1、已知，则复数 z（ ） A23i B2+3i C3+2i D32i 2 （4 分）设 xR，则“x2x20”是“0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （4 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1155，则 a3+2a8+a5（ ） A24 B20 C16 D18 4 （4 分）若 ab0，则下列命题正确的个数（ ） abb2|a|b|2a2b A0 B1 C2 D3 5 （4 分） 明代数学家吴敬所著的 九章算术比类大全 中，有一道数学命题叫 “宝塔装灯” ， 内容为： “远望魏巍塔七层， 红灯点点倍加增； 共灯三百八十一，
2、 请问顶层几盏灯？” （ “倍 加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2 的等比数列递增） ，根据此诗，可以得出 塔的顶层有（ ） A3 盏灯 B192 盏灯 C195 盏灯 D200 盏灯 6 （4 分）已知椭圆的两个焦点为 F1，F2，且|F1F2|10，弦 MN 过点 F2，则F1MN 的周长为（ ） A10 B20 C D 7 （4 分）在ABC 中，a4，b5，ABC 的面积为，则ABC 中最大角的正切值 是（ ） A或 B C D或 8 （4 分）若双曲线的一条渐近线被曲线（x2）2+y22 所截得的弦长为 2则该双曲线的离心率为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C
3、D 9 （4 分）已知函数 f（x）2x+lnx，若直线 l1：ykx1 与曲线 yf（x）相切，则实数 k 的值为（ ） A3 B2 C D 10 （4 分）对于函数 f（x）2sinxx，x0，下列说法正确的有（ ） f（x）在处取得极大值； f（x）有两个不同的零点； ； f（x）在0，上是单调函数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （4 分）已知 （2，3，1） ， （2，0，3） ， （0，0，2） ，则 （ + ） 12 （4 分）已知 O 为坐标原点，点 P
4、 在抛物线 y216x 上，点 F 为抛物线的焦点，若OPF 的面积为 32，则|PF| 13 （4 分）平面直角坐标系中第一象限的点 P（x，y）到点 A（0，4）和到点 B（2，0） 的距离相等，则的最小值为 14 （4 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an+10，则 a2020 15 （4 分）已知函数，若存在实数 x1，x2满足 0x1x24，且 f （x1）f（x2） ，则 x2x1的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 40 分分.解答应写出文字说明、证明过程解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤. 16 （8 分
5、）已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2+b2+ab30， 且 （）求角 C 的大小； （）若 a1，求ABC 的面积 17 （8 分）已知数列an是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 S515，a1，a3， a9成等比数列 （）求数列an的通项公式，并求 Sn； 第 3 页（共 17 页） （）设，求数列bn前 n 项和 Tn 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，且，四边形 ACEF 是矩形， 平面 ACEF平面 ABCD，且 AFAD （）求证：AD平面 EDC； （）求平面 BEF 与平面 CDE 所成的锐二面角的余弦值
6、 19 （8 分）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构 成的三角形中，面积最大为 1 （）求椭圆的标准方程； （）设直线 l 与椭圆的交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB，证明：直线 l 与 圆相切 20 （8 分）已知函数 f（x）exkln（x+1）1（其中 e 为自然对数的底数，kR） （）若 x0 是函数 f（x）的极值点，求 k 的值，并求 f（x）的单调区间； （）若 x0 时都有 f（x）0，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参
7、考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知，则复数 z（ ） A23i B2+3i C3+2i D32i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求出结果 【解答】解：z， 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 2 （4 分）设 xR，则“x2x20”是“0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由于0
8、， “x2x20”（x+1） （x2）0即 可判断出结论 【解答】解：0， “x2x20”（x+1） （x2）0 “x2x20”是“0”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （4 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1155，则 a3+2a8+a5（ ） A24 B20 C16 D18 【分析】结合已知及等差数列的的求和公式及等差数列的性质可求 a6，然后结合性质把 所求式子进行转化即可求解 【解答】解：S1155， a1+a112a610， 第 5 页（共 17 页） 故 a65， 则 a3+
9、2a8+a54a620 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列 的性质的简单应用，属于基础 试题 4 （4 分）若 ab0，则下列命题正确的个数（ ） abb2|a|b|2a2b A0 B1 C2 D3 【分析】取 a2，b1 可知错误，由不等式的基本性质可判断的真假 【解答】解：由 ab0，取 a2，b1，则错误； 由 ab0，可得 ab0，所以，故正确 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题 5 （4 分） 明代数学家吴敬所著的 九章算术比类大全 中，有一道数学命题叫 “宝塔装灯” ， 内容为： “远望魏巍塔七层， 红灯点点倍加增； 共灯三百八十一，
10、请问顶层几盏灯？” （ “倍 加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2 的等比数列递增） ，根据此诗，可以得出 塔的顶层有（ ） A3 盏灯 B192 盏灯 C195 盏灯 D200 盏灯 【分析】本题的解题关键是将七层塔从塔的顶层到底层构造成一个项数为 7，公比为 2 的等比数列an再根据等比数列的求和公式进行代入计算，即可得到塔的顶层灯的盏 数 【解答】解：由题意，可知七层塔从塔的顶层到底层可构造成一个项数为 7，公比为 2 的等比数列an 则 S7127a1381，解得 a13 故选：A 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的构造，以及等 比数列的基础知识本
11、题属基础题 第 6 页（共 17 页） 6 （4 分）已知椭圆的两个焦点为 F1，F2，且|F1F2|10，弦 MN 过点 F2，则F1MN 的周长为（ ） A10 B20 C D 【分析】求得椭圆的 a，b，c，由椭圆的定义可得ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|4a， 计算即可得到所求值 【解答】解：由题意可得椭圆的 b5，c5， a5， 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a， 即有ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a20 故选：D 【点评】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和
12、方程，定义法解题是关 键，属于基础题 7 （4 分）在ABC 中，a4，b5，ABC 的面积为，则ABC 中最大角的正切值 是（ ） A或 B C D或 【分析】a4，b5，ABC 的面积为，可得sinC5，解得 CA 不 可能为最大角利用余弦定理可得 c，对 C 分类讨论，利用正弦定理即可得出 【解答】解：a4，b5，ABC 的面积为， sinC5， 化为：sinCC（0，） C，或 A 不可能为最大角 若 C 为最大角，则 C，可得 tanC 若 B 为最大角，则 C，由余弦定理可得：c252+42254cos21，解 第 7 页（共 17 页） 得 c 可得，解得 sinBtanB 综上
13、可得：最大角的正切为：或 故选：D 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 8 （4 分）若双曲线的一条渐近线被曲线（x2）2+y22 所截得的弦长为 2则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心 率即可 【解答】解：双曲线的一条渐近线不妨为：bx+ay0， 圆（x2）2+y22 的圆心（2，0） ，半径为， 双曲线的一条渐近线被圆（x2）2+y22 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为：1，1， 解得：e， 故选：B 【点评】本题考查双曲
14、线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应 用，考查计算能力 9 （4 分）已知函数 f（x）2x+lnx，若直线 l1：ykx1 与曲线 yf（x）相切，则实数 k 的值为（ ） A3 B2 C D 【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由题意可得关于切点横坐标与 k 的方程 组，求解得答案 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：由 f（x）2x+lnx，得 f（x）2+， 设切点为（x0，y0） ，则， 解得： 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题 10 （4 分）对于函数 f（x）2sinxx，x0，下列说法正确的有（ ） f（x）
15、在处取得极大值； f（x）有两个不同的零点； ； f（x）在0，上是单调函数 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用导数求出 f（x）在0，上的单调区间求解 【解答】解：f（x）2cosx1， 易知 x0，f（x）0，f（x）单增； x，f（x）0，f（x）单减；故错误； f（），故正确； f（0）0，f（）0，f（）0， 故，存在一个零点，故正确； f（），f（）2，f（）1， 故正确； 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的单调性，最值，零点等问题，利用导数工具研究单调性， 属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，
16、将答案填在答题纸上） 第 9 页（共 17 页） 11 （4 分）已知 （2，3，1） ， （2，0，3） ， （0，0，2） ，则 （ + ） 9 【分析】由向量加法的坐标运算先求出 + ，由此利用向量数量积的坐标运算能求出结 论 【解答】解：向量 （2，3，1） ， （2，0，3） ， （0，0，2） ， （2，0，5） ， （ + ）4+0+59 故答案为：9 【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标 运算法则的合理运用 12 （4 分）已知 O 为坐标原点，点 P 在抛物线 y216x 上，点 F 为抛物线的焦点，若OPF 的面积为 32，则|PF|
17、 20 【分析】根据抛物线方程，算出焦点 F 坐标，设 P（m，n） ，由抛物线的定义结合|PF|算 出 m，从而得到 n，得到POF 的边 OF 上的高，最后根据三角形面积公式即可算出 POF 的面积 【解答】解：抛物线 C 的方程为 y216x，2p16，可得 P8，得焦点 F（4，0） ， 设 P（m，n）不妨 n0， 根据抛物线的定义，得|PF|m+m+4， POF 的面积为 S32解得 n16， 又 P 在抛物线上，n216（m+4） ， 解得 m12， 所以|PF|m+820 故答案为：20 第 10 页（共 17 页） 【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的
18、点所满足的条件是 解题的关键 13 （4 分）平面直角坐标系中第一象限的点 P（x，y）到点 A（0，4）和到点 B（2，0） 的距离相等，则的最小值为 3 【分析】先根据第一象限的点 P（x，y）到点 A（0，4）和到点 B（2，0）的距离相等； 得到 x+2y3；再根据（） （x+2y）结合基本不等式即可求解 【解答】解：因为第一象限的点 P（x，y）到点 A（0，4）和到点 B（2，0）的距离相 等； x0；y0 且（x+2）2+y2x2+（y4）2x+2y3； （） （x+2y）（5+）5+23； 当且仅当即 xy1 时取最小值； 的最小值为 3 故答案为：3 【点评】 本题主要考察基
19、本不等式以及两点间距离公式， 解决本题的关键点在于利用 “乘 1 法” 14 （4 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an+10，则 a2020 22019 【分析】利用数列的递推关系式，推出通项公式，然后求解即可 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an+10，可得 a11， 第 11 页（共 17 页） Sn12an1+10，可得 an2an+2an10，an2an1，所以数列an是等比数列，公比 为 2， 可得：an2n 1，a 202022019 故答案为：22019 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式的求法，是基本知识 的考查
20、，基础题 15 （4 分）已知函数，若存在实数 x1，x2满足 0x1x24，且 f （x1）f（x2） ，则 x2x1的最大值为 e2 【分析】作出函数 f（x）的图象，确定 f（x1）f（x2）时 x1与 x2的关系，构造函数， 利用其单调性确定最大值 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图： 根据图象可知，当xln2 时，有 x2ln2，当 lnx1 时，有 xe， 若存在实数 x1，x2满足 0x1x24，且 f（x1）f（x2） ， 则 2ln2x12x2e， 此时x1lnx2，即 x12lnx2，所以 x2x1x22lnx2，令 g（x）x2lnx，其中 x（2， e， 则 g（
21、x）10，可得 x2ln22， 所以当 2xe 时，g（x）0，则 g（x）单调递增， 所以当 xe 时，g（x）取极大值也为最大值， 即（x2x1）maxg（e）e2 第 12 页（共 17 页） 故答案为：e2 【点评】本题考查分段函数的应用，导数知识，数形结合思想，构造新函数是关键，属 于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，满分小题，满分 40 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （8 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2+b2+ab30， 且 （）求角 C 的大小； （
22、）若 a1，求ABC 的面积 【分析】 （1）由，可得 a2+b2+abc20，根据余弦定理即可得出 C （2）由正弦定理得：，可得 A，B，即可得出三角形 的面积计算公式 【解答】解： （1），c23，a2+b2+abc20， a2+b2c2ab，2abcosCab， ， 0C，； （2）由正弦定理得：， 又， ， 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 17 （8 分）已知数列an是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 S515，a1，a3， a9成等比数列 （）求数列an的通项公式，并求 Sn； （）设，求数列bn前
23、 n 项和 Tn 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的求和公式和通项公式，解方程可得 首项和公差，进而得到所求； 第 13 页（共 17 页） （2）求得 bn，运用数列的分组求和，以及裂项相消求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）数列an是公差 d 不为 0 的等差数列， 由 S515，即5（a1+a5）15，可得 a33， 由 a1，a3，a9成等比数列，得， （32d） （3+6d）9，得 d1 或 d0（舍去） ， a11，ann， ； （2）， 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消 求和，属于中档题 18 （8 分）如图，
24、四边形 ABCD 是平行四边形，且，四边形 ACEF 是矩形， 平面 ACEF平面 ABCD，且 AFAD （）求证：AD平面 EDC； （）求平面 BEF 与平面 CDE 所成的锐二面角的余弦值 【分析】 （） 推导出 EC平面 ABCD， ECAD， ADDC， 由此能证明 AD平面 EDC （）由 AFCE，得 AF平面 ABCD 以 A 点为坐标原点，以 AB 为 x 轴，AD 为 x 轴， AF 为 z 轴建立直角坐标系，利用向量法能求出平面 BEF 与平面 CDE 所成的锐二面角的 第 14 页（共 17 页） 余弦值 【解答】解： （）证明：平面 ACEF平面 ABCD，且 AC
25、EF 为矩形，平面 ACEF 平面 ABCDAC， EC平面 ABCD，ECAD，又， ，ADDC， 又 ECDCC，AD平面 EDC （）解：AFCE，AF平面 ABCD 以 A 点为坐标原点，以 AB 为 x 轴，AD 为 x 轴，AF 为 z 轴建立直角坐标系 不妨设，ADDCAF1， A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，1，0） ，E（1，1，1） ，F（0，0，1） ， 则， 设平面 EDC 的一个法向量为 ， 由（1）知，AD平面 EDC， 设平面 BEF 的一个法向量为， ，即，令 x1，则 y1，z1， 设所求的锐二面角为 ， 则平面 BEF 与
26、平面 CDE 所成的锐二面角的余弦值为 第 15 页（共 17 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （8 分）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构 成的三角形中，面积最大为 1 （）求椭圆的标准方程； （）设直线 l 与椭圆的交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB，证明：直线 l 与 圆相切 【分析】 （）依题意，求出 ab，然后求解椭圆方程 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，当 l 的斜率存在时，设 l：ykx+m，由， 得（1+2k2）x2+4k
27、mx+2m220，利用判别式以及韦达定理，通过，得到 ，结合转化求解即可 当 l 的斜率不存在时，OA，OB 所在的两条直线分别为 yx，判断验证即可 【解答】解： （）依题意， 得 bc1， 椭圆 C 的标准方程为 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 当 l 的斜率存在时，设 l：ykx+m 由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22016k2m24（1+2k2） （2m22）8 第 16 页（共 17 页） （2k2m2+1）0（*）， OAOB， ， x1x2+y1y20 ， ， 3m22k220，即满足（*） O 到直线 l 的距离， 又圆的半径， dr， 直线 l 与
28、圆相切 当 l 的斜率不存在时，OA，OB 所在的两条直线分别为 yx， 可得到 AB 所在的直线为或， 直线 l 与圆相切， 综上，当 OAOB 时，直线 l 与圆相切 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想 以及计算能力，是难题 20 （8 分）已知函数 f（x）exkln（x+1）1（其中 e 为自然对数的底数，kR） （）若 x0 是函数 f（x）的极值点，求 k 的值，并求 f（x）的单调区间； （）若 x0 时都有 f（x）0，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）由题意可知 f（0）0，代入可求 k，然后结合导数与单调性的关系进而可 求，
29、第 17 页（共 17 页） （2）先对函数求导，然后对 k 进行分类讨论，结合函数的单调性及性 质即可求解 【解答】解： （1）f（x）exkln（x+1）1 的定义域为（1，+）， 又 x0 是函数 f（x）的极值点， f（0）1k0，得 k1 此时 f（x）exln（x+1）1， 当 x（1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， （2），x0，+） 当 k0 时，f（x）0 在 x0，+）上恒成立， 则 f（x）是单调递增函数， f（x）f（0）0，符合题意， 当 k0 时，f（x）是 x0，+）上的单调递增函数，且 f（0）1k 若 1k0 即 k1，则 f（x）是单调递增函数， f（x）f（0）0，符合题意 若 1k0，即 k1，则易知存在 x00，+） ，使得 f（x0）0x（0，x0）时，f（x） 0，f（x）递减，x（x0，+）时，f（x）0，f（x）递增， x0，+）时，存在 f（x0）f（0）0 则 f（x）0 不恒成立，不符合题意， 综上可知，实数 k 的取值范围为（，1 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，还考查了分析 解决问题的能力