1、 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|1 2 2x2，Bx|ln（x 1 2）0，则 A（RB）（ ） A B （1，1 2 C1 2，1） D （1，1 2棣莫弗公式（cosx+isinx）ncosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667 1754）发现的，根据棣莫弗公式可
2、知，复数（cos 5 +isin 5） 6 在复平面内所对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则 a 的取值范围是（ ） A7a24 Ba7 或 a24 Ca7 或 a24 D24a7 4已知 f（x）= ( 1 2) + 3，1， ， 1， 是（，+）上的减函数，那么实数 a 的取值 范围是（ ） A （0，1） B0，1 2 C1 6， 1 2 D1 6，1 5 在ABC 中， D 是 BC 边上一点， ADAB， = 3 ，| | = 1， 则 = （ ） A2 B3 C 3 3 D3 6已知一
3、个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（ ） A2 B62 C1 3 D22 7在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，已知 3a85a13，且 a10，若 Sn取得最大值， 则 n 为（ ） A20 B21 C22 D23 8已知抛物线 y28x，过点 A（2，0）作倾斜角为 3的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C 两 点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ） A16 3 B8 3 C163 3 D83 9已知函数 f（x）sin（x+） （0，| 2）的最小正周期是 ，把它图象向右平移
4、 3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论： 函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 函数 f（x）的图象关于点（ 12，0）对 称 函数 f（x）在区间 2， 12上单调递减 函数 f（x）在 4， 3 2 上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 10甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6设各 局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获 胜的概率是（ ） A0.0402 B0.2592 C0.0864 D0.1728来源:学科网 11设的定义在 R 上以 2 为周期的偶
5、函数，当 x2，3时，f（x）x 则 x2，0时，的 解析式为（ ） Af（x）2+|x+1| Bf（x）3|x+1| Cf（x）2x Df（x）x+4 12如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点直线 DB1与平 面 EFC 的交点 O，则 1的值为（ ） A4 5 B3 5 C1 3 D2 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 14已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 15
6、某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房 子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任 4 位申请人中，申请的房源在 2 个片区的概率是 16在平面直角坐标系中，过椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左焦点 F 的直线交椭圆于 A， B 两点，CABC 是等腰直角三角形，且A90，则椭圆的离 心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题题为选考题，考生根据要求
7、作答 （一）必考题：为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17在ABC 中，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，已知 sin2BsinAsinC （1）求证：0B 3； （2）求 2sin2+ 2 +sinB1 的取值范围 18如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ADBC，SAABBCCD1， AD2 （1）在棱 SD 上是否存在一点 P，使得 CP平面 SAB？请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 19 已知椭圆 C： 2 12 + 2 4 =1， A、 B 分别是椭圆 C 长轴的左、 右端点， M 为椭
8、圆上的动点 （1）求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k，且 k（ 1 2， 1 3） ，求直线 BM 的斜率的取值范围 20已知函数 f（x）ln（x+1） ，g（x）ex（e 为自然对数的底数） （1）讨论函数 （x）f（x） + 在定义域内极值点的个数； （2）设直线 l 为函数 f（x）的图象上一点 A（x0，y0）处的切线，证明：在区间（0，+ ）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 yg（x）相切 212020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最 严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349
9、 例患者（无境外输入病例） （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们 的年龄数据，得如表的频数分布表： 年龄 10，20 （20， 30 （30， 40 （40， 50 （50， 60 （60， 70 （70， 80 （80， 90 （90， 100 人数 2 6 12 18 22 22 12 4 2 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布 N（，15.22） ，其 中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（70）的患者比例； （2） 截
10、至 2 月 29 日， 该省新冠肺炎的密切接触者 （均已接受检测） 中确诊患者约占 10%， 以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是 否确诊相互独立现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（1n20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验， 若发现新冠病毒， 则对该组的 n 个人抽取的 另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人数为 Xn，以化验次数的期望值为决策依据， 试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值 参考数据：若 ZN（
11、，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9973，0.940.66，0.950.59，0.9100.35 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分的题目如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1： = = （t 为参 数，0 2） ，曲线 C1： = 2 = 4 + 2（ 为参数） ，l1 与 C1相切于点 A，以坐标原 点为极点，x 轴的
12、非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1的极坐标方程及点 A 的极坐标； （2）已知直线 l2： = 6 ( )与圆 C2：2 43 + 2 = 0交于 B，C 两点，记 AOB 的面积为 S1，COC2的面积为 S2，求1 2 + 2 1的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知 f（x）|x2a| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）2x+1； （2）若存在实数 a（1，+） ，使得关于 x 的不等式 f（x）+| + 2 1 |m 有实数解， 求实数 m 的取值范围 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中
13、，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|1 2 2x2，Bx|ln（x 1 2）0，则 A（RB）（ ） A B （1，1 2 C1 2，1） D （1，1 求解指数不等式与对数不等式化简集合 A、B，再由交、并、补集的混合运算得答案 Ax|1 2 2x2x|1x1，Bx|ln（x 1 2）0x| 1 2 x 3 2， RBx|x 3 2或 x 1 2，则 A（RB）（1， 1 2 故选：B 本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交、并、补集的混合运算，是基础的计 算题 2棣莫弗公式（cosx+isinx）ncosnx+isinn
14、x（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667 1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos 5 +isin 5） 6 在复平面内所对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 由题意可得（cos 5 +isin 5） 6cos6 5 +isin6 5 = 5 5，再由三角函数的符号 得答案 由（cosx+isinx）ncosnx+isinnx， 得（cos 5 +isin 5） 6cos6 5 +isin6 5 = 5 5， 复数（cos 5 +isin 5） 6 在复平面内所对应的点的坐标为（ 5，sin 5） ，位于第三 象限 故选：C 本题考查复数的代
15、数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题 3已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则 a 的取值范围是（ ） A7a24 Ba7 或 a24 Ca7 或 a24 D24a7 利用点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，列出不等式组，求解即可 点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧， 可得： （92+a） （1212+a）0，解得：7a24 关系：A 本题考查函数与方程的应用，考查不等式的解法，考查计算能力以及转化思想的应用 4已知 f（x）= ( 1 2) + 3，1， ， 1， 是（，+）上的减函数，那么实数 a 的取值 范围
16、是（ ） A （0，1） B0，1 2 C1 6， 1 2 D1 6，1 根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论 f（x）= ( 1 2) + 3，1， ， 1， 是（，+）上的减函数， 满足 01 1 2 0 1 2 + 3 ， 即 01 1 2 1 6 ， 解得1 6 1 2， 故选：C 本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键 5 在ABC 中， D 是 BC 边上一点， ADAB， = 3 ，| | = 1， 则 = （ ） A2 B3 C 3 3 D3 画出示意图，利用条件将所求转化为 ，再根据图形性质可知 ， = = | | | |
17、 ，进而可求出结果 如图， ADAB， = 0， = 3 ，| | = 1， ， = = | | | | ， = ( + ) = + = = 3| | |cos ， = 3| | | | | | | | = 3| |2= 3， 故选：D 本题考查平面向量数量积的性质及其运算，数形结合是关键，属于中档题 6已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（ ） A2 B62 C1 3 D22 由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形， 求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积 一个四棱锥的
18、高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形， 则四棱锥的底面面积为：22，所以四棱锥的体积为：1 3 22 3 = 22； 故选：D来源:学&科&网 Z&X&X&K 本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积之比 为 22，是需要牢记的结论，也是解题的根据 7在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，已知 3a85a13，且 a10，若 Sn取得最大值， 则 n 为（ ） A20 B21 C22 D23 由题意可得等差数列的公差 d0，结合题意可得 a1= 39 2 d，可得 Snna1+ (1) 2 d 进 而结合二次不等式的
19、性质可求 由题意 3a85a13， 化简得：3（a1+7d）5（a1+12d） ，又 a10， a1= 39 2 d，d0， Snna1+ (1) 2 d= 1 2dn 220dn n20 为对称轴，即 n20 时，Sn有最大值 故选：A 本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前 n 项和的公式以 及结合二次函数的性质来解题 8已知抛物线 y28x，过点 A（2，0）作倾斜角为 3的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C 两 点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ） A16 3 B8 3 C163 3 D83 先表示出直线方程，代入抛物线方程可
20、得方程 3x220x+120，利用韦达定理，可求弦 BC 的中点坐标，求出弦 BC 的中垂线的方程，可得 P 的坐标，即可得出结论 由题意，直线 l 方程为：y= 3（x2） ， 代入抛物线 y28x 整理得：3x212x+128x， 3x220x+120， 设 B（x1，y1） 、C（x2，y2） ， x1+x2= 20 3 ， 弦 BC 的中点坐标为（10 3 ，43 3 ） ， 弦 BC 的中垂线的方程为 y 43 3 = 3 3 （x 10 3 ） ， 令 y0，可得 x= 22 3 ， P（22 3 ，0） ， A（2，0） ， |AP|= 16 3 故选：A 本题以抛物线为载体，考
21、查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关 键是联立方程，利用韦达定理 9已知函数 f（x）sin（x+） （0，| 2）的最小正周期是 ，把它图象向右平移 3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论： 函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 函数 f（x）的图象关于点（ 12，0）对 称 函数 f（x）在区间 2， 12上单调递减 函数 f（x）在 4， 3 2 上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 根据题意求出解析式， 可以求出函数所有的对称轴，然后判断， 可以求出函数所有的对称中心，然后判断， 可以求出函数所有的单调递减区间，然
22、后判断， 可以求出函数所有的零点，然后判断， 最小正周期是 ， = 2 = 2， 它图象向右平移 3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ysin2（x 3）+为奇函数，则 = + 2 3 ，kZ， | 2， 则 = 3， () = (2 3)， 函数 f（x）的图象所有对称轴为 x= 5 12 + 2 ，kZ，关于直线 x= 5 12对称，对； 函数 f（x）的图象关于点（ 2 + 6，0） ，kZ 对称，不关于点（ 12，0）对称，错； 函数 f（x）所有单调递减区间 7 12 + ， 12 + Z， k0 时，在区间 7 12， 12上单调递减，在区间 2， 12上单调递减，对； 函
23、数 f（x）零点为 = 2 + 6，kZ，则函数 f（x）在 4， 3 2 上有2 3 ， 7 6 共 2 个零点， 错， 故选：D 本题考查三角函数，以及图象的一些性质，属于中档题 10甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6设各 局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获 胜的概率是（ ） A0.0402 B0.2592 C0.0864 D0.1728 甲以 3：1 获胜是指前 3 局中甲 2 胜 1 负，第 4 局甲胜，由此能求出结果 甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 设各
24、局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制， 则甲以 3：1 获胜的概率为： P= 3 2 062 0.4 0.6 =0.2592 故选：B 本题考查概率的求法，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 11设的定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x2，3时，f（x）x 则 x2，0时，的 解析式为（ ） Af（x）2+|x+1| Bf（x）3|x+1| Cf（x）2x Df（x）x+4 当 x2，1时，则 x+42，3，由题意可得：f（x+4）x+4再根据函数的周期 性可得 f（x）f（x+4）x+4当
25、 x1，0时，则 2x2，3，由题意可得：f（2 x）2x再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式 当 x2，1时，则 x+42，3， 因为当 x2，3时，f（x）x， 所以 f（x+4）x+4 又因为 f（x）是周期为 2 的周期函数， 所以 f（x）f（x+4）x+4 所以当 x2，1时，f（x）x+4 当 x1，0时，则 2x2，3， 因为当 x2，3时，f（x）x， 所以 f（2x）2x 又因为 f（x）是周期为 2 的周期函数， 所以 f（x）f（2x）2x 因为函数 f（x）是定义在实数 R 上的偶函数， 所以 f（x）f（x）f（2x）2x 所以由可得当 x2，0时，f（
26、x）3|x+1| 故选：B 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性 质 12如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点直线 DB1与平 面 EFC 的交点 O，则 1的值为（ ） A4 5 B3 5 C1 3 D2 3 O 在面 ECF 与面 D1DBB1的交线上，延展平面 ECF，得到面 ECFH，H 在 C1D1上，KM 为面 ECFH 与面 D1DBB1的交线，O 在 KM 上，DB1KMO，由KOB1MOD，利 用相似三角形对应边成比例可得 1的值 交点 O 既在平面 ECF 上，又在平面 D1DBB1上， O
27、 在面 ECF 与面 D1DBB1的交线上， 延展平面 ECF，得到面 ECHF，H 在 C1D1上， 则 K，M 都即在面 ECFH 上，又在平面 D1DBB1上， KM 为面 ECFH 与面 D1DBB1的交线，O 在 KM 上， O 在 DB1上，DB1KMO， 取出平面 D1DBB1，KOB1MOD， 1 = 1 由DMCBME，得 DM= 2 3， 设 G 为 C1D1的中点，由三角形相似可得1 = 1 311， 再由题意可得 A1GFH，则1 = 1 611，则1 = 5 6 11= 5 6 1 = 1 2 3 5 6 = 4 5 故选：A 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关
28、系的判定及其应用，考查空间想象能力与 运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 1 4 先对 f（x）求导，然后设切点为（x0，0） ，由切线斜率和切点在曲线上得到关于 x0和 a 的方程，再求出 a 的值 由 f（x）4x3+4（a1）x+1，得 f（x）12x2+4（a1） ， x 轴为曲线 f（x）的切线，f（x）的切线方程为 y0， 设切点为（x0，0） ，则(0) = 120 2 + 4( 1) = 0， 又(0) =
29、40 3 + 4( 1)0+ 1 = 0， 由，得0= 1 2， = 1 4， a 的值为1 4 故答案为：1 4 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题 14已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 32 根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论 因为 Sn为数列an的前 n 项和， 若 Sn2an2， 则 a12a12a12； 则 Sn12an12， 得：an2an2an1an2an1数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 故 an2n； S5S42532 故答案为：32 本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公
30、式，属于基础题目 15某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房 子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任 4 位申请人中，申请的房源在 2 个片区的概率是 14 27 该市的任 4 位申请人中， 基本事件总数 n3481， 申请的房源在 2 个片区包含的基本事 件个数 m（4 133 + 4 2 2 2 2 2 ）3 2 =42，由此能求出申请的房源在 2 个片区的概率 某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区， 设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的， 则该市的任 4 位申请人中，基本事件总数 n3481
31、， 申请的房源在 2 个片区包含的基本事件个数 m（4 133 + 4 2 2 2 2 2 ）3 2 =42， 申请的房源在 2 个片区的概率是 p= = 42 81 = 14 27 故答案为：14 27 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 16在平面直角坐标系中，过椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左焦点 F 的直线交椭圆于 A， B 两点，CABC 是等腰直角三角形，且A90，则椭圆的离 心率为 6 3 作图，根据椭圆定义，设 ABACx，则可求出 x（4 22）a，利用勾股定理求得 a2与 c2的关系是即可 如图，根据题意不妨设 A
32、BACx，则 BC= 2x， 由椭圆定义可知：AF+AC2a，BF+BC2a， 所以 AF2ax，又 BFABAFx（2ax）2x2a， 所以 2x2a+2x2a，解得 x（4 22）a， 在 RtAFC 中，AF2+AC2CF2，即（2ax）2+x24c2，将 x（4 22）a 代入， 整理可得（422）2+（22 2）2a24c2， 两边同时除以 a2，则 e2962 =（6 3）2， 所以 e= 6 3， 故答案为：6 3 本题考查椭圆定义的应用，考查数形结合思想，方程思想，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证
33、明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17在ABC 中，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，已知 sin2BsinAsinC （1）求证：0B 3； （2）求 2sin2+ 2 +sinB1 的取值范围 （1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求 cosB 的范围，进而可求 B 的范围； （2）结合和差角公式及辅助角公式先进行化简，然后结合正弦函数的性质可求 （1）由正弦定理可得， = = = 2， sin
34、2BsinAsinC b2ac，来源:Z+xx+k.Com 由余弦定理可得，cosB= 2+22 2 2 2 = 1 2， 因为 0B， 所以 0B 1 3 ； （2）2sin2+ 2 +sinB1cos（A+C）+sinB cosB+sinB= 2( + 4)， 0B 1 3 ， 4 + 4 7 12， 12( + 4) 2， 2sin2+ 2 +sinB1 的范围（1，2 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试 题 18如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ADBC，SAABBCCD1， AD2 （1）在棱 SD 上是否存在一点 P，使
35、得 CP平面 SAB？请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 （1） 当点P为棱SD的中点时， 取SA中点F， 连结FP， FB， PC， 则FPAD， 且FP= 1 2AD1， 推导出四边形 FBCP 是平行四边形，从而 CPBF，由此能推导出 CP平面 SAB （2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax，以点 D 为原点，分别以直线 Ax，AD 和 AS 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 SAB 和平面 SCD 所 成锐二面角的余弦值 （1）当点 P 为棱 SD 的中点时，CP平面 SAB 证明如下： 取
36、SA 中点 F，连结 FP，FB，PC，则 FPAD，且 FP= 1 2AD1， FPBC，且 FPBC，四边形 FBCP 是平行四边形，CPBF， CP平面 SAB，BF平面 SAB， CP平面 SAB （2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax， SA平面 ABCD，SAAD，SAAx， 直线 AS，Ax 和 AD 两两垂直， 以点 D 为原点，分别以直线 Ax，AD 和 AS 为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 过点 B 作 BEAD，交直线 AD 于 E， ADBC，ABBCCD1，AD2， AE= 1 2，BE= 3 2 ， A（0，0，0） ，B
37、（ 3 2 ，1 2，0） ，C（ 3 2 ，3 2，0） ，D（0，2，0） ，S（0，0，1） ， =（0，0，1） ， =（ 3 2 ，1 2，0） ， =（0，2，1） ， =（ 3 2 ， 1 2，0） ， 设平面 SAB 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = = 0 = 3 2 + 1 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，3，0） ， 设平面 SCD 的法向量 =（a，b，c） ， 则 = 2 = 0 = 3 2 1 2 = 0 ，取 a= 3，得 =（3，3，6） ， |cos ，| | |= 23 448 = 1 4 平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为1 4
38、 本题考查线面平行的判断与证明， 考查二面角的余弦值的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题 19 已知椭圆 C： 2 12 + 2 4 =1， A、 B 分别是椭圆 C 长轴的左、 右端点， M 为椭圆上的动点 （1）求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k，且 k（ 1 2， 1 3） ，求直线 BM 的斜率的取值范围 （1）过 M 作垂直于 x 轴的直线于 H，将AMB 分成两个角，求出两个角的正切值，再 由两角和的正切公式求出AMB 的正切值，由 M 的纵坐标的取值范围求出AMB 的最 大值 （
39、2）设 M 的坐标，求出 AM 的斜率 K 的范围，及 BM 的斜率 k可得 kk= 1 3为定值， 再由 k 的范围求出 k的范围 （1）根据椭圆的对称性，不妨设 M（x0，y0） ， （23x023，0y02） ， 过点 M 作 MHx 轴，垂足为 H，则 H（x0，0） （0y02） ， 于是又 tanAMH= | | = 0+23 0 ，tanBMH= | | = 230 0 ， tanAMBtan（AMH+BMH）= + 1 = 430 02+0212， 因为点 M（x0，y0）在椭圆 C 上，所以0 2 12 + 02 4 =1， 所以 x02123y02， 所以 tanAMB=
40、23 0 ，而 0y02， 所以 tanAMB= 23 0 3， 因为 0AMB， 所以AMB 的最大值为2 3 ，此时 y02， 即 M 为椭圆的上顶点， 由椭圆的对称性，当 M 为椭圆的短轴的顶点时，AMB 取最大值，且最大值为2 3 ； （2）设直线 BM 的斜率为 kM（x0，y0） ，则 k= 0 0+23，k= 0 023， 所以 kk= 02 0212， 又0 2 12 + 02 4 =1，所以 x02123y02， 所以 kk= 1 3 因为 1 2 1 3，所以 k (0， 2 3)（，1） ， 所以直线 BM 的斜率的取值范围 （0，2 3）（，1） 本题考查两角和正切公式
41、的逆算，及不等式的运算，和椭圆的性质，直线与椭圆的综合 应用 20已知函数 f（x）ln（x+1） ，g（x）ex（e 为自然对数的底数） （1）讨论函数 （x）f（x） + 在定义域内极值点的个数； （2）设直线 l 为函数 f（x）的图象上一点 A（x0，y0）处的切线，证明：在区间（0，+ ）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 yg（x）相切 （1）先求出 （x）的解析式，然后 （x）的单调性，根据单调性判断函数的极值点的 个数； （2） 先用 x0和 y0表示直线 l 在点 A （x0， y0） 处的切线方程， 然后直线 l 与曲线 yg （x） 相切于点 B（x1，1)，得到(0+ 1) 0+1 0 = 0，进一步证明在区间（0，+）上存 在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 yg