1、2020 年高考（文科）数学一模试卷年高考（文科）数学一模试卷 一、选择题. 1若复数 z 满足，则|z|（ ） A B C D 2集合 的真子集的个数为（ ） A7 B8 C31 D32 3五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物 皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存 在的相生相克的关系 若从 5 类元素中任选 2 类元素， 则 2 类元素相生的概率为 （ ） A B C D 4已知 ，设，bf（log43）， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bcab Cbac Dcba 5已知，且 ，则 tan（ ）
2、 A B C D 6设函数 f（x）xln，则函数 f（x）的图象可能为（ ） A B C D 7已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知， 下列说法错误的是（ ） A该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元 D该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益 8 已知向量 ， 满足| + | |， 且| |， |
3、|1， 则向量 与 的夹角为 （ ） A B C D 9程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著 作它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、 日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用卷八中第 33 问是： “今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行 该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ） A28 B56 C84 D120 10已知点 M 是抛物线 x24y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C：（x1）2+（y 4）21 上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
4、A3 B4 C5 D6 11设锐角ABC 的三内角 A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c，且 b2，A2B，则 a 的取值范围为（ ） A B C D（0，4） 12设 F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1作圆 x2+y2 b2的切线与双曲线的左支交于点 P，若|PF2|2|PF 1|，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题 13曲线 yx sinx 在点 M（，0）处的切线方程是 14已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S37，S663，则 a1 15已知函数 f（x）sinx+cosx（0），当|f（x）f（n）|4 时，|mn|的最小
5、值为，若将函数 f（x）的图象向右平移 （0）个单位后所得函数图象关于 y 轴对 称，则 的最小值为 16在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA13，底面三边长分别为 3、5、7，P 是上底面 A1B1C1 所在平面内的动点，若三被锥 PABC 的外接球表面积为，则满足题意的动点 P 的轨迹对应图形的面积为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一， 为坚 决打赢脱贫攻坚战，某帮扶
6、单位为带助定点扶贫村贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶 单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行 对比，其质量按测试指标可划分为：在区间80，100的为优等品；指标在区间60，80） 的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取 100 件作 为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下： 甲种生产方式 指标区间 65，70） 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 90，95 频数 5 15 20 30 15 15 乙种生产方式 指标区间 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 90，95 95，100
7、 频数 5 15 20 30 20 10 （1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出 5 件产 品， 求这 5 件产品中，优等品和合格品各多少件： 再从这 5 件产品中，随机抽出 2 件，求这 2 件中恰有 1 件是优等品的概率 （2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售 55 元，若是合格品每件可售 25 元，甲 种生产方式每生产一件产品的成本为 15 元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为 20 元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮 助该扶贫村来脱贫？ 18已知等差数列an的公差 d0，其前 n 项和为 Sn，且 S5
8、20，a3，a5，a8成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PAD 为等边三角形，平面 PAD 平面 PCD （）证明：平面 PAD平面 ABCD； （）若 AB2，Q 为线段 PB 的中点，求三棱锥 QPCD 的体积 20设椭圆 C：+1（ab0） 的左右焦点分别为 F1，F2， 离心率是 e，动点 P （x0， y0）在椭圆 C 上运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程； （2）延长 PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A，B（A，B 不重合）设 ， ，求
9、+ 的最小值 21已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令，若对任意的 x0，a0，恒有 f（x）g（a）成立，求实 数 k 的最大整数 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22 心形线是由一个圆上的一个定点， 当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上 滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a（1 sin（a0）表示的曲线 C1就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C2的参数
10、方程为（t 为参数） （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若 f（x）|x4|+|x+2a|的解集包含0，2，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1若复数 z 满足，则|z|（ ） A B C D 【分析】直接利用商的模等于模的商求解 解：， |z| | 故选：C 2集合 的真子集的个数为（ ）
11、 A7 B8 C31 D32 【分析】根据题意，设 x 取一些值，代入求 y 值，再求真子集个数 解：令 x0，则 y2； 令 x1，则 y； 令 x2，则 y0； 则 M 中有三个元素，则有 7 个真子集 故选：A 3五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物 皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存 在的相生相克的关系 若从 5 类元素中任选 2 类元素， 则 2 类元素相生的概率为 （ ） A B C D 【分析】从 5 类元素中任选 2 类元素，基本事件总数 n10，2 类元素相生包含的 基本事件有 5 个，由此能求出
12、 2 类元素相生的概率 解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系 从 5 类元素中任选 2 类元素， 基本事件总数 n10， 2 类元素相生包含的基本事件有 5 个， 则 2 类元素相生的概率为 P 故选：A 4已知 ，设，bf（log43）， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bcab Cbac Dcba 【 分 析 】 根 据 题 意 即 可 得 出f （ x ） 在R上 是 减 函 数 ， 并 且 可 得 出 ，并且 ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解：， 0cos1， f（x）（cos）x在 R 上是减函数， 又，且， ， cab 故选：B 5已知，且 ，
13、则 tan（ ） A B C D 【分析】通过诱导公式求出 sin 的值，进而求出 cos 的值，最后求 tan 解：cos（+）； sin； 又 cos tan 故选：B 6设函数 f（x）xln，则函数 f（x）的图象可能为（ ） A B C D 【分析】由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出 f（），则答案可求 解：函数 f（x）xln的定义域为（1，1）， 由 f（x）xlnxlnf（x），得 f（x）为偶函数，排除 A，C； 又 f（）0，排除 D 故选：B 7已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知， 下列说法错误的是（ ） A该超
14、市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元 D该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益 【分析】根据折线图，即可判定选项 A，B 正确，计算出 2019 年 7 至 12 月份的总收益和 2019 年 1 至 6 月份的总收益，比较，即可得到选项 C 错误，选项 D 正确 解：由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收入支出的值最大，所
15、以 收益最高，故选项 A 正确； 由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收入支出的值最小，所以收益 最低，故选项 B 正确； 由折线图可知，该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益为 60+40+30+30+50+30240，2019 年 1 至 6 月份的总收益为 20+30+20+10+30+30140，所以 该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 100 万元， 故 选项 C 错误，选项 D 正确； 故选：C 8 已知向量 ， 满足| + | |， 且| |， | |1， 则向量 与 的夹角为 （
16、 ） A B C D 【分析】根据条件即可得出，进而得出，然后即可求 出的值，进而可得出 与的夹角 解：， ， ，且， ， ，且， 与的夹角为 故选：B 9程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著 作它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、 日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用卷八中第 33 问是： “今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行 该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为（ ） A28 B56 C84 D120 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构
17、计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 i0，n0，S0 执行循环体，i1，n1，S1 不满足条件 i7，执行循环体，i2，n3，S4 不满足条件 i7，执行循环体，i3，n6，S10 不满足条件 i7，执行循环体，i4，n10，S20 不满足条件 i7，执行循环体，i5，n15，S35 不满足条件 i7，执行循环体，i6，n21，S56 不满足条件 i7，执行循环体，i7，n28，S84 满足条件 i7，退出循环，输出 S 的值为 84 故选：C 10已知点 M 是抛物线 x24y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A
18、是圆 C：（x1）2+（y 4）21 上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小使的位置，然后根据 三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值 解：如图所示，利用抛物线的定义知：MPMF， 当 M、A、P 三点共线时，|MA|+|MF|的值最小， 即：CMx 轴， CM 所在的直线方程为：x1 与 x24y 建立方程组解得： M（1，） |CM|4， 点 M 到圆 C 的最小距离为|CM|AC|3， 抛物线的准线方程 y1， 则|MA|+|MF|的值最小值为 3+14 故选：B 11设锐角ABC 的三内角
19、 A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c，且 b2，A2B，则 a 的取值范围为（ ） A B C D（0，4） 【分析】由题意可得 02B，且3B，解得 B 的范围，可得 cosB 的范围， 由正弦定理求得 a4cosB，根据 cosB 的范围确定出 a 范围即可 解：锐角ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，A2B， 02B，且 B+A3B， 3B B， cosB， b2，A2B， 由正弦定理可得：a4cosB， 可得：24cosB2， 则 a 的取值范围为（2，2） 故选：B 12设 F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1作圆 x2+y2 b2
20、的切线与双曲线的左支交于点 P，若|PF2|2|PF 1|，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】由双曲线的定义可得，|PF2|PF1|2a，则|PF2|4a，|PF1|2a，设切点为 M， 则|OM|b，|OF1|c，又|MF1|a，|PF2|2b，即有 4a2b，即可 解：P 为双曲线左支上的一点， 则由双曲线的定义可得，|PF2|PF1|2a， 由|PF2|2|PF1|，则|PF2|4a，|PF1|2a， 设切点为 M，则|OM|b，|OF1|c，|MF1|a， OM 为PF1F2的中位线，则|PF2|2b 即有 4a2b 即有 e 故选：C 二、填空题：共 4 小题，每小题
21、 5 分，共 20 分 13曲线 yx sinx 在点 M（，0）处的切线方程是 x+y20 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程 解：yx sinx 的导数为 ysinx+xcosx， 可得在点 M（，0）处的切线斜率为 ksin+cos， 则在点 M（，0）处的切线方程为 y0（x）， 即为 x+y20 故答案为：x+y20 14已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S37，S663，则 a1 1 【分析】 根据题意， 由等比数列前 n 项和公式可得 S37， S6 63；变形可得 1+q39，解可得 q 的值，将 q 的值代入 S3 7，计算可得
22、答案 解：根据题意，等比数列an满足 S37，S663，则其公比 q1， 若 S37，则 7； S663，则63； 变形可得：1+q39，解可得 q2； 又由 S3 7，解可得 a11； 故答案为：1 15已知函数 f（x）sinx+cosx（0），当|f（x）f（n）|4 时，|mn|的最小 值为，若将函数 f（x）的图象向右平移 （0）个单位后所得函数图象关于 y 轴对 称，则 的最小值为 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性， 求得 的最小值 解：已知函数 f（x）sinx+cosx2sin（x+）（0），当|f（m）f（n）| 4 时， |m
23、n|的最小值为，3，故 f（x）2sin（3x+） 若将函数 f（x）的图象向右平移 （0）个单位后，得到 y2sin（3x3+）的 图象 根据所得函数图象关于 y 轴对称，则3+k+，kZ，即 ， 令 k1，可得 的最小值为， 故答案为： 16在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA13，底面三边长分别为 3、5、7，P 是上底面 A1B1C1 所在平面内的动点，若三被锥 PABC 的外接球表面积为，则满足题意的动点 P 的轨迹对应图形的面积为 【分析】设三被锥 PABC 的外接球的球心为 O，底面 ABC 的外接圆的圆心为 O，球的 半径为 R，由表面积公式球的 R，再由三角形的余弦定理和正
24、弦定理可得底面 ABC 所在 圆的半径 r， 可得 OO的长， OO的长， 再由勾股定理可得 PO， 判断 P 所在的轨迹为圆， 可得其面积 解：设三被锥 PABC 的外接球的球心为 O，底面 ABC 的外接圆的圆心为 O， 上底面 A1B1C1的外接圆的圆心为 O， 若三被锥 PABC 的外接球表面积为，则外接球的半径 R 满足 4R2， 即 R， 由底面 ABC 的三边长分别为 3、5、7，可设 AC 的长为 7，可得 cosB ， 则sinB， 则底面ABC的外接圆的半径r， 可得球心 O 到底面 ABC 的距离 OO2， 则球心 O 到底面 A1B1C1的距离 OO321， 在直角三角
25、形 OOP 中，PO， 由题意可得 P 在以 O为圆心，半径为的圆上运动， 可得满足题意的动点 P 的轨迹对应图形的面积为 故答案为： 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一， 为坚 决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶 单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行 对比，其质量按测试指标可划分为：在区间80
26、，100的为优等品；指标在区间60，80） 的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取 100 件作 为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下： 甲种生产方式 指标区间 65，70） 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 90，95 频数 5 15 20 30 15 15 乙种生产方式 指标区间 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 90，95 95，100 频数 5 15 20 30 20 10 （1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出 5 件产 品， 求这 5 件产品中，优等品和合格品各多少件
27、： 再从这 5 件产品中，随机抽出 2 件，求这 2 件中恰有 1 件是优等品的概率 （2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售 55 元，若是合格品每件可售 25 元，甲 种生产方式每生产一件产品的成本为 15 元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为 20 元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮 助该扶贫村来脱贫？ 【分析】（1）由频数分布表得甲的优等品率为 0.6，合格品率为 0.4，由此能过求出这 5 件产品中，优等品和合格品各多少件 记 3 件优等品分别为 A，B，C，2 件合格品分别为 a，b，从中任取 2 件，利用列举法 能求出这 2 件中恰
28、有 1 件是优等品的概率 （2）根据样本知甲种生产方式生产 100 件农产品有 80 件优等品，20 件合格品，设甲种 生产方式每生产 100 件，求出所获得的利润为 T1元，乙种生产方式每生产 100 件，求出 所获得的利润为 T2元，由T2，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位 来脱贫较好 解：（1）由频数分布表得： 甲的优等品率为 0.6，合格品率为 0.4， 抽出的 5 件产品中优等品有 3 件，合格品有 2 件 记 3 件优等品分别为 A，B，C，2 件合格品分别为 a，b， 从中任取 2 件，抽取方式有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10
29、 种， 设“这 2 件中恰 有 1 件是优等品的事件”为 M，则事件 M 发生的情况有 6 种， 这 2 件中恰有 1 件是优等品的概率 P（M） （2）根据样本知甲种生产方式生产 100 件农产品有 80 件优等品，20 件合格品， 设甲种生产方式每生产 100 件，所获得的利润为 T1元， 乙种生产方式每生产 100 件，所获得的利润为 T2元， T160（5515）+40（2515）2800（元）， T280（5520）+20（2520）2900（元）， T2，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高， 该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好 18已知等差数列a
30、n的公差 d0，其前 n 项和为 Sn，且 S520，a3，a5，a8成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）由 S520，可得 5a1+20，化为：a1+2d4由 a3，a5，a8成等 比数列，可得a3a8，（a1+2d）（a1+7d），d0，化为：a12d联 立解得：a1，d即可得出 an （2）+n+n，利用裂项求和方法、等差数 列的求和公式即可得出 解：（1）S520，5a1+20，化为：a1+2d4 a3，a5，a8成等比数列， a3a8，可得 （a1+2d）（a1+7d），d0， 化为：a12d 联立解得：a12，d1 an
31、2+n1n+1 （2）+n+n， 数列bn的前 n 项和 Tn +（1+2+n） + 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PAD 为等边三角形，平面 PAD 平面 PCD （）证明：平面 PAD平面 ABCD； （）若 AB2，Q 为线段 PB 的中点，求三棱锥 QPCD 的体积 【分析】（）取 PD 的中点 O，连接 AO，由已知可得 AOPD，再由面面垂直的判定 可得 AO平面 PCD，得到 AOCD，由底面 ABCD 为正方形，得 CDAD，由线面垂 直的判定可得 CD平面 PAD，则平面 PAD平面 ABCD； （）由（）知，AO平面 PCD，求出 A 到平面
32、 PCD 的距离 dAO，进一步求 得 Q 到平面 PCD 的距离 h，再由（）知，CD平面 PAD，得 CDPD，然 后利用棱锥体积公式求解 【解答】（）证明：取 PD 的中点 O，连接 AO， PAD 为等边三角形，AOPD， AO平面 PAD，平面 PAD平面 PCDPD，平面 PAD平面 PCD， AO平面 PCD， CD平面 PCD，AOCD， 底面 ABCD 为正方形，CDAD， AOADA，CD平面 PAD， 又CD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD； （）解：由（）知，AO平面 PCD， A 到平面 PCD 的距离 dAO 底面 ABCD 为正方形，ABCD， 又AB平
33、面 PCD，CD平面 PCD， AB平面 PCD， A，B 两点到平面 PCD 的距离相等，均为 d， 又 Q 为线段 PB 的中点， Q 到平面 PCD 的距离 h 由（）知，CD平面 PAD， PD平面 PAD，CDPD， 20设椭圆 C：+1（ab0） 的左右焦点分别为 F1，F2， 离心率是 e，动点 P （x0， y0）在椭圆 C 上运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程； （2）延长 PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A，B（A，B 不重合）设 ， ，求 + 的最小值 【分析】（1）由 PF2x 轴时，x01，y0e 得 c，b 的值，再由 a，b，c
34、之间的关系求 出椭圆的方程； （2）由（1）得：焦点 F1，F2的坐标，再由，求出 ， 的 值，进而求出之和的值，再由 x02d 的范围，求出 + 的最小值 解：（1）由题意知当 PF2x 轴时，x01，y0e知 c1，e，bc1， 又 a2b2+c22， 所以椭圆的方程为：1； （2）由（1）知 F1（1，0），F2（1，0）设 A（x0，y0）， 由得，即， 代入椭圆方程得：+（y0）21， 又1，得， 两式相减得：12， 因为 +10，所以 2x0+12（1）， 故； 同理可得：， 故 +，当且仅当 x00 时取等号， 故 + 的最小值为 21已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性；
35、（）令，若对任意的 x0，a0，恒有 f（x）g（a）成立，求实 数 k 的最大整数 【分析】（）求出函数的定义域为（0，+），再求出原函数的导函数，分 a0 和 a 0 两类求解函数的单调区间； （）由（）知 f（x）minf（a）lna+1，把 f（x）g（a）恒成立，转化为 lna+1 g（a）恒成立，进一步得到 lna+k6，令 h（a）lna+，则只需 h（a）mink 6，利用导数求最值，则答案可求 解：（）此函数的定义域为（0，+），f（x） （1）当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增， （2）当 a0 时，当 x（0，a）时，f（x）0，f（x）单调递减，当
36、 x（a，+）时， f（x）0，f（x）单调递增 综上所述：当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，若 x（0，a），单调递减，若 x（a，+），f（x）单调递增； （）由（）知 f（x）minf（a）lna+1， f（x）g（a）恒成立，则只需 lna+1g（a）恒成立， 则 lna+1，即 lna+k6， 令 h（a）lna+，则只需 h（a）mink6， 则 h（a），当 a（0，2）时，h（a）0，h（a）单调递减， 当 a（2，+）时，h（a）0，h（a）单调递增，h（a）minh（2）ln2+1 即 ln2+1k6，则 k7+ln2， k 的最大整数为 7 （
37、二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22 心形线是由一个圆上的一个定点， 当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上 滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a（1 sin（a0）表示的曲线 C1就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C2的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长 【分析】（1）直接利用
38、转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用极径的应用求出结果 解： 已知曲线 C2的参数方程为（t 为参数） 转换为直角坐标方程为 ， 转换为极坐标方程为（R） （2）由，解得 所以 A（） 由，解得，解得 B（） 所以|AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若 f（x）|x4|+|x+2a|的解集包含0，2，求 a 的取值范围 【分析】（1）当 a1 时，f（x），然后由 f（x）7 分别解不等式 即可； （2）由条件可得|x+a|x+2a|x4|x2|在0，2
39、上恒成立，然后求出|x+a|x+2a| 和|x4|x2|最大值即可 解：（1）当 a1 时，f（x）， 当 x1 时，由 f（x）7 得2x+17，解得 x3； 当1x2 时，f（x）7 无解； 当 x2 时，由 f（x）7 得 2x17，解得 x4， f（x）7 的解集为：x|x3，或 x4； （2）f（x）|x4|+|x+2a|的解集包含0，2等价于|x+a|x+2a|x4|x2|在0，2 上恒成立， 当 x0，2时，|x+a|x+2a|x4|x2|2 等价于（|x+a|x+2a|）max2 恒成立， 而|x+a|x+2a|（x+a）（x+2a）|a|，|a|2，2a2， 故满足条件的 a 的取值范围为：2，2