1、2019-2020 学年湖南省娄底市娄星区高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分，每题只有一个正确答案）分，每题只有一个正确答案） 1 （5 分）不等式 x2+2x30 的解集是（ ） Ax|x1 Bx|x3 Cx|3x1 Dx|x3 或 x 1 2 （5 分）设 M3x2x+1，N2x2+x，则（ ） AMN BMN CMN DMN 3 （5 分）已知等差数列an中，a2+a46，则前 5 项和 S5为（ ） A5 B6 C15 D30 4 （5 分）若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则 a2abb2
2、C若 ab，则 D若 ab0，则 5 （5 分）已知等比数列an中，a1+a23，a3+a412，则 a5+a6（ ） A3 B15 C48 D63 6 （5 分）已知方程+1 表示椭圆，则 k 的取值范围为（ ） Ak3 且 k B3k2 且 k Ck2 Dk3 7 （5 分）在ABC 中，a5，b7，c6，则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 8 （5 分）已知an中，a11，nan+1（n+1）an，则数列an的通项公式是（ ） Aan Ban2n1 Cann Dan 9 （5 分）当 x3 时，不等式 x+a 恒成立
3、，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，3 B3，+） C，+） D （， 10（5 分） 已知等差数列an的前 n 项和为， 满足 S5S9， 且 a10， 则 Sn中最大的是 （ ） 第 2 页（共 15 页） AS6 BS7 CS8 DS9 11 （5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x上 一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A B C D 12（5 分） 不等式 x2|x1|+a 的解集是区间 （3， 3） 的子集， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，5 B （，5） C （，7 D （，7） 二、填空题
4、（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，已知 a2a4a68，则 a3a5 14 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinA，bsinB， 则 a 15 （5 分）若关于 x 的不等式 ax26x+a20 的解集是（1，m） ，则 m 等于 16 （5 分）已知数列an满足 anlogn+1（n+2） （nN*）定义使 a1a2ak为整数的数 k 叫做企盼数，则区间1，2019内所有的企盼数的和是 三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤，共 70 分）分） 17 （10 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点为 F1（2） ，F2（2） ，且离心率 e （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，求ABF2的周长 18 （12 分）已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13成等比数列 （）求an的通项公式； （）求 a1+a4+a7+a3n2 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA） c （1）求 C； （2）若 c，ABC 的面积为，求ABC 的周长 20 （12 分）某工厂要建
6、造一个长方体的无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池 底造价为每平方米 150 元， 池壁每平方米造价为 120 元， 怎么设计水池能使总造价最低？ 第 3 页（共 15 页） 最低造价是多少？ 21 （12 分）在数列an中，a12，a24，且当 n2 时，an2an1an+1，nN ； （1）求数列an的通项公式 an； （2）若 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Sn 22 （12 分）已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 201
7、9-2020 学年湖南省娄底市娄星区高二（上）期中数学试卷学年湖南省娄底市娄星区高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分，每题只有一个正确答案）分，每题只有一个正确答案） 1 （5 分）不等式 x2+2x30 的解集是（ ） Ax|x1 Bx|x3 Cx|3x1 Dx|x3 或 x 1 【分析】结合二次函数的图象即可求解二次不等式的解集 【解答】解：由 x2+2x30 可得（x+3） （x1）0， 解可得，x1 或 x3， 故不等式的解集为x|x1 或 x3 故选：D 【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，
8、属于基础试题 2 （5 分）设 M3x2x+1，N2x2+x，则（ ） AMN BMN CMN DMN 【分析】作差配方即可得出大小关系 【解答】解：MN3x2x+12x2xx22x+1（x1）20 MN 故选：A 【点评】本题考查了数的大小比较方法、作差法、配方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （5 分）已知等差数列an中，a2+a46，则前 5 项和 S5为（ ） A5 B6 C15 D30 【分析】由已知结合等差数列的性质求得 a3，再由等差数列的前 n 项和公式得答案 【解答】解：在等差数列an中，由 a2+a46，得 2a36，a33 前 5 项和 S55a35315
9、故选：C 【点评】本题考查了等差数列的性质，关键是对性质的应用，是基础题 4 （5 分）若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） 第 5 页（共 15 页） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则 a2abb2 C若 ab，则 D若 ab0，则 【分析】Ac0 时不成立； B利用不等式的基本性质由 ab0，可得 a2abb2； C取 a1，b2 时，即可判断出； D由 ab0，可得 【解答】解：Ac0 时不成立； Bab0，a2abb2，正确； C取 a1，b2 时，1，则不成立； D若 ab0，则，因此不正确 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于
10、基础题 5 （5 分）已知等比数列an中，a1+a23，a3+a412，则 a5+a6（ ） A3 B15 C48 D63 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可 【解答】解：a1+a23，a3+a412， （a1+a2）q2a3+a4， 即 q24， 则 a5+a6（a3+a4）q212448， 故选：C 【点评】本题主要考查等比数列的项的计算，根据条件建立方程关系或者利用等比数列 的性质是解决本题的关键 6 （5 分）已知方程+1 表示椭圆，则 k 的取值范围为（ ） Ak3 且 k B3k2 且 k Ck2 Dk3 【分析】利用椭圆的简单性质列出不等式组，求解即可 第 6 页（共 15
11、页） 【解答】解：方程+1 表示椭圆，只需满足：，解得3k2 且 k 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 7 （5 分）在ABC 中，a5，b7，c6，则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【分析】 根据 a， b 及 c 的长度， 判断得到 b 为最大边， 根据大边对大角可得 B 为最大值， 利用余弦定理表示出 cosB，把三边长代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，根据 cosB 的值大于 0，可得出 B 为锐角，进而确定出三角形为锐角三角形 【解答】解：a5，b7，c6， b 为最
12、大边，即 B 为最大角， 由余弦定理得：cosB0， 又 B 为三角形的内角， B 为锐角， 则ABC 的形状是锐角三角形 故选：A 【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：三角形的边角关系，余弦定理， 以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题 8 （5 分）已知an中，a11，nan+1（n+1）an，则数列an的通项公式是（ ） Aan Ban2n1 Cann Dan 【分析】利用数列的递推关系式，通过累积法，求解数列的通项公式 【解答】解：由 nan+1（n+1）an，可得：，又a11， 第 7 页（共 15 页） n ann， 故选：C 【点评】本
13、题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力 9 （5 分）当 x3 时，不等式 x+a 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，3 B3，+） C，+） D （， 【分析】根据 x3，得到 x12，利用基本不等式可得 y（x1）+1，换元函 数得出 yt+1，t（2，+） ，利用对勾函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可 【解答】解：x3 x12， y（x1）+1， 设 tx1，t2 yt+1，在 t（2，+）上单调递增， y2， 不等式 x+a 恒成立， ， a 的取值范围是（， 故选：D 【点评】本题以分式不等式为例，考查了函数恒成立的知识，属于中档题注意利用对 勾
14、函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可，不符合基本不等的条件 10（5 分） 已知等差数列an的前 n 项和为， 满足 S5S9， 且 a10， 则 Sn中最大的是 （ ） AS6 BS7 CS8 DS9 【分析】依题意数列an为递减数列，再结合 S9S50，推出 a7，a8的符号，即可得到 结论 【解答】解：依题意，由 S5S9，a10， 第 8 页（共 15 页） 所以数列an为递减数列， 且 S9S5a6+a7+a8+a92（a7+a8）0，即 a7+a80， 所以 a70，a80， 所以则 Sn中最大的是 S7， 故选：B 【点评】本题考查了数列的单调性，数列的前 n 项和，注意考查推
15、理能力和计算能力， 属于基础题 11 （5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x上 一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|F2F1|，根据 P 为直线 x 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率 【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形， |PF2|F2F1| P 为直线 x上一点 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 第 9 页（共 15 页） 12（5 分） 不等式 x2|x1|+a
16、的解集是区间 （3， 3） 的子集， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，5 B （，5） C （，7 D （，7） 【分析】将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论 【解答】解：等式 x2|x1|+a 等价为 x2|x1|a0， 设 f（x）x2|x1|a，若不等式 x2|x1|+a 的解集是区间（3，3）的子集， 则 ，解得 a5， 故选：A 【点评】本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解 决本题的关键，属于基础题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在等比数列an中，已知 a2a
17、4a68，则 a3a5 4 【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a4）38，则 a42，又由 a3a5（a4）2， 即可得答案 【解答】解：根据题意，在等比数列an中， 已知 a2a4a68，则（a4）38，则 a42， 则 a3a5（a4）24； 故答案为：4 【点评】本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比中项的性质，属于基础题 14 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinA，bsinB， 则 a 【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解 【解答】解：sinA，bsinB， 由正弦定理可得：a 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中
18、的应用，属于基础题 15 （5 分）若关于 x 的不等式 ax26x+a20 的解集是（1，m） ，则 m 等于 2 【分析】由二次不等式的解集形式，判断出 1，m 是相应方程的两个根，利用韦达定理 第 10 页（共 15 页） 求出 m 的值 【解答】解：ax26x+a20 的解集是 （1，m） ， a0， 1，m 是相应方程 ax26x+a20 的两根， 解得 m2； 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根 据三个二次之间的关系求出 a 的值，是解答本题的关键 16 （5 分）已知数列an满足 anlogn+1（n+2） （nN*）定义使
19、 a1a2ak为整数的数 k 叫做企盼数，则区间1，2019内所有的企盼数的和是 2026 【分析】用换底公式与叠乘法把 a1a2a3ak化为 log2（k+2） ，再根据 a1a2a3ak 为整数，得 k2n2，由区间1，2019确定 n 的取值，求出所有的企盼数的和 【解答】解：anlogn+1（n+2）（nN*） ， a1a2a3aklog2（k+2） ， 又 a1a2a3ak为整数， k+2 必须是 2 的 n 次幂（nN*） ，即 k2n2， 又 k1，2019，12n22019，取 2n10， 区间1，2019内所有的企盼数的和为： M（222）+（232）+（242）+（2102
20、） （22+23+210）29182026 故选：B 【点评】本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，考查运算能力， 属于基础题 三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分）分） 17 （10 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点为 F1（2） ，F2（2） ，且离心率 e （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 11 页（共 15 页） （2）过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，求ABF2的周长 【分析】 （1）由条件有 a3，c2，求出 b 即可； （2）|AB|AF1|+|F1B|，然
21、后用椭圆的定义可得三角形的周长为 4a12 【解答】解析： （1）因为， 所以， 得到 b2a2c21 又椭圆的焦点在 x 轴上， 所以求椭圆的标准方程为 （2）因为 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点； 根据椭圆的定义得ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a12， 故ABF2的周长为 12 【点评】本题考查椭圆的基本的几何性质，椭圆的定义，属于基础题 18 （12 分）已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13成等比数列 （）求an的通项公式； （）求 a1+a4+a7+a3n2 【分析】 （I）设等差数列a
22、n的公差为 d0，利用成等比数列的定义可得， 再利用等差数列的通项公式可得，化为 d（2a1+25d）0， 解出 d 即可得到通项公式 an； （II）由（I）可得 a3n22（3n2）+276n+31，可知此数列是以 25 为首项，6 为公差的等差数列利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4+a7+a3n2 【解答】解： （I）设等差数列an的公差为 d0， 由题意 a1，a11，a13成等比数列， ，化为 d（2a1+25d）0， d0，225+25d0，解得 d2 an25+（n1）（2）2n+27 （II）由（I）可得 a3n22（3n2）+276n+31，可知此数列是以 2
23、5 为首项，6 为公差的等差数列 Sna1+a4+a7+a3n2 第 12 页（共 15 页） 3n2+28n 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式是解题的关键 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA） c （1）求 C； （2）若 c，ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得 2cosCsinCsinC，由 0C ，sinC0，可求 cosC，进而可求 C 的值 （2）根据 ABC 的面积公式可求 ab6，根据余弦定理可求 a+b 的值
24、，即可求得周长 【解答】解： （1）由已知 2cosC（acosB+bcosA）c， 正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）sinC， 即 2cosCsinCsinC， 0C，sinC0， cosC， C （2）由 c，C，ABC 的面积为absin， ab6， 又由余弦定理 c2b2+a22abcosC，可得：7b2+a2ab（a+b）23ab（a+b）2 18， 可得： （a+b）225，解得：a+b5， ABC 的周长 a+b+c5+ 【点评】本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定 理的合理运用 20 （12 分）某工厂要建造一个长方体
25、的无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池 底造价为每平方米 150 元， 池壁每平方米造价为 120 元， 怎么设计水池能使总造价最低？ 最低造价是多少？ 第 13 页（共 15 页） 【分析】如图所示，设长方体的长宽分别为 x，y，则 3xy4800，可得 y水池 总造价 f（x）xy150+2（3x+3y）120（x+）720+1600150，利用基本不 等式的性质即可得出 本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 【解答】解：如图所示，设长方体的长宽分别为 x，y， 则 3xy4800，可得 y 水池总造价 f （x） xy
26、150+2 （3x+3y） 120 （x+） 720+16001502 720+240000 57600+240000297600 元当且仅当 x40m，y40m 时取等号 设计水池底面为边长为 20m 的正方形能使总造价最低，最低造价是 297600 元 【点评】本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 21 （12 分）在数列an中，a12，a24，且当 n2 时，an2an1an+1，nN ； （1）求数列an的通项公式 an； （2）若 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）通过题意可知数列an是等比数列，进
27、而可求出公比，代入公式即得结论； （2）通过（1）可知 bn（2n1）2n，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】解： （1）当 n2 时，an2an1an+1， 数列an是等比数列， 又a12，a24， 公比 a2， 数列an是首项、公比均为 2 的等比数列， 第 14 页（共 15 页） 其通项公式 an2n； （2）由（1）可知 bn（2n1）an（2n1）2n， 则 Sn12+322+523+（2n1）2n， 2Sn122+323+（2n3）2n+（2n1）2n+1， 两式相减，得：Sn2+222+223+22n（2n1）2n+1 2+2（2n1）2n+1 6（2n3）2n+1， S
28、n6+（2n3）2n+1 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属 于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 【分析】 （1）由于 f（x）|x+1|x2|，解不等式 f（x）1 可 分1x2 与 x2 两类讨论即可解得不等式 f（x）1 的解集； （2）依题意可得 mf（x）x2+xmax，设 g（x）f（x）x2+x，分 x1、1x2、 x2 三类讨论，可求得 g（x）max，从而可得 m 的取值范围 【解答】解： （1）f
29、（x）|x+1|x2|，f（x）1， 当1x2 时，2x11，解得 1x2； 当 x2 时，31 恒成立，故 x2； 综上，不等式 f（x）1 的解集为x|x1 （2）原式等价于存在 xR 使得 f（x）x2+xm 成立， 即 mf（x）x2+xmax，设 g（x）f（x）x2+x 由（1）知，g（x）， 第 15 页（共 15 页） 当 x1 时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为 x1， g（x）g（1）1135； 当1x2 时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为 x（1，2） ， g（x）g（）+1； 当 x2 时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x2， g（x）g（2）4+2+31； 综上，g（x）max， m 的取值范围为（，