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厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查数学试卷(文科)含答案

1、厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查 数学(文科)试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后,将答题卡交回 一、 选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1已知集合3 , 2 , 101,A=,0) 32(|=xxxB,则=BA A1 B2 , 1 C3

2、 , 2 , 1 D3 , 2 , 1 , 0 2设 1i 2 =z,则z的共轭复数为 Ai1+ Bi1 Ci1+ Di1 3已知双曲线E: 2 2 1 y x k =的一个焦点是(2,0),则E的渐近线方程为 A 3 3 yx= Byx= C2yx= D3yx= 4通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目,得到如下列联表: 已知 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K + = 附表: 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 则以下结论正确的是 A有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B有 95%的把握

3、认为“喜欢该电视节目与性别无关” C在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别有关” D在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“喜欢该电视节目与性别无关” 5设x,y满足约束条件 + , , , 02 1 2 yx y x 则yxz=的最大值为 A2 B0 C1 D2 6已知为第三象限角,cossin 10 5 = ,则cos2= A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 7我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称 为刍童现有一个长、宽、高分别为 5、3、3 的长方体,将上 底面绕着上、下底面中心连线(对称轴)旋转 90 度,得到一 个刍童(如图) ,则该刍

4、童的外接球的表面积为 A 4 43 B 2 25 C 43 D50 8将函数( )sin23cos2f xxx=+的图象向左平移(0) 个单位,得到一个偶函数的图象,则的最小值为 A 12 B 6 C 4 D 3 9函数 x x xf x |lne )( =的部分图象大致为 )( 0 2 kKP 0050 0010 0001 0 k 3841 6635 10828 A B C D 10如图,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC 的中点,将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C 两点重合于点 1 A,则线段BA1的长为 A2 B 3 32 C1 D 3 6 11若关于x的不等

5、式 3 eaxx在区间 2 e,e 内有解,则实数a的取值范围是 A 3 ,+ 2 e B 1 e , + C 2 6 + e , D+ e 3 , 12已知ABC是边长为2 3的正三角形,EF为该三角形内切圆的一条弦,且3EF =.若点P在ABC的 三边上运动,则PE PF的最大值为 A 5 2 B11 2 C13 2 D17 2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13已知向量),( 12=a,)( 4 , xb =,若ba ,则x的值为_ 14若曲线 2 3 yax x =+在点)3, 1 (+a处的切线与直线30xy+=平行,则a的值为_ 15已知倾斜角为 4

6、 的直线l经过椭圆E的左焦点,以E的长轴为直径的圆与l交于A,B两点,若弦长AB等 于E的焦距,椭圆E的离心率为 16如图,某景区有景点 A,B,C,D经测量得,BC=6km, 120ABC= , 14 21 sin=BAC,60ACD=,CDAC,则AD= km.现计划从 景点 B 处起始建造一条栈道 BM,并在 M 处修建观景台.为获得最佳观景效果,要 求观景台对景点 A、D 的视角=120AMD.为了节约修建成本,栈道BM长度 的最小值为 km (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生

7、都必 须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共(一)必考题:共 60 分。分。 17(12 分) 在数列 n a中, 2=5 a,且1, n a, +1n a成等差数列 (1)求证:数列1 n a是等比数列; (2)设 n a前n项和为 n S.求使得10log2 n S成立的n的最大值 18.(12 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知动圆E过点) 1 , 0(F,且与直线m:1=y相切动圆圆心E的轨迹记为C. (1)求轨迹C的方程; (2)过点F作斜率为)0( kk的直线l交C于A,B两点,使得8=AB,点Q在m上,且满足1=QBQA, 求QAB的面积. 1

8、9.(12 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PAD为等边三角形,点E,F分别为 PA,CD的中点 (1)求证:/ /EF平面PBC; (2)已知平面PAD 平面ABCD,过E,F,C三点的平面将 四棱锥PABCD分成两部分,求这两部分体积的比 20.(12 分) 某批库存零件在外包装上标有从1到N的连续自然数序号,总数N未知,工作人员随机抽取了n个零件,它们 的序号从小到大依次为: 1 x, 2 x,. , n x现有两种方法对零件总数N进行估计. 方法一: 用样本的数字特征估计总体的数字特征, 可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似 相等,进而可

9、以得到N的估计值 方法二: 因为零件包装上的序号是连续的, 所以抽出零件的序号 1 x, 2 x,. , n x相当于从区间 1, 0+N 中 随机抽取n个整数,这n个整数将区间 1, 0+N分为) 1( +n个小区间:) 1,( ,),(), 0( 211 + Nxxxx n 由于这n 个数是随机抽取的,所以前n个区间的平均长度 n xn 与所有) 1( +n个区间的平均长度 1 1 + + n N 近似相等,进而可以 得到N的估计值 现工作人员随机抽取了31个零件,序号从小到大依次为:83、135、274、380、668、895、955、964、 1113、1174、1210、1344、1

10、387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、 2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791. (1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.(结果四舍五入保留整数) (2)将第(1)问方法二估计的总数N作为这批零件的总数,从中随机抽 取100个零件测量其内径y(单位:mm) ,绘制出频率分布直方图(如右 图).已知标准零件的内径为200mm, 将这100个零件的内径落入各组的 频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零 件为优等品,请求出优等品的内径范围(结果四舍五入保留整

11、数). 21 (12 分) 已知函数xaxxfcos)( 2 = (1)当 2 1 =a时,求函数)(xf的极值点; (2)若)(xf在区间) 2 3 , 2 3 (内有且仅有4个零点的充要条件为),(MNa,求证: 8 2 NM (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。如果多做,则按所做的第一题计分。 22选修44:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy中, 直线l的方程为2x = , 曲线C的方程为() 2 2 11xy+=, 动点P到原点O的距离与到l的 距离相等以坐

12、标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程; 第 20 题图 (2)若Q是曲线C上一点,且4OPOQ=,求|OP. 23选修45:不等式选讲(10 分) 已知函数fxxaxbxc. (1)若, ,0a b c ,( )01f=,证明: 1 3 abbcac+; (2)若1ab=,对于任意的, 1x,( )4f x 恒成立,求c的取值范围. 厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查参考答案 文科数学 一、选择题: CADAC DCACB CB 二、填空题: 132 141 15 6 3 16 6 7 ,10 32 21 三、解答题: 17本

13、题主要考查等差、等比数列的定义,考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算;考查运算求解 能力;考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解:(1)因为1, n a, +1n a成等差数列,所以 1 21 nn aa + =+, 1 分 当1n =时,有 12 21=6aa=+,得 1 3a =, 2 分 所以 +1 12(1) nn aa = ,又 1 12a =,所以 1 1 2 1 n n a a + = , 所以1 n a 是首项为2,公比为2的等比数列. 5 分 (2)由(1)知1 n a 是首项为2,公比为2的等比数列, 所以 1 1222 nn n a =,所以21 n n a

14、 =+ 6 分 所以 123 (21)(21)(21)(21) n n S =+ 7 分 123 (2222 ) n n=+ 2(12 ) 12 n n =+ 1 22 n n + =+, 9 分 所以 2 log10 n S 即 110 222 n n + +, 10 分 因为 1 (22)2(1)2210 nnn nn + +=+ ,所以数列 1 22 n n + +为递增数列 当9n =时, 1010 2922+,不满足,当 8n =时, 910 2822+ 满足 所以满足不等式 2 log10 n S 的最大的正整数n的值为8 12 分 18本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、

15、直线与圆锥曲线的关系等知识;考查运算求解能力、推 理论证能力等;考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分. 解:(1)法一:依题意:平面内动点E到定点F(0,1)和到定直线 1y = 的距离相等, 1 分 根据抛物线的定义,曲线C是以点F为焦点,直线 1y = 为准线的抛物线, 其方程为 2 4xy= 3 分 法二:设点E( , ) x y,依题意有:1EFy=+ , 1 分 即 22 (1)1xyy+=+,化简得到C的方程为 2 4xy=. 3 分 (2)法一:依题意可设直线l的方程为: 1ykx=+ ,A 11 ( ,)x y,B 22 (,)xy, 0 (, 1)

16、Q x . 联立 2 1 4 ykx x y =+ = ,得 2 440xkx=,得 12 4xxk+=, 12 4x x = 5 分 由 12 28AByy=+=,得 2 1212 ()2426yyk xxk+=+=+=, 所以 2 1k = ,即 1k = ,又由0k ,得1k =, 7 分 故: 12 4xx+=, 12 4xx= , 12 6yy+=, 12 1yy=. 101 (,1)QAxxy=+, 202 (,1)QBxxy=+, 2 1212001212 ()1QA QBx xxx xxy yyy=+, 化简得: 2 00 430xx+=,解得 0 1x =或3,即(1, 1)

17、Q或(3, 1)Q. 10 分 当Q为(1, 1) 时,点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 + + =, 13 2 86 2 22 QAB S= =; 当Q为(3, 1) 时,点Q到直线l的距离为 |3 1 1|5 2 22 + + =, 15 2 810 2 22 QAB S= = . 12 分 法二:依题意可设直线l的方程为: 1ykx=+.A 11 ( ,)x y,B 22 (,)xy, 0 (, 1)Q x . 联立 2 1 4 ykx x y =+ = ,得 2 440xkx=,得 12 4xxk+=, 12 4x x = , 5 分 由 12 28AByy=+=,得

18、2 1212 ()2426yyk xxk+=+=+=, 所以 2 1k = ,即 1k = ,又由0k ,得1k =, 7 分 解得(22 2,32 2)A,(22 2,32 2)B+, 故而: 0 (22 2,42 2)QAx=, 0 (22 2,42 2)QBx=+, 22 0000 484168441QA QBxxxx=+=+= ,解得 0 1x =或3, 得 (1, 1)Q 或 (3, 1)Q. 10 分 当Q为(1, 1) 时,点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 + + =, 13 2 86 2 22 QAB S= =; 当Q为(3, 1) 时,点Q到直线l的距离为 |

19、3 1 1|5 2 22 + + =, 15 2 810 2 22 QAB S= =. 12 分 19. 本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力、推理 论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 12 分. 证明:(1)法一:如图,取PB的中点G,连接GC,EG. E是PA的中点,/ /EGAB,且 1 2 EGAB=, 又正方形ABCD,/ /ABCD,ABCD=, / /EGCD,且 1 2 EGCD=. F是CD的中点, 1 2 FCCD=,/ /FCEG且FCEG=, 四边形EGCF是平行四边形,/ /EFGC, 2 分 又GCPB

20、C平面,EFPBC平面,/ /EFPBC平面. 4 分 法二:如图,连接AF并延长,交BC的延长线于H点. / /FCAB且F是CD的中点, 1 2 HFFC AHAB =,F是AH的中点, E是AP的中点,/ /EFPH. 2 分 HBC,PHPBC平面,又EFPBC平面,/ /EFPBC平面. 4 分 法三:如图,取AB中点M,连接EM,FM. ,E M分别是,AP AB的中点,/ /EMPB, 又EMPBC平面,PBPBC平面,/ /EMPBC平面. ,F M分别是,CD AB的中点,/ /FCMB,且FCBM=, 四边形BMFC是平行四边形,/ /MFBC, 又FMPBC平面,BCPB

21、C平面,/ /MFPBC平面 . 3 分 又EMMFM=,/ /EFMPBC平面平面. EFEFM平面,/ /EFPBC平面. 4 分 解:(2)如图,取PB的中点G,由(1)可知,/ /EGCD,所以过,E F C的平面即为平面EGCD. 5 分 PAD是等边三角形,E是AP中点,EPED. 在正方形ABCD中,ABAD, 平面PAD 平面ABCD,PADABCDAD=平面平面,ABABCD平面, ABPAD平面,由(1)可知/ /EGAB,EGPAD平面, EGEP,又EPED,DEEGE=,PE 平面EGCD. 7 分 1 3 P EGCDEGCD VPES =. 在四棱锥PEGCD中,

22、EGPAD平面,EGDE, 底面EGCD为直角梯形,又底面边长为 2,PAD是等边三角形, 3DE=, 13 3 (12)3 22 EGCD S=+=,又1PE =, 113 33 1 3322 P EGCDEGCD VPES = =. 9 分 取AD的中点N,连接PN. PAD是等边三角形,N是AD中点,NPAD. 又平面PAD 平面ABCD,PADABCDAD=平面平面 ,NPPAD平面 NPABCD平面, 4 3 3 11 34 33 P ABCDABCD VPNS = . 11 分 所以 3 3 2 84 3 3 P EGCD P ABCD V V =,所以被平面EFC分成的两部分的体

23、积比为 3 5 . 12 分 20.本题考查频率分布直方图,样本数字特征估计总体数字特征等知识;考查学生的阅读理解能力、数据处理能 力和运算求解能力;考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识满分 12 分. 解:(1)方法一 31个零件序号的中位数为1546,所有零件序号的中位数为 1 2 N + , 2 分 依题意得 1 1546 2 N + =,解得3091N =. 3 分 方法二 抽取的31个零件将0, 1N + 划分为32个区间,平均长度为 1 32 N + , 前31个区间的平均长度为 2791 31 , 5 分 依题意得 12791 3231 N + =,解得2880

24、N . 6 分 (2) 抽取的720件优等品占总数的 7201 28804 =,依题意得 1 (200200) 4 Pmym+=, 8 分 由频率分布直方图可知: (190210)(0.0290.041) 100.70.25Py=+= ,故010m, 则 (200200 )(0.0290.041) 100.25Pmymmm+=+= , 10 分 解得3m .故优等品的范围为197 203y. 11 分 因为205 197,203 ,所以内径为205的零件不能作为优等品. 12 分 21.本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查数形 结合思想,函

25、数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 12 分. 解:(1) 1 2 a = ( ) 2 1 cos 2 f xxx=,( )sinfxxx=+, 1 分 法一:(0)0 f =, 2 分 当 (0,1x 时,0x ,sin0x ,( )0fx ,当 (1,)x+时,( )sin1sin0fxxxx=+ +. 当0x 时,( )0fx , 又()sin( )fxxxfx= = ,( )fx是奇函数, 当0x 时,( )0fx. 4 分 综上,当0x 时,( )0fx ,( )yf x=单调递减;当0x 时,( )0fx ,( )yf x=单调递增; 因此0x =为函数( )yf

26、x=的极小值点,无极大值点. 5 分 法二:令( )( )sing xfxxx=+,(0)0 f =, 2 分 则( )1cosgxx= +,cos1x ( )=1cos0gxx+,故( )yfx=在R上单调递增. 4 分 所以当0x 时,( )( ) 00fxf=,( )yf x=单调递减;当0x 时,( )( ) 00fxf=,( )yf x=单调递 增;因此0x =为函数( )yf x=的极小值点,无极大值点. 5 分 (2)当0x =时,( )0f x ,故( ) 2 cos 0 x f xa x =, 33 , 22 x 且0x . 6 分 令( ) 2 cosx h x x =,则

27、( )() 2 43 sin2 cos1 sin2cos xxxx h xxxx xx =+ , 1当0, 2 x 时,( )0hx ,( )yh x=单调递减,当0x ,( )h x +,0 2 h = ; 2当, 2 x 时,令( )sin2cosxxxx=+,则( )cossin0xxxx=,( )yx=单调递减,又 0 22 = ,( )20 = , 故存在 0 , 2 x 使得() 0 0x=, 即当 0 , 2 xx 时,( )0x,( )0hx , ( )yh x=单调递减;当() 0, xx时,( )0x,( )0hx ,( )yh x=单调递增; 3当 3 , 2 x 时,(

28、 )0hx ,( )yh x=单调递增; 综上可知:( )yh x=在() 0 0,x上单调递减,在 0 3 , 2 x 上单调递增. 9 分 由于( )yh x=为偶函数,只需函数( )yh x=与y a= 在 3 (0,) 2 上有两个交点.( )0h +,0 2 h = , () 0 0h x, 3 0 2 h = , 3 0 2 Mh = ,() 0 Nh x=. 10 分 以下估计() 0 Nh x=的范围: 法一: 0 ()0x=, 000 sin2cos0xxx+=, 0 0 0 2cos sin x x x = , 22 000 00 2 0000 cossin1cos11 ()(cos) 4cos4cos4 cos xxx h xx xxxx = 323 ()(-2)0 424 =, 0 3 (, ) 4 x , 0 2 cos( 1,) 2 x . 令 0 2 cos( 1,) 2 tx= ,则00 0 111 1 ()(cos)() 4 cos4 Nh xxt xt = , 1 1 (