出这些数据的散点图，并指出 y 与 x 成正相关还是负相关？ （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ； （3）若 B 地今年的居民年收入将增长 20%，预测 B 地今年的销售额 j 将达到多少万元？ 回归方程系数公式： ， 参考数据：1516+2020+3540+50484440，152+202+352+5024350
8、 19 （12 分）已知向量 （sin，） ， （cos，cos） ，记 f（x） （1）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）当 x，求函数 f（x）的取值范围 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，O，E 分别为 AD，PB 的 中点，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，AB2AD4 （1）求证：OE平面 PCD； （2）求证：AP平面 PCD； （3）求二面角 APDB 的余弦值 第 5 页（共 24 页） 21 （12 分）已知公差不为 0 等差数列an的前 n 项和为 Sn，S10S751，且 a2，a5，a14 成等比数列数列bn的各
9、项均为正数，前 n 项和为 Tn，且 b13，bn2+2Tn1bn1bn 1（2Tn+3bn1） （n2） （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 22 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，左、右焦点分别为 F1， F2，过右焦点 F2任作一条不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，F1AB 的 周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）记点 B 关于 x 轴的对称点为 B点，直线 AB交 x 轴于点 D求ABD 的面积的取值 范围 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷学年湖南省益
10、阳市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选择题：本题共一、单选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）sin20cos10+cos20sin10（ ） A B C D 【分析】由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值 【解答】解：sin20cos10+cos20sin10sin（20+10）sin30， 故选：A 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题 2 （5 分）某校数学兴
11、趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分 100 分）进行数据 分析，将全部的分数按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100分成 5 组， 得到如图所示的频率分布直方图若成绩在 80 分及以上的学生人数为 360，估计该校高 二年级学生人数约为（ ） A1200 B1440 C7200 D12000 【分析】由频率分布直方图得成绩在 80 分以上的频率，再结合成绩在 80 分以上的人数 即可求出结论 【解答】解：由频率分布直方图得成绩在 80 分以上的频率为：1（0.01+0.02+0.04） 100.3， 根据统计学的知识估计成绩在 80 分以上的人
12、数约为：0.3n360n1200 故选：A 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查频数的用法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的 性质的合理运 3 （5 分）已知等比数列an中，a4a54，则 a1a2a8（ ） A128 B128 C256 D256 【分析】由等比数列的性质可得，a1a2a8（a4a5）4，代入即可求解 【解答】解：等比数列an中，a4a54， 则由等比数列的性质可得，a1a2a8（a4a5）4256 故选：D 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题 4 （5 分）某教育局公开招聘了 4 名数学老师，其中 2 名是刚毕业的“新教师” ，另 2
13、 名是 有了一段教学时间的“老教师” ，现随机分配到 A、B 两个学校任教，每个学校 2 名，其 中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率是（ ） A B C D 【分析】 现随机分配到 A、 B 两个学校任教， 每个学校 2 名， 基本事件总数 n 6，其中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”包含的基本事件个数 m 4，由此能求出分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率 【解答】解：某教育局公开招聘了 4 名数学老师， 其中 2 名是刚毕业的“新教师” ，另 2 名是有了一段教学时间的“老教师” ， 现随机分配到 A、B
14、 两个学校任教，每个学校 2 名， 基本事件总数 n6， 其中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”包含的基本事件个数 m 4， 其中分配给学校 A 恰有 1 名“新教师”和 1 名“老教师”的概率是 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题 第 8 页（共 24 页） 5 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式为（ ） A B C D 【分析】根据三角函数的图象确定 A， 和 的值即可 【解答】解：由图象知函数的最大值为 2，即 A2， 函数的周期
15、T2（）2，即 得 2 此时 f（x）2in（2x+） ， 由五点对应法得 2+， 得 ， 即 f（x）2sin（2x） ， 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合图象求出 A， 和 的值是解决 本题的关键难度不大 6 （5 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P，使APB 是钝角的概率等于（ ） A B C D 【分析】由题意以 AB 为直径圆内的区域为满足APB 为钝角的区域，分别找出满足条 件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可 【解答】解：以 AB 为直径圆内的区域为满足APB 为钝角的区域， 第 9 页（共 24 页） 半圆的面积为（）2
16、，正方形 ABCD 的面积为 1 满足APB 为钝角的概率为： 故选：C 【点评】本题考查几何概型的概率计算，关键是画出满足条件的区域，利用面积比值求 解 7（5 分） ABC 中， M 是 AC 边上的点， AM2MC， N 是 BC 边的中点， 设， 则可以用表示为（ ） A B C D 【分析】由可以表示出，进而表示出 【解答】解：由，则 而， AM2MC，N 是 BC 边的中点， 即 故选：A 【点评】本题考查向量加法法则的应用，是基础题 8 （5 分） “x1，3） ，x2a0”成立的一个充分不必要条件是（ ） Aa0 Ba1 Ca9 Da9 第 10 页（共 24 页） 【分析】x
17、1，3） ，x2a0，可得 ax2，即可得出 a 的范围，进而判断出结论 【解答】解：x1，3） ，x2a0，则 ax2，a9 “x1，3） ，x2a0”成立的一个充分不必要条件是 a9 故选：D 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 9 （5 分）某企业通过前期考察与论证可知，投资每个 A 项目第一年需资金 20 万元，从中 可获利 5 万元；投资每个 B 项目第一年需资金 30 万元，从中可获利 6 万元现公司拟投 资 A， B 两个项目共不多于 8 个且投入资金不超过 200 万元， 需合理安排这两个项目的个 数使第一年获利最多，则获
18、利最多可达到（ ） A40 万元 B44 万元 C48 万元 D50 万元 【分析】设投资 A 项目 x 个，投资 B 项目 y 个，由题意得，利用线性 规划能求出获利最多可达到多少万元 【解答】解：设投资 A 项目 x 个，投资 B 项目 y 个， 由题意得，作出可行域如下图： 四边形 OABC 是满足条件的可行域，O（0，0） ，A（8，0） ，C（0，） ， 解方程组，得 x4，y4，B（4，4） ， 第 11 页（共 24 页） fO50+600，fA58+6040，fB54+6444，fC40， 获利最多可达到 44 万元 故选：B 【点评】本题考查获利最多可达到多少万元的求法，考查
19、线性规划有生产生活中的应用 等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题 10 （5 分）已知离心率为 2 的双曲线 C：的左右焦点分别为 F1（ c，0） ，F2（c，0） ，直线与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2的角 平分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A B C D 【分析】先根据角平分线性质以及双曲线的定义求出三角形 PF1F2的三边长，再结合余 弦定理即可求解 【解答】解：直线； 所以其过左焦点，且PF1F230； 如图： ； PF1F2的角平分线与 PF2交于点 Q，且|PF2|PQ|， |PF1|2c； 离心率为 2c2a|PF2|
20、PF1|2a； cosPF1F2 ； 故选：B 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形内角平分线定理的应用，考查计算能 力，是中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （5 分）若命题 p：xR，|x|+10命题 q：对每一个无理数 x，x2也是无理数则下 列命题是真命题的是（ ） Apq Bpq
21、 Cpq Dp（q） 【分析】由|x|0，说明 p 为真命题，举例说明命题 q 为假命题，再由复合命题的真假判 断得答案 【解答】解：|x|0，故命题 p：xR，|x|+10 为真命题； 当 x时，x22 为有理数，故命题 q：对每一个无理数 x，x2也是无理数为假命题 pq 为真命题；pq 为假命题；pq 为假命题；pq 为真命题 故选：AD 【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题 12 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，等边ABC 的边长为 2，ADC30，AC CD，点 M 为 AB 边上一动点，记，则 的取值可以是（ ） A4 B C5 D10 【分析】建立坐标系，求出
22、各顶点坐标，设点 M 的坐标，根据参数的范围结合二次函数 第 13 页（共 24 页） 即可求解 【解答】解：以 AB 所在直线为 X 轴，AB 的中垂线为 Y 轴建立如图所示的坐标系； 等边ABC 的边长为 2，ADC30，ACCD， A（1，0） ，B（1，0） ，C（0，） ；CAB60，AD4； DAX180606060； 作 DEX 轴 DE2，AE2； D（3，2） ； 设 M（m，0） ，则1m1； （m3，2） ，（m，） ； m（m3）+6（m）2+； 1m14，10 故选：CD 【点评】本题考查向量的数量积的应用以及坐标法在向量中的应用，考查计算能力 三、填空题：本题共三、
23、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若，则 cos2 【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于 sin 的式子，将 sin 的值代 入即可求出值 【解答】解：因为 sin， 所以 cos212sin212 故答案为： 第 14 页（共 24 页） 【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置， 是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况所以， 在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面这样才能熟练 驾驭三角函数题 14 （5 分）若 x0，则的最小
24、值等于 4 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：x0，则x+2+2224，当且仅当 x 1 时取等号， 其最小值等于 4 故答案为：4 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15 （5 分）直线 l 过抛物线的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，若|AB|16，则 AB 的中点 D 到 x 轴的距离为 7 【分析】由题意先求出抛物线的参数 p，由于直线过焦点，利用弦长公式 y1+y2+p，转化 求解求出 y1+y2，求解即可 【解答】解：因为抛物线即 x24y， 所以 p2， 直线 l 过抛物线的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，若|
25、AB|16， 设 A、B 两点纵坐标分别为 y1，y2，y1+y2+p16， 所以 y1+y214， 因为线段 AB 中点的纵坐标为 7， 则 AB 的中点 D 到 x 轴的距离为：7 故答案为：7 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，抛物线的定义及其焦点弦弦 长公式，中点坐标公式，利用焦点弦公式求弦长提高解题效率是解决本题的关键 16 （5 分）已知数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 Sn2n2+3n，2Tn3bn3， 若两个数列的公共项按原顺序构成数列cn，若 cn2020，则 n 的最大值为 3 【分析】由数列的递推式：a1S1，n2 时，anSnSn1，
26、化简可得 an4n+1；运用 第 15 页（共 24 页） 数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得 bn3n；求得两个数列的公共项，可得 cn9n，解不等式可得所求最大值 【解答】解：Sn2n2+3n，可得 a1S15， n2 时，anSnSn12n2+3n2（n1）23（n1）4n+1，对 n1 也成立， 则 an4n+1，nN*； 2Tn3bn3，n1 时，2b12T13b13，解得 b13， n2 时，2Tn13bn13，又 2Tn3bn3， 两式相减可得 2bn3bn3bn1， 即 bn3bn1，可得 bn3n； 两个数列的公共项为 9，81，729， 则数列cn为首项为 9，公比
27、为 9 的等比数列，可得 cn9n， 由 cn2020，即 9n2020， 解得 n3，即 n 的最大值为 3， 故答案为：3 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和运用，考查化简运 算能力，属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（a+2b）cosC+ccosA 0 （1）求 C； （2）若，求ABC 的面积 【分析】 （1）根据正弦定理，即可求出角的值， （2）由 cos
28、A 的值结合余弦定理求出 b，代入三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积 【解答】解： （1）根据正弦定理，由已知得： （sinA+2sinB）cosC+sinCcosA0， 即 sinAcosC+sinCcosA2sinBcosC， sin（A+C）2sinBcosC， A+CB，sin（A+C）sin（B）sinB0， sinB2sinBcosC，从而 cosC C（0，） ， 第 16 页（共 24 页） Cab，AB， （2）由（1）以及余弦定理得 cosC b2+4b600b6（10 舍去） ， 则 SABCabsinC466 【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公
29、式，以及三角函数的恒等变 形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18 （12 分）某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内 的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下： 销售地 A B C D 年收入 x（亿元） 15 20 35 50 销售额 y（亿元） 16 20 40 48 （1）在图 a 中作出这些数据的散点图，并指出 y 与 x 成正相关还是负相关？ （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ； （3）若 B 地今年的居民年收入将增长 20%，预测 B 地今年的销售额 j 将达到多少万元？ 回归方程系
30、数公式： ， 参考数据：1516+2020+3540+50484440，152+202+352+5024350 【分析】 （1）由表格中数据直接作出散点图； （2）求出 与 的值，则线性回归方程可求； 第 17 页（共 24 页） （3）在（2）中求得的线性回归方程中，取 x24 求得 y 值即可 【解答】解： （1）散点图如图： 由散点图可知，y 与 x 成正相关； （2）， 0.96， 310.96302.2 y 关于 x 的线性回归方程为； （3）由题意，B 地今年居民收入为 20+2020%24， 把 x24 代入，得 0.9624+2.225.24 万元 预测 B 地今年的销售额 j
31、 将达到 25.24 万元 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 19 （12 分）已知向量 （sin，） ， （cos，cos） ，记 f（x） （1）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）当 x，求函数 f（x）的取值范围 【分析】由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为 f（x）sin（x+） ， （1）直接根据周期的定义求 T，由+2kx+2k+，kZ，可解得单调递 区间； （2）当 x，时，根据正弦函数的定义域和值域求得 f（x）的最值 第 18 页（共 24 页） 【解答】解： （sin，） ， （cos，cos） ， f（x） sincos+co
32、ssin+cossin（+） （1）T4； 令+2kx+2k+4kx4k+；kZ； 单调递增区间为4k，4k+，kZ （2）x， x+，； ysinx 在，上单调递增，在，上单调递减； x+x 时，f（x）取最小值； x+x时，f（x）取最大值 1； f（x），1 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函 数的图象和性质，属于中档题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，O，E 分别为 AD，PB 的 中点，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，AB2AD4 （1）求证：OE平面 PCD； （2）求证：AP平面 PCD；
33、（3）求二面角 APDB 的余弦值 【分析】 （1）关键是证明四边形 ODGE 为平行四边形，进而得到 OEDG，由此得证； （2）由面面垂直的性质可得 CDAP，由勾股定理可得 APPD，由此得证； 第 19 页（共 24 页） （3）建立空间直角坐标，求出两个平面的法向量，进而利用向量公式得解 【解答】解： （1）证明：取 PC 的中点 G，连接 EG，DG， E，G 分别为 PB，PC 的中点， ， 四边形 ABCD 为矩形，且 O 为 AD 的中点， ， ， 四边形 ODGE 为平行四边形， OEDG， 又OE 不在平面 PCD 内，DG 在平面 PCD 内， OE平面 PCD； （2
34、）证明：底面 ABCD 为矩形， CDAD， 又平面 PAD平面 ABCD， CD平面 PAD， CDAP， ， AP2+PD2AD2， APPD，又 CDPDD， AP平面 PCD； （3）取 BC 的中点 F，连接 OF，OP，则 OPAD，OFAD，OFOP， 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 P （0， 0，1） ， D（1，0，0） ， B（1，4，0） ，平面 PAD 的一个法向量为， ， 设 平 面 PBD 的 一 个 法 向 量 为， 则， 可 取 ， 第 20 页（共 24 页） ， 二面角 APDB 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行及线面垂直的判定
35、，考查利用空间向量求解空间角，考查逻 辑推理能力及计算能力，属于常规题目 21 （12 分）已知公差不为 0 等差数列an的前 n 项和为 Sn，S10S751，且 a2，a5，a14 成等比数列数列bn的各项均为正数，前 n 项和为 Tn，且 b13，bn2+2Tn1bn1bn 1（2Tn+3bn1） （n2） （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d（d0） ，由已知列式求得首项与公差，则等差 数列的通项公式可求，再由 bn2+2Tn1bn1bn1（2Tn+3bn1） （n2） ，得 bn3bn1 （n
36、 2） ，又 b13，得bn是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列，可得等比数列的通项公 式； （2） 把数列an， bn的通项公式代入 cnanbn （2n1） 3n， 由错位相减法求数列cn 的前 n 项和 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d（d0） ， 由 S10S751，且 a2，a5，a14成等比数列，得 ，解得， an1+2（n1）2n1； 由 bn2+2Tn1bn1bn1（2Tn+3bn1） （n2） ， 第 21 页（共 24 页） 得， 即（bn+bn1） （bn3bn1）0， 得 bnbn1（舍） ，或 bn3bn10， bn3bn1 （n2） ，又 b13
37、， bn是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列， 则； （2）cnanbn（2n1） 3n， 设数列cn的前 n 项和为 Rn， 则， ， 2（n1） 3n+16 【点评】本题考查数列递推式，训练了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和的求 法，考查错位相减法求数列的前 n 项和，是中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，左、右焦点分别为 F1， F2，过右焦点 F2任作一条不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，F1AB 的 周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）记点 B 关于 x 轴的对称点为 B点，直线 AB交 x 轴于点 D求ABD 的面积的取值
38、 范围 【分析】本题第（1）题由题意可得，可解得 a、c 的值，通过计算可得 a2，b2 的值，即可得到椭圆 C 的标准方程；第（2）题设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 则 B（x2， y2） 再写出 kAB和直线 lAB：yy1（xx1） 将点 D 点坐标为 第 22 页（共 24 页） （xD，0）代入 lAB，可计算出 D 点坐标为（，0） 再设直线 l 的斜率为 k， 很明显斜率存在且 k0则 lAB：yk（x1） 联立直线与椭圆方程，消去 y，整理得一 元二次方程，根据韦达定理可得 x1+x2，x1x2根据弦长公式可 得|AB|关于 k 的表达式，再设点 D 到直线 AB 的
39、距离为 d，根据点到直线距离有 d ，通过代入计算可得 d 再根据 SABD|AB|d，然后通过换元法和判别式法即可求出 SABD的取值范围 【解答】解： （1）由题意，可得 ，解得 故 a23，c21，b22 椭圆 C 的标准方程为+1 （2）由题意，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 B（x2，y2） 故 kAB， lAB：yy1（xx1） 依题意，可设 D 点坐标为（xD，0） 将点 D 代入 lAB，可得y1（xxD） 化简整理，得 xD D 点坐标为（，0） 由题意，设直线 l 的斜率为 k，很明显 k 存在且 k0则 l：yk（x1） 第 23 页（共 24 页） 联立
40、， 整理，得（3k2+2）x26k2x+3（k22）0 则36k412（3k2+2） （k22）48（k2+1）0 x1+x2，x1x2 |AB| 设点 D 到直线 AB 的距离为 d，则 d 第 24 页（共 24 页） SABD|AB|d4 令 tk2，则 t0；令 m0 则（9m1）t2+（12m1）t+4m0， （12m1）216m（9m1）8m+10， 解得 0m 故 0， 044 SABD的取值范围为（0， 【点评】本题主要考查椭圆的基础知识和椭圆与直线综合的问题，考查了方程思想的应 用，弦长公式的应用，换元法，设而不求法，判别式法求最值的应用，考查了逻辑思维 能力和数学运算能力本题属综合性很强的偏难题