1、2018-2019 学年湖南省益阳市桃江县高二 （下） 期末数学试卷 （文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|0x1 Cx|0x2 Dx|1x1 2 （5 分）某中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为 720 的样 本进行某项研究，则应从高三年级
2、学生中抽取学生（ ） A200 人 B300 人 C320 人 D350 人 3 （5 分）根据给出的算法框图，计算 f（1）+f（2）（ ） A0 B1 C2 D4 4 （5 分）在ABC 中，c，B45，C60，则 b（ ） A B C D 5 （5 分）若 x、y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A2 B C1 D0 6 （5 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A1 B C D 7 （5 分） “a3”是“函数 f（x）x24ax+1 在区间4，+）上为增函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
3、分也不必要条件 8 （5 分）在区间（1，3）内，任取 1 个数 x，则满足 log2（2x1）1 的概率为（ ） A B C D 9 （5 分）若向量 与 的夹角为，| |4， （） （）72，则| |+| |（ ） A6 B10 C8 D12 10 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有 女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第 十五日所 织尺数为（ ） A13 B14 C15 D16 11 （5 分）直线 l 与抛物线 C：y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的 斜率 k1
4、，k2满足 k1k2，则直线 l 过定点（ ） A （3，0） B （3，0） C （1，3） D （2，0） 12 （5 分）已知函数 f（x）|lnx|ax（x0，0a1）的两个零点是 x1，x2，则（ ） A0x1x21 Bx1x21 C1x1x2e Dx1x2e 第 3 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足，则复数 z 14 （5 分）已知，则的值为 15 （5 分）已知直线 l：kxy+0，曲线 Cy，若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点
5、，则 k 的取值范围是 ；|AB|的最小值是 16 （5 分）对于大于 1 的自然数 m，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂” ：233+5， 337+9+11.4313+15+17+19对此，若 m3的“分裂数”中有一个是 2019，则 m 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）Sn为数列an的前 n 项和，已知数列an为等差数列，a13，S535 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 18 （12 分）已知函数 f（x）
6、sin2xcos （）求 f（x）的最小正周期和对称轴的方程； （）求 f（x）在区间上的最小值 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PA，四边形 ABCD 是边 长为 2 的菱形，ABC60，M，N 分别为 BC 和 PB 的中点 （）求证：平面 PBC平面 PMA； （）求四面体 MAND 的体积 20 （12 分）为推进 “千村百镇计划” ， 2018 年 4 月某新能源公司开展 “电动莆田 绿色出行” 活动，首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月，试 用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司
7、要求每位试用者 第 4 页（共 21 页） 填写一份性能综合评分表（满分为 100 分） 最后该公司共收回有效评分表 600 份，现从 中随机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如图茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数 m； （2）已知 40 个样本数据的平均数 a80，记 m 与 a 的最大值为 M该公司规定样本中 试用者的“认定类型” ：评分不小于 M 的为“满意型” ，评分小于 M 的为“需改进型” 请以 40 个样木数据的频率分布来估计收回的 600 份评分表中， 评分不小于 M 的份数； 请根据 40 个样本数据，完成下面 22 列联表： 认定
8、类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 20 男性 20 合计 40 根据 22 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 附：K2， P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的焦距为 2，过短轴的一个端点与两个 焦点的圆的面积为，过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D，且|DP|，求 k 的值 22 （12 分）已知
9、函数 f（x）x3+x2axa，xR，其中 a0 第 5 页（共 21 页） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在区间（3，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围； （3）当 a1 时，设函数 f（x）在区间t，t+3上的最大值为 M（t） ，最小值为 m（t） ， 记 g（t）M（t）m（t） ，求函数 g（t）在区间4，1上的最小值 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南省益阳市桃江县高二 （下） 期末数学试卷 （文学年湖南省益阳市桃江县高二 （下） 期末数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题
10、：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|0x1 Cx|0x2 Dx|1x1 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|1x1； ABx|0x1 故选：B 【点评】考查描述法的定义，交集的运算 2 （5 分）某中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生
11、中抽取一个容量为 720 的样 本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取学生（ ） A200 人 B300 人 C320 人 D350 人 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】解：由分层抽样的定义知从高三年级学生中抽取学生为720 300， 故选：B 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比 较基础 3 （5 分）根据给出的算法框图，计算 f（1）+f（2）（ ） 第 7 页（共 21 页） A0 B1 C2 D4 【分析】程序的功能是求分段函数 f（x）的值，分别求出 f（1） ，f （2） ，可得答案 【解答】解：由程序框图知：程序
12、的功能是求分段函数 f（x）的值， f（1）4； f（2）224， f（1）+f（2）0 故选：A 【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是关键 4 （5 分）在ABC 中，c，B45，C60，则 b（ ） A B C D 【分析】直接利用正弦定理化简求解即可 【解答】 解： 在ABC 中， c， B45， C60， 则 b 故选：D 【点评】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力 第 8 页（共 21 页） 5 （5 分）若 x、y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A2 B C1 D0 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合
13、得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由 x、y 满足约束条件，作出可行域如图， 联立，解得 A（0，1） 化目标函数 zx2y 为 yxz， 由图可知，当直线 yxz 过 A（0，1）时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为：0212 故选：A 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 6 （5 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 第 9 页（共 21 页） A1 B C D 【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视 图的数据，利用体积公式得到结果 【
14、解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为 1 组成的平行四 边形， 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为 1， 四棱锥的体积是 故选：B 【点评】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所 给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题 7 （5 分） “a3”是“函数 f（x）x24ax+1 在区间4，+）上为增函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】函数 f（x）x24ax+1 在区间4，+）上为增函数可得 2a4，解得 a 即可
15、判断出结论 【解答】解：函数 f（x）x24ax+1 在区间4，+）上为增函数 2a4，解得 a2 “a3”是“函数 f（x）x24ax+1 在区间4，+）上为增函数”的必要不充分条 件 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 第 10 页（共 21 页） 8 （5 分）在区间（1，3）内，任取 1 个数 x，则满足 log2（2x1）1 的概率为（ ） A B C D 【分析】由对数不等式的解法得：x，由几何概型中的线段型可得：P， 得解 【解答】解：解不等式 log2（2x1）1 得 x， 由几何概型中的线段型可得： 满足 log
16、2（2x1）1 的概率 P， 故选：D 【点评】本题考查了对数不等式的解法及几何概型中的线段型题型，属中档题 9 （5 分）若向量 与 的夹角为，| |4， （） （）72，则| |+| |（ ） A6 B10 C8 D12 【分析】根据平面向量的数量积公式列方程求出| |，再求| |+| |的值 【解答】解：向量 与 的夹角为，| |4， （） （） 6 | | |cos6 2| |9672， 2| |240， 解得| |6 或| |4（不合题意，舍去） ， 则| |+| |6+410 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题 10 （5 分） 九章算术是我国古代内容极
17、为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有 女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第 十五日所 第 11 页（共 21 页） 织尺数为（ ） A13 B14 C15 D16 【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且 a2+a5+a815，S728，利用等 差数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且 a2+a5+a815，S728， 设公差为 d，由 a2+a5+a815，得 3a515，a55， 由 S728，得 7a428，a44，则 da5a41， a15a5+10d5+10115 故选：C
18、 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 11 （5 分）直线 l 与抛物线 C：y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的 斜率 k1，k2满足 k1k2，则直线 l 过定点（ ） A （3，0） B （3，0） C （1，3） D （2，0） 【分析】直线 l：xmy+b，代入抛物线方程可化为 y22my2b0，y1y22b，结合 ，即可得出结论 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， y1y26 直线 l：xmy+b，代入抛物线方程可化为 y22my2b0， y1y22b， 2b6
19、，b3， l 一定过点（3，0） ， 故选：A 【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，比较基础 第 12 页（共 21 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）|lnx|ax（x0，0a1）的两个零点是 x1，x2，则（ ） A0x1x21 Bx1x21 C1x1x2e Dx1x2e 【分析】求解时将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题进行求解 【解答】解：因为 f（x）|ln x|ax0|ln x|ax，作出函数 y|ln x|，yax的图象如 图所示，不妨设 x1x2，则 0x11x2，从而 ln x10，ln x20，因此|ln x1| ln x1，|ln x2|l
20、n x2故 ln x1x2ln x1+ln x20，所以 0x1x21 故选：A 【点评】本题考查基本初等函数的图象与性质、函数零点的概念等，考查考生的数形结 合思想 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足，则复数 z 3i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由，得 z（1+i） （12i）3i 故答案为：3i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 14 （5 分）已知，则的值为 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求
21、cos，tan，根据两角和的正切函数 公式即可求值得解 【解答】解：， cos，tan， 第 13 页（共 21 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式的应用，考 查了计算能力，属于基础题 15 （5 分）已知直线 l：kxy+0，曲线 Cy，若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，则 k 的取值范围是 ；|AB|的最小值是 【分析】因为过定点的直线与半圆 C 的图象有两个交点，结合图象知：kPEkkPO，求 出直线 PO 和 PE 的斜率即可；当 PCAB 时，|AB|最小 【解答】解：直线 l：kxy+k0 过定点（1，） ，曲线 C 为
22、半圆： （x2）2+y24 （y0） 如图： 由图可知：kOP，kPE，； 要使弦长 AB 最小，只需 CPAB，此时|AB|22， 故答案为：，； 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 16 （5 分）对于大于 1 的自然数 m，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂” ：233+5， 337+9+11.4313+15+17+19对此，若 m3的“分裂数”中有一个是 2019，则 m 45 【分析】由题意，从 23到 m3，正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+m 第 14 页（共 21 页） 个，2019 是从 3 开始的第 1009 个奇数，m44 时，共用去 989 个
23、奇数；m 45 时，共用去 1034 个奇数，所以 m45 【解答】解：由题意，从 23到 m3，正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+m 个， 2019 是从 3 开始的第 1009 个奇数，m44 时，共用去 989 个奇数；m45 时，共用去 1034 个奇数， 所以 m45 故答案为：45 【点评】本题考查归纳推理，考查逻辑规律，注意观查，发现规律 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）Sn为数列an的前 n 项和，已知数列an为等差数列，a1
24、3，S535 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 【分析】 （1）设公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，即可 得到所求通项； （2）求得 bn（） ，由数列的裂项相消求 和，化简可得所求和 【解答】解： （1）数列an为公差为 d 的等差数列，a13，S535， 可得 53+10d35，解得 d2， 则 an3+2（n1）2n+1； （2）bn（） ， 可得数列bn的前 n 项和为（+） （） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查裂项相消求和，考查方 程思想和运算能力，属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（
25、x）sin2xcos （）求 f（x）的最小正周期和对称轴的方程； 第 15 页（共 21 页） （）求 f（x）在区间上的最小值 【分析】 （I）根据差角公式化简 f（x） ，利用正弦函数的性质求出对称轴和周期； （II）根据 x 的范围得出 2x的范围，再利用正弦函数的性质得出 f（x）的最小值 【解答】解： （） 所以 f（x）的最小正周期， 令 2x+k，解得 x+k 所以 f（x）的对称轴方程为 x+k，kZ （）因为， 所以 2x0， 所以 所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为1 【点评】本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题 19 （12 分）如图，四棱
26、锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PA，四边形 ABCD 是边 长为 2 的菱形，ABC60，M，N 分别为 BC 和 PB 的中点 （）求证：平面 PBC平面 PMA； （）求四面体 MAND 的体积 【分析】 （）连结 AC，由四边形 ABCD 是菱形，且ABC60，得ABC 是等边三 角形，再由 M 是 BC 中点，得 AMBC，由已知 PA平面 ABCD，可得 PABC，在线 面垂直的判定得 BC平面 PMA，从而得到平面 PBC平面 PMA； （）由已知直接利用等积法求得四面体 MAND 的体积 第 16 页（共 21 页） 【解答】 （）证明：连结 AC，四边形 ABCD 是
27、菱形，ABBC， 又ABC60，ABC 是等边三角形， M 是 BC 中点，AMBC， PA平面 ABCD，BC平面 ABCD， PABC，在平面 PMA 中 AMPAA， BC平面 PMA 平面 PBC平面 PMA； （）解：四边形 ABCD 是菱形，且 AB2，PA平面 ABCD，PA， 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 20 （12 分）为推进 “千村百镇计划” ， 2018 年 4 月某新能源公司开展 “电动莆田 绿色出行” 活动，首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月，试
28、 用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者 填写一份性能综合评分表（满分为 100 分） 最后该公司共收回有效评分表 600 份，现从 中随机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如图茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数 m； 第 17 页（共 21 页） （2）已知 40 个样本数据的平均数 a80，记 m 与 a 的最大值为 M该公司规定样本中 试用者的“认定类型” ：评分不小于 M 的为“满意型” ，评分小于 M 的为“需改进型” 请以 40 个样木数据的频率分布来估计收回的 600 份评分表中， 评分不小于
29、M 的份数； 请根据 40 个样本数据，完成下面 22 列联表： 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 20 男性 20 合计 40 根据 22 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 附：K2， P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）将 40 个数据从小到大的顺序排列后，根据中位数的定义可得； （2）先得到 M81，由此得到 22 列联表，再根据公式计算 K2，根据临界值表回答即 可 【解答】解： （1）由茎叶图知 m81， （2）因为 m81，a80，所以 M81， 由茎叶图知，女性试用者评分
30、不小于 81 的有 15 个，男性试用者评分不小于 81 的有 5 个， 所以在 40 个样本数据中，评分不小于 81 的概率为0.5， 可以估计收回的 600 份评分表中，评分不小于 81 的份数为 6000.5300 根据题意得 22 列联表： 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 15 5 20 男性 5 15 20 第 18 页（共 21 页） 合计 20 20 40 由于 K2106.635， 查表得 P（K260635）0.010， 所以有 99%的把握认为“认定类型“与性别有关 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的焦距为
31、 2，过短轴的一个端点与两个 焦点的圆的面积为，过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D，且|DP|，求 k 的值 【分析】 （1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可 求得椭圆方程； （2）先设直线方程 yk（x1） ，联立椭圆方程求得 P 点坐标，根据已知条件求出直线 PD 的方程，从而求得 D 点坐标，又|DP|，根据两点间的距离公式，即可求得 k 的值 【解答】解： （1）过短轴的一个端点与两个焦点的
32、圆的半径为，设右焦点的坐标为 （c，0） ， 依题意知，2c2，即 c1，又 b1， 解得：a2，b， 椭圆 C 的方程为； （2）设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为 yk（x1） ， （k0） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 19 页（共 21 页） ，整理得： （4k2+3）x28k2x+4k2120， 由韦达定理得 x1+x2，x1x2， y1+y2k（x1+x2）2k， P 为线段 AB 的中点，则可得点 P（，） ， 又直线 PD 的斜率为，直线 PD 的方程为 y+（x） ， 令 y0 得，x， 又点 D（，0） ， |PD|， 化简得 17k4+k2
33、180，解得：k21，故 k1 或 k1， k 的值1 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达 定理，中点坐标公式及两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x3+x2axa，xR，其中 a0 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在区间（3，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围； （3）当 a1 时，设函数 f（x）在区间t，t+3上的最大值为 M（t） ，最小值为 m（t） ， 记 g（t）M（t）m（t） ，求函数 g（t）在区间4，1上的最小值 【分析】 （1）求导函数，令 f（x）0，
34、可得函数的递增区间；令 f（x）0，可得 单调递减区间； （2）由（1）知函数在区间（3，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，从而 函数在（3，0）内恰有两个零点，由此可求 a 的取值范围； 第 20 页（共 21 页） （3）a1 时，f（x）x3x1，由（1）知，函数在（4，1）上单调递增，在（ 1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论，得到函数在t，t+3上的 最大值为 M（t）以及最小值 m（t） ，从而可得 g（t）在4，1上的最小值 【解答】解： （1）求导函数可得 f（x）（x+1） （xa） ， 令 f（x）0，可得 x11，x2a（a0） 令 f（x）0
35、，可得 x1 或 xa；令 f（x）0，可得1xa 故函数的递增区间为（，1） ， （a，+） ，单调递减区间为（1，a） ； （2）由（1）知函数在区间（3，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减， 若函数在（3，0）内恰有两个零点， ，解得 0a， a 的取值范围为（0，） ； （3）a1 时，f（x）x3x1，由（1）知，函数在（4，1）上单调递增，在（ 1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增 当 t4 时，函数在t，t+3上单调递增， 则函数 f（x）在区间t，t+3上的最大值为 M（t）f（1），最小值为 m（t） f（4）， 则 g（t）M（t）m（t）18； 当 t（4，2时
36、，t+3（1，1， 1t，t+3，f（x）在t，1上单调递增，在1，t+3上单调递减 因此函数在t，t+3上的最大值为 M（t）f（1），而最小值 m（t）为 f（t）与 f（t+3）中的较小者 由 f（t+3）f（t）3（t+1） （t+2）知， 当 t（4，2时，f（t）f（t+3） ，故 m（t）f（t） ， 所以 g（t）f（1）f（t） 而 f（t）在（4，2上单调递减，因此 f（t）f（2），所以 g（t）在（4， 第 21 页（共 21 页） 2上的最小值为 g（2）； 当 t2，1时，t+31，2，1，1t，t+3，最大值为 f（1）与 f（t+3）较大 者，最小值为 f（1）与 f（t）较小者 由 f（x）在2，1，1，2上单调递增，有 f（2）f（t）f（1） ，f（1）f（t+3）f（2） f（1）f（2），f（1）f（2）， M（t）f（1），m（t）f（1）， g（t）M（t）m（t）， 综上，函数 g（t）在区间4，1上的最小值为 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨 论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键