1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 12 12 动态变化型问题动态变化型问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，并对变化过程 中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行实验、观察、猜想和归纳， 进行推理的一类问题，这类问题信息量大，灵活多变，出现的结果往往有多种情况涉及到平行线、相似 三角形的性质，锐角三角函数，方程、不等式及函数的知识，以及几何变换，数形结合，分类讨论，函数 与方程，特殊与一般的思
2、想. 解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住运 动中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，从而建 立方程、不等式、函数、几何模型，找到解决问题的途径. 由点运动产生的问题，解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定 x 的运动时间与面 积的关系，同时关注图象不同情况的讨论这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关 系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想 由线运动产生的问题，解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线或曲线变 化的全过
3、程，本题中 PQOA，PMOB，涉及相似三角形的判定与性质，抓住等量关系，特别注意一些不 变量、不变关系或特殊关系 由图形运动产生的问题，由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平移、旋转、翻转 等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变化为常见的一种题型本题的 关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形 解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同， 进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的 类似性质，从而获得相关结论类比发现法大致可遵循如下步骤： （1）根据
4、已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况； （2）结合某一相应图形，以静制动， 运用所学知识(常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论； （3）类比猜想出其他情况中的图形所具 有的性质 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图所示，在矩形 ABCD 中，点 E、F 是边 AD 上的两个三等分点，点 P 是对角线 AC 上的一动 点，ACB=30 ，AD=6，点 P 在移动的过程中，PE+PF 的最小值是 。 【分析】根据题意可知这是矩形与最短路径问题，先根据已知条件确定最小值取得时点 P 所在的位置，从 而化动为
5、静，结合矩形的性质进行计算即可。 【解答】作 E 关于 AC 的对称点 E，再作 EMAD，连接 EP。 四边形 ABCD 是矩形，ACB=30 ，AD=6, 点 E、F 是边 AD 上的两个三等分点， AE=2，EE=2， EM=3ME=1. EF=2， FM=3 EF=23 故答案为 PE+PF 的最小值是 23 【原创【原创 2】如图所示，已知一次函数 1 4 2 yx和二次函数解析式为 2 2yxxb，试求： （1）若交 x 轴于点 A（-1,0） ，B（3.0） ，求 b 得值； （2）当抛物线向下平移的过程中，恰好与直线有一个交点 C，试求 点 C 的坐标。 【解析】 本题考查了二
6、次函数的解析式及与一元二次方程的关系、 平移变换、 根与系数的关系等知识点； （1） 根据二次函数交点式可列解析式(1)(3)yxx，即为 2 23yxx，则有b=-3； （2）抛物线向下平 移，恰好与直线有一个交点 C，即一元二次方程 2 2xxb= 1 4 2 x有两个相同的解，则根据根的判别式 可得出=0，解得 b= 39 16 . 【解答】 （1）抛物线交 x 轴于点 A（-1,0） ，B（3.0） 根据二次函数交点式可列解析式(1)(3)yxx， 即为 2 23yxx， 则有b=-3； （2）抛物线向下平移，恰好与直线有一个交点 C， 一元二次方程 2 2xxb= 1 4 2 x有两
7、个相同的解， = 2 5 ()4(4) 2 b=0， b= 39 16 . 【原创【原创 3】如图所示，边长为2的正方形 ABCD 两对角线相交于点 O，EAF=45 ,EAF 绕着点 A 自 AB 顺时针方向旋转，交直线 BD 于点 E、F。 （1）如图 1 所示，当EAF 绕着点 A 旋转到 AE 恰好平分OAB 时，试证明 OA+OE=AB； （2）如图 2 所示，当EAF 绕着点 A 旋转，边 AE、AF 恰好位于 AO 两侧，且 EO:OF=2:3,计算三角形 AEF 的面积； （3）如图 3 所示，射线 AF 旋转到正方形外侧，与直线 BD 相较于点 F，令AEO= ，令AFD=，
8、请写出 tan与 tan的关系。 【分析】（1） 因为 AE 为角平分线， 故作 EGAB， 则有 EG=FO， 可证明AGEAOE， 从而得到 AO=AG， OE=EG，EG=BG，从而得到 OA+OE=AB； （2）因为EAF=45 ，过点 F 作 FHAD，分别延长 GE、HF 相交于点 K,则四边形 AGKH 为正方形，因 为正方形 ABCD 边长为2，可得 AO=AG=AK=GK=1，EO:OF=2:3，可设 EO=2x， OF=3x，则有 EK=1=2x,FK=1-3x,根据勾股定理可解得 x=1,从而得到 EF 的值，很容易计算得到AEF 的面积。 （3）因为 FHAD，延长 C
9、D 交 AF 于点 N，因为EAF=45 ，OAD=45 ,所以 NAD=OAF， 所以AEO=AND=， 又因为NDF=ADEF=45 ,所以EAH=， 设 OE=m， 根据 （1） （2）的结论可知：tan= 1 m ，tan= 2 HEm AHm ，解得 m= 2 tan 1tan ，从而得到 tan= 1tan 2 tan = 22 tan 2tan 。 【解答】解： （1）作 EGAB，AE 为角平分线， OEAO EG=EO，又 AGEAOE， AO=AG，OE=EG，EG=BG， OA+OE=AB； （2）过点 F 作 FHAD，分别延长 GE、HF 相交于点 K, EAF=45
10、 ， 四边形 AGKH 为正方形， 又因为正方形 ABCD 边长为2， AO=AG=AK=GK=1， EO:OF=2:3，可设 EO=2x， OF=3x，则有 EK=1-2x,FK=1-3x, 根据勾股定理可解得 x=0.1, 从而得到 EF=0.5 则AEF 的面积 S= 1 2 EF AO=0.25。 （3）延长 CD 交 AF 于点 N， FHAD，EAF=45 ，OAD=45 , NAD=OAF， AEO=AND=， 又NDF=ADEF=45 , EAH=，设 OE=m，根据（1） （2）的结论可知： tan= 1 m ，tan= 2 HEm AHm ，解得 m= 2 tan 1tan
11、 从而得到 tan= 1tan 2 tan = 22 tan 2tan 。 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】点动型】点动型 菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图 1 所示，顶点 B（2，0），DOB60 ，点 P 是对角线 OC 上 一个动点，E（0，1），当 EPBP 最短时，点 P 的坐标为_. 图 1 【解析】【解析】点 B 的对称点是点 D，如图 2，连接 ED 交 OC 于点 P，易知 ED 的长度即为 EPBP 的最短值. 图 2 【解答】【解答】：如图 2，连接 ED，因为点 B 的对称点是 D，所以
12、 DPBP，所以 ED 的值即为 EPBP 的最短 值. 因为四边形 ABCD 是菱形，顶点 B（2，0），DOB60 ，所以点 D 的坐标为（1，3），所以点 C 的 坐标为（3，3），所以可得直线 OC 的解析式为xy 3 3 . 因为点 E 的坐标为（0，1），所以可得直线 ED 的解析式为131xy. 因为点 P 事直线 OC 和直线 ED 的交点，所以点 P 的坐标为方程组 131 3 3 xy xy 的解，解方程组可得 32 332 y x ，所以点 P 的坐标为（32-3,2-3），故填（32-3,2-3）. 【归纳】【归纳】：本题中的变量是 EPBP 的值，不变量是点 B 与点
13、 D 的位置关系，借助菱形的对称性将 EPBP 的值转化为 ED 的值，由“两点间线段最短”即可知道此时 EPBP 的值最短，将变量转化为不变量是解决运 动型问题常用的解题思路. 【例题【例题 2】线动型】线动型 如图 3，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）.平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）. （1）点 A 的坐标是_,点 C 的坐标是_； （2）当 t=_秒或_秒时，MN= 2 1 AC； （3）设O
14、MN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）在（3）中得到的函数 S 有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由. 图 3 【解析】【解析】：（1）根据 B 点的坐标即可求出 A、C 点的坐标； （2）当 MN= 2 1 AC 时，有两种情况：Mn 是OAC 的中位线，此时 OM 2 1 OA2，因此 t2；当 MN 是ABC 的中位线时，OM 2 3 OA6，因此 t6； （3）本题要分类讨论：大直线 m 在 AC 下方或与 AC 重合时，即当 0t4 时，可根据OMNOAC， 用两三角形的相似比求出面积比，即可得出 S 与 t 之间的函数关系式；当直线 m 在 AC 上
15、方时，即当 4 t8 时，可用矩形 OABC 的面积-BMN 的面积-OCN 的面积-OAM 的面积求得； （4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积 S 的最大值及对应的 t 的值. 【解答】【解答】：（1）A（4，0），C（0，3）； （2）当 MN= 2 1 AC 时，有两种情况：Mn 是OAC 的中位线，此时 OM 2 1 OA2，因此 t2；当 MN 是ABC 的中位线时，AM 2 1 AB 2 3 ，OA4，AD 4 3 2 3 tan EDO AM 2，所以 ODOAAD4 26， 故 t6； （3）当 0t4 时，OMt，因为OMNOAC，所以 OC ON
16、OA OM ，所以 ON 4 3 t，S 2 8 3 t. 当 4t8 时，如图 4，因为 ODt，所以 ADt-4，由DAMAOC，可得 AM4 4 3 t，所以 BM 6-t 4 3 ； 由BMNBAC， 可得 BN 3 4 BM8-t， 所以 CNt-4， 所以 S矩形 OABC 的面积-RtBMN 的面积-RtOCN 的面积-RtOAM 的面积12- 2 3 （t-4）- 2 1 （8-t）（6-t 4 3 ）- 2 3 （t-4）- 2 8 3 t3t； 图 4 （4）有最大值，当 0t4 时，因为抛物线 S 2 8 3 t的开口向上，在对称轴 t0 的右边，S 随 t 的增大而增
17、大，所以当 t4 时，S 可取到最大值 8 3 426；当 4t8 时，因为抛物线 S- 2 8 3 t3t 的开口向下，顶 点是（4，6），所以 S6. 综上所述，当 t4 时，S 有最大值 6. 【归纳】【归纳】：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿， 解答这类问题时要用运动与变化的观 点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量关系，特别注意一些不变量、 不变关系或特殊关系. 【例题【例题 3】面动型】面动型 例例 3 已知：把 RtABC 和 RtABC 按如图 1 摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、C(E)、F 在同一直线上， ACB=EDF=
18、90 ， DEF=45 ， AC=8cm， BC=6cm,EF=9cm. 如图 2， DEF 从图 1 的位置出发， 以 1cm/s 的速度沿 CB 向ABC 匀速移动，在DEF 移动的同时，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，以 2cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动，当DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时，DEF 停止移动，点 P 也随之停止运动. DE 与 AC 相交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t(s)(0t4.5)，解答下列问题： 当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？ 连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 之间的
19、函数关系式；是否存在某一时刻 t，使得面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值，若不存在，请说明理由. 是否存在某一时刻 t，使得 P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理 由. 【解答】【解答】:因为点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上，所以 AP=AQ. 因为DEF=45 ,ACB=90 ， DEF+ACB+EQC=180 ， 所以EQC=45 ， 所以DEF=EQC， 所以CE=CQ. 又由题意得CE=t, BP=2t， 所以 CQ=t，所以 AQ=8-t，解得 t=2； 过点 P 作 PMBE，交 BE 与点 M，所以BMP=90 ，在 RtABC
20、 和 RtBPM 中，sinB=AC AB = PM BP ,代 入，解得 PM=8 5 t.因为 BC=6cm,CE=t,所以 BE=6-t，所以 y=SABC-SBPE= 1 2 (BC AC-BE PM) 化简得 y= 4 5 (t-3)2+84 5 ，所以当 t=3 时，y最小=84 5 ； 假设存在某一时刻 t，使得点 P、Q、F 三点在同一条直线上，过 P 点作 PNAC，交 AC 于点 N，所以 ANP=ACB=PNQ=90 . 因为PAN=BAC 所以PANBAC，所以PN 6 =10-2t 10 =AN 8 ， 所以 PN=6- 6 5 t, AN=8- 8 5 t. 因为
21、NQ=AQ-AN， 所以 NQ=8-t-(8- 8 5 t)= 3 5 t. 因为ACB=90 ,B、 C(E)、 F 在同一条直线上，所以QCF=90 QCF=PNQ. 因为FQC=PQN，所以QCFQNP， 所以PN FC = NQ CQ ，所以 6-1.2t 9-t =3 5 ，因为 0t4.5，所以 t=1. 【归纳】【归纳】：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究题都源于此，解决此 类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解 决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要
22、运用类比 转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确. 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题： 1. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） A4.8 B5 C6 D7.2 【分析】首先连接 OP，由矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 3 和 4，可求得 OA=OD=5， AOD 的面积，然后由 SAOD=SAOP+SDOP=OAPE+ODPF 求得答案
23、 【解答】解：连接 OP， 矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8， S矩 形 ABCD=ABBC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10， OA=OD=5，SACD=S 矩 形ABCD=24， SAOD=SACD=12， SAOD=SAOP+S DOP= OAPE+ODPF=5PE+5PF=（PE+PF）=12，解得： PE+PF=4.8故选：A 2. 如图 10S1，AB90 ，AB7，AD2，BC3，在边 AB 上取点 P，使得PAD 与PBC 相似，则这样的点 P 共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】设 APx，则 PBABAP7x， 当PDA
24、CPB 时，DA PB AP BC，即 2 7x x 3， 解得 x1 或 x6； 当PDAPCB 时，AD BC AP PB，即 2 3 x 7x， 解得 x14 5 .则这样的点 P 共有 3 个故选 C. 3. 如图，MN 是O 的直径，MN=4，AMN=40 ，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一个动点， 则 PA+PB 的最小值为( ). A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 【分析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值， 由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出AON 的度数，再由
25、勾股定理即可求解 【解答】解：过 A 作关于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小 值， 连接 OB，OA，AA， AA关于直线 MN 对称， =， AMN=40 ， AON=80，BON=40 ， AOB=120， 过 O 作 OQAB 于 Q， 在 RtAOQ 中，OA=2， AB=2AQ=2， 即 PA+PB 的最小值 2 故答案为：2故选 B 4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发， 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止设直线
26、l 扫过正方形 OBCD 的面积为 S，直线 l 运动的时间为 t(s)，下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图象是(D) 解：根据三角形的面积即可求出 S 与 t 的函数关系式，根据函数关系式选择图象 当 0t4 时，S1 2t tt 2，即 S1 2t 2.该函数图象是开口向上的抛物线的一部分故 B，C 错误； 当 4t8 时，S161 2(8t) (8t)，即 S 1 2(t8) 216.该函数图象是开口向下的抛物线的一部 分故 A 错误故选 D. 5. (2018 辽宁省葫芦岛市) 如图， 在 ABCD 中， AB=6， BC=10， ABAC， 点 P 从点 B 出发沿着 BAC
27、的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 随 之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，y=PQ2，下列图象中大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） ABCD 【解答】解：在 RtABC 中，BAC=90 ，AB=6，BC=10，AC=8 当 0x6 时，AP=6x，AQ=x，y=PQ2=AP2+AQ2=2x212x+36； 当 6x8 时，AP=x6，AQ=x，y=PQ2=（AQAP）2=36； 当 8x14 时，CP=14x，CQ=x8，y=PQ2=CP2+CQ2=2x244x+260 故选 B 二、填空题： 6.
28、（2018 辽宁省盘锦市） 如图， 在矩形 ABCD 中， 动点 P 从 A 出发， 以相同的速度， 沿 ABCDA 方向运动到点 A 处停止设点 P 运动的路程为 x，PAB 面积为 y，如果 y 与 x 的函数图象如图所示，则 矩形 ABCD 的面积为 24 【解答】解：从图象和已知可知：AB=4，BC=104=6，所以矩形 ABCD 的面积是 4 6=24 故答案为： 24 7. 如图 12 所示，已知点 C(1，0)，直线 yx7 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，D ，E 分别是 AB，OA 上的动点，则CDE 周长的最小值是_ 解析作点 C 关于 y 轴的对称点 C1(1，0)，点
29、 C 关于 x 轴的对称点 C2，连接 C1C2交 OA 于点 E，交 AB 于点 D，则此时CDE 的周长最小，且最小值等于 C1C2的长 OAOB7，CB6，ABC45 AB 垂直平分 CC2， CBC290 ，C2的坐标为(7，6) 在RtC1BC2中，C1C2 22 12 C BC B 22 8610 即CDE 周长的最小值是 10 故答案为：10 8. 如图，钝角三角形 ABC 的面积为 15，最长边 AB10，BD 平分ABC，点 M，N 分别是 BD，BC 上的 动点，则 CMMN 的最小值为_3_ 解：过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC
30、 于点 N. BD 平分ABC，MEAB 于点 E，MNBC 于点 N， MNME， CECMMECMMN 的最小值 三角形 ABC 的面积为 15，AB10， 1 2 10 CE15， CE3，即 CMMN 的最小值为 3. x y O 答案图 C B A E D C1 C2 9. 如图，AOB90 ，在AOB 的平分线 ON 上依次取点 C，F，M，过点 C 作 DEOC，分别交 OA， OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知DFEGFH120 ，FGFE，设OCx，图中阴影 部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是_y 3x2_ 【解析】ON 为AOB 平分线，DO
31、CEOC45 ，CDCEOCx，DFEF，DECD CE2x，DFEGFH120 ，CEF30 ，CF 3 3 x，EF2CF2 3 3 x.SDEF1 2DE CF 3 3 x2.四边形 FGMH 为菱形，FGMGFE2 3 3 x，G180 GFH60 ，FMG 为正三 角形，SFGH 3 3 x2，SFGMH2 3 3 x2.S阴影S四边形FGMHSDEF 3x2. 10. 如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF.连结 CF 交 BD 于点 G，连结 BE 交 AG 于点 H.若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 51 解：如解图，在正方形
32、 ABCD 中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG. 在ABE 和DCF 中， ABCD， BADCDA， AEDF， ABEDCF(SAS)12. 在ADG 和CDG 中， ADCD， ADGCDG， DGDG， ADGCDG(SAS) 23.13. BAH3BAD90 ，1BAH90 . AHB180 90 90 . 取 AB 的中点 O，连结 OH，OD，则 OHAO1 2AB1. 在 RtAOD 中，OD AO2AD2 1222 5，根据三角形的三边关系，OHDHOD， 当 O，D，H 三点共线时，DH 的长度最小， 最小值ODOH 51. 三、解答题： 11. 正方形 ABCD
33、 的边长为 6 cm，点 E，M 分别是线段 BD，AD 上的动点，连结 AE 并延长，交边 BC 于 F，过 M 作 MNAF，垂足为 H，交边 AB 于点 N. (1)如图 1，若点 M 与点 D 重合，求证：AFMN； (2)如图 2，若点 M 从点 D 出发，以 1 cm/s 的速度沿 DA 向点 A 运动，同时点 E 从点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BD 向点 D 运动，运动时间为 t s. 设 BF y cm，求 y 关于 t 的函数解析式； 当 BN2AN 时，连结 FN，求 FN 的长 解：(1)在正方形 ABCD 中，ADAB，DANFBA90 ，MNAF，NAH
34、ANH90 ， NDAANH90 ，NAHNDA，ABFDAN，AFMN (2)ABAD6，BD6 2，由题意得，DMt，BE 2t，AM6t，DE6 2 2t， ADBC，ADEFBE，AD BF DE BE，即 6 y 6 2 2t 2t ，y 6t 6t；BN2AN，AN2， BN4，由(1)证得BAFAMN，ABFMAN90 ，ABFMAN，AM AB AN BF，即 6t 6 2 BF，BF 12 6t，由求得 BF 6t 6t， 6t 6t 12 6t，t2，BF3，FN BF 2BN25 cm 12. 如图，OF是MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q
35、在点P的右侧， 且 PQOA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交直线 OF，ON 于点 B，C，连接 AB，PB. (1)如图，当 P，Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系 (2)如图，当 P，Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时，线段 AB，PB 是否还存在(1)中的数量关系？若 存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由 (3)如图，MON60 ，连接AP，设AP OQk，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？ 若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由 解：(1)ABPB. 理由：如图，连接 BQ. BC 垂直平分 OQ，
36、BOBQ，BOQBQO. OF 平分MON， AOBBOQ AOBBQO. 又OAPQ，AOBPQB，ABPB. (2)存在 证明：如图，连接 BQ. BC 垂直平分 OQ，BOBQ，BOQBQO. OF 平分MON，BOQFON，AOFFONBQC， BQPAOB. 又OAPQ，AOBPQB，ABPB. (3)如图，连接 BQ. 易证ABOPBQ， OABBPQ，ABPB. OPBBPQ180 ， OPBOAB180 ，AOPABP180 . MON60 ，ABP120 . ABPB，BAPBPA30 . BOBQ，BOQBQO30 ， ABPOBQ，AP OQ AB OB. AOB30 ，
37、当 BAOM 时，AB OB的值最小，最小值为 0.5，k 存在最小值，最小值为 0.5. 13. （2016 泰安一模）如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点，PO 的延长线交 BC 于 Q （1）求证：OP=OQ； （2）若 AD=8 厘米，AB=6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重合）设点 P 运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形 【分析】（1）本题需先根据四边形 ABCD 是矩形，得出 ADBC，PDO=QBO，再根据 O 为 BD 的中 点得出PO
38、DQOB，即可证出 OP=OQ （2）本题需先根据已知条件得出A 的度数，再根据 AD=8 厘米，AB=6 厘米，得出 BD 和 OD 的长，再 根据四边形 PBQD 是菱形时，即可求出 t 的值，判断出四边形 PBQD 是菱形 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， PDO=QBO， 又O 为 BD 的中点， OB=OD， 在POD 与QOB 中， PODQOB（ASA）， OP=OQ； （2）解：PD=8t， 四边形 PBQD 是菱形， PD=BP=8t， 四边形 ABCD 是矩形， A=90 ， 在 RtABP 中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2， 即 62+t
39、2=（8t）2， 解得：t= 7 4 ， 即运动时间为 7 4 秒时，四边形 PBQD 是菱形 14. 如图，抛物线 yax2bx5(a0)与 x 轴交于点 A(5，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E为x轴下方抛物线上的一点，坐标为(2，5)，抛物线上是否存在点P，使BAPCAE？若 存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)把 A、B 两点坐标代入解析式可得 25a5b50， 9a3b50， 解得 a1 3， b2 3， 抛物线解析式为 y1 3x 22 3x5 (2)假设存在满足条件的 P 点，其坐标为(m，1 3 m
40、 22 3m5)，如图，连结 AP，CE，AE，过 E 作 EDAC 于点 D，过 P 作 PQx 轴于点 Q，则 AQAOOQ5m，PQ|1 3m 22 3m5|，在 RtAOC 中，OA OC5，则 AC5 2，ACODCE45 ，由题可得 EC2，在 RtEDC 中，可得 DEDC 2， ADACDC5 2 24 2，当BAPCAE 时，则EDAPQA，ED AD PQ AQ，即 2 4 2 |1 3m 22 3m5| 5m ，1 3m 22 3m5 1 4(5m)或 1 3m 22 3m5 1 4(5m)，当 1 3m 22 3m5 1 4(5m)时，整理可 得4m25m750，解得m
41、15 4 或m5(与A点重合，舍去)，当1 3m 22 3m5 1 4(5m)时，整理可得 4m211m450，解得 m9 4或 m5(与 A 点重合，舍去)，存在满足条件的点 P，其横坐标为 9 4或 15 4 15. 已知：如图，在 ABCD 中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.将ACD 沿 AC 方向匀速平移得到 PNM，速度为 1 cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1 cm/s；当PNM 停止平 移时，点 Q 也停止移动，如图.设移动时间为 ts(0t4)，连接 PQ，MQ，MC.解答下列问题： (1)当 t 为何值时，PQMN? (2)设Q
42、MC 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数表达式 (3)是否存在某一时刻 t，使 SQMCS四边形ABQP14？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 (4)是否存在某一时刻 t，使 PQMQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 解：(1)如图所示 在ABC 中，AB3 cm，BC5 cm，A90 ，由勾股定理，得 AC4 cm. 若 PQMN，则 PQAB，CP PA CQ QB. CQPAtcm，CP(4t)cm，QB(5t)cm， 4t t t 5t， 解得 t20 9 . 经检验，t20 9 是原方程的解且符合题意 故当 t 的值为20 9 时，PQMN. (
43、2)如图所示，过点 P 作 PDBC 于点 D，则CPDCBA， CP CB PD BA. BA3 cm，CP(4t)cm，BC5 cm， 4t 5 PD 3 ，PD3 5(4t)cm. 又CQtcm， y1 2 3 5(4t)t 3 10t 26 5t(0t4) (3)存在 SQMCS四边形ABQP14， SQMC 3 10t 26 5t， S四边形ABQPSABCSPCQSABCSQMC1 2 3 4 3 10t 26 5t 3 10t 26 5t6， 3 10t 26 5t 3 10t 26 5t6 14， 即 t24t40，解得 t1t22， 当 t2 时，SQMCS四边形ABQP14
44、. (4)存在 如图所示，过点 M 作 MEBC 交 BC 的延长线于点 E，过点 P 作 PDBC 于点 D， 则CPDCBA， CP CB PD BA CD CA. BA3 cm，CP(4t)cm，BC5 cm，CA4 cm， 4t 5 PD 3 CD 4 ， PD3 5(4t)cm，CD 4 5(4t)cm. PQMQ，PQDMQE90 . 又PDQE90 ， PQDDPQ90 ， DPQMQE， PDQQEM， PD QE DQ EM， 即 PD EMQE DQ. EMPD3 5(4t) 12 5 3 5t cm， DQCDCQ4 5(4t)t 16 5 9 5t cm， QEDEDQ5(16 5 9 5t)( 9 5 9 5t)cm， (12 5 3 5t) 2(9 5 9 5t)( 16 5 9 5t)， 即 2t23t0， 解得 t3 2(t0 舍去) 当 t3 2时，PQMQ.