1、2020 年高考数学第二次（年高考数学第二次（3 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题 1已知全集 U1，2，3，5，8集合 A1，3，5，B1，2，5，8则 A（UB） （ ） A3 B1，5 C1，3，8 D1，2，3，5 2已知，i 是虚数单位，则|z|（ ） A1 B C D2 3已知an是公比不为 1 的等比数列，且 a4，a2，a3依次构成等差数列，则公比为（ ） A B2 C D2 4已知实数 x，y 满足 0x1，y0 则“xy”是“logxy1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5设 ， 是三个互不重合的平面，m，n 是两条
2、互不重合的直线，则下列说法正确的 是（ ） A若 m，m，则 B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 a，则 6若正实数 a，b，满足 a+b1，则+的最小值为（ ） A2 B2 C5 D4 7RtABC，C90，A60，CA2，D 是边 BC 的中点，E、F 是线段 AB 上两 动点，且 EF1则的最小值是（ ） A B C1 D 8安排 5 名班干部周一至周五值班，每天 1 人，每人值 1 天，若甲、乙两人要求相邻两天 值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（ ） A13 B18 C22 D28 9双曲线 C：，F2分别为左、右焦点，过右焦点 F2的直 线 l 与双曲线同一
3、支相交于 A，B 两点若 4|AF2|5|BF2|，且|BF1|2，则该双 曲线的离心率 e 为（ ） A B C D2 10函数 f（x），则下列结论中不正确的是（ ） A曲线 yf（x）存在对称中心 B曲线 yf（x）存在对称轴 C函数 f（x）的最大值为 D|f（x）|x| 二.填空题：共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.把答案填在题中的横线 上. 11 已知实数 x、 y 满足条件， 则 x2y 的最小值为 ， 最大值为 12（+2x）6展开式中 x 3的系数是 15，则展开式的常数项为 ，展开式中有理项 的二项式系数和为 13盒子中装有 8 个除颜色外
4、完全相同的小球，其中红球 5 个，黑球 3 个，若取到红球记 2 分，取到黑球记 1 分，现从盒子中任取 3 个，记总分为 ，P（4） ，E（） 14已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 15ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知bsinAacosB，b2，ABC 的面积为，则ABC 的周长为 16 已知圆 O： x2+y24， A、 B 为圆 O 上两个动点， 满足， D 为线段 AB 的中点， E（3，m），F（3，m+5）当 A、B 在圆上运动时，存在某个位置使EDF 为钝角，则 实数 m 的取值范围是 17设函数 f（x）|ax2bx+3|
5、，若对任意的负实数 a 和实数 b，总有 x01，2使得 f（x0） mx0，则实数 m 的取值范围是 三.解答题：共 5 小题，共 74 分，其中第 18 题 14 分，其余均为 15 分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤. 18已知函数 f（x）msinx+cosx（m0，0）在 x时取到最大值 2 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若 f（），求 cos2 的值 19在直角三角形 ABC 中，M、N 分别在线段 AC、AB 上， MNBC，AM2MC沿着 MN 将AMN 折至如图，使 （1）若 P 是线段 AC 的中点，试在线段 NB 上确定点 Q 的位置，使 PQ面
6、 AMN； （2）在（1）条件下，求 CQ 与平面 AMN 所成角的正弦值 20已知数列anbn满足： （1）求证：bn是等比数列，并求 bn的通项公式； （2） 记 Sn、 Tn分别为数列an、 bn的前 n 项和 求证： 对任意 21点 A（1，1）是抛物线 C：x22py 内一点，F 是抛物线 C 的焦点，Q 是抛物线 C 上任 意一点，且已知|QA|+|QF|的最小值为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）抛物线 C 上一点 B（2，b）处的切线与斜率为常数 k 的动直线 l 相交于 P，且直线 l 与抛物线 C 相交于 M、N 两点问是否有常数 使|PB|2|PM| |PN|？
7、22已知函数 f（x）ax2x+xlnx+1，g（x）2ax （1）求证：当 a1 时，f（x）0； （2）记 h（x）f（x）g（x），若 h（x）有唯一零点，求实数 a 的取值范围 参考答案 一.选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1已知全集 U1，2，3，5，8集合 A1，3，5，B1，2，5，8则 A（UB） （ ） A3 B1，5 C1，3，8 D1，2，3，5 【分析】先求补集，再求交集 解：全集 U1，2，3，5，8集合 A1，3，5，B1，2，5，8 uB3， A（UB）3， 故选：A 2已知，i 是虚数
8、单位，则|z|（ ） A1 B C D2 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数 z 为 1+i，由此求得|z| 解：已知i（1i）1+i， |z|， 故选：B 3已知an是公比不为 1 的等比数列，且 a4，a2，a3依次构成等差数列，则公比为（ ） A B2 C D2 【分析】本题先设等比数列an的公比为 q（q1），然后根据等差中项的性质列出关系 式 2a2a4+a3，根据等比数列通项公式代入可转化为关于 q 的方程，解出 q 的值即可得 到正确选项 解：由题意，设等比数列an的公比为 q（q1），则 a4a2q2，a3a2q a4，a2，a3依次构成等差数列， 2a2a4+a
9、3，即 2a2a2q2+a2q， 整理，得 q2+q20， 解得 q1（舍去），或 q2 q2 故选：D 4已知实数 x，y 满足 0x1，y0 则“xy”是“logxy1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若 xy，则 logxylogxx1”和“若 logxy 1，即 logxylogxx1，必有 xy”，结合充分必要条件的定义分析可得答案 解：根据题意，实数 x，y 满足 0x1，y0， 若 xy，则 logxylogxx1，则“xy”是“logxy1”的充分条件， 反之若 logxy1，即 logx
10、ylogxx1，必有 xy，则“xy”是“logxy1”的必要条件， 故“xy”是“logxy1”的充要条件； 故选：C 5设 ， 是三个互不重合的平面，m，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的 是（ ） A若 m，m，则 B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 a，则 【分析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 解： A 同时平行于一条直线的两个平面不一定垂平行， 可能平行也可能相交， 故 A 错误， B若 m，n，则 m，n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故 B 错 误， C若 m，m，则 ，成立， D若 a，则 或 与 相交，故
11、D 错误， 故选：C 6若正实数 a，b，满足 a+b1，则+的最小值为（ ） A2 B2 C5 D4 【分析】根据题意，分析可得+3，结合基本不等式的性 质分析可得答案 解：根据题意，若正实数 a，b，满足 a+b1， 则+32+35， 当且仅当 b3a时等号成立， 即+的最小值为 5； 故选：C 7RtABC，C90，A60，CA2，D 是边 BC 的中点，E、F 是线段 AB 上两 动点，且 EF1则的最小值是（ ） A B C1 D 【分析】 建立平面直角坐标系， 设 AEt， 求出相关点的坐标， 求出，的向量坐标， 则可表示为 t 的函数，利用函数的性质得出最小值 解：建立如图所示的
12、坐标系，可得 A（2，0），B（0，2），D（0，），设 AEt， t0，3，则 E（2t，），F（，）， 则（2t，） （，） t24t+ （t2）2+ 的最小值是： 故选：B 8安排 5 名班干部周一至周五值班，每天 1 人，每人值 1 天，若甲、乙两人要求相邻两天 值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（ ） A13 B18 C22 D28 【分析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据 分类计数原理可得 解：第一类，乙安排在周二，则有 212 种， 第二类，乙不安排在周二，则从两位 2 人中选 2 人，安排在周二，把甲乙安排在周三周 四或周四周五，
13、其余人任意排，故有16 种， 根据分类计数原理可得，共有 12+1628 种， 故选：D 9双曲线 C：，F2分别为左、右焦点，过右焦点 F2的直 线 l 与双曲线同一支相交于 A，B 两点若 4|AF2|5|BF2|，且|BF1|2，则该双 曲线的离心率 e 为（ ） A B C D2 【分析】 可得|BF2|2c2a， |AF2 | ， |A1 | 由 cosF1F2B+cosF1F2A 0可得 9c220ac+11a20即可求解 解：4|AF2|5|BF2|，且|BF1|2 2c，则|BF2|2c2a， |AF2|，则|A1| cosF1F2B+cosF1F2A0 +0 整理可得：9c2
14、20ac+11a20 （9c11a）（ca）0 9c11a，则该双曲线的离心率 e 为 故选：B 10函数 f（x），则下列结论中不正确的是（ ） A曲线 yf（x）存在对称中心 B曲线 yf（x）存在对称轴 C函数 f（x）的最大值为 D|f（x）|x| 【分析】由f（x），可判定 B；当 x1 时， 分母 x22x+3 取得最小值 2，此时分子刚好取得最大值 1，故函数 f（x）的最大值为 ， 可判定 C 由|f（x）| ，可判定 D，排除 B，C，D，即可以选 A 解：f（x），故曲线 yf（x）关于 x1 对称，故 B 正确； 当 x1 时，分母 x22x+3 取得最小值 2，此时分子
15、刚好取得最大值 1，故函数 f（x）的 最大值为，故 C 正确 |f（x）|，故 D 正确 故选：A 二.填空题：共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.把答案填在题中的横线 上. 11 已知实数 x、 y 满足条件， 则 x2y 的最小值为 ， 最大值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 解：由实数 x、y 满足条件作出可行域如图， 化目标函数 zx2y 为 y， 由图可知，当直线 y过 B 时直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值，等于 220 2 由，解得 A
16、（，） 当直线 y过 A 时直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于2 故答案为：；2 12（+2x）6展开式中 x 3的系数是 15，则展开式的常数项为 ，展开式中有理项 的二项式系数和为 32 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x3 的系数，再根据 x3的系数为 15，求得 a 的值；在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指 数等于整数，求出 r 的值，即可求展开式中有理项的二项式系数和 解：（+2x）6的展开式的通项公式为 Tr+12r a6 r x ， 令3，求得 r4，可得 x3的系数为：24 a215， a 令0，求得 r2
17、，可得常数项的值为：22 a4， 当 r0，2，4，6 时，为整数； 所以其有理项的二项式系数和为：+32 故答案为：；32 13盒子中装有 8 个除颜色外完全相同的小球，其中红球 5 个，黑球 3 个，若取到红球记 2 分，取到黑球记 1 分，现从盒子中任取 3 个，记总分为 ，P（4） ，E（） 【分析】 的所有可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 P（4）， E（） 解：盒子中装有 8 个除颜色外完全相同的小球，其中红球 5 个，黑球 3 个， 取到红球记 2 分，取到黑球记 1 分，现从盒子中任取 3 个，记总分为 ， 则 的所有可能取值为 3，4，5，6， P（
18、3）， P（4）， P（5） P（6）， E（） 故答案为：， 14已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 7+ 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用分割法求出几何体的体积和表面积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为由长方体 ABCDEFGH，切去两个三棱锥体 KEFH 和 MBCD 构成 如图所示： 所以该几何体的体积为 V2 该几何体的表面积为 S 7+ 故答案为：， 15ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知bsinAacosB，b2，ABC 的面积为，则ABC 的周长为 4+2 【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求
19、B，然后结合三角形的面积公式可求 ac，再 由余弦定理可求 a+c，进而可求三角形的周长 解：因为bsinAacosB， 由正弦定理可得，sinBsinAsinAcosB， 因为 sinA0， 所以sinBcosB，即 tanB 所以 B30， 则ABC 的面积 S， 则 ac4， 由余弦定理可得，cosB， 解可得，a+c2+2， 所以ABC 的周长 a+b+c4+2 故答案为：4+2 16 已知圆 O： x2+y24， A、 B 为圆 O 上两个动点， 满足， D 为线段 AB 的中点， E（3，m），F（3，m+5）当 A、B 在圆上运动时，存在某个位置使EDF 为钝角，则 实数 m 的
20、取值范围是 （，） 【分析】利用弦心距，半弦长，半径所成的直角三角形可求得 OD1，故 D 在圆上，设 EF 的中点为 M，利用当 A、B 在圆上运动时，存在某个位置使EDF 为钝角，可得 D 的 轨迹与以 M 为圆心以为半径的圆相交，再由圆心距与半径间的关系列式求解 解：由题意得|OD|1， D 在以 O 为圆心，以 1 为半径的圆 O上， 设 EF 的中点为 M，则 M（3，m+）， 且|EF|5， 当 A、B 在圆上运动时，存在某个位置使EDF 为钝角， 圆 O与以 M 为圆心以为半径的圆相交， ， 解得m， 实数 m 的取值范围为（， 故答案为：（，） 17设函数 f（x）|ax2bx
21、+3|，若对任意的负实数 a 和实数 b，总有 x01，2使得 f（x0） mx0，则实数 m 的取值范围是 （， 【分析】由题意可得 m在1，2有解，设|ax+b|（1x2），运用 绝对值不等式的解法和函数的单调性，求得最值，结合对于负数 a 恒成立，由不等式的 性质，可得 m 的范围 解：对任意的负实数 a 和实数 b，总有 x01，2使得 f（x0）mx0， 可得 m在1，2有解， 设|ax+b|（1x2）， 由|ax+b|m 可得 ax+ bm，或 ax+bm， 即 ax+b+m，或 ax+ bm， 可令 g（x）ax+，可得 g（x）在1，2递减， 即 g（x）的最小值为 g（2）2
22、a+，g（x）的最大值为 g（1）a+3， 由题意可得 b+m3+a，bm2a+，即 mb2a， 由于对于任意的 a0，不等式成立，可得 2ma+， 而a+，可得 2m ，即 m， 则 m 的取值范围是（， 故答案为：（， 三.解答题：共 5 小题，共 74 分，其中第 18 题 14 分，其余均为 15 分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤. 18已知函数 f（x）msinx+cosx（m0，0）在 x时取到最大值 2 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若 f（），求 cos2 的值 【分析】（1）依题意，可求得 m，1，继而可求得 f（x）的解析式， （2）根据同角的三
23、角函数的关系，和两角和的余弦公式即可求出 解：（1）函数 f（x）msinx+cosxsin（x+），其中 tan， f（x）在 x时取到最大值 2， 2，+， m， tan， ， +， 解得 2， f（x）sin2x+cos2x； （2）由（1）可得 f（x）2sin（2x+） f（）， 2sin（2+）2sin（2）， sin（2） ， 2， cos（2）， cos2cos（2+）cos（2）cossin（2）sin 19在直角三角形 ABC 中，M、N 分别在线段 AC、AB 上， MNBC，AM2MC沿着 MN 将AMN 折至如图，使 （1）若 P 是线段 AC 的中点，试在线段 NB
24、 上确定点 Q 的位置，使 PQ面 AMN； （2）在（1）条件下，求 CQ 与平面 AMN 所成角的正弦值 【分析】 （1）利用面面平行切入，不防取 MC 的中点 L，连接 PL，QL，容易证明面 PQL 面 AMN，问题可证出； （2） 可以以 C 为原点， CM， CB， CA所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 给出点、向量坐标、求出平面的法向量，套用公式即可 解：（1）取 CM 的中点 L，连接 PL，QL，因为 MNBC，设 NQQB， 则 QL 是梯形 BCMN 的中位线，故 QLMN，因为 QL面 AMN，MN面 AMN 所以 QL面 AMN，同理可证 PL面
25、 AMN， 又 PL，QL面 PQL，PLQLL，所以面 PQL面 AMN， 所以 PQ面 AMN，即 Q 为 BN 的中点时，PQ面 AMN； （2）因为三角形 ABC 中，MNBC，AM2MC 所以 MC1，AM2，由 AC，易知 AM2MC2+AC2， 所以 MCAC，又 MNBC，所以 BCMC，BCAC， 以 C 为原点，CM，CB，CA所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz， 所以 C（0，0，0），B（0，），M（1，0，0），N（1，），A（0，0， ）， 又，设平面 AMN 的法向量， ，即，令 z1，则 x，y0，所求的一个法向量 ， 设直线 CQ 与平
26、面 AMN 所成角为 ，所以， 故 CQ 与平面 AMN 所成角的正弦值为 20已知数列anbn满足： （1）求证：bn是等比数列，并求 bn的通项公式； （2） 记 Sn、 Tn分别为数列an、 bn的前 n 项和 求证： 对任意 【分析】（1）由即可证明数列bn是以为首项，公比为 的等比数列 （2）证明：要证：对任意，求得 ，S ，可得 Sn 0，即可证明，对任 意 【解答】（1）证明：bn+1an+12 2n+1 数列bn是以为首项，公比为 的等比数列 （2）证明：要证：对任意 ， ， ，S Sn0 所以，对任意 21点 A（1，1）是抛物线 C：x22py 内一点，F 是抛物线 C 的
27、焦点，Q 是抛物线 C 上任 意一点，且已知|QA|+|QF|的最小值为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）抛物线 C 上一点 B（2，b）处的切线与斜率为常数 k 的动直线 l 相交于 P，且直线 l 与抛物线 C 相交于 M、N 两点问是否有常数 使|PB|2|PM| |PN|？ 【分析】（1）由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，且 A，Q，N 三点共 线时|QA|+|QF|的最小值为 2 可得 p 的值进而求出抛物线的方程 （2）由（1）可得 B 的坐标，求导可得在 B 处的切线方程，设动准线 l 的方程与在 B 处 的切线方程联立求出交点 P 的坐标，直线与抛物线联立求
28、出两根之和及两根之积，求出 |PB|2，|PM|和|PN|的表达式，进而求出|PM|PN|的乘积，假设存在 满足条件，因为 k 为 常数，所以可得 的值 解：（1）抛物线的准线方程为：y，因为 A 点在抛物线内部，过 A 做 AN 垂直于 准线交于 N，抛物线于 Q， 由抛物线的性质可得|QA|+|QF|QA|+|QN|AN|， 当且仅当， A， Q， N 三点共线时|QA|+|QF| 最小， 即|AN|2，即 1+2，解得：p2， 所以抛物线的方程为：x24y； （2）有题意 B 在抛物线上，所以 224b，所以 b1， 即 B（2，1）， 因为 y，所以 y， 所以在 B 处的斜率为：1，
29、 所以在 B 处的切线方程为：y1x2，即 yx1， 设直线 l 的方程：ykx+m，且 k1， 联立 l 与切线方程：，解得：y，x，即 P（，）， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），假设存在 值满足条件， 联立直线 l 与抛物线的方程：， 整理可得： x24kx4m0， 16k2+16m0， 即 k2+m0， x1+x24k，x1x24m， |PB|2（2）2+（1）22（）2， |PM| |x1|， 同理可得：|PN| |x2|， 所以|PM| |PN|（1+k2）|x1x2（x1+x2）+（）2|（1+k2） |4m +（）2| ， 所以 2 （）2 （1+k2），所以 ， 所以
30、存在常数 ，使得使|PB|2|PM| |PN| 22已知函数 f（x）ax2x+xlnx+1，g（x）2ax （1）求证：当 a1 时，f（x）0； （2）记 h（x）f（x）g（x），若 h（x）有唯一零点，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）先求导，利用导数和函数的最值的关系即可证明； （2）若函数 f（x）有唯一的零点，等价于 a（x22x）xlnx1，有唯一的实根，构 造函数 p（x）a，研究函数的最值求实数 a 的取值范围 解：（1）当 a1 时，f（x）x2x+xlnx+1，x0， f（x）2x1+1+lnx2x+lnx， f（x）2x+lnx 易知函数 f（x）在（0，+）上单
31、调递增， 设 f（x0）2x0+lnx00， 则 f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， f（）1ln20， x0（0， ）， f（x）minf（x0）x0 2x 0+x0lnx0+1，代入式， f（x）minx02x0+1（x0+）2+10； （2）h（x）f（x）g（x）ax22axx+xlnx+10， a（x22x）xlnx1， 若 x2，h（2）2ln210，故 2 不为零点， 若 x2，p（x）a， p（x）， 令 p（x）0，解得 x1， p（x）在 x（0，1单调递减，p（1）0， 在 x（1，2），（2，+）上单调递增， +， +， 0， 渐近线为 x0，x2，y0， a0