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江苏省苏州2020年3月高考数学模拟试卷含附加题(含答案解析)

1、2020 年高考数学(3 月份)模拟试卷 一、填空题. 1已知 A1,3,4,B3,4,5,则 AB 2若复数 z 满足(1+2i)z3+4i(i 是虚数单位),则|z| 3执行如图所示的算法流程图,输出的 S 的值是 4若数据 2,x,2,2 的方差为 0,则 x 5在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 是 6先把一个半径为 5,弧长为 6 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥,再把一个实心的 铁球融化为铁水倒入此圆锥内(假设圆锥的侧面不渗漏,且不计损耗),正好

2、把此空心 的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥,则此球的半径为 7若双曲线的左焦点在抛物线 y 22px 的准线上,则 p 的值为 8在ABC 所在的平面上有一点 P,满足,则 9已知直线 ykx2 与曲线 yxlnx 相切,则实数 k 的值为 10已知椭圆 C:+1(ab0),直线 y b 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 OAOB,则椭圆离心率的值等于 11 已知正项数列an的前 n 项和为 Sn, a122, 且当 n2 时,为 Sn和 Sn1的等差中项, 则 S32的值为 12 设 , 为锐角, tanatan (a1) , 若 的最大值为, 则实数 a 的值为 13在平面直角坐标系

3、 xOy 中,已知 A,B 为圆 C:(xa)2+(y2)24 上两个动点, 且 AB2若直线 l:yx 上存在点 P,使得 +,则实数 a 的取值范围 为 14已知函数 f(x)ex,若函数 g(x)(x2)2f(x)+2a|x2|有 6 个零点, 则实数 a 的取值范围为 二、解答题: 共 6 小题, 共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin(AB)+sinC1 (1)求 sinAcosB 的值; (2)若 a2b,求 sinA 的值 16如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1

4、中,ABC90,ABAA1,M,N 分别是 AC,B1C1 的中点求证: (1)MN平面 ABB1A1; (2)ANA1B 17如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆的右焦点为 F (1,0),并且点在椭圆上 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设斜率为 k(k 为常数)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,交 x 轴于点 P(m,0), Q 为直线 x2 上的任意一点,记 QA,QB,QP 的斜率分别为 k1,k2,k0若 k1+k22k0, 求 m 的值 18 (16 分)如图,PQ 为某公园的一条道路,一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切, 记其圆心为 O,切点为 G为参观

5、方便,现新修建两条道路 CA、CB,分别与圆 O 相切 于 D、 E 两点, 同时与 PQ 分别交于 A、 B 两点, 其中 C、 O、 G 三点共线且满足 CACB, 记道路 CA、CB 长之和为 L (1)设ACO,求出 L 关于 的函数关系式 L();设 AB2x 米,求出 L 关于 x 的函数关系式 L(x) (2)若新建道路每米造价一定,请选择(1)中的一个函数关系式,研究并确定如何设 计使得新建道路造价最少 19(16 分)设 f(x)aexa,g(x)axx2(a 为与自变量 x 无关的正实数) (1)证明:函数 f(x)与 g(x)的图象存在一个公共的定点,且在公共定点处有一条

6、公 切线; (2)是否存在实数 k,使得对任意的恒成立,若存 在,求出 k 的取值范围,否则说明理由 20 (16 分)定义:对于一个项数为 m(m2,mN*)的数列an,若存在 kN*且 km, 使得数列an的前 k 项和与剩下项的和相等(若仅为 1 项,则和为该项本身),我们称该 数列是“等和数列”例如:因为 32+1,所以数列 3,2,1 是“等和数列”请解答 以下问题: (1)判断数列 2,4,6,8 是否是“等和数列”,请说明理由; (2)已知等差数列an共有 r 项(r3,且 r 为奇数),a11,an的前 n 项和 Sn满足 nSn+1(n+1)Sn+n(n+1)(nr1)判断a

7、n是不是“等和数列”,并证明你的结 论 (3)bn是公比为 q 项数为 m(mN*,m3)的等比数列bn,其中 q2判断bn 是不是“等和数列”,并证明你的结论 三、【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答若多做,则按作答的 前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-2:矩阵与变换 21在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+y20 在矩阵 A对应的变换作用下得到的 直线仍为 x+y20,求矩阵 A 选修 4-4:极坐标与参数方程 22在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为以极点为原点,极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为(

8、 为参数)求直 线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 选修 4-5:不等式选讲 23已知 x,y,z 均为正数,且,求证:x+4y+9z10 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 24如图,在三棱锥 DABC 中,DA平面 ABC,CAB90,且 ACAD1,AB2, E 为 BD 的中点 (1)求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值; (2)求二面角 ACEB 的余弦值 25在自然数列 1,2,3,n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 nk 个元素变动 位置,得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记

9、为 Pn(k) (1)求 P3(1) (2)求P4(k); (3)证明kPn(k)nPn1(k),并求出kPn(k)的值 参考答案 一、填空题:共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分不需要写出解答过程,请把答案直接填 在答题卡相应位置上 1已知 A1,3,4,B3,4,5,则 AB 3,4 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可 解:A1,3,4,B3,4,5, AB3,4 故答案为:3,4 2若复数 z 满足(1+2i)z3+4i(i 是虚数单位),则|z| 【分析】先利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,化简复数 z 到 最简形式,再利用复数的模的定义求出

10、|z| 解:因为复数 z 满足(1+2i)z3+4i(i 是虚数单位), z1+2i; |z|; 故答案为: 3执行如图所示的算法流程图,输出的 S 的值是 7 【分析】这是一个递推问题,因为只需算到 n3,所以可以逐项列举计算 解:n1 时,S20+11 n2 时,S21+13 n1 时,S23+17 因为 n3 时停止循环 故 S7 故答案为:7 4若数据 2,x,2,2 的方差为 0,则 x 2 【分析】由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之 解 : 因 为 数 据2 , x , 2 , 2的 方 差 为0 , 由 其 平 均 数 为, 得 到 0,解得 x2; 故答案为:2 5在一

11、个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从中随机取出 2 个小球,共有 C52 种结果, 满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为 3 或 6, 可以列举出所有的事件 共有 3 种结果,根据古典概型概率公式得到结果 解:由题意知,本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是从中随机取出 2 个小球,共有 C5210 种结果, 满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为 3 或 6, 可以列举出所有的事件:1,2;1,5

12、;2,4,共有 3 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P, 故答案为: 6先把一个半径为 5,弧长为 6 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥,再把一个实心的 铁球融化为铁水倒入此圆锥内(假设圆锥的侧面不渗漏,且不计损耗),正好把此空心 的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥,则此球的半径为 【分析】由已知先求出圆锥的底面半径及高,求出圆锥的体积即为球的体积,然后根据 球体积公式即可求解 解:由题意可知,圆锥的底面周长 62 OA,OA5, 所以 OA3,PO4, 所以圆锥的体积 V12, 设球的半径 r,则12, 所以 r 故答案为: 7若双曲线的左焦点在抛物线 y 22px 的准线上,则 p

13、 的值为 6 【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标,代入抛物线的准线方程求解 p 解:由双曲线,得 a25,b24, 则,则双曲线的左焦点为(3,0), 抛物线 y22px 的准线方程为 x ,则,p6 故答案为:6 8在ABC 所在的平面上有一点 P,满足,则 【分析】由可得,则 即可求解 解:由可得, 则 | |cosAPB, |cos(APB)2| |cosAPB 则 故答案为: 9已知直线 ykx2 与曲线 yxlnx 相切,则实数 k 的值为 1+ln2 【分析】设切点为(x0,x0lnx0),对 yxlnx 求导数得 ylnx+1,从而得到切线的斜率 klnx0+1,结合直线方程的点

14、斜式化简得切线方程为 y(lnx0+1)xx0,对照已知直线 列出关于 x0、k 的方程组,解之即可得到实数 k 的值 解:设切点为(x0,x0lnx0), 对 yxlnx 求导数,得 ylnx+1, 切线的斜率 klnx0+1, 故切线方程为 yx0lnx0(lnx0+1)(xx0), 整理得 y(lnx0+1)xx0, 与直线 ykx2 比较, 得:, 故 k1+ln2, 故答案为:1+ln2 10已知椭圆 C:+1(ab0),直线 y b 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 OAOB,则椭圆离心率的值等于 【分析】 直线与椭圆的方程联立求出 A, B 的坐标, 由 OAOB 可得0, 求

15、出 a, b 的关系,再由 a,b,c 之间的关系求出离心率 解:联立方程组可得,所以 xa, 所以 A(a,),B(,), 因为 OAOB,所以0, 所以aa+()20,可得 a22b2, 所以离心率 e 故答案为: 11 已知正项数列an的前 n 项和为 Sn, a122, 且当 n2 时,为 Sn和 Sn1的等差中项, 则 S32的值为 8 【分析】运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得 Sn2,进而得到 Sn, 即可得到所求值 解:正项数列an的前 n 项和为 Sn,a122,且当 n2 时, 为 Sn和 Sn1的等差中项, 可得 Sn+Sn1 ,即为 Sn2Sn122,

16、 可得Sn2是首项、公差均为 2 的等差数列,即有 Sn22n, 由题意可得 Sn,nN*, 则 S32 8, 故答案为:8 12 设, 为锐角, tanatan (a1) , 若的最大值为, 则实数a的值为 【分析】由题意利用两角和差的的三角公式 解 : tan ( ) , 因为 ,为锐角, 所以(当且仅当时,取等号), 因为 a1, 所以, 所以 tan()最大值为, 又因为 的最大值为,所以 tan, 即 2a1, 解得 a3+2, 故答案为:3+2 13在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 为圆 C:(xa)2+(y2)24 上两个动点, 且 AB2若直线 l:yx 上存在点 P

17、,使得 +,则实数 a 的取值范围为 【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),圆 C: (xa)2+(y2)24 的圆心 C(a,2), 半径 r2,求出圆心 C 到 AB 的距离为 1,设 P(x,x),由向量等式可得 AB 的中点 M 的坐标,再由|CM|1 列关于 x 的方程,由直线 l 上存在点 P,使得+,利用 判别式大于等于 0 求得实数 a 的取值范围 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M( ,), 圆 C:(xa)2+(y2)24 的圆心 C(a,2),半径 r2, 圆心 C(a,2)到 AB 的距离|CM|, 直线 l:yx 上存在点 P,使得

18、+, 设 P(x,x),则(x1x,y1+x)+(x2x,y2+x)(a,2), ,得,即 M(x+,x+1), |CM|, 整理,得 2x2+(2a)x+, 直线 l:yx 上存在点 P,使得+, 0,解得 故答案为: 14已知函数 f(x)ex,若函数 g(x)(x2)2f(x)+2a|x2|有 6 个零点, 则实数 a 的取值范围为 【分析】可以先对 ex|x2|整体换元,转化为一元二次方程首先有两个正根 t1,t2,然后 令,转化为 yti 与 yex|x2|各有三个交点的问题 解:对于 g(x)0,令 t|x2|ex, t2+2ata0有两个正根 t1,t2 做出 t|x2|ex的图

19、象如右图: (, x2 时,t0;1x2 时,t0;x1 时,t0 该函数在(,1)递增,在(1,2)上递减,在(2,+)递增, 且 t0 恒成立且当 yti与 t|x2|ex各有三个交点时,满足题意, 据图可知方程在(0,e)上有两个不等实根时即可,令 h(t)t2+2ata, ,解得 故答案为: 二、解答题: 共 6 小题, 共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin(AB)+sinC1 (1)求 sinAcosB 的值; (2)若 a2b,求 sinA 的值 【分析】 (1)

20、 利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式, 即可求出 sinAcosB 的值; (2)利用正弦定理把 a2b 化为 sinA2sinB,再利用(1)的结论求出 B 的值,从而求 出 sinA 的值 解:(1)ABC 中,A+B+C, sin(AB)+sinCsin(AB)+sin(A+B) (sinAcosBcosAsinB)+(sinAcosB+cosAsinB) 2sinAcosB1, sinAcosB; (2)ABC 中,a2b, sinA2sinB, sinAcosB2sinBcosBsin2B, 2B或 2B, B或 B; sinB或 sinB, sinA2sinB或 sinA2

21、sinB(不合题意,舍去) 综上,sinA 16如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC90,ABAA1,M,N 分别是 AC,B1C1 的中点求证: (1)MN平面 ABB1A1; (2)ANA1B 【分析】(1)取 AB 的中点 P,连结 PM、PB1推导出四边形 PMNB1是平行四边形,从 而 MNPB1,由此能证明 MN平面 ABB1A1 (2)推导出 BB1面 A1B1C1,从而面 ABB1A1面 A1B1C1推导出 B1C1B1A1,从而 B1C1 面 ABB1A1,进而 B1C1A1B,即 NB1A1B,连结 AB1,推导出 AB1A1B,从而 A1B 面 AB1N,由此能

22、证明 A1BAN 【解答】证明:(1)取 AB 的中点 P,连结 PM、PB1, 因为 M、P 分别是 AB,AC 的中点,所以 PMBC 且 PMBC, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCB1C1,BCB1C1, 又因为 N 是 B1C1的中点, 所以 PMB1N,且 PMB1N 所以四边形 PMNB1是平行四边形, 所以 MNPB1, 而 MN平面 ABB1A1,PB1平面 ABB1A1, 所以 MN平面 ABB1A1 (2)因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱,所以 BB1面 A1B1C1, 又因为 BB1面 ABB1A1,所以面 ABB1A1面 A1B1C1, 又因为ABC90

23、,所以 B1C1B1A1, 面 ABB1A1面 A1B1C1B1A1,B1C1平面 A1B1C1, 所以 B1C1面 ABB1A1, 又因为 A1B面 ABB1A1,所以 B1C1A1B,即 NB1A1B, 连结 AB1,因为在平行四边形 ABB1A1中,ABAA1, 所以 AB1A1B, 又因为 NB1AB1B1,且 AB1,NB1面 AB1N, 所以 A1B面 AB1N, 而 AN面 AB1N,所以 A1BAN 17如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆的右焦点为 F (1,0),并且点在椭圆上 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设斜率为 k(k 为常数)的直线 l 与椭圆交于 A,

24、B 两点,交 x 轴于点 P(m,0), Q 为直线 x2 上的任意一点,记 QA,QB,QP 的斜率分别为 k1,k2,k0若 k1+k22k0, 求 m 的值 【 分 析 】 ( 1 ) 根 据 焦 点 坐 标 可 得c 1 , 利 用 椭 圆 定 义 可 得 , 结合 a2b2+c2, 解出 b 即可; (2)设直线 l:yk(xm),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(2,y0),与椭圆方程联 立,结合 Q 不在直线 l 上,可整理得到 2x1x2(2+m)(x1+x2)+4m0,利用根与系数 关系,带入即可计算出 m 的值 解:(1)因为椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)和

25、F2(1,0),点在此椭 圆上 所以, 所以, 所以椭圆方程为; (2)由已知直线 l:yk(xm),设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(2,y0), 由得(1+2k2)x24mk2x+2k2m220 所以 因为且 k1+k22k0, 所以, 整理得, 因为点 Q(2,y0)不在直线 l 上,所以 2kkmy00, 所以,整理得 2x1x2(2+m)(x1+x2)+4m0, 将,代入上式解得 m1, 所以 m1 18 (16 分)如图,PQ 为某公园的一条道路,一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切, 记其圆心为 O,切点为 G为参观方便,现新修建两条道路 CA、CB,分别与圆

26、 O 相切 于 D、 E 两点, 同时与 PQ 分别交于 A、 B 两点, 其中 C、 O、 G 三点共线且满足 CACB, 记道路 CA、CB 长之和为 L (1)设ACO,求出 L 关于 的函数关系式 L();设 AB2x 米,求出 L 关于 x 的函数关系式 L(x) (2)若新建道路每米造价一定,请选择(1)中的一个函数关系式,研究并确定如何设 计使得新建道路造价最少 【分析】 (1) 根据正弦定理和解直角三角形即可求出 L 关于 的函数关系式 L() ; 利用三角形相似,即可得到 x20x20y,整理化简即可, (2)选择(1)中的第一个函数关系式,以 L()2AC,其中 (0, )

27、,利用导数求出函数的最小值即可 解:(1)在 RtCDO 中,ACO,所以 CO, 所以 CG+20, 在 RtAGC 中,AC, 所以 L()2AC,其中 (0,), 设 ACy,则在 RtAGC 中,CG, 由 RtAGC 和 RtCDO 相似可得, 即, 即 x20x 20y, 即 x 20(x+y) 即 x20 , 即 x2(yx)400(x+y), 化简可得 ACy, L(x)其中 x(20,+); (2)选择(1)中的第一个函数关系式,以 L()2AC,其中 (0, ), 在 L()cos2sin(1+sin)(cos2sin2), (1+sin)(1sin)sin(cos2sin

28、2), (1+sin)(sin2+sin1), 令 L()0,解得 sin, 令 sin0, 当 (0,0)时,L()0,函数 L()单调递减, 当 (0,)时,L()0,函数 L()单调递增, 当 sin时,L()取得最小值,新建道路造价最少 19(16 分)设 f(x)aexa,g(x)axx2(a 为与自变量 x 无关的正实数) (1)证明:函数 f(x)与 g(x)的图象存在一个公共的定点,且在公共定点处有一条公 切线; (2)是否存在实数 k,使得对任意的恒成立,若存 在,求出 k 的取值范围,否则说明理由 【分析】(1)由 f(0)g(0)0,及 f(0)g(0)a,即可得证; (

29、2)先假设存在,则 kexxlnxx 对任意的恒成立,构造函数 ,接下来只需要利用导数判断函数 h(x)在 上是否存在最小值即可 解:(1)证明:因为 f(0)ae0a0,g(0)0,所以 f(x)aexa,g(x) axx2的图象存在一个公共的定点 O(0,0) 因为 f(x)aex,g(x)a2x,所以 f(0)a,g(0)a,所以在定点 O(0,0) 处有一条公切线,为直线 yax (2)假设存在实数 k,使得对任意的恒成立, 即存在实数 k 使得 kexxlnxx 对任意的恒成立 令, 则, 令,则, 因为 x0,ex0,且 yx,yex在 上单调递增, 所以 yxex在上单调递增,

30、因为, 所以存在唯一实数,使得,即 m(x0)0,且, 所 以 h ( x ) 在 x0处 取 得 最 小 值 , 所以 h(x)exxlnxx 在上单调递增, 所以, 因为 kexxlnxx 对任意的 恒成立,所以, 所以存在使得对任意的 恒成立 20 (16 分)定义:对于一个项数为 m(m2,mN*)的数列an,若存在 kN*且 km, 使得数列an的前 k 项和与剩下项的和相等(若仅为 1 项,则和为该项本身),我们称该 数列是“等和数列”例如:因为 32+1,所以数列 3,2,1 是“等和数列”请解答 以下问题: (1)判断数列 2,4,6,8 是否是“等和数列”,请说明理由; (2

31、)已知等差数列an共有 r 项(r3,且 r 为奇数),a11,an的前 n 项和 Sn满足 nSn+1(n+1)Sn+n(n+1)(nr1)判断an是不是“等和数列”,并证明你的结 论 (3)bn是公比为 q 项数为 m(mN*,m3)的等比数列bn,其中 q2判断bn 是不是“等和数列”,并证明你的结论 【分析】(1)四项数列举例即可 (2)由 nSn+1(n+1)Sn+n(n+1)构造数列 ,进而求出 Snn2,再由“等和数列” 的定义检验即可 (3)由等比数列与等和数列的公式和定义找出成立,即 2qk 1qm 再由 q,k,m 的范围和大小关系判断即可 解:(1)2+(4)6+(8),

32、 数列 2,4,6,8 是“等和数列” (2)由,两边除以 n(n+1),得, 即, 所以,数列为等差数列且, 所以, 假设存在 k 使得数列an的前 k 项和与剩下项的和相等, 即 SkSrSk,所以 2SkSr 2k2r2 * 在*中,因为 r 为奇数,所以等式的右边一定是奇数;而等式的左边 2k2一定是偶数, 所以*不可能有解,从而假设错误,an不是“等和数列” (3)设 Bn为bn的前 n 项和, 假设bn是“等和数列”, 则存在 kN*且 km,使得 BkBmBk成立,即 2BkBm 于是成立,即 2qk1qm 因为 q2,所以 2qk12qkqk+1, 又 mk,即 mk+1,所以

33、 qk+1qm, 所以 2qk1qm,与 2qk1qm产生矛盾 所以假设不成立,即bn不是“等和数列” 三、【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答若多做,则按作答的 前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-2:矩阵与变换 21在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+y20 在矩阵 A对应的变换作用下得到的 直线仍为 x+y20,求矩阵 A 【分析】设直线上任意一点,算出其在变换下对应的点,代入直线方程,与直线对应, 求出参数,可得 解:设 P(x,y)是直线 x+y20 上任意一点,其在矩阵 A对应的变换下得到 ,对应的点为(x+ay,bx+2y)仍

34、在直线上, 所以得 x+ay+bx+2y20, 与 x+y20 比较得, 解得,故 A 选修 4-4:极坐标与参数方程 22在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为以极点为原点,极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为( 为参数)求直 线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用直线和 曲线的位置关系式的应用,建立方程组,进一步求出交点的坐标 解:直线 l 的极坐标方程为(R),转换为直角坐标方程为 曲线 C 的参数方程为( 为参数), 整理得,转换为直角坐标方程为 x22y 所以,整理得,解得 x0

35、或 2, 当 x0 时,y0, 当 x2时,y6, 所以直线与曲线的交点的坐标为 P(0,0)和 P(2,6) 选修 4-5:不等式选讲 23已知 x,y,z 均为正数,且,求证:x+4y+9z10 【分析】由 x,y,z 均为正数,运用柯西不等式和不等式的性质,即可得证; 【解答】证明:因为 x,y,z 均为正数,所以 x+1,y+1,z+1 均为正数, 由柯西不等式得, 当且仅当(x+1)24(y+1)29(z+1)2时,等式成立 因为, 所以, 所以 x+4y+9z10 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 24如

36、图,在三棱锥 DABC 中,DA平面 ABC,CAB90,且 ACAD1,AB2, E 为 BD 的中点 (1)求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值; (2)求二面角 ACEB 的余弦值 【分析】以 A 为坐标原点,分别以 AC,AB,AD 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系, (1)分别求出,的坐标,由两向量所成角的余弦值可得异面直线 AE 与 BC 所成角 的余弦值; (2)分别求出平面 AEC 与平面 BEC 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二 面角 ACEB 的余弦值 解:如图,以 A 为坐标原点,分别以 AC,AB,AD 所在直线为 x,y,z 轴建立空间

37、直角 坐标系, ACAD1,AB2,E 为 BD 的中点, A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),E(0,1,), (1), cos, 异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为; (2), 设 平 面AEC与 平 面BEC的 一 个 法 向 量 分 别 为, 由,取 z12,可得; 由,取 z22,可得 cos 由图可知,二面角 ACEB 为钝二面角, 二面角 ACEB 的余弦值为 25在自然数列 1,2,3,n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 nk 个元素变动 位置,得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为 Pn(k) (1)求 P3(1) (2)求P4(k

38、); (3)证明kPn(k)nPn1(k),并求出kPn(k)的值 【分析】(1)数列 1,2,3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1,3,2 或 3,2, 1 或 2,1,3,即可得出; (2)类比(1)即可得出; (3):把数列 1,2,n 中任取其中 k 个元素位置不动,则有种;其余 nk 个元 素重新排列,并且使其余 nk 个元素都要改变位置,则,可得 ,利用,即可得出 【解答】(1)解:数列 1,2,3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1,3,2 或 3,2,1 或 2,1,3, P3(1)3; (2)解: ; (3)证明:把数列 1,2,n 中任取其中 k 个元素位置不动,则有种;其余 nk 个元素重新排列,并且使其余 nk 个元素都要改变位置,则有, 故, 又, 令,则 annan1,且 a11 于是 a2a3a4an1an2a13a24a3nan1, 左右同除以 a2a3a4an1,得 an234nn!