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2018-2019学年湖南省衡阳八中高二(下)期中数学试卷(理科)(含详细解答)

1、在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x(x3)0,B1,0,1,2,3,则 AB( ) A1 B1,2 C0,3 D1,1,2,3 2 (5 分)命题“x(0,1) ,x2x0”的否定是( ) Ax0(0,1) , Bx0(0,1) , Cx0(0,1) , Dx0(0,1) , 3 (5 分) 记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a524, S648,则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 4 (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 x10,则输出 y 的值是( ) A

2、B C D 5 (5 分)设 XB(10,0.8) ,则 D(2X+1)等于( ) A1.6 B3.2 C6.4 D12.8 6 (5 分)函数 f(x)在(,+)单调递减,且为奇函数若 f(1)1,则满足 1f(x2)1 的 x 的取值范围是( ) 第 2 页(共 22 页) A2,2 B1,1 C0,4 D1,3 7 (5 分)在区间0,4上随机取两个实数 x,y,使得 x+2y8 的概率为( ) A B C D 8 (5 分)某产品的广告费用 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表: 广告费用 x(万 元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方

3、程 9x+10.5,则 m 为( ) A54 B53 C52 D51 9 (5 分)已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为( ) A212 B211 C210 D29 10 (5 分)把 10 名登山运动员,平均分为两组先后登山,其中熟悉道路的有 4 人,每组都 需要 2 人,那么不同的安排方法的种数是( ) A30 种 B60 种 C120 种 D240 种 11 (5 分)三棱柱 ABCA1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1CAA160, 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( ) A B C D 12 (5 分)已知

4、函 f(x)exaln(axa)+a(a0) ,若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成 立,则实数 a 的取值范围为( ) A (0,e2 B (0,e2) C1,e2 D (1,e2) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 第 3 页(共 22 页) 13 (5 分)已知 i 是虚数单位,则 14 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 cm3; 15 (5 分)已知随机变量 N(1,2) ,若 P(3)0.2,则 P(1) 16 (5 分)已知椭圆的一个焦点恰为抛物线 x22py(p0)的焦点 F,设抛物 线的

5、准线 l 与 y 轴的交点为 M,过 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若以线段 BM 为直 径的圆过点 A,则|AB| 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必题为必 考题,每个试题考生都必须作答第考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考 题:共题:共 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ccosB+bcosC2acosA (1)求 A; (2)若

6、a2,且ABC 的面积为,求ABC 的周长 18 (12 分)如图 1,已知四边形 BCDE 为直角梯形,B90,BECD,且 BE2CD 2BC2,A 为 BE 的中点,将EDA 沿 AD 折到PDA 位置(如图 2) ,使得 PA平面 ABCD,连接 PC、PB,构成一个四棱锥 PABCD ()求证 ADPB; ()求二面角 BPCD 的大小 19 (12 分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其 第 4 页(共 22 页) 中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最 多也只能参加 5 次测试假设某学生每次通过测试的

7、概率都是,每次测试时间间隔恰 当,每次测试通过与否互相独立 (1)求该学生考上大学的概率 (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 X,求 X 的分布 列及 X 的数学期望 20 (12 分)已知椭圆1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为 ()求椭圆方程; ()斜率为 k 的直线 l 过点 F,且与椭圆交于 A,B 两点,P 为直线 x3 上的一点,若 ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx+ax2+(2a+1)x (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 a0 时,证明 f(x)2 (二)选考题:共(二)选考题:

8、共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)已知曲线 C1在平面直角坐标系中的参数方程为(t 为参数) ,以 坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线 C2:2cos4sin (1)将 C1的方程化为普通方程,并求出 C2的平面直角坐标方程 (2)求曲线 C1和 C2两交点之间的距离 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+1|x2| (1)求不等式 f(x)1 的解集;

9、(2)若不等式 f(x)x2x+m 的解集非空,求 m 的取值范围 第 5 页(共 22 页) 2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二(下)期中数学试卷(理科)学年湖南省衡阳八中高二(下)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x(x3)0,B1,0,1,2,3,则 AB( ) A1 B1,2 C0,3 D1,1,2,3 【分析】先分别求出集

10、合 A,B,由此利用交集定义能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|x(x3)0x|0x3, B1,0,1,2,3, AB1,2 故选:B 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运 用 2 (5 分)命题“x(0,1) ,x2x0”的否定是( ) Ax0(0,1) , Bx0(0,1) , Cx0(0,1) , Dx0(0,1) , 【分析】 “全称命题”的否定一定是“特称命题” ,写出结果即可 【解答】解:“全称命题”的否定一定是“特称命题” , 命题“x(0,1) ,x2x0”的否定是x0(0,1) , 故选:B 【点评】 本题考查命题的否定“全称量词”

11、与 “存在量词” 正好构成了意义相反的表述 如 “对所有的都成立”与“至少有一个不成立” ; “都是”与“不都是”等,所以“全 称命题”的否定一定是“存在性命题” , “存在性命题”的否定一定是“全称命题” 3 (5 分) 记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a524, S648,则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 第 6 页(共 22 页) 【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能 求出an的公差 【解答】解:Sn为等差数列an的前 n 项和,a4+a524,S648, , 解得 a12,d4, an的公差为 4 故选:C 【点评】

12、本题考查等差数列公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等 差数列的性质的合理运用 4 (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 x10,则输出 y 的值是( ) A B C D 【分析】根据程序框图,利用模拟验算法进行求解即可 【解答】解:若 x10,则 x5 成立,x1028, x5 成立,则 x826, x5 成立,则 x624, x5 不成立,则 ycoscos, 故选:B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键 第 7 页(共 22 页) 5 (5 分)设 XB(10,0.8) ,则 D(2X+1)等于( ) A1.6 B3.2 C6.

13、4 D12.8 【分析】根据设随机变量 XB(10,0.8) ,看出变量符合二项分布,看出成功概率,根 据二项分布的方差公式做出变量的方差,进而根据 D(2X+1)22DX,得到结果 【解答】解:设随机变量 XB(10,0.8) , DX100.8(10.8)1.6, D(2X+1)221.66.4 故选:C 【点评】本题考查二项分布与 n 次独立重复试验,本题解题的关键是记住方差的公式和 当变量系数之间有关系时,知道方差之间的关系 6 (5 分)函数 f(x)在(,+)单调递减,且为奇函数若 f(1)1,则满足 1f(x2)1 的 x 的取值范围是( ) A2,2 B1,1 C0,4 D1,

14、3 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式1f(x2)1 化为1x 21,解得答案 【解答】解:函数 f(x)为奇函数 若 f(1)1,则 f(1)1, 又函数 f(x)在(,+)单调递减,1f(x2)1, f(1)f(x2)f(1) , 1x21, 解得:x1,3, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度 中档 7 (5 分)在区间0,4上随机取两个实数 x,y,使得 x+2y8 的概率为( ) A B C D 【分析】分别求出在0,4上随机取两个实数 x,y,x+2y8 对应的区域,利用面积之比 求解即可 【解答】解:由题意,在区间

15、0,4上随机取两个实数 x,y,对应的区域的面积为 16 第 8 页(共 22 页) 在区间0,4内随机取两个实数 x,y, 则 x+2y8 对应的面积为12, 所以事件 x+2y8 的概率为 故选:D 【点评】本题考查几何概型知识、二元一次不等式表示的平面区域等,属基本运算的考 查 8 (5 分)某产品的广告费用 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表: 广告费用 x(万 元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程 9x+10.5,则 m 为( ) A54 B53 C52 D51 【分析】根据线性回归直线过样本中心点,即可求出 m 的值 【解答】

16、解:由题意, (4+2+3+5)3.5,代入 9x+10.5,可得 42, (49+26+39+m)42,得 m54 故选:A 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用,是一个基础题,本题解答关键是利用线 性回归直线必定经过样本中心点 9 (5 分)已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为( ) 第 9 页(共 22 页) A212 B211 C210 D29 【分析】直接利用二项式定理求出 n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可 【解答】解:已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 可得,可得 n3+710

17、(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:29 故选:D 【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力 10 (5 分)把 10 名登山运动员,平均分为两组先后登山,其中熟悉道路的有 4 人,每组都 需要 2 人,那么不同的安排方法的种数是( ) A30 种 B60 种 C120 种 D240 种 【分析】本题可以采用分步计数原理来解,先将 4 个熟悉道路的人平均分成两组,再将 余下的 6 人平均分成两组,前两个分组都是平均分组,然后这四个组自由搭配还有 A22 种,根据分步计数原理得到结果 【解答】解:先将 4 个熟悉道路的人平均分成两组有

18、 再将余下的 6 人平均分成两组有 然后这四个组自由搭配还有 A222,两个组先后登山有 A222 种, 故最终分配方法有 31022120(种) 故选:C 【点评】本题考查的是排列组合问题,把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看 清题目的实质,把实际问题转化为数学问题 11 (5 分)三棱柱 ABCA1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1CAA160, 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( ) 第 10 页(共 22 页) A B C D 【分析】先选一组基底,再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条 异面直线的方向向量用基底表示, 然后利用夹角公式求异面

19、直线 AB1与 BC1所成角的余弦值即可 【解答】解:如图,设 , , ,棱长均为 1, 则, + ,+ , ( + ) ( + )1+11, |, |, cos 异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 故选:B 【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用,考查空间向量基本定 理,向量的数量积公式及应用,考查学生的计算能力 12 (5 分)已知函 f(x)exaln(axa)+a(a0) ,若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成 第 11 页(共 22 页) 立,则实数 a 的取值范围为( ) A (0,e2 B (0,e2) C1,e2 D (1,e2) 【分析】根据 f(

20、x)0 恒成立可得 ex lna+xlnaeln(x1)+ln(x1) ,构造函数 g(x) ex+x,由 g(x)的单调性可得 xlnaln(x1) ,用放缩法求出 ln(x1)x 的最 大值,从而得到 a 的取值范围 【解答】解:f(x)exaln(axa)+a0(a0)恒成立, , ex lna+xlnaln(x1)+x1, ex lna+xlnaeln(x1)+ln(x1) 令 g(x)ex+x,易得 g(x)在(1,+)上单调递增, xlnaln(x1) ,lnaln(x1)x ln(x1)xx2x2, lna2,0ae2, 实数 a 的取值范围为(0,e2) 故选:B 【点评】本题

21、考查了函数恒成立问题和放缩法的应用,考查了转化思想和计算能力,属 难题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 i 是虚数单位,则 1+i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 【解答】解:1+i 故答案为:1+i 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题 14 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 8 cm3; 第 12 页(共 22 页) 【分析】判断几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【解答】解:由题意可知几何体是圆锥,底面半径为 2cm,高为 6cm, 所以几何体的体

22、积为:8cm3; 故答案为:8 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键,考查计 算能力 15 (5 分)已知随机变量 N(1,2) ,若 P(3)0.2,则 P(1) 0.8 【分析】根据随机变量 服从正态分布,知正态曲线的对称轴是 x1,且 P(3) 0.2,依据正态分布对称性,即可求得答案 【解答】解:随机变量 服从正态分布 N(1,2) , 曲线关于 x1 对称, P(3)0.2,P(1)P(3) , P(1)1P(3)10.20.8 故答案为:0.8 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个 基础题 16 (5 分)已知

23、椭圆的一个焦点恰为抛物线 x22py(p0)的焦点 F,设抛物 线的准线 l 与 y 轴的交点为 M,过 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若以线段 BM 为直 第 13 页(共 22 页) 径的圆过点 A,则|AB| 【分析】求出椭圆的一个焦点坐标,代入抛物线求出抛物线方程,设出 A(x1,y1) ,B (x2,y2)和 AB 的方程,结合圆的性质求出 A 点坐标,结合抛物线的弦长公式进行转化 求解即可 【解答】解:如图所示, 由椭圆的方程可得 a2,b, c1 可得上焦点 F(0,1) 又恰为抛物线 x22py 的焦点 F, 1,解得 p2 抛物线方程为:x24y抛物线的准线方程为 y

24、1, 可得 M(0,1) 由题意可知:直线 AB 的斜率存在且不为 0 设直线 AB 的方程为:ykx+1, (k0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 将 ykx+1 代入 x24y 得,化为 x24kx40 16k2+16k0得 k0 则 x1+x24k,x1x24, 若以线段 BM 为直径的圆过点 A, ABAM, k1, 即 k1 得 x1,y1kx1+1 即 A(, ) , A 在抛物线 x24y 第 14 页(共 22 页) ()24 , 化为 k4+k210, 解得 k2, |AB|y1+y2+2k(x1+x1)+44+4k22+2 故答案为:2+2 【点评】本题考查了椭圆

25、与抛物线的标准方程及其性质、圆的性质、抛物线定义及其弦 长公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必题为必 考题,每个试题考生都必须作答第考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考 题:共题:共 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ccosB+bcosC2acosA (1)求 A; (2)

26、若 a2,且ABC 的面积为,求ABC 的周长 【分析】 (1)由已知利用正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理可得 sinA 2sinAcosA结合 sinA0,可求 cosA,进而可求 A 的值 (2)由已知利用三角形面积公式可求 bc4利用余弦定理可求 bc4,联立解得 b,c 的值即可得解 【解答】解: (1)ccosB+bcosC2acosA, sinCcosB+sinBcosC2sinAcosA sin(B+C)2sinAcosA, 第 15 页(共 22 页) sinA2sinAcosA A(0,) , sinA0, , (2)ABC 的面积为, , bc4 由 a2,

27、及 a2b2+c22bccosA,得 4b2+c24, b2+c28 又 bc4, bc2 故其周长为 6 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角 形面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和方程思想,属于中 档题 18 (12 分)如图 1,已知四边形 BCDE 为直角梯形,B90,BECD,且 BE2CD 2BC2,A 为 BE 的中点,将EDA 沿 AD 折到PDA 位置(如图 2) ,使得 PA平面 ABCD,连接 PC、PB,构成一个四棱锥 PABCD ()求证 ADPB; ()求二面角 BPCD 的大小 【分析】 ()推导出 A

28、BCD 为平行四边形,ADBC,ADBE,ADAB,ADPA, 从而 AD平面 PAB,由此能证明 ADPB ()以点 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 第 16 页(共 22 页) 利用向量法能求出二面角 BPCD 的大小 【解答】 ()证明:在图 1 中,ABCD,ABCD, ABCD 为平行四边形,ADBC, B90,ADBE, 当EDA 沿 AD 折起时,ADAB,ADAE,即 ADAB,ADPA, 又 ABPAA,AD平面 PAB, 又PB平面 PAB,ADPB ()解:以点 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AP 为 x,y,z

29、轴,建立空间直角坐 标系, 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) , (1,1,1) ,(0,1,0) ,(1,0,0) , 设平面 PBC 的法向量为 (x,y,z) , 则,取 z1,得 (1,0,1) , 设平面 PCD 的法向量 (a,b,c) , 则,取 b1,得 (0,1,1) , 设二面角 BPCD 的大小为 , 则 cos,120 二面角 BPCD 的大小为 120 【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,正确运用向量法是 关键 第 17 页(共 22 页) 19 (12 分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举

30、行 5 次统一测试,学生如果通过其 中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最 多也只能参加 5 次测试假设某学生每次通过测试的概率都是,每次测试时间间隔恰 当,每次测试通过与否互相独立 (1)求该学生考上大学的概率 (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 X,求 X 的分布 列及 X 的数学期望 【分析】 (1)记“该生考上大学”的事件为事件 A,其对立事件为 ,结合题意得到事件 的概率,再根据对立事件的概率公式得到答案 (2)由题意可得:参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5,再结合题意分别求出其 发生的概率,即可

31、得到 X 的分布列,进而得到 X 的数学期望 【解答】解: (1)记“该生考上大学”的事件为事件 A,其对立事件为 , 根据题意可得:,(2 分) ,(4 分) 该学生考上大学的概率为 (2)由题意可得:参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5,(5 分) , , , (8 分) X 的分布列为: X 2 3 4 5 P X 的数学期望为: (9 分) 答:该生考上大学的概率为;X 的数学期望是 (10 分) 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式, 以及利用正难则反的解题方法解决问题,本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数 第 18 页(

32、共 22 页) 学期望,此类型的题目是个类型考试的命题热点之一,一般以基础题或者中档题的形式 出现,只要读懂题意一般能够得到全分 20 (12 分)已知椭圆1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为 ()求椭圆方程; ()斜率为 k 的直线 l 过点 F,且与椭圆交于 A,B 两点,P 为直线 x3 上的一点,若 ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程 【分析】 ()由已知条件得 c2,a2b2+c2,由此能求出椭圆方程 () 直线 l 的方程为 yk (x2) 联立方程组, 得 (3k2+1) x212k2x+12k2 60由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线 l

33、的方程 【解答】解: ()椭圆1 的一个焦点为 F(2,0) ,且离心率为 c2,a2b2+c2, 解得 a26,b22 椭圆方程为 ()直线 l 的方程为 yk(x2) 联立方程组,消去 y 并整理,得(3k2+1)x212k2x+12k260 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 故, 则|AB| 第 19 页(共 22 页) 设 AB 的中点为 M(x0,y0) 可得, 直线 MP 的斜率为,又 xP3, 所以 当ABP 为正三角形时,|MP|, , 解得 k1 直线 l 的方程为 xy20,或 x+y20 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意椭

34、 圆弦长公式的合理运用 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx+ax2+(2a+1)x (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 a0 时,证明 f(x)2 【分析】 (1)题干求导可知 f(x)(x0) ,分 a0、a0、a0 三种情况讨论 f(x)与 0 的大小关系可得结论; (2)通过(1)可知 f(x)maxf()1ln2+ln() ,进而转化可知 问题转化为证明:当 t0 时t+lnt1+ln2进而令 g(t)t+lnt,利用导数求 出 yg(t)的最大值即可 【解答】 (1)解:因为 f(x)lnx+ax2+(2a+1)x, 求导 f(x)+2ax+(2a+1), (x0) ,

35、 当 a0 时,f(x)+10 恒成立,此时 yf(x)在(0,+)上单调递增; 当 a0,由于 x0,所以(2ax+1) (x+1)0 恒成立,此时 yf(x)在(0,+) 上单调递增; 第 20 页(共 22 页) 当 a0 时,令 f(x)0,解得:x 因为当 x(0,)f(x)0、当 x(,+)f(x)0, 所以 yf(x)在(0,)上单调递增、在(,+)上单调递减 综上可知:当 a0 时 f(x)在(0,+)上单调递增, 当 a0 时,f(x)在(0,)上单调递增、在(,+)上单调递减; (2)证明:由(1)可知:当 a0 时 f(x)在(0,)上单调递增、在(,+ )上单调递减,

36、所以当 x时函数 yf(x)取最大值 f(x)maxf()1ln2+ln( ) 从而要证 f(x)2,即证 f()2, 即证1ln2+ln()2,即证()+ln()1+ln2 令 t,则 t0,问题转化为证明:t+lnt1+ln2(*) 令 g(t)t+lnt,则 g(t)+, 令 g(t)0 可知 t2,则当 0t2 时 g(t)0,当 t2 时 g(t)0, 所以 yg(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+)上单调递减, 即 g(t)g(2)2+ln21+ln2,即(*)式成立, 所以当 a0 时,f(x)2 成立 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论的思想,考查转化能

37、力, 考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)已知曲线 C1在平面直角坐标系中的参数方程为(t 为参数) ,以 坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线 C2:2cos4sin (1)将 C1的方程化为普通方程,并求出 C2的平面直角坐标方程 第 21 页(共 22 页) (2)求曲线 C1和 C2两交点之间的距离 【分

38、析】 (1)曲线 C1在平面直角坐标系中的参数方程为(t 为参数) ,消去 参数 t 可得普通方程由曲线 C2:2cos4sin,即 2(2cos4sin) ,利用互 化公式可得直角坐标方程 (2) x2+y22x4y 化为 (x1) 2+ (y+2)25 可得圆心 C2 (1, 2) , 半径 r 求 出圆心到直线的距离 d,可得曲线 C1和 C2两交点之间的距离2 【解答】解: (1)曲线 C1在平面直角坐标系中的参数方程为(t 为参数) , 消去参数 t 可得普通方程:y2x1 由曲线 C2:2cos4sin,即 2(2cos4sin) ,可得直角坐标方程:x2+y22x 4y (2)x

39、2+y22x4y化为(x1)2+(y+2)25可得圆心 C2(1,2) ,半径 r 曲线 C1和 C2两交点之间的距离2 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆 相交弦长问题、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+1|x2| (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若不等式 f(x)x2x+m 的解集非空,求 m 的取值范围 【分析】 (1)由于 f(x)|x+1|x2|,解不等式 f(x)1 可 分1x2 与 x2 两类讨论即可解得不等式 f(x)1 的解集;

40、(2)依题意可得 mf(x)x2+xmax,设 g(x)f(x)x2+x,分 x1、1x2、 x2 三类讨论,可求得 g(x)max,从而可得 m 的取值范围 第 22 页(共 22 页) 【解答】解: (1)f(x)|x+1|x2|,f(x)1, 当1x2 时,2x11,解得 1x2; 当 x2 时,31 恒成立,故 x2; 综上,不等式 f(x)1 的解集为x|x1 (2)原式等价于存在 xR 使得 f(x)x2+xm 成立, 即 mf(x)x2+xmax,设 g(x)f(x)x2+x 由(1)知,g(x), 当 x1 时,g(x)x2+x3,其开口向下,对称轴方程为 x1, g(x)g(1)1135; 当1x2 时,g(x)x2+3x1,其开口向下,对称轴方程为 x(1,2) , g(x)g()+1; 当 x2 时,g(x)x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为 x2, g(x)g(2)4+2+31; 综上,g(x)max, m 的取值范围为(, 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查 分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题