1、厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查 数学（文科）试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡交回 一、 选择题： 本题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1已知集合3 , 2 , 101，A=，0) 32(|=xxxB，则=BA A1 B2 , 1 C3
2、 , 2 , 1 D3 , 2 , 1 , 0 2设 1i 2 =z，则z的共轭复数为 Ai1+ Bi1 Ci1+ Di1 3已知双曲线E： 2 2 1 y x k =的一个焦点是(2,0)，则E的渐近线方程为 A 3 3 yx= Byx= C2yx= D3yx= 4通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表： 已知 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K + = 附表： 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 则以下结论正确的是 A有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B有 95%的把握
3、认为“喜欢该电视节目与性别无关” C在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关” D在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关” 5设x，y满足约束条件 + ， ， ， 02 1 2 yx y x 则yxz=的最大值为 A2 B0 C1 D2 6已知为第三象限角，cossin 10 5 = ，则cos2= A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 7我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称 为刍童现有一个长、宽、高分别为 5、3、3 的长方体，将上 底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转 90 度，得到一 个刍童（如图） ，则该刍
4、童的外接球的表面积为 A 4 43 B 2 25 C 43 D50 8将函数( )sin23cos2f xxx=+的图象向左平移(0) 个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 A 12 B 6 C 4 D 3 9函数 x x xf x |lne )( =的部分图象大致为 )( 0 2 kKP 0050 0010 0001 0 k 3841 6635 10828 A B C D 10如图，边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC 的中点，将AED,DCF分别沿DE,DF折起，使A,C 两点重合于点 1 A,则线段BA1的长为 A2 B 3 32 C1 D 3 6 11若关于x的不等
5、式 3 eaxx在区间 2 e,e 内有解，则实数a的取值范围是 A 3 ,+ 2 e B 1 e , + C 2 6 + e ， D+ e 3 ， 12已知ABC是边长为2 3的正三角形，EF为该三角形内切圆的一条弦，且3EF =.若点P在ABC的 三边上运动，则PE PF的最大值为 A 5 2 B11 2 C13 2 D17 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量），（ 12=a，）（ 4 , xb =，若ba ，则x的值为_ 14若曲线 2 3 yax x =+在点)3, 1 (+a处的切线与直线30xy+=平行，则a的值为_ 15已知倾斜角为 4
6、 的直线l经过椭圆E的左焦点，以E的长轴为直径的圆与l交于A，B两点，若弦长AB等 于E的焦距，椭圆E的离心率为 16如图，某景区有景点 A，B，C，D经测量得，BC=6km， 120ABC= ， 14 21 sin=BAC，60ACD=，CDAC，则AD= km.现计划从 景点 B 处起始建造一条栈道 BM，并在 M 处修建观景台.为获得最佳观景效果，要 求观景台对景点 A、D 的视角=120AMD.为了节约修建成本，栈道BM长度 的最小值为 km （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生
7、都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17(12 分） 在数列 n a中， 2=5 a，且1， n a， +1n a成等差数列 （1）求证：数列1 n a是等比数列； （2）设 n a前n项和为 n S.求使得10log2 n S成立的n的最大值 18.（12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知动圆E过点) 1 , 0(F，且与直线m：1=y相切动圆圆心E的轨迹记为C. （1）求轨迹C的方程； （2）过点F作斜率为)0( kk的直线l交C于A，B两点，使得8=AB，点Q在m上，且满足1=QBQA, 求QAB的面积. 1
8、9.（12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAD为等边三角形，点E，F分别为 PA，CD的中点 （1）求证：/ /EF平面PBC； （2）已知平面PAD 平面ABCD，过E，F，C三点的平面将 四棱锥PABCD分成两部分，求这两部分体积的比 20.（12 分） 某批库存零件在外包装上标有从1到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们 的序号从小到大依次为： 1 x， 2 x，. ， n x现有两种方法对零件总数N进行估计. 方法一： 用样本的数字特征估计总体的数字特征， 可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似 相等，进而可
9、以得到N的估计值 方法二： 因为零件包装上的序号是连续的， 所以抽出零件的序号 1 x， 2 x，. ， n x相当于从区间 1, 0+N 中 随机抽取n个整数，这n个整数将区间 1, 0+N分为) 1( +n个小区间：) 1,( ,),(), 0( 211 + Nxxxx n 由于这n 个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度 n xn 与所有) 1( +n个区间的平均长度 1 1 + + n N 近似相等，进而可以 得到N的估计值 现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、 1113、1174、1210、1344、1
10、387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、 2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791. （1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.（结果四舍五入保留整数） （2）将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽 取100个零件测量其内径y（单位:mm） ，绘制出频率分布直方图（如右 图）.已知标准零件的内径为200mm， 将这100个零件的内径落入各组的 频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零 件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整
11、数）. 21 （12 分） 已知函数xaxxfcos)( 2 = （1）当 2 1 =a时，求函数)(xf的极值点； （2）若)(xf在区间) 2 3 , 2 3 (内有且仅有4个零点的充要条件为),(MNa，求证： 8 2 NM （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中， 直线l的方程为2x = ， 曲线C的方程为() 2 2 11xy+=， 动点P到原点O的距离与到l的 距离相等以坐
12、标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C的极坐标方程和P点轨迹的极坐标方程； 第 20 题图 （2）若Q是曲线C上一点，且4OPOQ=，求|OP. 23选修45：不等式选讲（10 分） 已知函数fxxaxbxc. （1）若, ,0a b c ，( )01f=，证明： 1 3 abbcac+； （2）若1ab=，对于任意的, 1x，( )4f x 恒成立，求c的取值范围. 厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查参考答案 文科数学 一、选择题： CADAC DCACB CB 二、填空题： 132 141 15 6 3 16 6 7 ，10 32 21 三、解答题： 17本
13、题主要考查等差、等比数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算；考查运算求解 能力；考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解：（1）因为1， n a， +1n a成等差数列，所以 1 21 nn aa + =+， 1 分 当1n =时，有 12 21=6aa=+，得 1 3a =， 2 分 所以 +1 12(1) nn aa = ，又 1 12a =，所以 1 1 2 1 n n a a + = ， 所以1 n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 5 分 （2）由（1）知1 n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 1 1222 nn n a =，所以21 n n a
14、 =+ 6 分 所以 123 (21)(21)(21)(21) n n S =+ 7 分 123 (2222 ) n n=+ 2(12 ) 12 n n =+ 1 22 n n + =+， 9 分 所以 2 log10 n S 即 110 222 n n + +， 10 分 因为 1 (22)2(1)2210 nnn nn + +=+ ，所以数列 1 22 n n + +为递增数列 当9n =时， 1010 2922+，不满足，当 8n =时， 910 2822+ 满足 所以满足不等式 2 log10 n S 的最大的正整数n的值为8 12 分 18本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、
15、直线与圆锥曲线的关系等知识；考查运算求解能力、推 理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分. 解：（1）法一：依题意：平面内动点E到定点F(0,1)和到定直线 1y = 的距离相等， 1 分 根据抛物线的定义，曲线C是以点F为焦点，直线 1y = 为准线的抛物线， 其方程为 2 4xy= 3 分 法二：设点E( , ) x y，依题意有：1EFy=+ ， 1 分 即 22 (1)1xyy+=+，化简得到C的方程为 2 4xy=. 3 分 （2）法一：依题意可设直线l的方程为： 1ykx=+ ，A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy， 0 (, 1)
16、Q x . 联立 2 1 4 ykx x y =+ = ，得 2 440xkx=，得 12 4xxk+=， 12 4x x = 5 分 由 12 28AByy=+=，得 2 1212 ()2426yyk xxk+=+=+=， 所以 2 1k = ，即 1k = ，又由0k ，得1k =， 7 分 故： 12 4xx+=， 12 4xx= ， 12 6yy+=， 12 1yy=. 101 (,1)QAxxy=+， 202 (,1)QBxxy=+， 2 1212001212 ()1QA QBx xxx xxy yyy=+， 化简得： 2 00 430xx+=，解得 0 1x =或3，即(1, 1)
17、Q或(3, 1)Q. 10 分 当Q为(1, 1) 时，点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 + + =， 13 2 86 2 22 QAB S= =； 当Q为(3, 1) 时，点Q到直线l的距离为 |3 1 1|5 2 22 + + =， 15 2 810 2 22 QAB S= = . 12 分 法二：依题意可设直线l的方程为： 1ykx=+.A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy， 0 (, 1)Q x . 联立 2 1 4 ykx x y =+ = ，得 2 440xkx=，得 12 4xxk+=， 12 4x x = ， 5 分 由 12 28AByy=+=，得
18、2 1212 ()2426yyk xxk+=+=+=， 所以 2 1k = ，即 1k = ，又由0k ，得1k =， 7 分 解得(22 2,32 2)A，(22 2,32 2)B+， 故而： 0 (22 2,42 2)QAx=， 0 (22 2,42 2)QBx=+， 22 0000 484168441QA QBxxxx=+=+= ，解得 0 1x =或3， 得 (1, 1)Q 或 (3, 1)Q. 10 分 当Q为(1, 1) 时，点Q到直线l的距离为 |1 1 1|3 2 22 + + =， 13 2 86 2 22 QAB S= =； 当Q为(3, 1) 时，点Q到直线l的距离为 |
19、3 1 1|5 2 22 + + =， 15 2 810 2 22 QAB S= =. 12 分 19. 本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理 论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 12 分. 证明：（1）法一：如图，取PB的中点G，连接GC，EG. E是PA的中点，/ /EGAB，且 1 2 EGAB=， 又正方形ABCD，/ /ABCD，ABCD=， / /EGCD，且 1 2 EGCD=. F是CD的中点， 1 2 FCCD=，/ /FCEG且FCEG=， 四边形EGCF是平行四边形，/ /EFGC， 2 分 又GCPB
20、C平面，EFPBC平面，/ /EFPBC平面. 4 分 法二：如图，连接AF并延长，交BC的延长线于H点. / /FCAB且F是CD的中点， 1 2 HFFC AHAB =，F是AH的中点， E是AP的中点，/ /EFPH. 2 分 HBC，PHPBC平面,又EFPBC平面，/ /EFPBC平面. 4 分 法三：如图，取AB中点M，连接EM，FM. ,E M分别是,AP AB的中点，/ /EMPB， 又EMPBC平面，PBPBC平面，/ /EMPBC平面. ,F M分别是,CD AB的中点，/ /FCMB，且FCBM=， 四边形BMFC是平行四边形，/ /MFBC， 又FMPBC平面，BCPB
21、C平面，/ /MFPBC平面 . 3 分 又EMMFM=，/ /EFMPBC平面平面. EFEFM平面，/ /EFPBC平面. 4 分 解：（2）如图，取PB的中点G，由（1）可知,/ /EGCD，所以过,E F C的平面即为平面EGCD. 5 分 PAD是等边三角形，E是AP中点，EPED. 在正方形ABCD中，ABAD， 平面PAD 平面ABCD，PADABCDAD=平面平面，ABABCD平面， ABPAD平面，由（1）可知/ /EGAB，EGPAD平面， EGEP，又EPED，DEEGE=，PE 平面EGCD. 7 分 1 3 P EGCDEGCD VPES =. 在四棱锥PEGCD中，
22、EGPAD平面,EGDE， 底面EGCD为直角梯形，又底面边长为 2，PAD是等边三角形， 3DE=， 13 3 (12)3 22 EGCD S=+=，又1PE =， 113 33 1 3322 P EGCDEGCD VPES = =. 9 分 取AD的中点N，连接PN. PAD是等边三角形，N是AD中点，NPAD. 又平面PAD 平面ABCD，PADABCDAD=平面平面 ,NPPAD平面 NPABCD平面， 4 3 3 11 34 33 P ABCDABCD VPNS = . 11 分 所以 3 3 2 84 3 3 P EGCD P ABCD V V =，所以被平面EFC分成的两部分的体
23、积比为 3 5 . 12 分 20.本题考查频率分布直方图，样本数字特征估计总体数字特征等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能 力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识满分 12 分. 解：（1）方法一 31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为 1 2 N + ， 2 分 依题意得 1 1546 2 N + =，解得3091N =. 3 分 方法二 抽取的31个零件将0, 1N + 划分为32个区间，平均长度为 1 32 N + ， 前31个区间的平均长度为 2791 31 ， 5 分 依题意得 12791 3231 N + =，解得2880
24、N . 6 分 （2） 抽取的720件优等品占总数的 7201 28804 =，依题意得 1 (200200) 4 Pmym+=， 8 分 由频率分布直方图可知： (190210)(0.0290.041) 100.70.25Py=+= ，故010m， 则 (200200 )(0.0290.041) 100.25Pmymmm+=+= ， 10 分 解得3m .故优等品的范围为197 203y. 11 分 因为205 197,203 ，所以内径为205的零件不能作为优等品. 12 分 21.本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形 结合思想，函
25、数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 12 分. 解：（1） 1 2 a = ( ) 2 1 cos 2 f xxx=，( )sinfxxx=+， 1 分 法一：(0)0 f =， 2 分 当 (0,1x 时，0x ，sin0x ，( )0fx ，当 (1,)x+时，( )sin1sin0fxxxx=+ +. 当0x 时，( )0fx ， 又()sin( )fxxxfx= = ，( )fx是奇函数， 当0x 时，( )0fx. 4 分 综上，当0x 时，( )0fx ，( )yf x=单调递减；当0x 时，( )0fx ，( )yf x=单调递增； 因此0x =为函数( )yf
26、x=的极小值点，无极大值点. 5 分 法二：令( )( )sing xfxxx=+，(0)0 f =， 2 分 则( )1cosgxx= +，cos1x ( )=1cos0gxx+，故( )yfx=在R上单调递增. 4 分 所以当0x 时，( )( ) 00fxf=，( )yf x=单调递减；当0x 时，( )( ) 00fxf=，( )yf x=单调递 增；因此0x =为函数( )yf x=的极小值点，无极大值点. 5 分 （2）当0x =时，( )0f x ，故( ) 2 cos 0 x f xa x =， 33 , 22 x 且0x . 6 分 令( ) 2 cosx h x x =，则
27、( )() 2 43 sin2 cos1 sin2cos xxxx h xxxx xx =+ ， 1当0, 2 x 时，( )0hx ，( )yh x=单调递减，当0x ，( )h x +，0 2 h = ； 2当, 2 x 时，令( )sin2cosxxxx=+，则( )cossin0xxxx=，( )yx=单调递减，又 0 22 = ，( )20 = ， 故存在 0 , 2 x 使得() 0 0x=， 即当 0 , 2 xx 时，( )0x，( )0hx ， ( )yh x=单调递减；当() 0, xx时，( )0x，( )0hx ，( )yh x=单调递增； 3当 3 , 2 x 时，(
28、 )0hx ，( )yh x=单调递增； 综上可知：( )yh x=在() 0 0,x上单调递减，在 0 3 , 2 x 上单调递增. 9 分 由于( )yh x=为偶函数，只需函数( )yh x=与y a= 在 3 (0,) 2 上有两个交点.( )0h +，0 2 h = ， () 0 0h x， 3 0 2 h = ， 3 0 2 Mh = ，() 0 Nh x=. 10 分 以下估计() 0 Nh x=的范围： 法一： 0 ()0x=， 000 sin2cos0xxx+=， 0 0 0 2cos sin x x x = ， 22 000 00 2 0000 cossin1cos11 ()(cos) 4cos4cos4 cos xxx h xx xxxx = 323 ()(-2)0 424 =， 0 3 (, ) 4 x ， 0 2 cos( 1,) 2 x . 令 0 2 cos( 1,) 2 tx= ，则00 0 111 1 ()(cos)() 4 cos4 Nh xxt xt = ， 1 1 (