1、2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）学校要从 353 名学生干部中任意选取 35 名学生代表参加“重走办学路”远志夏 令营活动若采用系统抽样方法，首先要随机剔除 3 名学生，再从余下的 350 名学生干 部中抽取 35 名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ） A B C D 2 （5 分）对以下命题： 随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； 抛掷两枚均
2、匀硬币一次，出现一正一反的概率是； 若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖； “姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题 其中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 3 （5 分）写出命题 p： “x0R，使得”的否定并判断p 的真假，正 确的是（ ） Ap 是“”且为真 Bp 是“x0R，使得”且为真 Cp 是“”且为假 Dp 是“x0R，使得”且为假 4 （5 分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的 平均数与中位数分别是（ ） A12.5，12.5 B13.5，13 C13.5，12.5 D13，13 第 2 页（共 24
3、页） 5 （5 分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当 x7 时的预测值是 28，则实数 m 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 m 23 A18 B20 C21 D22 6 （5 分）设等差数列an的前 n 项和是 Sn，已知 a2+a1832，则 S14S5（ ） A2S10 B144 C288 D5（a1+a14） 7 （5 分） “方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A “m7” B “7m9” C “5m9” D “5m9”且“m7” 8 （5 分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 A“甲击中靶” ，事件 B“乙击中 靶” ，事件 E
4、“靶未被击中” ，事件 F“靶被击中” ，事件 G“恰一人击中靶” ，对下 列关系式（ 表示 A 的对立事件， 表示 B 的对立事件） ：，FAB，F A+B，GA+B，P（F）1P（E） ，P（F）P（A）+P（B） 其 中正确的关系式的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 9 （5 分）已知圆，定点 F2（1，0） ，点 P 在圆 F1上移动，作线段 PF2的中垂线交 PF1于点 M，则点 M 的轨迹方程为（ ） A B C D 10 （5 分）已知双曲线的左右焦点分别是 F1，F2，点 P 是 C 的右支上的一 点 （不是顶点） ， 过 F2作F1PF2的角平分线的垂线， 垂足是 M，
5、O 是原点， 则|MO| （ ） A随 P 点变化而变化 B2 C4 D5 第 3 页（共 24 页） 11 （5 分）如图，椭圆的左右焦点分别是 F1，F2，点 P、Q 是 C 上的两点，若，且，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知椭圆过定点（1，1） ，则的最大值是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在对应题号的横线上把答案填在对应题号的横线上. 13 （5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一 名行人来到该路口遇到红灯
6、，则至少需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为 14 （5 分）设 a，bR，则“log2（ab）0”是“ab”的 条件 （填“充分不必 要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要” ） 15 （5 分）设函数 f（x）x23x+a，已知t0（1，3，使得当 x1，t0时，f（x）0 有 解，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）设数列an满足，则： （1）a1+a3+a5+a2019 ； （2）数列中最小项对应的项数 n 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17
7、 （10 分）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知asinCcsin2A （1）求 A； （2）若 a，b2，求ABC 的面积 18 （12 分） “双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型 汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的样本方法抽取 40 名驾驶员进行询问 第 4 页（共 24 页） 调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；60，65） ，65，70） ，70，75） ， 75，80） ，80，85） ，85，90后得到如图所示的频率分布直方图 （1）求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值； （2）若从
8、车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65，70）内的车辆恰有一 辆的概率 19 （12 分）设双曲线时，正项数列xn满足 x11，对任意的 n2，nN*， 都有是上的点 （1）求数列xn的通项公式； （2）记，是否存在正整数 m，使得与 有相同的渐近线？如果有，求出 m 的值；如果没有，请说明理由 20 （12 分）某大学生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 6 月份销售某种配件的销售量 及销售单价进行了调查，销售单价 z 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价 x（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量 y（元） 11
9、 10 8 6 5 14.2 （1）根据 1 至 5 月份的拮据，先求出 y 关于 z 的回归直线方程；6 月份的数据作为检验 数据若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过 0.5，则认为所得到的 回归直线方程是理想的试问所求得的回归直线方程是否理想？ （2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种 机器配件的成本是 2.5 元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利 润？注：利润销售收入一成本 第 5 页（共 24 页） 参考数据： 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn） ，其回归直线的斜 率和截距
10、的最小二乘估计分别为： ， ） 21 （12 分）已知椭圆经过点（0，1） ，且离心率为 （1）设过点的直线与椭圆 E 相交于 M、N 两点，若 MN 的中点恰好为点 P， 求该直线的方程； （2）过右焦点 F 的直线 l（与 x 轴不重合）与椭圆 E 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平 分线交 y 轴于点 Q（0，m） ，求实数 m 的取值范围 22 （12 分）已知函数 （1）若命题： “x01，4，f（x0）1”是真命题，求 a 的取值范围； （2）若 a2，x10，x20，x1+x21，求 f（x1）+f（x2）的最小值； （3）若，函数 f（x）在区间t，t+1的最大值与最小值
11、的差不超过 1，求 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）学校要从 353 名学生干部中任意选取 35 名学生代表参加“重走办学路”远志夏 令营活动若采用系统抽样方法，首先要随机剔除 3 名学生，再从余下的 350 名学
12、生干 部中抽取 35 名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ） A B C D 【分析】根据随机抽样时每个个体被抽到的概率相等，即可得出结论 【解答】解：从 353 名学生干部中任意选取 35 名学生，先要随机剔除 3 名学生，再从余 下的 350 名学生干部中抽取 35 名学生， 因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为 P 故选：C 【点评】本题考查了随机抽样的应用问题，是基础题 2 （5 分）对以下命题： 随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； 抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是； 若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖； “姚明
13、投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题 其中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关； 抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是； 一种彩票买一张中奖的概率是，买这种彩票一千张也有可能不会中奖； 根据古典概型的概率特征判断即可 【解答】解：对于，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关， 第 7 页（共 24 页） 而频率是实验值，与试验重复的次数有关，错误； 对于，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是： 正、正、正、反、反、正、反、反共 4 种， 出现一正一反的概率是 P，错误； 对于，若一种彩票买一张中奖的概率是， 则买这种彩票
14、一千张也有可能不会中奖，错误； 对于， “姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种， 但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，错误 综上知，正确的个数是 0 故选：A 【点评】本题考查了随机事件的概率应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是 基础题 3 （5 分）写出命题 p： “x0R，使得”的否定并判断p 的真假，正 确的是（ ） Ap 是“”且为真 Bp 是“x0R，使得”且为真 Cp 是“”且为假 Dp 是“x0R，使得”且为假 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题， 且命题 p 与它的否定命题p 一真一假，由此判断正误 【解答】解：由
15、sinx+cosxsin（x+）， 所以命题 p： “x0R，使得”是假命题； 所以该命题的否定p： “” ，它是真命题 故选：A 【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的否定与真假性判断问题，是基础题 4 （5 分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的 平均数与中位数分别是（ ） 第 8 页（共 24 页） A12.5，12.5 B13.5，13 C13.5，12.5 D13，13 【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可 【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为 0.2， 第二组的频率为 0.5，则第三组的
16、频率为 0.3， 则平均数为 7.50.2+12.50.5+17.50.313， 由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15的的位置， 即中位数为 10+（1510）13 故选：D 【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，要求熟练掌握中位数和平均数的定义以 及计算方式 5 （5 分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当 x7 时的预测值是 28，则实数 m 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 m 23 A18 B20 C21 D22 【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，然后结合题意列关于 a 与 m 的方程组求解 【解答】解：， 则， 又 2857a
17、， 联立解得：a7，m20 故选：B 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 6 （5 分）设等差数列an的前 n 项和是 Sn，已知 a2+a1832，则 S14S5（ ） 第 9 页（共 24 页） A2S10 B144 C288 D5（a1+a14） 【分析】利用等差数列an的通项公式求出 a1+9d16，由此能求出 S14S5 【解答】解：等差数列an的前 n 项和是 Sn，a2+a1832， a1+d+a1+17d32， 解得 a1+9d16， S14S5（14a1+）（） 9（a1+9d）916144 故选：B 【点评】本题考查等差数列的前
18、 14 项和与前 5 项和之差的求法，考查等差数列的性质等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分） “方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A “m7” B “7m9” C “5m9” D “5m9”且“m7” 【分析】由椭圆的定义可列出 m 满足的不等式组，从而求出 m 的取值范围，注意 9m m5，再结合选项选出必要不充分条件 【解答】解：因为方程的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：，解得：5m9 且 m7， 所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“5m9 且 m7” ， 所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是： “5m9” 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件
19、，必要条件，充要条件的判定，做题时注意 9mm5 的限制，还需注意要选的是必要不充分条件而不是充要条件，是基础题 8 （5 分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 A“甲击中靶” ，事件 B“乙击中 靶” ，事件 E“靶未被击中” ，事件 F“靶被击中” ，事件 G“恰一人击中靶” ，对下 第 10 页（共 24 页） 列关系式（ 表示 A 的对立事件， 表示 B 的对立事件） ：，FAB，F A+B，GA+B，P（F）1P（E） ，P（F）P（A）+P（B） 其 中正确的关系式的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【解答】解：甲、乙两人对同
20、一个靶各射击一次， 设事件 A“甲击中靶” ，事件 B“乙击中靶” ， 事件 E“靶未被击中” ，事件 F“靶被击中” ，事件 G“恰一人击中靶” ， 在中，事件 E 是指事件 A 与事件 B 同时不发生，故正确； 在中，事件 F 表示事件 A 和事件 B 至少有一个发生， 故 FA+B，故错误； 在中，FA+B，故正确； 在中，故错误； 在中，故正确； 在中，由对立事件概率计算公式得 P（F）1P（E） ，故正确； 在中，由互斥事件概率计算公式得 P（F）1P（）P（A）+P（B） ，故错 误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的性质等基础知识，考查 运算求解能
21、力，是基础题 9 （5 分）已知圆，定点 F2（1，0） ，点 P 在圆 F1上移动，作线段 PF2的中垂线交 PF1于点 M，则点 M 的轨迹方程为（ ） A B C D 【分析】先确定 F1、F2的坐标，再根据线段 PF2的中垂线与 PF1交于 M 点，结合双曲 线的定义，可得点 M 的轨迹是以 F1、F2为焦点的双曲线，从而可得点 M 的轨迹 C 的方 程 第 11 页（共 24 页） 【解答】解：由题意得，F1（1，0） ，则 F2（1，0） ， 圆 F1的半径|PF1|4，且|MF2|MP|， |MF1|+|MF2|PF1|42|F1F2|； 点 M 的轨迹是以 F1、F2为焦点的椭
22、圆，其中实轴 2a4，焦距 2c2， 则虚半轴 b， 椭圆的方程为： 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线方程的求法，是中档题 10 （5 分）已知双曲线的左右焦点分别是 F1，F2，点 P 是 C 的右支上的一 点 （不是顶点） ， 过 F2作F1PF2的角平分线的垂线， 垂足是 M， O 是原点， 则|MO| （ ） A随 P 点变化而变化 B2 C4 D5 【分析】由题设条件结合等腰三角形的性质可得|PH|PF2|，由双曲线的定义推出 PF1| |PH|F1H|2a，由中位线定理可得|OM|a，由双曲线的方程可得所求值 【解答】解：双曲线的左右焦点分别是 F1，F2，
23、延长 F2M 交 PF1于 H， PM 是F1PF2的角平分线，|PH|PF2|， P 在双曲线上，|PF1|PF2|2a， |PF1|PH|F1H|2a， O 是 F1F2的中点，M 是 F2H 的中点， OM 是F2F1H 的中位线，|HF1|2|OM|， 即|OM|a， 双曲线中 a4，则|OM|4 故选：C 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定 理，考查推理能力，属于中档题 11 （5 分）如图，椭圆的左右焦点分别是 F1，F2，点 P、Q 是 C 上的两点，若，且，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分
24、析】利用椭圆的性质和正弦定理求出 e 【解答】解：设 QF2的倾斜角 ，延长 QF2到 P，显然 PP关于 O 对称， 根据椭圆的极坐标方程 PF2，F2Q， 由，ecos， 又根据正弦定理 e， 所以 esin+ecos1，的 esin， 所以 e2cos2+e2sin2， 第 13 页（共 24 页） e2，e 故选：A 【点评】本题利用椭圆在交点处的极坐标方程，还用了正弦定理，中档题 12 （5 分）已知椭圆过定点（1，1） ，则的最大值是（ ） A B C D 【分析】代入（1，1） ，再利用基本不等式求出 【解答】解：把（1，1）代入得， 则，当且仅当成立，即 a2 ，b24， 故选
25、：C 【点评】考查椭圆的性质，基本不等式的用法，基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在对应题号的横线上把答案填在对应题号的横线上. 13 （5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一 名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为 【分析】根据红灯持续时间结合几何概率公式，即可求出至少需要等待 10 秒才出现绿灯 的概率 【解答】解：因为红灯持续时间为 40 秒， 所以根据已知条件可得至少需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为 P， 故答案为： 【点评
26、】本题主要考查几何概型，是基础题 第 14 页（共 24 页） 14 （5 分）设 a，bR，则“log2（ab）0”是“ab”的 充分不必要 条件 （填“充 分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要” ） 【分析】由 log2（ab）0 可得出 ab，然而由 ab，只能得到 ab0，得不到 a b1，故推不出 log2（ab）0，从而“log2（ab）0”是“ab”的充分不必要 条件 【解答】解：由 log2（ab）0 可知，ab1，所以 ab0，从而得出 ab， 然而由 ab，只能得到 ab0，得不到 ab1，故推不出 log2（ab）0， 所以“log2（ab）0”是“a
27、b”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，是基础题 15 （5 分）设函数 f（x）x23x+a，已知t0（1，3，使得当 x1，t0时，f（x）0 有 解，则实数 a 的取值范围是 （，2 【分析】二次函数的值域问题需要三步走：一、判断开口方向；二、得出对称轴；三、 判断对称轴与区间端点的位置关系，结合草图得出结论 【解答】解：f（x）的对称轴为 x， 所以，当 t0（1，时，x1，t0位于对称轴左侧，草图如下： 此时 f（x）minf（t0）， 又对于任意 t0（1，均成立， 因此 a（）min2； 第 15 页（共 24 页）
28、又，当 t0（，3时，x1，t0越过对称轴，草图如下： 此时 f（x）minf（）+a0， 解得 a； 综上，a2 故答案为： （，2 【点评】本题属于基础题，掌握二次函数值域的求解是关键 16 （5 分）设数列an满足，则： （1）a1+a3+a5+a2019 1010 ； （2）数列中最小项对应的项数 n 为 9 或 10 【分析】 （1）当 n 为奇数时，可得奇数项的值都为 1，从而求出前 2020 项奇数项的和为 1010 （2）当 n 为偶数时，an+2an2n，属于累加法的题型，运用累加法求出 an，从而求出 ，再结合均值不定式求出最小项，注意 n 的取值 【解答】解： （1）数列
29、an满足， 则：1， ， ， 第 16 页（共 24 页） ， 所以 a1+a3+a5+a2019 故答案为：1010 （2）由题意知：， 因为 n 为偶数，所以 an+2an+2n， 整理得 an+2an2n， anan22（n2） ， ， a6a424， a4a222， 累加得：an+2a22（2+4+n） ， 整理得：， 所以：（n 为偶数） ， 从而得到 ， 由于， 又因为 nN*且 n 为偶数，所以当 n18 或 20 时，的值最小 所以 数列中最小项对应的项数 n 为 9 或 10 故答案为：9 或 10 【点评】考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合
30、 到一起考查最值问题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知asinCcsin2A （1）求 A； （2）若 a，b2，求ABC 的面积 【分析】 （1）利用正弦定理和二倍角公式化简即可求解； （2）利用余弦定理求解 c，即可求解ABC 的面积 【解答】解： （1）因为知asinCcsin2A 第 17 页（共 24 页） 由正弦定理：sinAsinCsinCsin2A 因为 sin2A2sinAcosA，
31、sinAsinC0， 所以 cosA 因为 0A， 所以 A （2）因为 a，b2，A 由余弦定理：a2b2+c22cbcosA 得 c26c+50， 解得：c1 或 c5，均适合题 当 c1 时，ABC 的面积为 SbcsinA 当 c5 时，ABC 的面积为 SbcsinA 【点评】本题考查正、余弦定理和面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 18 （12 分） “双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型 汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的样本方法抽取 40 名驾驶员进行询问 调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；6
32、0，65） ，65，70） ，70，75） ， 75，80） ，80，85） ，85，90后得到如图所示的频率分布直方图 （1）求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值； （2）若从车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65，70）内的车辆恰有一 辆的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图知75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这 40 辆小 型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出60，75）对应的频率为 0.35，75，80）对应 第 18 页（共 24 页） 的频率为 0.3，由此能求出中位数的估计值 （2）车速在60，70）内频率为 0.15，从而车速在60，70
33、）内的车辆有 6 辆，其中车速 在60， 65） 内的车辆有 2 辆， 车速在65， 70） 内的车辆有 4 辆， 由此能求出从车速在60， 70）内的车辆中任抽取 2 辆，车速在65，70）内的车辆恰有一辆的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图知75，80）对应的小矩形最高， 这 40 辆小型汽车车速的众数为：77.5（km/h） 由频率分布直方图知60，75）对应的频率为： （0.010+0.020+0.040）50.35， 75，80）对应的频率为：0.06050.3， 中位数的估计值为：77.5（km/h） （2）车速在60，70）内频率为（0.010+0.020）50.15，
34、车速在60，70）内的车辆有 0.15406 辆， 其中车速在60，65）内的车辆有：0.0105402 辆， 车速在65，70）内的车辆有：0.0205404 辆， 从车速在60，70）内的车辆中任抽取 2 辆， 基本事件总数 n， 车速在65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数 m8， 车速在65，70）内的车辆恰有一辆的概率 p 【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审 题，注意频率分布直方图的性质的合理运用 19 （12 分）设双曲线时，正项数列xn满足 x11，对任意的 n2，nN*， 都有是上的点 （1）求数列xn的通项公式； （2）记，是
35、否存在正整数 m，使得与 有相同的渐近线？如果有，求出 m 的值；如果没有，请说明理由 第 19 页（共 24 页） 【分析】 （1）由题意可得得 xn2xn121，即有xn2为首项和公差均为 1 的等差数列， 由等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，运用数列的裂项相消求和可得 Sn，假 设存在正整数 m，使得与有相同的渐近线，求得双曲线的渐近线，解方程 可得 m，即可判断存在性 【解答】 解： （1） 正项数列xn满足 x11， 对任意的 n2， nN*， 都有 是双曲线上的点， 可得 xn2xn121，即有xn2为首项和公差均为 1 的等差数列， 可得 xn21+n1n，即 x
36、n； （2）， 则1+ 1， 假设存在正整数 m，使得与有相同的渐近线， 即有 yx 与 yx 相同，可得， 即 Sm99，即199， 解得 m9999， 则存在正整数 m9999，使得与有相同的渐近线 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查数列的裂项相消求和，以及存在性问题解 法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 20 （12 分）某大学生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 6 月份销售某种配件的销售量 及销售单价进行了调查，销售单价 z 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价 x（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 第 20 页
37、（共 24 页） 销售量 y（元） 11 10 8 6 5 14.2 （1）根据 1 至 5 月份的拮据，先求出 y 关于 z 的回归直线方程；6 月份的数据作为检验 数据若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过 0.5，则认为所得到的 回归直线方程是理想的试问所求得的回归直线方程是否理想？ （2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种 机器配件的成本是 2.5 元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利 润？注：利润销售收入一成本 参考数据： 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn） ，其回归直线的
38、斜 率和截距的最小二乘估计分别为： ， ） 【分析】 （1）计算 、 ，求出回归系数，写出回归直线方程；根据回归直线方程，计算 x8 时对应的 y 数值，判断回归直线方程是否理想； （3）求销售利润函数 W，根据二次函数的图象与性质求最大值即可 【解答】解： （1）（9+9.5+10+10.5+11）10，（11+10+8+6+5）8， 3.2， 则8（3.2）1040， 于是 y 关于 x 的回归直线方程为； 取 x8，得， |14.414.2|0.20.5， 所求得的回归直线方程是理想的； （2）令销售利润为 W，则 W（x2.5） （3.2x+40）3.2x2+48x100（2.5x12
39、.5） ， 第 21 页（共 24 页） 当 x7.5 时，W 取最大值 80 该产品的销售单价定为 7.5 元/件时，获得的利润最大 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是综合题 21 （12 分）已知椭圆经过点（0，1） ，且离心率为 （1）设过点的直线与椭圆 E 相交于 M、N 两点，若 MN 的中点恰好为点 P， 求该直线的方程； （2）过右焦点 F 的直线 l（与 x 轴不重合）与椭圆 E 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平 分线交 y 轴于点 Q（0，m） ，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用椭圆的定义求出椭圆 E 的方程，再利用点差法求直线的方程； （
40、2）由题意设出直线 l 的方程，设出 A、B 的坐标，联立直线与椭圆的方程得韦达定理， 根据 A、B 的坐标得到线段 AB 的垂直平分线方程，用 t 表示出 m，再求 m 的范围 【解答】解：设椭圆的焦距为 2c， 由题意，解得， 椭圆 E 的标准方程为， （1）设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则，两式作差得， 由点 P 为 MN 的中点得直线的斜率 k， 该直线的方程为：，化简得一般式方程为：2x2y+10； （2）由椭圆的方程可得 F（1，0） ， 由题意可设直线 l 的方程为 xty+1，设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 22 页（共 24 页） 由 得
41、（t2+2）y2+2ty10， 由韦达定理得， 易求得线段 AB 的垂直平分线的方程为， 由 x0 得：m， 当 t0 时，m0； 当 t0 时， 当 t0 时， 当 t0 时， 综上：实数 m 的取值范围是 【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，注意对直线的设法，属于中档题 22 （12 分）已知函数 （1）若命题： “x01，4，f（x0）1”是真命题，求 a 的取值范围； （2）若 a2，x10，x20，x1+x21，求 f（x1）+f（x2）的最小值； （3）若，函数 f（x）在区间t，t+1的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由题意可知在定义域上单
42、调递减，由x01，4，f（x0）1”是真命题， 可知 f（x）max1，可求 （2）由题意可知 f（x），然后结合基本不等式和对数的运算性质即可求 解 （3）由函数 f（x）在区间t，t+1上单调递减，可知 f（t）f（t+1）1，然后结合函数 的性质可求 【解答】解： （1）在定义域上单调递减， x01，4，f（x0）1”是真命题， f（x）maxf（1）log2（1+a）1， 第 23 页（共 24 页） a+12， a1， a 的取值范围（1，+） ； （2）若 a2，f（x）， x10，x20，x1+x21， ， 4， f（x1）+f（x2）， 4，即最小值 4； （3），函数 f（x）在区间t，t+1上单调递减， 故 f（t）f（t+1）1， 1， 即， ， 设 1tr，则 r， 当 r0 时，0， 当 r0 时， 根据对勾函数的单调性可知，当 r，时，r+取得最小值， ， 故 a 的取值范围，+） 【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性 第 24 页（共 24 页） 质是解决本题的关键