1、只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求项符合题目要求. 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，Bx|2x1，则 AB（ ） A0，2） B0，1） C （1，0 D （1，0） 2 （5 分）满足函数 f（x）ln（mx+3）在（，1上单调递减的一个充分不必要条件是 （ ） A4m2 B3m0 C4m0 D3m1 3 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z的取值范围是（ ） A （，81，+） B （，101，+） C8，1 D10，1 4 （5 分）元朝时，著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游 春走， 与店添一倍， 逢友饮一斗， 店友经三处， 没了壶
2、中酒， 借问此壶中， 当原多少酒？” 用程序框图表达如图所示，即最终输出的 x0，问一开始输入的 x（ ） A B C D 5 （5 分）一个体积可忽略不计的小球在边长为 2 的正方形区域内随机滚动，则它在离 4 个 第 2 页（共 26 页） 顶点距离都大于 1 的区域内的概率为（ ） A B C D 6 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵” 的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ） A2 B4 C4+4 D6+4 7 （5 分）设向量 （x，4） ， （1，x） ，向量 与 的夹角为锐角，则 x 的范围为 （ ） A （2，2） B （
3、0，+） C （0，2）（2，+） D2，2 8 （5 分）若函数 f（x）（其中 e 是自然对数的底数） ，且函数 y|f （x）|mx 有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，e） C （，0）（1，+） D （，0）（e，+） 9 （5 分）已知数列an为等差数列，a33，S621，数列的前 n 项和为 Sn，若对一 切 nN*，恒有 S2nSn，则 m 能取到的最大整数是（ ） A6 B7 C8 D9 10 （5 分）下列三图中的多边形均为正多边形，M、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中 的 F1、F2为焦点（F1、F2距离不变） ，设图、中的双曲
4、线的离心率分别为 e1， 第 3 页（共 26 页） e2，e3，则（ ） Ae1e2e3 Be1e3e2 Ce1e2e3 De1e3e2 11 （5 分）已知函数 f（x）3sin（x+） （0，0） ，f（）0，对 xR 恒 有 f（x）|f（）|，且在区间（）上有且只有一个 x1使 f（x1）3，则 的最大值为（ ） A B C D 12 （5 分）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，f（1）e，xR，2f（x）f（x） 0，则不等式 f（x）e2x 1 的解集为（ ） A （，1） B （1，+） C （，e） D （e，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题
5、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 A（t，2t） （t 0） ，则 14 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p 15 （5 分）已知 x，yR+，且 x+2y1，则 x2+4y2+2xy 的最小值为 16 （5 分）设函数 f（x），对任意 x1、x2（0，+） ，不等式 恒成立，则正数 k 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出文字说明
6、、证明过程和演算步骤 17某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制公交或自行打 车前往，大数据分析显示，当 x%（0x100%）的学生选择自行打车，自行打车的平 均时间为 f（x）（单位：分钟） ，而乘坐定制公交的平 均时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： 第 4 页（共 26 页） （1）当 x 在什么范围内时，乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间？ （2）求该校学生参加考试平均时间 g（x）的表达式：讨论 g（x）的单调性，并说明其 实际意义 18在ABC 中，已知 3+2sinB4cos2B，且 B 为锐角 （1）求 si
7、nB； （2） 若， 且ABC 的面积为， 求ABC 的周长 19设数列an的前 n 项和为 Sn，a13，且 Snnan+1n2n （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足 bn，求bn的前 n 项和 Tn 20如图 1，已知PAB 中，PAPB，点 P 在斜边 AB 上的射影为点 H （）求证：； （）如图 2，已知三棱锥 PABC 中，侧棱 PA，PB，PC 两两互相垂直，点 P 在底面 ABC 内的射影为点 H类比（）中的结论，猜想三棱锥 PABC 中 PH 与 PA，PB，PC 的关系，并证明 21已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，其焦点与双曲线 C：x2的焦点重合，且椭圆
8、E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过双曲线 C 的右顶点 A 作直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q设 M（m，0） ， 当为定值时，求 m 的值； 22已知函数 f（x）x1nx （1）若函数 g（x）f（x）+ax2（a+2）x（a0） ，试研究函数 g（x）的极值情况； 第 5 页（共 26 页） （2）记函数 F（x）f（x）在区间（1，2）内的零点为 x0，记 m（x）minf（x） ， ，若 f（x）n（nR）在区间（1，+）内有两个不等实根 x1，x2（x1x2） ，证明： x1+x22x0 第 6 页（共 26 页） 201
9、8-2019 学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州 四中高二（下）四中高二（下）3 月联考数学试卷（文科）月联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求. 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，Bx|2x1，则 AB（ ） A0，2） B0，1） C （1，0 D （1，0） 【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解
10、：Bx|x0； AB0，2） 故选：A 【点评】考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算 2 （5 分）满足函数 f（x）ln（mx+3）在（，1上单调递减的一个充分不必要条件是 （ ） A4m2 B3m0 C4m0 D3m1 【分析】根据复合函数的单调性，求出 m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行 求解即可 【解答】解：若 f（x）ln（mx+3）在（，1上单调递减， 则满足 m0 且 m+30， 即 m0 且 m3， 则3m0， 即 f（x）在（，1上单调递减的一个充分不必要条件是3m1， 故选：D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合函数单调性之
11、间的关系是 解决本题的关键 3 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z的取值范围是（ ） A （，81，+） B （，101，+） 第 7 页（共 26 页） C8，1 D10，1 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用 z 的几何意义即可求 出 z 的取值范围 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图： （阴影部分） z1+的几何意义为阴影部分的动点（x，y） 到定点 Q（1，0）连线的斜率加上 1 的取值范围 由图象可知当点位于 B 时，直线的斜率最大， 当点位于 B 时，直线的斜率为 0 由，解得 A（，） ， BP 的斜率 k9， z1+的范围：
12、 （，81，+） 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义是解决本题的关键，利用数 形结合是解决线性规划问题中的基本方法 4 （5 分）元朝时，著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游 春走， 与店添一倍， 逢友饮一斗， 店友经三处， 没了壶中酒， 借问此壶中， 当原多少酒？” 用程序框图表达如图所示，即最终输出的 x0，问一开始输入的 x（ ） 第 8 页（共 26 页） A B C D 【分析】与店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店把壶里的酒加 1 倍，碰到朋友就把 壶里的酒喝一斗，三遇店和，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是 3 次，等
13、量 关系为：第一次加酒1+（2一遇店和朋友后剩的酒量1）+（2二遇店和朋友后剩 的酒量1）0，把相关数值代入即可求解 【解答】解：由题意，解方程：22（2x1）110，解得 x， 故选：B 【点评】考查用一元一次方程解决古代数学问题，得到酒的数量为 0 的等量关系是解决 本题的关键；难点是理解题意 5 （5 分）一个体积可忽略不计的小球在边长为 2 的正方形区域内随机滚动，则它在离 4 个 顶点距离都大于 1 的区域内的概率为（ ） A B C D 【分析】 以四个顶点为圆心， 1 为半径作圆， 当小球在边长为 2 的正方形区域内随机滚动， 离顶点的距离小于 1，其面积为 ，再用这个面积除以正
14、方形 ABCD 的面积，即得本题的 概率 【解答】解：以四个顶点为圆心，1 为半径作圆，当小球在边长为 2 的正方形区域内随机 滚动，离顶点的距离不大于 1，其面积为 ， 边长为 2 的正方形的面积为 4， 第 9 页（共 26 页） 它在离 4 个顶点距离都大于 1 的区域内的概率为 P1 故选：B 【点评】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式几何概型 的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度 量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关 6 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵” 的三视
15、图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ） A2 B4 C4+4 D6+4 【分析】由三视图得出该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱， 结合图中数据求出三棱柱的表面积 【解答】解：由几何体的三视图可得： 该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱， 底面面积为：211， 底面周长为：2+22+2， 故直三棱柱的表面积为 S21+2（2+2）6+4 故选：D 【点评】本题考查了空间几何体三视图以及表面积的计算问题，是基础题 7 （5 分）设向量 （x，4） ， （1，x） ，向量 与 的夹角为锐角，则 x 的范围为 （ ） A （2，2） B （0，+） C （0，2）（2，+） D2，2 第 10 页
16、（共 26 页） 【分析】根据题意，向量 与 的夹角为锐角，则0，且 与 不共线，根据向 量的数量积及平行的坐标表示即可求解 【解答】解：根据题意，向量 与 的夹角为锐角 则0，且 与 不共线， 则必有 x+4x0 且x2+40， 解可得 x0 且 x2， 即 x 的取值范围是x|x0 且 x2； 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的运算，关键是利用向量积的符号判断向量夹角的大小， 注意排除向量共线的情况 8 （5 分）若函数 f（x）（其中 e 是自然对数的底数） ，且函数 y|f （x）|mx 有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，e） C （，0）
17、（1，+） D （，0）（e，+） 【分析】利用参数分离法得到 m，f 分别讨论当 x0 和 x0 时，函数 y ，的图象的单调性和取值情况，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：由 y|f（x）|mx0 得|f（x）|mx， 当 x0 时，|f（0）|0，即 10 不成立， x0， 即 m， 当 x0 时，m，设 g（x），则 g（x）， 由 g（x）0 得 x1，由 g（x）0 得 0x1， 即当 x1 时，函数 g（x）取得极小值，极小值为 g（1）e， 当 x0 时，m， 则当 x1时，0， 第 11 页（共 26 页） 则函数 y |x2|， 设 h（x）x2 在 x
18、0 时为增函数， 且当 x1时，h（x）0，且为增函数，|h（x）|为减函数，|h（x）|为增函数， 且|h（x）|x2|0， 当 x1时，h（x）0，且为增函数，|h（x）|为增函数，|h（x）|为减函数，且 |h（x）|x2|0， 作出函数 y的图象如图： 要使 m有两个不同的根， 则 me 或 m0， 即实数 m 的取值范围是（，0）（e，+） ， 故选：D 【点评】本题主要考查分段函数的应用以及函数与方程的关系，利用参数分离法，利用 导数以及函数单调性的性质结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大 9 （5 分）已知数列an为等差数列，a33，S621，数列的前 n 项和为 S
19、n，若对一 切 nN*，恒有 S2nSn，则 m 能取到的最大整数是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】直接利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出数列的前 n 项和，最后利 用相消法和函数的单调性求出结果 第 12 页（共 26 页） 【解答】解：数列an为等差数列，a33，S621， 设首项为 a1，公差为 d， 故：， 解得：d1， 所以：ana3+（n3）n 则：， 所以：， +， ， 设， 则：， 所以：Tn+1Tn， 所以：当 n1 时，函数取得最小值为 故：， 所以：m8 故取得的最大整数为 7 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在
20、数列求和 中的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题 10 （5 分）下列三图中的多边形均为正多边形，M、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中 的 F1、F2为焦点（F1、F2距离不变） ，设图、中的双曲线的离心率分别为 e1， 第 13 页（共 26 页） e2，e3，则（ ） Ae1e2e3 Be1e3e2 Ce1e2e3 De1e3e2 【分析】根据题设条件，运用双曲线的定义，求得 2a，以及 2c，分别求出图示 中的双曲线的离心率 e1，e2，e3，然后再判断 e1，e2，e3的大小关系 【解答】解：图中，设|F1F2|2c， 则|MF2|2cc， 2a
21、|MF2|MF1|（1）c， 则 e1+1； 在图中，正方形的边长为c， 则 2a|MF2|MF1|cc， 则 e2； 在图中，正六边形的边长为 c， 2a|AF2|AF1|c（1）c， 则 e3+1 可得 e1e3e2， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是求离心率，注意运用平面几何中的性质 和定理，考查运算能力，属于中档题 第 14 页（共 26 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）3sin（x+） （0，0） ，f（）0，对 xR 恒 有 f（x）|f（）|，且在区间（）上有且只有一个 x1使 f（x1）3，则 的最大值为（ ） A B C D 【分析】由题意知，k1
22、，k2Z，可得，k，k Z，其中 kk2k1，kk2+k1k+2k1，可得 k 与 k同为奇数或同为偶数要使 f（x） 在区间（）上有且只有一个最大，且要求 最大，则（）包含的周 期应该最多，求出周期范围，进一步得到 030，即，可得 k19.5， 然后分别取 k19，k18，k17 分析可得 的最大值为 【解答】解：由题意知，k1，k2Z， 则，k，kZ，其中 kk2k1，kk2+k1k+2k1， 故 k 与 k同为奇数或同为偶数 f（x）在区间（）上有且只有一个最大，且要求 最大， 则（）包含的周期应该最多， ，得 030，即，k19.5 当 k19 时，k为奇数，此时（2.7，6.6）
23、， 当或 6.5 时，f（x1）3 都成立，舍去； 当 k18 时，k为偶数，此时（2.1，5.8） ， 当或 4.5 时，f（x1）3 都成立，舍去； 当 k17 时，k为奇数，此时（2.5，6） ， 第 15 页（共 26 页） 当且仅当时，f（x1）3 成立 综上所述， 的最大值为 故选：B 【点评】本题考查由 yAsin（x+）型函数的部分图象求函数解析式，可查逻辑思维 能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法，是难题 12 （5 分）已知 f（x）是函数 f（x）的导函数，f（1）e，xR，2f（x）f（x） 0，则不等式 f（x）e2x 1 的解集为（ ） A （，1） B
24、（1，+） C （，e） D （e，+） 【分析】所解不等式等价变形为，构造函数 g（x），求导可得 其单调性，可解 【解答】解：令 g（x）， 则 g（x）， 2f（x）f（x）0， g（x）0， g（x）递减， 不等式 f（x）e2x 1 g（x）g（1） x1， 故选：B 【点评】此题考查了构造函数法，利用导数研究函数的单调性等，难度较大 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 A（t，2t） （t 0） ，则 【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出
25、结果 【解答】解：根据已知条件：， 第 16 页（共 26 页） 所以： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，三角函数的定义的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题 14 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p 2 【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x2+（62p）x+30，进而根 据，可知 M 为 A、B 的中点， 可得 p 的关系式，解方程即可求得 p 【解答】解：设直线 AB：，代入 y22px 得 3x2+（62
26、p）x+30， 又，即 M 为 A、B 的中点， xB+（）2，即 xB2+， 得 p2+4P120， 解得 p2，p6（舍去） 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的几何性质属基础题 15 （5 分）已知 x，yR+，且 x+2y1，则 x2+4y2+2xy 的最小值为 【分析】根据题意，由基本不等式的性质的可得 1x+2y2，变形可得 2xy， 进而可得 x2+4y2+2xy（x+2y）22xy12xy，分析可得答案 【解答】解：根据题意，x，yR+，且 x+2y1，则有 1x+2y2，变形可得 2xy ， （当且仅当 x2y时等号成立） x2+4y2+2xy（x+2y）22xy12xy
27、， 又由 2xy，则有 x2+4y2+2xy， 即 x2+4y2+2xy 的最小值为； 故答案为： 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意分析 2xy 的范围，属于基础题 第 17 页（共 26 页） 16 （5 分）设函数 f（x），对任意 x1、x2（0，+） ，不等式 恒成立，则正数 k 的取值范围是 k1 【分析】当 x0 时，利用基本不等式可求 f（x）的最小值， 对函数 g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求 g（x）的最大值，由 恒成立且 k0，则，可求 【解答】解：当 x0 时，2e x1（0，+）时，函数 f（x1）有最小值 2e 当 x1 时，g（x）0，
28、则函数 g（x）在（0，1）上单调递增 当 x1 时，g（x）0，则函数在（1，+）上单调递减 x1 时，函数 g（x）有最大值 g（1）e 则有 x1、x2（0，+） ，f（x1）min2eg（x2）maxe 恒成立且 k0， k1 故答案为 k1 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值 求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的 难度 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制
29、公交或自行打 车前往，大数据分析显示，当 x%（0x100%）的学生选择自行打车，自行打车的平 第 18 页（共 26 页） 均时间为 f（x）（单位：分钟） ，而乘坐定制公交的平 均时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当 x 在什么范围内时，乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间？ （2）求该校学生参加考试平均时间 g（x）的表达式：讨论 g（x）的单调性，并说明其 实际意义 【分析】 （1）由题意知求出 f（x）40 时 x 的取值范围即可； （2）分段求出 g（x）的解析式，判断 g（x）的单调性，再说明其实际意义 【解答】解： （1）由题
30、意知，当 30x100 时， f（x）2x+9040， 即 x265x+9000， 解得 x20 或 x45， x（45，100）时，乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间； （2）当 0x30 时， g（x）30x%+40（1x%）40； 当 30x100 时， g（x）（2x+90） x%+40（1x%）x+58； g（x）， 当 0x32.5 时，g（x）单调递减； 当 32.5x100 时，g（x）单调递增； 在（0，32.5）上单调递减，在（32.5，100）上单调递增， 说明当 32.5%以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类
31、讨论与分析问题、解决问题的 能力 18在ABC 中，已知 3+2sinB4cos2B，且 B 为锐角 （1）求 sinB； 第 19 页（共 26 页） （2） 若， 且ABC 的面积为， 求ABC 的周长 【分析】 （1）利用二倍角公式化简 3+2sinB4cos2B，解方程求出 sinB 的值； （2）利用正弦定理求得 a+c 的值，再根据三角形的面积公式和余弦定理求得 b 的值，从 而求出ABC 的周长 【解答】解： （1）ABC 中，3+2sinB4cos2B4（12sin2B） 解得或； 又 B 为锐角，； （2）设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， ， ； 又ABC
32、 的面积为， ， ； B 为锐角， 由余弦定理得， 解得 b1， ABC 的周长为 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与周长计算 问题，是中档题 19设数列an的前 n 项和为 Sn，a13，且 Snnan+1n2n （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足 bn，求bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）可令 n1，将 n 换为 n1，相减，运用数列的递推式，结合等差数列的定 义和通项公式，可得所求通项； 第 20 页（共 26 页） （2） 求得 bn， 运用数列的裂项相 消求和，化简可得所求和 【解答】解： （1）由条件知 Snnan+1n2n，
33、当 n1 时，a2a12； 当 n2 时，Sn1（n1）an（n1）2（n1） ， 得 annan+1（n1）an2n， 整理得 an+1an2 综上可知，数列an是首项为 3、公差为 2 的等差数列，从而得 an2n+1 （2）由（1）得 bn， 所以前 n 项和 Tn1+1 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义、 通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题 20如图 1，已知PAB 中，PAPB，点 P 在斜边 AB 上的射影为点 H （）求证：； （）如图 2，已知三棱锥 PABC 中，侧棱 PA，PB，PC 两两互相垂直，点 P
34、 在底面 ABC 内的射影为点 H类比（）中的结论，猜想三棱锥 PABC 中 PH 与 PA，PB，PC 的关系，并证明 【 分 析 】 （ ） 推 导 出， 从 而， 由 勾 股 定 理 得 第 21 页（共 26 页） ，由此能证明 （）连接 AH 延长交 BC 于 M 点，连接 PM，推导出 PA平面 PBC，从而 PAPM， PH平面 ABC，进而 PHAM由 PA平面 PBC，得 PABC，由 PH平面 ABC，得 PHBC，从崦 BC平面 APM，BCPM由此能证明 【解答】证明： （）PAB 中，PAPB，点 P 在斜边 AB 上的射影为点 H 由条件得， ， 由勾股定理，PA2
35、+PB2AB2， ， 解： （）猜想： 证明如下： 连接 AH 延长交 BC 于 M 点，连接 PM， PAPB，PAPC，PBPCP 点， PA平面 PBC， 又 PM平面 PBC，得 PAPM，PH平面 ABC， AM平面 ABC，则 PHAM 在直角三角形 APM 中，由（）中结论， PA平面 PBC，则 PABC， 又 PH平面 ABC，PHBC， 而 PHPAP 点，PH平面 PAM，BC平面 APM，BCPM 又 PBPC，由（）中结论，得 第 22 页（共 26 页） 【点评】本题考查空间中线段间的关系的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查推理论证能力，
36、考查化归与转化思想，是中档题 21已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，其焦点与双曲线 C：x2的焦点重合，且椭圆 E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过双曲线 C 的右顶点 A 作直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q设 M（m，0） ， 当为定值时，求 m 的值； 【分析】 （1）由题意得椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为+1（ab0） ，由双曲 线的焦点可得 c，由等边三角形可得 a2b，解方程可得 a，b，进而得到所求椭圆 方程； （2）当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 yk（x1） ，联立椭圆方程，运用韦达定理 和向量的坐标表示
37、，化简变形可得 m时为定值当直线 l 的斜率不存在 时，直线 l 的方程为 x1，代入椭圆方程可得 P，Q 的坐标，由向量的数量积的坐标表 示可得所求定值 【解答】解： （1）由题意得椭圆的焦点在 x 轴上， 设方程为+1（ab0） ， 其左右焦点为（，0） ， （，0） ，所以 c， 又因为椭圆的短轴的两个端点与一个焦点构成正三角形，所以 a2b， 又因为 a2b2c2，所以 a2，b1 所以椭圆的方程为+y21 （2）双曲线的右顶点为 A（1，0） ， 第 23 页（共 26 页） 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 yk（x1） ， 联立椭圆方程可得（1+4k2）x28k2x+4
38、k240， 设直线 l 与椭圆的交点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则 x1+x2，x1x2， 则（mx1，y1） ，（mx2，y2） ， 所以（mx1） （mx2）+y1y2m2m（x1+x2）+x1x2+y1y2 m2m+k2（+1） m22m+， 当 2m0，即 m时为定值 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1， 联立椭圆方程得 x1，y，不妨设 P（1，） ，Q（1，） ，由 M（，0） 可得 （，） （，） 综上所述当 m时为定值 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理， 以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属
39、于中档题 22已知函数 f（x）x1nx （1）若函数 g（x）f（x）+ax2（a+2）x（a0） ，试研究函数 g（x）的极值情况； （2）记函数 F（x）f（x）在区间（1，2）内的零点为 x0，记 m（x）minf（x） ， ，若 f（x）n（nR）在区间（1，+）内有两个不等实根 x1，x2（x1x2） ，证明： x1+x22x0 【分析】 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出， 第 24 页（共 26 页） （2）先由 x 的范围讨论 f（x） ，g（x）的大小，确定之间的关系式 m（x） ，在判断 x1+x2 与 2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明 【
40、解答】解： （1）f（x）x1nx，x0， f（x）1+lnx， g（x）f（x）+ax2（a+2）x1+lnx+ax2（a+2）x， g（x）+2ax（a+2）， 令 g（x）0， 解得 x或 x， 当时，即 0a2 时， 若 g（x）0，解得 0x，或 x，函数 g（x）单调递增， 若 g（x）0，解得x，函数 g（x）单调递减， g（x）ming（）1+ln+a（a+2） lna， g（x）maxg（）1+ln+a（a+2） ln2， 当时，即 a2 时， 若 g（x）0，解得 0x，或 x，函数 g（x）单调递增， 若 g（x）0，解得x，函数 g（x）单调递减， g（x）maxg（）
41、lna， g（x）mming（）ln2， 当时，即 a2，g（x）0 恒成立， g（x）在（0，+）单调递增， 函数无极值， （2）证明：设 g（x）， 记函数 F（x）f（x）g（x）在区间（1，2）内的零点为 x0，由 f（x）xlnx，当 0 x1 时，f（x）0，而 g（x）0，故 f（x）g（x） ； 第 25 页（共 26 页） F（x）1+lnx+，当 x1 时，F（x）0，存在零点 x0（1，2） ，不然有： F（x0）f（x0）g（x0）0， 故 1xx0时，f（x）g（x） ；当 xx0时，f（x）g（x） ； 而此得到 m（x）， 显然：当 1xx0时，m（x）1+lnx
42、 恒大于 0，m（x）是单增函数 当 xx0时，m（x）恒小于 0，m（x）是单减函数 m（x）n（nR）在（1，+）有两个不等实根 x1，x2（x1x2） ，则 x1（1，x0） ，x2 （x0，+） ， 显然：当 x2+时，x1+x22x0 要证明 x1+x22x0，即可证明 x22x0x1x0，而 m（x）在 xx0时是单减函数故证 m（x2）m（2x0x1） 又由 m（x1）m（x2） ，即可证：m（x1）m（2x0x1） 即 x1lnx1， （构造 思想） 令 h（x）xlnx，由（1xx0） 其中 h（x0）0， 那么：h（x）1+lnx+， 记 （t），则 （t），当 t（0，1）时，（t）0；当 t1 时， （t）0； 故 （t）max； 而 （t）0；故（t）0，而 2x0x0，从而有：0； 因此：h（x）1+lnx+0，即 h（x）单增，从而 1xx0时，h （x）h（x0）0 第 26 页（共 26 页） 即 x1lnx1成立 故得：x1+x22x0 【点评】本题考查了零点才存在性问题和判断，有考查了利用导数来研究函数的单调性， 最值及其运用考了证明化简的能力，不断的构造思想属于难题