1、2018-2019 学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集 U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4，则UA（ ） A B0，2，4 C1，3 D1，1，3 2 （4 分）函数 f（x）的定义域为（ ） A1，2）（2，+） B （1，+） C1，2） D1，+） 3 （4 分）设 f（x）3x+3x8，用二分法求方程 3x+3x80 在 x（1，2）内近似解的过 程中得 f（1）0，f（1
2、.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（ ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5，2） D不能确定 4 （4 分）如果直线 ax+2y+10 与直线 x+y20 互相平行，那么 a 的值等于（ ） A2 B C D2 5 （4 分）如图的程序运行后输出的结果为（ ） A17 B22 C25 D28 6 （4 分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置 关系是（ ） A异面 B相交 C平行 D不能确定 7 （4 分）在ABC 中，已知 cosA，cosB，则 cos（A+B）的值为（ ） A B C或 D 8 （4 分）要从已编号
3、（160）的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试 验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 （ ） 第 2 页（共 19 页） A05，10，15，20，25，30 B03，13，23，33，43，53 C01，02，03，04，05，06 D02，04，08，16，32，48 9 （4 分）取一根长度为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小 于 2m 的概率是（ ） A B C D 10 （4 分）已知| |2| |0，且关于 x 的方程 x2+| |x+ 0 有实根，则 与 的夹角的 取值范围是（ ） A
4、0， B， C， D， 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11 （4 分）已知 m0，n0，且 m+n4，则 mn 的最大值是 12 （4 分）已知函数 f（x）的值为 13 （4 分）等差数列an中，a33，a833，则an的公差为 14 （4 分）不等式 sinx的解集是 15 （4 分）如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆 上，点 P 在球面上，如果 VPABCD，则球 O 的表面积是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分解答应写出
5、文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （6 分）已知函数 f（x）x2+2x （1）证明：f（x）在1，+）上是减函数； （2）当 x5，2时，求 f（x）的最大值和最小值 17 （8 分）在等比数列an中，若 a6a4216，a3a18，Sn13，求公比 q，a1及 n 18 （8 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1 第 3 页（共 19 页） （1）证明：D1A平面 C1BD； （2）求异面直线 D1A 与 BD 所成的角 19 （8 分）已知函数 f（x）sin2x+2cos2x1，xR （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（
6、x）在区间上的最大值和最小值 20 （10 分）已知直线 l：yx+2，一个圆的圆心 C 在 x 轴上且该圆与 y 轴相切，该圆经过 点 A（1，2） （1）求圆 C 的方程； （2）求直线 l 被圆截得的弦长 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分分 21 （6 分）如图所示，图是棱长为 1 的小正方体，图，是由这样的小正方体摆放而 成按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第 1 层，第 2 层，第 n 层的小正方 体的个数记为 Sn，解答下列问题： （1）按照要求填表： n 1 2 3 4 Sn 1 3 6 （2）Sn 22 （6
7、 分）函数 f（x）（）|x 1|+2cosx（4x6）的所有零点之和为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 3 小题，共小题，共 38 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； 第 4 页（共 19 页） （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围 24 （13 分）已知函数 f（x）e2x+mx，其中 m0 （）当 m1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （
8、）若不等式 f（x）0 在定义域内恒成立，求实数 m 的取值范围 25 （13 分）已知抛物线 C 的顶点为 O（0，0） ，焦点 F（0，1） （）求抛物线 C 的方程； （）过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点若直线 OA、OB 分别交直线 l：yx2 于 M、 N 两点，求|MN|的最小值 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出
9、的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集 U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4，则UA（ ） A B0，2，4 C1，3 D1，1，3 【分析】由全集 U 及 A，求出 A 的补集即可 【解答】解：全集 U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4， UA1，3 故选：C 【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键 2 （4 分）函数 f（x）的定义域为（ ） A1，2）（2，+） B （1，+） C1，2） D1，+） 【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可 【解答
10、】解：由题意 解得 x1，2）（2，+） 故选：A 【点评】本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是 解题的关键 3 （4 分）设 f（x）3x+3x8，用二分法求方程 3x+3x80 在 x（1，2）内近似解的过 程中得 f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（ ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5，2） D不能确定 【分析】由已知“方程 3x+3x80 在 x（1，2）内近似解” ，且具体的函数值的符号也 已确定，由 f（1.5）0，f（1.25）0，它们异号 【解答】解析：f（1.5） f（1.25）0，
11、由零点存在定理，得， 方程的根落在区间（1.25，1.5） 故选：B 第 6 页（共 19 页） 【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理： 一般地，若函数 yf（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线， 且 f（a）f（b）0，则函数 yf（x）在区间（a，b）上有零点 4 （4 分）如果直线 ax+2y+10 与直线 x+y20 互相平行，那么 a 的值等于（ ） A2 B C D2 【分析】根据题意，由直线平行的判定方法可得 a12，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，如果直线 ax+2y+10 与直线 x+y20 互相平行， 则有 a12， 解可
12、得 a2； 故选：D 【点评】本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题 5 （4 分）如图的程序运行后输出的结果为（ ） A17 B22 C25 D28 【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果 【解答】解：模拟程序语言的运行过程知， x5，y20； x0，y20+317； 输出 xy5（17）22 故选：B 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题 6 （4 分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置 关系是（ ） A异面 B相交 C平行 D不能确定 【分析】由题意设 l，a，a，然后过直线 a 作与 、 都相交
13、的平面 ，利 第 7 页（共 19 页） 用平面与平面平行的性质进行求解 【解答】解：设 l，a，a， 过直线 a 作与 、 都相交的平面 ， 记 b，c， 则 ab 且 ac， bc 又 b，l， bl al 故选：C 【点评】此题考查平面与平面平行的性质及其应用，解题的关键的画出图形，此题是道 基础题 7 （4 分）在ABC 中，已知 cosA，cosB，则 cos（A+B）的值为（ ） A B C或 D 【分析】 先由 cosA， cosB 求解出 sinA， sinB， 然后利用 cos （A+B） cosAcosBsinAsinB， 代入可求 【解答】解：ABC 中，cosA，cos
14、B， sinA，sinB， 则 cos（A+B）cosAcosBsinAsinB 故选：A 【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题 8 （4 分）要从已编号（160）的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试 验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 （ ） A05，10，15，20，25，30 B03，13，23，33，43，53 第 8 页（共 19 页） C01，02，03，04，05，06 D02，04，08，16，32，48 【分析】将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求
15、相等，系统抽 样又称等距抽样，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量，若不能整除时，要先去掉 几个个体 【解答】解：从 60 枚某型导弹中随机抽取 6 枚， 采用系统抽样间隔应为10， 只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10， 故选：B 【点评】一般地，要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若 干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本 9 （4 分）取一根长度为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小 于 2m 的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为 3m 的绳子分成相
16、等的三段， 在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间 1m 处的两个界点，再求出其比值 【解答】解：记“两段的长都不小于 2m”为事件 A， 则只能在中间 1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于 2m， 所以事件 A 发生的概率 故选：A 【点评】 本题主要考查概率中的几何概型长度类型， 关键是找出两段的长都不小于 2m 的 界点来 10 （4 分）已知| |2| |0，且关于 x 的方程 x2+| |x+ 0 有实根，则 与 的夹角的 取值范围是（ ） A0， B， C， D， 【分析】根据关于 x 的方程有实根，可知方程的判别式大于等于 0， 找出，再由 cos，可得答案 第 9 页
17、（共 19 页） 【解答】解：，且关于 x 的方程有实根， 则，设向量的夹角为 ， cos， ， 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题属基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11 （4 分）已知 m0，n0，且 m+n4，则 mn 的最大值是 4 【分析】由基本不等式可得 mn4，注意等号成立的条件即可 【解答】解：m0，n0，且 m+n4， 由基本不等式可得 mn4， 当且仅当 mn2 时，取等号， 故答案为：4 【点评】本题考查基本不等式的应用，属基础题 12 （4 分）已知函数 f（
18、x）的值为 【分析】推导出 f（）2，从而 ff（）f（2） ，由此能求出结果 【解答】解：函数， f（）2， ff（）f（2）2 2 故答案为： 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理 运用 13 （4 分）等差数列an中，a33，a833，则an的公差为 6 第 10 页（共 19 页） 【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差 d 【解答】解：因为等差数列an中，a33，a833， 所以公差 d6， 故答案为：6 【点评】本题考查了等差数列的性质、通项公式，属于基础题 14 （4 分）不等式 sinx的解集是 x|2k+x2k+，kZ
19、【分析】利用正弦函数的图象与性质即可求得答案 【解答】解：sinx， 2k+x2k+（kZ） ， 不等式 sinx的解集为x|2k+x2k+，kZ 故答案为：x|2k+x2k+，kZ 【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，属于中档题 15 （4 分）如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆 上，点 P 在球面上，如果 VPABCD，则球 O 的表面积是 16 【分析】由题意可知，PO平面 ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的 表面积 【解答】解：如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个 大圆上，点 P
20、 在球面上， PO底面 ABCD，POR，SABCD2R2，VPABCD， 所以2R2R， 解得：R2， 第 11 页（共 19 页） 球 O 的表面积：S4R216， 故答案为：16 【点评】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我 们通常有如下办法：构造三角形，解三角形求出 R；找出几何体上到各顶点距离相 等的点，即球心，进而求出 R；将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径， 进而求出 R 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （6
21、分）已知函数 f（x）x2+2x （1）证明：f（x）在1，+）上是减函数； （2）当 x5，2时，求 f（x）的最大值和最小值 【分析】 （1）由已知函数的解析式 f（x）x2+2x，我们易求出函数的导函数的解析式， 并分析出当 x1，+）时，f（x）0 恒成立，进而得到 f（x）在1，+）上是减函 数； （2）由已知函数的解析式 f（x）x2+2x，我们易判断出函数图象的形状及函数的性 质，进而根据二次函数在闭区间上的最值问题，即可求出当 x5，2时，求 f（x）的 最大值和最小值 【解答】解： （1）f（x）x2+2x f（x）2x+2 当 x1，+）时， f（x）0 恒成立 f（x）在
22、1，+）上是减函数； （2）函数 f（x）x2+2x 的图象是开口方向朝下， 以直线 x1 为对称轴的抛物线 当 x5，2时， 第 12 页（共 19 页） f（x）的最大值和最小值分别为 f（1）1，f（5）35 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数单调性的性质，二次函 数在闭区间上的最值问题， （1）中根据函数的解析式，求导函数的解析式是关键， （2） 中分析函数图象的形状及函数的性质是关键 17 （8 分）在等比数列an中，若 a6a4216，a3a18，Sn13，求公比 q，a1及 n 【分析】由题意易得公比 q 的值，进而可得 a1，再由求和公式可得 n 的方程，
23、解方程可 得 【解答】解：由题意等比数列an的公比 q 满足 q327，解得 q3， a3a1a1（q21）8a18，解得 a11， 由求和公式可得 Sn13，解得 n3 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题 18 （8 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1 （1）证明：D1A平面 C1BD； （2）求异面直线 D1A 与 BD 所成的角 【分析】 （1）证明四边形 ABC1D1是平行四边形，得 AD1BC1，再由线面平行的判定可 得 D1A平面 C1BD； （2）由（1）知，AD1BC1，异面直线 D1A 与 BD 所成的角即为C1BD，再由， C1BD 为等边三角形得
24、答案 【解答】 （1）证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中， ABD1C1，ABD1C1， 四边形 ABC1D1是平行四边形， AD1BC1， AD1平面 C1BD，BC1平面 C1BD， 第 13 页（共 19 页） D1A平面 C1BD； （2）解：由（1）知，AD1BC1， 异面直线 D1A 与 BD 所成的角即为C1BD， 由题可知，C1BD 为等边三角形， C1BD60， 即异面直线 D1A 与 BD 所成的角为 60 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面 直线所成角的求法，是中档题 19 （8 分）已知函数 f（x）sin2x+2cos
25、2x1，xR （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）在区间上的最大值和最小值 【分析】 （1）将函数化为 yAsin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周 期 （2）函数 f（x）x 在区间上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数 的图象和性质，求出 f（x）的取值最大和最小值 【解答】解：函数 f（x）sin2x+2cos2x1，xR 化简可得：f（x）sin2x+cos2xsin（2x+） （1）函数 f（x）的最小正周期 T （2）x 在区间上，即x， 那么：2x+ 根据三角函数的性质可知： 当 2x+时，函数 f（x）取得最大值为 f（）max 当 2x
26、+时，函数 f（x）取得最大值为 f（）min1 故得函数 f（x）在区间上的最大值为，最小值为1 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三 角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题 20 （10 分）已知直线 l：yx+2，一个圆的圆心 C 在 x 轴上且该圆与 y 轴相切，该圆经过 第 14 页（共 19 页） 点 A（1，2） （1）求圆 C 的方程； （2）求直线 l 被圆截得的弦长 【分析】 （1） ）因为圆心 C 在 x 轴上且该圆与 y 轴相切，所以可设圆心 C（a，0） ，半径 r |a|，a0，设圆的方程为（xa）2+y2a2，将
27、点 A（1，2）代入得 a 的值； （2）算出圆心到直线的距离，继而由弦心距公式可得弦长 【解答】解（1）圆心 C 在 x 轴上且该圆与 y 轴相切， 设圆心 C（a，0） ，半径 r|a|，a0， 设圆的方程为（xa）2+y2a2， 将点 A（1，2）代入得（1a）2+22a2， ， 所求圆 C 的方程为 （2）圆心到直线 l：yx+2 的距离， 直线 l 被圆截得的弦长为 【点评】本题考查了直线与圆，涉及了点到直线的距离公式、弦心距公式等，比较容易 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 12 分分 21 （6 分）如图所示，图是棱长为 1
28、 的小正方体，图，是由这样的小正方体摆放而 成按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第 1 层，第 2 层，第 n 层的小正方 体的个数记为 Sn，解答下列问题： （1）按照要求填表： n 1 2 3 4 Sn 1 3 6 10 （2）Sn 【分析】 （1）由等差数列求和及简单的合情推理得：第 4 个图有 4 层，第 4 层正方体的 第 15 页（共 19 页） 个数为 S41+2+3+410， （ 2 ） 由 （ 1 ） 猜 想 ： 第n个 图 有n层 ， 第n层 正 方 体 的 个 数 为 ，得解 【解答】解： （1）图有 1 层，第 1 层正方体的个数为 S11； 图有 2 层，第 2
29、层正方体的个数为 S21+2； 图有 3 层，第 3 层正方体的个数为 S31+2+3； 依此类推，第 4 个图有 4 层，第 4 层正方体的个数为 S41+2+3+410， 故答案为：10 （ 2 ） 由 （ 1 ） 猜 想 ： 第n个 图 有n层 ， 第n层 正 方 体 的 个 数 为 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列求和及简单的合情推理，属中档题 22 （6 分）函数 f（x）（）|x 1|+2cosx（4x6）的所有零点之和为 10 【分析】由 f（x）0，得（）|x 1|2cosx，设 y（ ）|x 1|和 y2cosx，作出 两个函数的图象，利用函数的对称性进行求解即可 【解
30、答】解：由 f（x）0，得（）|x 1|2cosx，设 y（ ）|x 1|和 y2cosx， 作出两个函数的图象， 则 y（）|x 1|y关于 x1 对称， 分别作出函数 y（）|x 1|和 y2cosx 图象如图： 由图象可知两个函数共有 10 个交点，它们中有 5 组关于 x1 对称， 不妨设关于 x 对称的两个零点的横坐标分别为 x1，x2， 则， 即 x1+x22， 所有 10 个零点之和为 5（x1+x2）5210， 故答案为：10 第 16 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合将函数转化为两个函数的交点问 题是解决本题的关键 二、解答题：本大题共二、
31、解答题：本大题共 3 小题，共小题，共 38 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a1 时，f（x）x2+x+4，g（x）|x+1|+|x1|， 分 x1、x1，1、x（，1）三类讨论，结合 g（x）与 f（x）的单调性质即可 求得 f（x）g（x）的解集为1，； （2）依题意得：x2+ax+42 在1，1恒成立x2ax20
32、 在1，1恒成立，只 需，解之即可得 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x的二次函 数， g（x）|x+1|+|x1|， 当 x（1，+）时，令x2+x+42x，解得 x，g（x）在（1，+）上单调递 增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时 f（x）g（x）的解集为（1，； 当 x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2 第 17 页（共 19 页） 当 x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（1）f（1）2 综上所述，f（x）g（x）的解集为1，； （2）依题意得：x2+ax+42 在1，1恒成立，即 x2ax2
33、0 在1，1恒成立， 则只需，解得1a1， 故 a 的取值范围是1，1 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与 等价转化思想的综合运用，属于中档题 24 （13 分）已知函数 f（x）e2x+mx，其中 m0 （）当 m1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若不等式 f（x）0 在定义域内恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）当 m1 时，f（x）2e2x1，可得 f（0）1，又 f（0）1，即 可得曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 （） f（x）2e2x+m，其中 m0 对实数 m 进行讨论：当 m
34、0，当 m0可 得 f（x）在 x处取得最小值，解得2em0 【解答】解： （）当 m1 时，f（x）e2xx f（x）2e2x1 （2 分） 则 f（0）1，又 f（0）1 （4 分） 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为：yx+1（5 分） （）函数 f（x）定义域为（，+） ，且 f（x）2e2x+m，其中 m0 （6 分） 下面对实数 m 进行讨论： 当 m0 时，f（x）e2x0 恒成立，满足条件 （7 分） 当 m0 时，由 f（x）0 解得 x，从而知 函数 f（x）在（）内递增；同理函数 f（x）在（，） 第 18 页（共 19 页） 内递减（9 分） 因此 f
35、（x）在 x处取得最小值 （10 分） 0 解得2em0 （12 分） 综上：当 m（2e，0时，不等式 f（x）0 在定义域（，+）内恒成立 （13 分） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了函数零点存在但是 无法求出的情况下研究函数的单调性极值问题，考查了分类讨论思想方法，考查了推理 能力与计算能力，属于难题 25 （13 分）已知抛物线 C 的顶点为 O（0，0） ，焦点 F（0，1） （）求抛物线 C 的方程； （）过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点若直线 OA、OB 分别交直线 l：yx2 于 M、 N 两点，求|MN|的最小值 【分析】 （I）由抛物线的
36、几何性质及题设条件焦点 F（0，1）可直接求得 p，确定出抛物 线的开口方向，写出它的标准方程； （II）由题意，可 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 的方程为 ykx+1，将直线方程与 （I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式 作出判断，即可求得最小值 【解答】解： （I）由题意可设抛物线 C 的方程为 x22py（p0）则1，解得 p2， 第 19 页（共 19 页） 故抛物线 C 的方程为 x24y （II）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 的方程为 ykx+1， 由消去 y，整理得 x24kx40， 所以 x1+x24k，x1x24，从而有|x1x2|4， 由解得点 M 的横坐标为 xM， 同理可得点 N 的横坐标为 xN， 所 以 |MN|xM xN| 8| ， 令 4k3t，t0，则 k， 当 t0 时，|MN|22， 当 t0 时，|MN|22 综上所述，当 t，即 k时，|MN|的最小值是 【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几 何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题 恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量 t，就起到了简化计 算的作用