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2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020 学年湖南省娄底市娄星区高二(上)期中数学试卷一、选择题(每小题 5 分,共分,共 60 分,每题只有一个正确答案)分,每题只有一个正确答案) 1 (5 分)不等式 x2+2x30 的解集是( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|3x1 Dx|x3 或 x 1 2 (5 分)设 M3x2x+1,N2x2+x,则( ) AMN BMN CMN DMN 3 (5 分)已知等差数列an中,a2+a46,则前 5 项和 S5为( ) A5 B6 C15 D30 4 (5 分)若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是( ) A若 ab,则 ac2bc2 B若 ab0,则 a2abb2

2、C若 ab,则 D若 ab0,则 5 (5 分)已知等比数列an中,a1+a23,a3+a412,则 a5+a6( ) A3 B15 C48 D63 6 (5 分)已知方程+1 表示椭圆,则 k 的取值范围为( ) Ak3 且 k B3k2 且 k Ck2 Dk3 7 (5 分)在ABC 中,a5,b7,c6,则ABC 的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 8 (5 分)已知an中,a11,nan+1(n+1)an,则数列an的通项公式是( ) Aan Ban2n1 Cann Dan 9 (5 分)当 x3 时,不等式 x+a 恒成立

3、,则实数 a 的取值范围是( ) A (,3 B3,+) C,+) D (, 10(5 分) 已知等差数列an的前 n 项和为, 满足 S5S9, 且 a10, 则 Sn中最大的是 ( ) 第 2 页(共 15 页) AS6 BS7 CS8 DS9 11 (5 分)设 F1、F2是椭圆 E:+1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x上 一点,F2PF1是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) A B C D 12(5 分) 不等式 x2|x1|+a 的解集是区间 (3, 3) 的子集, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A (,5 B (,5) C (,7 D (,7) 二、填空题

4、(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)在等比数列an中,已知 a2a4a68,则 a3a5 14 (5 分)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinA,bsinB, 则 a 15 (5 分)若关于 x 的不等式 ax26x+a20 的解集是(1,m) ,则 m 等于 16 (5 分)已知数列an满足 anlogn+1(n+2) (nN*)定义使 a1a2ak为整数的数 k 叫做企盼数,则区间1,2019内所有的企盼数的和是 三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演

5、算步骤,共 70 分)分) 17 (10 分)已知椭圆 C 中心在原点,焦点为 F1(2) ,F2(2) ,且离心率 e (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求ABF2的周长 18 (12 分)已知等差数列an的公差不为零,a125,且 a1,a11,a13成等比数列 ()求an的通项公式; ()求 a1+a4+a7+a3n2 19 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA) c (1)求 C; (2)若 c,ABC 的面积为,求ABC 的周长 20 (12 分)某工厂要建

6、造一个长方体的无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池 底造价为每平方米 150 元, 池壁每平方米造价为 120 元, 怎么设计水池能使总造价最低? 第 3 页(共 15 页) 最低造价是多少? 21 (12 分)在数列an中,a12,a24,且当 n2 时,an2an1an+1,nN ; (1)求数列an的通项公式 an; (2)若 bn(2n1)an,求数列bn的前 n 项和 Sn 22 (12 分)已知函数 f(x)|x+1|x2| (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若不等式 f(x)x2x+m 的解集非空,求 m 的取值范围 第 4 页(共 15 页) 201

7、9-2020 学年湖南省娄底市娄星区高二(上)期中数学试卷学年湖南省娄底市娄星区高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分,共分,共 60 分,每题只有一个正确答案)分,每题只有一个正确答案) 1 (5 分)不等式 x2+2x30 的解集是( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|3x1 Dx|x3 或 x 1 【分析】结合二次函数的图象即可求解二次不等式的解集 【解答】解:由 x2+2x30 可得(x+3) (x1)0, 解可得,x1 或 x3, 故不等式的解集为x|x1 或 x3 故选:D 【点评】本题主要考查了二次不等式的求解,

8、属于基础试题 2 (5 分)设 M3x2x+1,N2x2+x,则( ) AMN BMN CMN DMN 【分析】作差配方即可得出大小关系 【解答】解:MN3x2x+12x2xx22x+1(x1)20 MN 故选:A 【点评】本题考查了数的大小比较方法、作差法、配方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 3 (5 分)已知等差数列an中,a2+a46,则前 5 项和 S5为( ) A5 B6 C15 D30 【分析】由已知结合等差数列的性质求得 a3,再由等差数列的前 n 项和公式得答案 【解答】解:在等差数列an中,由 a2+a46,得 2a36,a33 前 5 项和 S55a35315

9、故选:C 【点评】本题考查了等差数列的性质,关键是对性质的应用,是基础题 4 (5 分)若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是( ) 第 5 页(共 15 页) A若 ab,则 ac2bc2 B若 ab0,则 a2abb2 C若 ab,则 D若 ab0,则 【分析】Ac0 时不成立; B利用不等式的基本性质由 ab0,可得 a2abb2; C取 a1,b2 时,即可判断出; D由 ab0,可得 【解答】解:Ac0 时不成立; Bab0,a2abb2,正确; C取 a1,b2 时,1,则不成立; D若 ab0,则,因此不正确 故选:B 【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力,属于

10、基础题 5 (5 分)已知等比数列an中,a1+a23,a3+a412,则 a5+a6( ) A3 B15 C48 D63 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可 【解答】解:a1+a23,a3+a412, (a1+a2)q2a3+a4, 即 q24, 则 a5+a6(a3+a4)q212448, 故选:C 【点评】本题主要考查等比数列的项的计算,根据条件建立方程关系或者利用等比数列 的性质是解决本题的关键 6 (5 分)已知方程+1 表示椭圆,则 k 的取值范围为( ) Ak3 且 k B3k2 且 k Ck2 Dk3 【分析】利用椭圆的简单性质列出不等式组,求解即可 第 6 页(共 15

11、页) 【解答】解:方程+1 表示椭圆,只需满足:,解得3k2 且 k 故选:B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力 7 (5 分)在ABC 中,a5,b7,c6,则ABC 的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 【分析】 根据 a, b 及 c 的长度, 判断得到 b 为最大边, 根据大边对大角可得 B 为最大值, 利用余弦定理表示出 cosB,把三边长代入求出 cosB 的值,由 B 为三角形的内角,根据 cosB 的值大于 0,可得出 B 为锐角,进而确定出三角形为锐角三角形 【解答】解:a5,b7,c6, b 为最

12、大边,即 B 为最大角, 由余弦定理得:cosB0, 又 B 为三角形的内角, B 为锐角, 则ABC 的形状是锐角三角形 故选:A 【点评】此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有:三角形的边角关系,余弦定理, 以及余弦函数的图象与性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于基础题 8 (5 分)已知an中,a11,nan+1(n+1)an,则数列an的通项公式是( ) Aan Ban2n1 Cann Dan 【分析】利用数列的递推关系式,通过累积法,求解数列的通项公式 【解答】解:由 nan+1(n+1)an,可得:,又a11, 第 7 页(共 15 页) n ann, 故选:C 【点评】本

13、题考查数列的递推关系式的应用,通项公式的求法,考查计算能力 9 (5 分)当 x3 时,不等式 x+a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A (,3 B3,+) C,+) D (, 【分析】根据 x3,得到 x12,利用基本不等式可得 y(x1)+1,换元函 数得出 yt+1,t(2,+) ,利用对勾函数的单调性求解最小值,解决恒成立即可 【解答】解:x3 x12, y(x1)+1, 设 tx1,t2 yt+1,在 t(2,+)上单调递增, y2, 不等式 x+a 恒成立, , a 的取值范围是(, 故选:D 【点评】本题以分式不等式为例,考查了函数恒成立的知识,属于中档题注意利用对 勾

14、函数的单调性求解最小值,解决恒成立即可,不符合基本不等的条件 10(5 分) 已知等差数列an的前 n 项和为, 满足 S5S9, 且 a10, 则 Sn中最大的是 ( ) AS6 BS7 CS8 DS9 【分析】依题意数列an为递减数列,再结合 S9S50,推出 a7,a8的符号,即可得到 结论 【解答】解:依题意,由 S5S9,a10, 第 8 页(共 15 页) 所以数列an为递减数列, 且 S9S5a6+a7+a8+a92(a7+a8)0,即 a7+a80, 所以 a70,a80, 所以则 Sn中最大的是 S7, 故选:B 【点评】本题考查了数列的单调性,数列的前 n 项和,注意考查推

15、理能力和计算能力, 属于基础题 11 (5 分)设 F1、F2是椭圆 E:+1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x上 一点,F2PF1是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) A B C D 【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形,可得|PF2|F2F1|,根据 P 为直线 x 上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率 【解答】解:F2PF1是底角为 30的等腰三角形, |PF2|F2F1| P 为直线 x上一点 故选:C 【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题 第 9 页(共 15 页) 12(5 分) 不等式 x2|x1|+a

16、的解集是区间 (3, 3) 的子集, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A (,5 B (,5) C (,7 D (,7) 【分析】将不等式转化为函数,利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论 【解答】解:等式 x2|x1|+a 等价为 x2|x1|a0, 设 f(x)x2|x1|a,若不等式 x2|x1|+a 的解集是区间(3,3)的子集, 则 ,解得 a5, 故选:A 【点评】本题主要考查不等式的应用,利用不等式和函数之间的关系,转化为函数是解 决本题的关键,属于基础题 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)在等比数列an中,已知 a2a

17、4a68,则 a3a5 4 【分析】根据题意,由等比数列的性质可得(a4)38,则 a42,又由 a3a5(a4)2, 即可得答案 【解答】解:根据题意,在等比数列an中, 已知 a2a4a68,则(a4)38,则 a42, 则 a3a5(a4)24; 故答案为:4 【点评】本题考查等比数列的性质,关键是掌握等比中项的性质,属于基础题 14 (5 分)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinA,bsinB, 则 a 【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解 【解答】解:sinA,bsinB, 由正弦定理可得:a 故答案为: 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中

18、的应用,属于基础题 15 (5 分)若关于 x 的不等式 ax26x+a20 的解集是(1,m) ,则 m 等于 2 【分析】由二次不等式的解集形式,判断出 1,m 是相应方程的两个根,利用韦达定理 第 10 页(共 15 页) 求出 m 的值 【解答】解:ax26x+a20 的解集是 (1,m) , a0, 1,m 是相应方程 ax26x+a20 的两根, 解得 m2; 故答案为:2 【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,及三个二次之间的关系,其中根 据三个二次之间的关系求出 a 的值,是解答本题的关键 16 (5 分)已知数列an满足 anlogn+1(n+2) (nN*)定义使

19、 a1a2ak为整数的数 k 叫做企盼数,则区间1,2019内所有的企盼数的和是 2026 【分析】用换底公式与叠乘法把 a1a2a3ak化为 log2(k+2) ,再根据 a1a2a3ak 为整数,得 k2n2,由区间1,2019确定 n 的取值,求出所有的企盼数的和 【解答】解:anlogn+1(n+2)(nN*) , a1a2a3aklog2(k+2) , 又 a1a2a3ak为整数, k+2 必须是 2 的 n 次幂(nN*) ,即 k2n2, 又 k1,2019,12n22019,取 2n10, 区间1,2019内所有的企盼数的和为: M(222)+(232)+(242)+(2102

20、) (22+23+210)29182026 故选:B 【点评】本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识,考查运算能力, 属于基础题 三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共 70 分)分) 17 (10 分)已知椭圆 C 中心在原点,焦点为 F1(2) ,F2(2) ,且离心率 e (1)求椭圆 C 的标准方程; 第 11 页(共 15 页) (2)过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求ABF2的周长 【分析】 (1)由条件有 a3,c2,求出 b 即可; (2)|AB|AF1|+|F1B|,然

21、后用椭圆的定义可得三角形的周长为 4a12 【解答】解析: (1)因为, 所以, 得到 b2a2c21 又椭圆的焦点在 x 轴上, 所以求椭圆的标准方程为 (2)因为 F1的直线 l 交椭圆于 A,B 两点; 根据椭圆的定义得ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a12, 故ABF2的周长为 12 【点评】本题考查椭圆的基本的几何性质,椭圆的定义,属于基础题 18 (12 分)已知等差数列an的公差不为零,a125,且 a1,a11,a13成等比数列 ()求an的通项公式; ()求 a1+a4+a7+a3n2 【分析】 (I)设等差数列a

22、n的公差为 d0,利用成等比数列的定义可得, 再利用等差数列的通项公式可得,化为 d(2a1+25d)0, 解出 d 即可得到通项公式 an; (II)由(I)可得 a3n22(3n2)+276n+31,可知此数列是以 25 为首项,6 为公差的等差数列利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4+a7+a3n2 【解答】解: (I)设等差数列an的公差为 d0, 由题意 a1,a11,a13成等比数列, ,化为 d(2a1+25d)0, d0,225+25d0,解得 d2 an25+(n1)(2)2n+27 (II)由(I)可得 a3n22(3n2)+276n+31,可知此数列是以 2

23、5 为首项,6 为公差的等差数列 Sna1+a4+a7+a3n2 第 12 页(共 15 页) 3n2+28n 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式是解题的关键 19 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA) c (1)求 C; (2)若 c,ABC 的面积为,求ABC 的周长 【分析】 (1)利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得 2cosCsinCsinC,由 0C ,sinC0,可求 cosC,进而可求 C 的值 (2)根据 ABC 的面积公式可求 ab6,根据余弦定理可求 a+b 的值

24、,即可求得周长 【解答】解: (1)由已知 2cosC(acosB+bcosA)c, 正弦定理得:2cosC(sinAcosB+cosAsinB)sinC, 即 2cosCsinCsinC, 0C,sinC0, cosC, C (2)由 c,C,ABC 的面积为absin, ab6, 又由余弦定理 c2b2+a22abcosC,可得:7b2+a2ab(a+b)23ab(a+b)2 18, 可得: (a+b)225,解得:a+b5, ABC 的周长 a+b+c5+ 【点评】本题考查了正余弦定理的运用和计算能力,属于基础题,解题时要注意余弦定 理的合理运用 20 (12 分)某工厂要建造一个长方体

25、的无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池 底造价为每平方米 150 元, 池壁每平方米造价为 120 元, 怎么设计水池能使总造价最低? 最低造价是多少? 第 13 页(共 15 页) 【分析】如图所示,设长方体的长宽分别为 x,y,则 3xy4800,可得 y水池 总造价 f(x)xy150+2(3x+3y)120(x+)720+1600150,利用基本不 等式的性质即可得出 本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题 【解答】解:如图所示,设长方体的长宽分别为 x,y, 则 3xy4800,可得 y 水池总造价 f (x) xy

26、150+2 (3x+3y) 120 (x+) 720+16001502 720+240000 57600+240000297600 元当且仅当 x40m,y40m 时取等号 设计水池底面为边长为 20m 的正方形能使总造价最低,最低造价是 297600 元 【点评】本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题 21 (12 分)在数列an中,a12,a24,且当 n2 时,an2an1an+1,nN ; (1)求数列an的通项公式 an; (2)若 bn(2n1)an,求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)通过题意可知数列an是等比数列,进

27、而可求出公比,代入公式即得结论; (2)通过(1)可知 bn(2n1)2n,进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】解: (1)当 n2 时,an2an1an+1, 数列an是等比数列, 又a12,a24, 公比 a2, 数列an是首项、公比均为 2 的等比数列, 第 14 页(共 15 页) 其通项公式 an2n; (2)由(1)可知 bn(2n1)an(2n1)2n, 则 Sn12+322+523+(2n1)2n, 2Sn122+323+(2n3)2n+(2n1)2n+1, 两式相减,得:Sn2+222+223+22n(2n1)2n+1 2+2(2n1)2n+1 6(2n3)2n+1, S

28、n6+(2n3)2n+1 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属 于中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)|x+1|x2| (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若不等式 f(x)x2x+m 的解集非空,求 m 的取值范围 【分析】 (1)由于 f(x)|x+1|x2|,解不等式 f(x)1 可 分1x2 与 x2 两类讨论即可解得不等式 f(x)1 的解集; (2)依题意可得 mf(x)x2+xmax,设 g(x)f(x)x2+x,分 x1、1x2、 x2 三类讨论,可求得 g(x)max,从而可得 m 的取值范围 【解答】解: (1)f

29、(x)|x+1|x2|,f(x)1, 当1x2 时,2x11,解得 1x2; 当 x2 时,31 恒成立,故 x2; 综上,不等式 f(x)1 的解集为x|x1 (2)原式等价于存在 xR 使得 f(x)x2+xm 成立, 即 mf(x)x2+xmax,设 g(x)f(x)x2+x 由(1)知,g(x), 第 15 页(共 15 页) 当 x1 时,g(x)x2+x3,其开口向下,对称轴方程为 x1, g(x)g(1)1135; 当1x2 时,g(x)x2+3x1,其开口向下,对称轴方程为 x(1,2) , g(x)g()+1; 当 x2 时,g(x)x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为 x2, g(x)g(2)4+2+31; 综上,g(x)max, m 的取值范围为(,