1、汉中市汉中市 2020 届高三年级教学质量第二次检测考试届高三年级教学质量第二次检测考试 理科数学理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答 题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、
2、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.若集合4,5,7,9M ，3,4,7,8,9N ， 全集UMN， 则集合() UMN 中的元素共有 （ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 2.在复平面内，复数 2 1 (1) i i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.若0ab，则下列不等式中不成立的是（ ） A| |ab B 11 ab C
3、 11 aba D 22 ab 4.总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随 机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第5个个体的编号为 （ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A08 B07 C02 D01 5.已知函数( )cos23sin21f xxx，则下列判断错误的是（ ） A( )f x的最小正周期为 B( )f x的值域为 1,3 C( )f x的图象
4、关于直线 6 x 对称 D( )f x的图象关于点,0 4 对称 6.已知平面内一条直线l及平面，则“l”是“”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 7.设 2,(10) ( ) (6),(10) xx f x f f xx 则(5)f的值为（ ） A10 B11 C12 D13 8.在直角ABC中， 2 C ，4AB ，2AC ，若 3 2 ADAB，则CD CB（ ） A18 B6 3 C18 D6 3 9.如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影 区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围
5、成）的概率是（ ） A 1 2 B 1 3 C 4 1 D 4 2 10.函数 | | ( )2sin2 x f xx的图像大致是（ ） A B C D 11.直线l过抛物线 2 4yx的焦点F且与抛物线交于,A B两点，若线段,AF BF的长分别为,m n，则 4mn的最小值是（ ） A9 B10 C7 D8 12.已知函数 2 ( )35f xxx，( )lng xaxx，若对(0, )xe ， 12 ,(0, )x xe且 12 xx，使得 ( )(1,2) i f xg xi，则实数a的取值范围是（ ） A 7 4 6 ,e e B 1 6 , e e C 7 4 1 ,e e D 7
6、 4 16 0,e ee 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 6 2 1 1(1) x x 展开式中 2 x的系数为_. 14.在ABC中，内角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，若 22 3abbc，sin2 3sinCB，则A _. 15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内 容， 立足全体党员、 面向全社会的优质平台， 现已日益成为老百姓了解国家动态， 紧跟时代脉搏的热门app. 该款软件主要设有“阅读
7、文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题” 、 “每周答题” 、 “专项答题” 、 “挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学 习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_种. 16.已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PAPBPC，2AB ，5BC ，3AC ， ,E F分别为,AC PB的中点， 3 2 EF ，则球O的体积为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生
8、 都必须作答都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.设等差数列 n a满足 3 9a ， 10 5a. （）求数列 n a的通项公式； （）求 n a的前n项和 n S及使得 n S最小的n的值. 18.如图，四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB. （）求证：CE 平面PAD； （）若1PAAB，3AD ，2CD ，45CDA，求二面角PCEB的正弦值. 19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改
9、善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应 届高三的全体 800 名学生中随机抽取了 100 名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以上的人数； （）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了 调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操有 关系？ （）在（）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取 8 人，进一步调查他们良好 的护眼习惯，在这 8
10、 人中任取 2 人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 是否做操 是否近视 不做操 做操 近视 44 32 不近视 6 18 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 P kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 20.如图， 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长为 4， 点, ,A B C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC 过中心O，且| 2|BCAB，3 ABC S . （）求椭圆的标准方程； （）设,P Q是椭圆上位于
11、直线AC同侧的两个动点（异于,A C） ，且满足PBCQBA ，试讨论直线 BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值. 21.已知函数 2 1 ( )ln2 2 f xxaxax ，aR. （）讨论( )f x的单调性； （）若( )f x在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数 12 ,x x，使得 12 3f xf x ，证明： 12 2xx. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题任选一题作答题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为
12、4cos，直线l的参数方程为 3 1 2 1 2 xt yt （t为参数）. （）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； （）已知点(1,0)M，直线l与曲线C交于AB、两点，求|MAMB. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|f xxaa （）当2a 时，求不等式( )6f x 的解集； （）设函数( ) |21|g xx.当xR时，( )( )3f xg x，求a的取值范围. 汉中市汉中市 2020 届高三年级教学质量第届高三年级教学质量第二次检测考试二次检测考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
13、0 11 12 答案 A B C D D B B C C D A A 二二、填空题填空题 13.30 14. 6 15.432 16.4 3 三、解答题三、解答题 17 解： （1）设等差数列 n a的公差为d，由 1 (1) n aand及 3 9a ， 10 5a得 1 1 29 95 ad ad 解得 1 13 2 a d 数列 n a的通项公式为215 n an （）由（）知 2 14 n Snn 因为 2 (7)49 n Sn 所以7n 时， n S取得最小值. 18 解： （）证明 因为PA 平面ABCD，CE 平面ABCD， 所以PACE. 因为ABAD，CEAB，所以CEAD.
14、 又PAADA，所以CE 平面PAD. （）解由（1）可知CEAD. 在RtECD中，cos451DECD， sin451CECD. 所以2AEADED. 又因为1ABCE，ABCE，所以四边形ABCE为矩形. 如图建立坐标系Axyz， 则：(0,0,0)A，(1,2,0)C，(0,2,0)E，(0,0,1)P， 所以：(1,2, 1)PC ，(0,2, 1)PE 设平面PEC的法向量为( , , )nx y z， 0 0 n PC n PE 即 20 20 xyz yz ， 令1y ，则2z ，0x (0,1,2)n 由题PA 平面ABCD，即平面BEC的法向量为(0,0,1)AP 由二面角
15、PCEB的平面角为锐角，设二面角PCEB的平面角为 即 22 5 cos|cos,| 55 n AP 所以 2 5 sin1cos 5 所以二面角PCEB的正弦值为 5 5 19.解： （）由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后三组的频数成等差数列，共有 100(3727)63（人） 所以后三组频数依次为 24，21，18， 所以视力在 5.0 以上的频率为 0.18， 故全年级视力在 5.0 以上的人数约为800 0.18144人 （） 2 2 100 (44 1832 6)150 7.8957.879 50 50 76 2419 k ， 因此能在犯错误的概率不
16、超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操有关系. （）调查的 100 名学生中不近视的共有 24 人，从中抽取 8 人，抽样比为 81 243 ，这 8 人中不做眼保健 操和坚持做眼保健操的分别有 2 人和 6 人， X可取 0，1，2 02 62 2 8 1 (0) 28 CC P X C ， 11 62 2 8 123 (1) 287 C C P X C ， 20 62 2 8 15 (2) 28 C C P X C ， X的分布列 X 0 1 2 P 1 28 3 7 15 28 X的数学期望 11215 ()0121.5 282828 E X . 21 解： （）( )f x的定义
17、域为(0,)， 因为 2 1 ( )ln2 2 f xxaxax ， 所以 2 1(21)21(1)(21)1 ( )(21)2 axaxxax fxaxa xxx ， 当 1 2 a 时，令 ( )0 0 fx x ，得01x，令 ( )0 0 fx x ，得1x ； 当 1 1 2 a时，则 1 1 21a ，令 ( )0 0 fx x ，得01x，或 1 21 x a ， 令 ( )0 0 fx x ，得 1 1 21 x a ； 当1a 时，( )0fx ， 当1a 时，则 1 01 21a ，令 ( )0 0 fx x ，得 1 1 21 x a ； 综上所述，当 1 2 a 时，(
18、 )f x在(0,1)上递增，在(1,)上递减； 当 1 1 2 a时，( )f x在(0,1)上递增，在 1 1, 21a 上递减，在 1 , 21a 上递增； 当1a 时，( )f x在(0,)上递增； 当1a 时，( )f x在 1 0, 21a 上递增，在 1 ,1 21a 上递减，在(1,)上递增； （）( )f x在定义域内是是增函数，由（1）可知1a ，此时 2 1 ( )ln2 2 f xxxx，设 12 xx， 又因为 12 32 (1)f xf xf ，则 12 01xx ， 设( )(2)( )3g xfxf x，(0,1)x，则 223 (1)(1)2(1) ( )(2
19、)( )0 2(2) xxx g xfxfx xxxx 对于任意(0,1)x成立所以( )g x在 (0,1)上是增函数，所以对于(0,1)x ，有( )(1)2 (1)30g xgf， 即(0,1)x ，有(2)( )30fxf x， 因为 1 01x，所以 11 230fxfx， 即 21 2f xfx，又 ( )f x在(0,)递增， 所以 21 2xx，即 12 2xx. 22.解： （）对于曲线C的极坐标方程为4cos，可得 2 4 cos， 又由 cos sin x y ，可得 22 4xyx，即 22 (2)4xy， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 (2)4xy. 由直线l的参
20、数方程为 3 1 2 1 2 xt yt （t为参数） ，消去参数可得， 直线l的普通方程为 3 (1) 3 yx，即 33 33 yx. （）设,A B两点对应的参数分别为 12 ,t t，将直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt （t为参数）代入曲线 22 :40C xyx中，可得 2 2 313 14 10 242 ttt . 化简得 2 330tt，则 12 3tt， 12 3tt . 所以 1212 | |3MAMBtttt. 23.解： （1）当2a 时，( ) |22| 2f xx.解不等式|22| 2 6x 得13x 剟. 因此( ) 6f x 的解集为 | 13xx 剟. （）当xR时，( )( ) |2|12 |212 |1|f xg xxaaxxaxaaa ， 所以当xR时，( )( ) 3f xg x等价于|1|3aa. 当1a时，等价于13aa ，无解. 当1a 时，等价于13aa ，解得2a. 所以a的取值范围是2,).