1、2020 年高考数学（3 月份）模拟试卷 一、填空题. 1已知 A1，3，4，B3，4，5，则 AB 2若复数 z 满足（1+2i）z3+4i（i 是虚数单位），则|z| 3执行如图所示的算法流程图，输出的 S 的值是 4若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则 x 5在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外 完全相同现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 是 6先把一个半径为 5，弧长为 6 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的 铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好
2、把此空心 的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为 7若双曲线的左焦点在抛物线 y 22px 的准线上，则 p 的值为 8在ABC 所在的平面上有一点 P，满足，则 9已知直线 ykx2 与曲线 yxlnx 相切，则实数 k 的值为 10已知椭圆 C：+1（ab0），直线 y b 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 OAOB，则椭圆离心率的值等于 11 已知正项数列an的前 n 项和为 Sn， a122， 且当 n2 时，为 Sn和 Sn1的等差中项， 则 S32的值为 12 设 ， 为锐角， tanatan （a1） ， 若 的最大值为， 则实数 a 的值为 13在平面直角坐标系
3、 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：（xa）2+（y2）24 上两个动点， 且 AB2若直线 l：yx 上存在点 P，使得 +，则实数 a 的取值范围 为 14已知函数 f（x）ex，若函数 g（x）（x2）2f（x）+2a|x2|有 6 个零点， 则实数 a 的取值范围为 二、解答题： 共 6 小题， 共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin（AB）+sinC1 （1）求 sinAcosB 的值； （2）若 a2b，求 sinA 的值 16如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1
4、中，ABC90，ABAA1，M，N 分别是 AC，B1C1 的中点求证： （1）MN平面 ABB1A1； （2）ANA1B 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的右焦点为 F （1，0），并且点在椭圆上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率为 k（k 为常数）的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，交 x 轴于点 P（m，0）， Q 为直线 x2 上的任意一点，记 QA，QB，QP 的斜率分别为 k1，k2，k0若 k1+k22k0， 求 m 的值 18 （16 分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切， 记其圆心为 O，切点为 G为参观
5、方便，现新修建两条道路 CA、CB，分别与圆 O 相切 于 D、 E 两点， 同时与 PQ 分别交于 A、 B 两点， 其中 C、 O、 G 三点共线且满足 CACB， 记道路 CA、CB 长之和为 L （1）设ACO，求出 L 关于 的函数关系式 L（）；设 AB2x 米，求出 L 关于 x 的函数关系式 L（x） （2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设 计使得新建道路造价最少 19（16 分）设 f（x）aexa，g（x）axx2（a 为与自变量 x 无关的正实数） （1）证明：函数 f（x）与 g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条
6、公 切线； （2）是否存在实数 k，使得对任意的恒成立，若存 在，求出 k 的取值范围，否则说明理由 20 （16 分）定义：对于一个项数为 m（m2，mN*）的数列an，若存在 kN*且 km， 使得数列an的前 k 项和与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身），我们称该 数列是“等和数列”例如：因为 32+1，所以数列 3，2，1 是“等和数列”请解答 以下问题： （1）判断数列 2，4，6，8 是否是“等和数列”，请说明理由； （2）已知等差数列an共有 r 项（r3，且 r 为奇数），a11，an的前 n 项和 Sn满足 nSn+1（n+1）Sn+n（n+1）（nr1）判断a
7、n是不是“等和数列”，并证明你的结 论 （3）bn是公比为 q 项数为 m（mN*，m3）的等比数列bn，其中 q2判断bn 是不是“等和数列”，并证明你的结论 三、【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答若多做，则按作答的 前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-2：矩阵与变换 21在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+y20 在矩阵 A对应的变换作用下得到的 直线仍为 x+y20，求矩阵 A 选修 4-4：极坐标与参数方程 22在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为以极点为原点，极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为（
8、 为参数）求直 线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 选修 4-5：不等式选讲 23已知 x，y，z 均为正数，且，求证：x+4y+9z10 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 24如图，在三棱锥 DABC 中，DA平面 ABC，CAB90，且 ACAD1，AB2， E 为 BD 的中点 （1）求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值； （2）求二面角 ACEB 的余弦值 25在自然数列 1，2，3，n 中，任取 k 个元素位置保持不动，将其余 nk 个元素变动 位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记
9、为 Pn（k） （1）求 P3（1） （2）求P4（k）； （3）证明kPn（k）nPn1（k），并求出kPn（k）的值 参考答案 一、填空题：共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填 在答题卡相应位置上 1已知 A1，3，4，B3，4，5，则 AB 3，4 【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可 解：A1，3，4，B3，4，5， AB3，4 故答案为：3，4 2若复数 z 满足（1+2i）z3+4i（i 是虚数单位），则|z| 【分析】先利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，化简复数 z 到 最简形式，再利用复数的模的定义求出
10、|z| 解：因为复数 z 满足（1+2i）z3+4i（i 是虚数单位）， z1+2i； |z|； 故答案为： 3执行如图所示的算法流程图，输出的 S 的值是 7 【分析】这是一个递推问题，因为只需算到 n3，所以可以逐项列举计算 解：n1 时，S20+11 n2 时，S21+13 n1 时，S23+17 因为 n3 时停止循环 故 S7 故答案为：7 4若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则 x 2 【分析】由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之 解 ： 因 为 数 据2 ， x ， 2 ， 2的 方 差 为0 ， 由 其 平 均 数 为， 得 到 0，解得 x2； 故答案为：2 5在一
11、个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外 完全相同现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出 2 个小球，共有 C52 种结果， 满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为 3 或 6， 可以列举出所有的事件 共有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到结果 解：由题意知，本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是从中随机取出 2 个小球，共有 C5210 种结果， 满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为 3 或 6， 可以列举出所有的事件：1，2；1，5
12、；2，4，共有 3 种结果， 根据古典概型概率公式得到 P， 故答案为： 6先把一个半径为 5，弧长为 6 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的 铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心 的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为 【分析】由已知先求出圆锥的底面半径及高，求出圆锥的体积即为球的体积，然后根据 球体积公式即可求解 解：由题意可知，圆锥的底面周长 62 OA，OA5， 所以 OA3，PO4， 所以圆锥的体积 V12， 设球的半径 r，则12， 所以 r 故答案为： 7若双曲线的左焦点在抛物线 y 22px 的准线上，则 p
13、 的值为 6 【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，代入抛物线的准线方程求解 p 解：由双曲线，得 a25，b24， 则，则双曲线的左焦点为（3，0）， 抛物线 y22px 的准线方程为 x ，则，p6 故答案为：6 8在ABC 所在的平面上有一点 P，满足，则 【分析】由可得，则 即可求解 解：由可得， 则 | |cosAPB， |cos（APB）2| |cosAPB 则 故答案为： 9已知直线 ykx2 与曲线 yxlnx 相切，则实数 k 的值为 1+ln2 【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对 yxlnx 求导数得 ylnx+1，从而得到切线的斜率 klnx0+1，结合直线方程的点
14、斜式化简得切线方程为 y（lnx0+1）xx0，对照已知直线 列出关于 x0、k 的方程组，解之即可得到实数 k 的值 解：设切点为（x0，x0lnx0）， 对 yxlnx 求导数，得 ylnx+1， 切线的斜率 klnx0+1， 故切线方程为 yx0lnx0（lnx0+1）（xx0）， 整理得 y（lnx0+1）xx0， 与直线 ykx2 比较， 得：， 故 k1+ln2， 故答案为：1+ln2 10已知椭圆 C：+1（ab0），直线 y b 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 OAOB，则椭圆离心率的值等于 【分析】 直线与椭圆的方程联立求出 A， B 的坐标， 由 OAOB 可得0， 求
15、出 a， b 的关系，再由 a，b，c 之间的关系求出离心率 解：联立方程组可得，所以 xa， 所以 A（a，），B（，）， 因为 OAOB，所以0， 所以aa+（）20，可得 a22b2， 所以离心率 e 故答案为： 11 已知正项数列an的前 n 项和为 Sn， a122， 且当 n2 时，为 Sn和 Sn1的等差中项， 则 S32的值为 8 【分析】运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得 Sn2，进而得到 Sn， 即可得到所求值 解：正项数列an的前 n 项和为 Sn，a122，且当 n2 时， 为 Sn和 Sn1的等差中项， 可得 Sn+Sn1 ，即为 Sn2Sn122，
16、 可得Sn2是首项、公差均为 2 的等差数列，即有 Sn22n， 由题意可得 Sn，nN*， 则 S32 8， 故答案为：8 12 设， 为锐角， tanatan （a1） ， 若的最大值为， 则实数a的值为 【分析】由题意利用两角和差的的三角公式 解 ： tan （ ） ， 因为 ，为锐角， 所以（当且仅当时，取等号）， 因为 a1， 所以， 所以 tan（）最大值为， 又因为 的最大值为，所以 tan， 即 2a1， 解得 a3+2， 故答案为：3+2 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：（xa）2+（y2）24 上两个动点， 且 AB2若直线 l：yx 上存在点 P
17、，使得 +，则实数 a 的取值范围为 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），圆 C： （xa）2+（y2）24 的圆心 C（a，2）， 半径 r2，求出圆心 C 到 AB 的距离为 1，设 P（x，x），由向量等式可得 AB 的中点 M 的坐标，再由|CM|1 列关于 x 的方程，由直线 l 上存在点 P，使得+，利用 判别式大于等于 0 求得实数 a 的取值范围 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点 M（ ，）， 圆 C：（xa）2+（y2）24 的圆心 C（a，2），半径 r2， 圆心 C（a，2）到 AB 的距离|CM|， 直线 l：yx 上存在点 P，使得
18、+， 设 P（x，x），则（x1x，y1+x）+（x2x，y2+x）（a，2）， ，得，即 M（x+，x+1）， |CM|， 整理，得 2x2+（2a）x+， 直线 l：yx 上存在点 P，使得+， 0，解得 故答案为： 14已知函数 f（x）ex，若函数 g（x）（x2）2f（x）+2a|x2|有 6 个零点， 则实数 a 的取值范围为 【分析】可以先对 ex|x2|整体换元，转化为一元二次方程首先有两个正根 t1，t2，然后 令，转化为 yti 与 yex|x2|各有三个交点的问题 解：对于 g（x）0，令 t|x2|ex， t2+2ata0有两个正根 t1，t2 做出 t|x2|ex的图
19、象如右图： （， x2 时，t0；1x2 时，t0；x1 时，t0 该函数在（，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+）递增， 且 t0 恒成立且当 yti与 t|x2|ex各有三个交点时，满足题意， 据图可知方程在（0，e）上有两个不等实根时即可，令 h（t）t2+2ata， ，解得 故答案为： 二、解答题： 共 6 小题， 共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin（AB）+sinC1 （1）求 sinAcosB 的值； （2）若 a2b，求 sinA 的值 【分析】 （1）
20、 利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式， 即可求出 sinAcosB 的值； （2）利用正弦定理把 a2b 化为 sinA2sinB，再利用（1）的结论求出 B 的值，从而求 出 sinA 的值 解：（1）ABC 中，A+B+C， sin（AB）+sinCsin（AB）+sin（A+B） （sinAcosBcosAsinB）+（sinAcosB+cosAsinB） 2sinAcosB1， sinAcosB； （2）ABC 中，a2b， sinA2sinB， sinAcosB2sinBcosBsin2B， 2B或 2B， B或 B； sinB或 sinB， sinA2sinB或 sinA2
21、sinB（不合题意，舍去） 综上，sinA 16如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N 分别是 AC，B1C1 的中点求证： （1）MN平面 ABB1A1； （2）ANA1B 【分析】（1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1推导出四边形 PMNB1是平行四边形，从 而 MNPB1，由此能证明 MN平面 ABB1A1 （2）推导出 BB1面 A1B1C1，从而面 ABB1A1面 A1B1C1推导出 B1C1B1A1，从而 B1C1 面 ABB1A1，进而 B1C1A1B，即 NB1A1B，连结 AB1，推导出 AB1A1B，从而 A1B 面 AB1N，由此能
22、证明 A1BAN 【解答】证明：（1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1， 因为 M、P 分别是 AB，AC 的中点，所以 PMBC 且 PMBC， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1， 又因为 N 是 B1C1的中点， 所以 PMB1N，且 PMB1N 所以四边形 PMNB1是平行四边形， 所以 MNPB1， 而 MN平面 ABB1A1，PB1平面 ABB1A1， 所以 MN平面 ABB1A1 （2）因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB1面 A1B1C1， 又因为 BB1面 ABB1A1，所以面 ABB1A1面 A1B1C1， 又因为ABC90
23、，所以 B1C1B1A1， 面 ABB1A1面 A1B1C1B1A1，B1C1平面 A1B1C1， 所以 B1C1面 ABB1A1， 又因为 A1B面 ABB1A1，所以 B1C1A1B，即 NB1A1B， 连结 AB1，因为在平行四边形 ABB1A1中，ABAA1， 所以 AB1A1B， 又因为 NB1AB1B1，且 AB1，NB1面 AB1N， 所以 A1B面 AB1N， 而 AN面 AB1N，所以 A1BAN 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的右焦点为 F （1，0），并且点在椭圆上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率为 k（k 为常数）的直线 l 与椭圆交于 A，
24、B 两点，交 x 轴于点 P（m，0）， Q 为直线 x2 上的任意一点，记 QA，QB，QP 的斜率分别为 k1，k2，k0若 k1+k22k0， 求 m 的值 【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 焦 点 坐 标 可 得c 1 ， 利 用 椭 圆 定 义 可 得 ， 结合 a2b2+c2， 解出 b 即可； （2）设直线 l：yk（xm），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），与椭圆方程联 立，结合 Q 不在直线 l 上，可整理得到 2x1x2（2+m）（x1+x2）+4m0，利用根与系数 关系，带入即可计算出 m 的值 解：（1）因为椭圆 C 的两个焦点为 F1（1，0）和
25、F2（1，0），点在此椭 圆上 所以， 所以， 所以椭圆方程为； （2）由已知直线 l：yk（xm），设 A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0）， 由得（1+2k2）x24mk2x+2k2m220 所以 因为且 k1+k22k0， 所以， 整理得， 因为点 Q（2，y0）不在直线 l 上，所以 2kkmy00， 所以，整理得 2x1x2（2+m）（x1+x2）+4m0， 将，代入上式解得 m1， 所以 m1 18 （16 分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切， 记其圆心为 O，切点为 G为参观方便，现新修建两条道路 CA、CB，分别与圆
26、 O 相切 于 D、 E 两点， 同时与 PQ 分别交于 A、 B 两点， 其中 C、 O、 G 三点共线且满足 CACB， 记道路 CA、CB 长之和为 L （1）设ACO，求出 L 关于 的函数关系式 L（）；设 AB2x 米，求出 L 关于 x 的函数关系式 L（x） （2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设 计使得新建道路造价最少 【分析】 （1） 根据正弦定理和解直角三角形即可求出 L 关于 的函数关系式 L（） ； 利用三角形相似，即可得到 x20x20y，整理化简即可， （2）选择（1）中的第一个函数关系式，以 L（）2AC，其中 （0， ）
27、，利用导数求出函数的最小值即可 解：（1）在 RtCDO 中，ACO，所以 CO， 所以 CG+20， 在 RtAGC 中，AC， 所以 L（）2AC，其中 （0，）， 设 ACy，则在 RtAGC 中，CG， 由 RtAGC 和 RtCDO 相似可得， 即， 即 x20x 20y， 即 x 20（x+y） 即 x20 ， 即 x2（yx）400（x+y）， 化简可得 ACy， L（x）其中 x（20，+）； （2）选择（1）中的第一个函数关系式，以 L（）2AC，其中 （0， ）， 在 L（）cos2sin（1+sin）（cos2sin2）， （1+sin）（1sin）sin（cos2sin
28、2）， （1+sin）（sin2+sin1）， 令 L（）0，解得 sin， 令 sin0， 当 （0，0）时，L（）0，函数 L（）单调递减， 当 （0，）时，L（）0，函数 L（）单调递增， 当 sin时，L（）取得最小值，新建道路造价最少 19（16 分）设 f（x）aexa，g（x）axx2（a 为与自变量 x 无关的正实数） （1）证明：函数 f（x）与 g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公 切线； （2）是否存在实数 k，使得对任意的恒成立，若存 在，求出 k 的取值范围，否则说明理由 【分析】（1）由 f（0）g（0）0，及 f（0）g（0）a，即可得证； （
29、2）先假设存在，则 kexxlnxx 对任意的恒成立，构造函数 ，接下来只需要利用导数判断函数 h（x）在 上是否存在最小值即可 解：（1）证明：因为 f（0）ae0a0，g（0）0，所以 f（x）aexa，g（x） axx2的图象存在一个公共的定点 O（0，0） 因为 f（x）aex，g（x）a2x，所以 f（0）a，g（0）a，所以在定点 O（0，0） 处有一条公切线，为直线 yax （2）假设存在实数 k，使得对任意的恒成立， 即存在实数 k 使得 kexxlnxx 对任意的恒成立 令， 则， 令，则， 因为 x0，ex0，且 yx，yex在 上单调递增， 所以 yxex在上单调递增，
30、因为， 所以存在唯一实数，使得，即 m（x0）0，且， 所 以 h （ x ） 在 x0处 取 得 最 小 值 ， 所以 h（x）exxlnxx 在上单调递增， 所以， 因为 kexxlnxx 对任意的 恒成立，所以， 所以存在使得对任意的 恒成立 20 （16 分）定义：对于一个项数为 m（m2，mN*）的数列an，若存在 kN*且 km， 使得数列an的前 k 项和与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身），我们称该 数列是“等和数列”例如：因为 32+1，所以数列 3，2，1 是“等和数列”请解答 以下问题： （1）判断数列 2，4，6，8 是否是“等和数列”，请说明理由； （2
31、）已知等差数列an共有 r 项（r3，且 r 为奇数），a11，an的前 n 项和 Sn满足 nSn+1（n+1）Sn+n（n+1）（nr1）判断an是不是“等和数列”，并证明你的结 论 （3）bn是公比为 q 项数为 m（mN*，m3）的等比数列bn，其中 q2判断bn 是不是“等和数列”，并证明你的结论 【分析】（1）四项数列举例即可 （2）由 nSn+1（n+1）Sn+n（n+1）构造数列 ，进而求出 Snn2，再由“等和数列” 的定义检验即可 （3）由等比数列与等和数列的公式和定义找出成立，即 2qk 1qm 再由 q，k，m 的范围和大小关系判断即可 解：（1）2+（4）6+（8），
32、 数列 2，4，6，8 是“等和数列” （2）由，两边除以 n（n+1），得， 即， 所以，数列为等差数列且， 所以， 假设存在 k 使得数列an的前 k 项和与剩下项的和相等， 即 SkSrSk，所以 2SkSr 2k2r2 * 在*中，因为 r 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边 2k2一定是偶数， 所以*不可能有解，从而假设错误，an不是“等和数列” （3）设 Bn为bn的前 n 项和， 假设bn是“等和数列”， 则存在 kN*且 km，使得 BkBmBk成立，即 2BkBm 于是成立，即 2qk1qm 因为 q2，所以 2qk12qkqk+1， 又 mk，即 mk+1，所以
33、 qk+1qm， 所以 2qk1qm，与 2qk1qm产生矛盾 所以假设不成立，即bn不是“等和数列” 三、【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答若多做，则按作答的 前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-2：矩阵与变换 21在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+y20 在矩阵 A对应的变换作用下得到的 直线仍为 x+y20，求矩阵 A 【分析】设直线上任意一点，算出其在变换下对应的点，代入直线方程，与直线对应， 求出参数，可得 解：设 P（x，y）是直线 x+y20 上任意一点，其在矩阵 A对应的变换下得到 ，对应的点为（x+ay，bx+2y）仍
34、在直线上， 所以得 x+ay+bx+2y20， 与 x+y20 比较得， 解得，故 A 选修 4-4：极坐标与参数方程 22在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为以极点为原点，极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为（ 为参数）求直 线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和 曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标 解：直线 l 的极坐标方程为（R），转换为直角坐标方程为 曲线 C 的参数方程为（ 为参数）， 整理得，转换为直角坐标方程为 x22y 所以，整理得，解得 x0
35、或 2， 当 x0 时，y0， 当 x2时，y6， 所以直线与曲线的交点的坐标为 P（0，0）和 P（2，6） 选修 4-5：不等式选讲 23已知 x，y，z 均为正数，且，求证：x+4y+9z10 【分析】由 x，y，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证； 【解答】证明：因为 x，y，z 均为正数，所以 x+1，y+1，z+1 均为正数， 由柯西不等式得， 当且仅当（x+1）24（y+1）29（z+1）2时，等式成立 因为， 所以， 所以 x+4y+9z10 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 24如
36、图，在三棱锥 DABC 中，DA平面 ABC，CAB90，且 ACAD1，AB2， E 为 BD 的中点 （1）求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值； （2）求二面角 ACEB 的余弦值 【分析】以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系， （1）分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线 AE 与 BC 所成角 的余弦值； （2）分别求出平面 AEC 与平面 BEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二 面角 ACEB 的余弦值 解：如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间
37、直角 坐标系， ACAD1，AB2，E 为 BD 的中点， A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1，）， （1）， cos， 异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为； （2）， 设 平 面AEC与 平 面BEC的 一 个 法 向 量 分 别 为， 由，取 z12，可得； 由，取 z22，可得 cos 由图可知，二面角 ACEB 为钝二面角， 二面角 ACEB 的余弦值为 25在自然数列 1，2，3，n 中，任取 k 个元素位置保持不动，将其余 nk 个元素变动 位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为 Pn（k） （1）求 P3（1） （2）求P4（k
38、）； （3）证明kPn（k）nPn1（k），并求出kPn（k）的值 【分析】（1）数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 或 3，2， 1 或 2，1，3，即可得出； （2）类比（1）即可得出； （3）：把数列 1，2，n 中任取其中 k 个元素位置不动，则有种；其余 nk 个元 素重新排列，并且使其余 nk 个元素都要改变位置，则，可得 ，利用，即可得出 【解答】（1）解：数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 或 3，2，1 或 2，1，3， P3（1）3； （2）解： ； （3）证明：把数列 1，2，n 中任取其中 k 个元素位置不动，则有种；其余 nk 个元素重新排列，并且使其余 nk 个元素都要改变位置，则有， 故， 又， 令，则 annan1，且 a11 于是 a2a3a4an1an2a13a24a3nan1， 左右同除以 a2a3a4an1，得 an234nn!