1、广东省广州市名校附属中学 2020 届高三第一次模拟考试卷 理科数学 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个选项符合题意.) 1 已知集合 2 |650, |3,Ax xxBx yxAB则() A.1,+) B. 1,3 C.(3,5 D.3,5 2.若复数 z 满足 z(1-i)=|1-i|+i，则 z 的实部为( ) 21 . 2 A .21B C.1 21 . 2 D 3 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况， 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C,B 点表示四月的平均最低气温约为
2、5C。下面叙述不正确的是 A.各月的平均最低气温都在 0 C 以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均气温高于 20 C 的月份有 5 个 4.以下四个命题中，真命题的是( ) A.x(0,), sinx= tanx B. “对任意的 2 ,10xR xx 的否定是“存在 2 000 ,10xR xx C. R，函数 f (x)=sin(2x+ )都不是偶函数 D. ABC 中，“sin A+sin B=cosA +cosB”是“ 2 C ”的充要条件 5.若实数 x,y 满足约束条件 340 340, 0 xy xy xy 则 z=3x+2
3、y 的最大值是( ) A. -1 B.1 C.10 D.12 6 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 7 在同一直角坐标系中,函数 y 11 ,log ()( 2 a x yxa a 0 且 a1)的图象可能是( ) 8.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点， 则点落在四面体内的概率为（ ） 9 . 13 A 1 . 13 B 9 13 . 16
4、9 C 13 . 169 D 9“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,但从历史的角度讲,该不等式 应当称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才 将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材 4-5 中给出了二维形式的柯西不等式: 22222 ()()()abcdacbd当且仅当 ad=bc (即) ab cd 时等号成立.该不等式在数学中证明不等式和求 函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数( )2 54f xxx的最大值及取得最大 值时 x 的值分别为( ) 21 .5, 5 A 21 .3,
5、 5 B 61 .13, 13 C 61 .29, 13 D 10.如图,在正方体 1111 ABCDABC D中，点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 1 CC上，直线 OP 与平 面 1 ABD所成的角为 ，则 sin 的取值范围是 3 .,1 3 A 6 .,1 3 B 6 2 2 ., 33 C 2 2 .,1 3 D 11 设直线 l 与抛物线 2 4yx相交于 A,B 两点,与圆 222 (5)(0xyrr)相切于点 M， 且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( ) A. (1,3) .(1,4)B .(2,3)C D. (2
6、,4) 12.若0, 2 x ，不等式 x +sin xmxcosx 恒成立，则正实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1 B.(0,2 3 . ,2 2 C D.(3,+) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知向量(1, 3),(3, 3),ab则b在a方向上的投影是_. 14.为了提高命题质量， 命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、 填空题和解答题这 3 种题型进行改编， 则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为_种. 15 在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 22 1xy右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1= 0 的距
7、离 大于 c 恒成立，则是实数 C 的最大值为_ 16. 在ABC 中，2,ABBCAC=2, P 是ABC 内部一点，且满足 BP CPCA SS PB PCPC PA ABC S PA PBPB PCPC PA ，则|PA|+|PB|+|PC|=_ 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知数列 n a满足 * 123 23() n aaanan nN (1)求数列 n a的通项公式 n a； (2)令 b * 212 (), nnn a anNTbbb 求
8、证: 3 . 4 n T 18 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，A/ /, 2 DBCBAD AB= BC=1, AD=2, E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点.将ABE 沿 BE 折起到ABE 的位置，如图 2 (I)证明:CD 上平面 1 AOC； (II)若平面， 1 ABE 平面 BCDE，求平面 1 ABC与平面 1 ACD夹角的余弦值. 19 已知椭圆 C 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 3 , 2 A(a,0)， B(0,b), O(0,0) ，OAB 的面积为 1. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是椭圆 C 上一点，直线
9、 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N 求证:|AN|BM|为定值. 20.某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以 5 元/千克购进某种绿色蔬菜，售价 8 元/千克，若每天下午 4 点以前所购进的绿色蔬菜没有售完，则对未售出的绿色蔬菜降价处理，以 3 元/千克出售.根据经验，降价后 能够把剩余蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该生鲜批发店整理了过往 30 天(每天下午 4 点以前)这种绿 色蔬菜的日销售量(单位:千克)得到如下统计数据( 视频率为概率) (注: x, yN*) (1)求在未来 3 天中，至少有 1 天下午 4 点前的销售量不少于 450 千克的概率. (2)若
10、该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据， 当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时， 求 x 的取值范围. 21 已知函数 2 ( )cosf xxx (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若函数 g(x)= f(x)-a 在(0,+)上有两个零点 12 ,x x,且 12 xx，求证: 12 2 . 32 xx 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分, 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.已知平面直角坐标系 xOy 中， 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C1方程为 = 2sin . 2 C的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt (t 为参数) . (1)写出曲线 1 C的直角坐标方程和 2 C的普通方程; (2)设点 P 为曲线 1 C上的任意一点，求点 P 到曲线 2 C距离的取值范围. 23.已知关于 x 的不等式 m-|x-2|1,其解集为0，4. (1)求 m 的值; (2)若 a, b 均为正实数，且满足 a+b=m,求 22 ab的最小值.