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第16讲 四边形综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1616 四边形综合问题四边形综合问题 【难点突破】【难点突破】着眼思路,方法点拨着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 解题要领:利用平行四边形的性质求角度时,常常运用平行线的性质和平行四边形对角相等进行等 角的转化;利用平行四边形的性质求线段的长度或图形面积时,一是运用平行四边形对边相等,对角线 互相平分进行等线段转化,二是运用勾股定理或相似三角形或三角函数求解 解题要领:初步判断已知或可直接获得判定平行四边形的边或角的相等,再分析出需要的另外条件; 防止陷阱:“一组对边平行,而另一组对边相等”不是正确的判

2、定方法 解题要领:判定四边形是矩形,一般先判定是平行四边形,然后再判定是矩形;矩形的内角是直 角和对角线相等,相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质;利用矩形的性质计算或证明时,常常运用 勾股定理,锐角三角函数或相似三角形求解 解题要领:判定四边形是菱形,一般先判定是平行四边形,然后再判定是菱形;菱形的邻边相等 和对角线垂直,相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质;利用菱形的性质计算或证明时,常常运用勾 股定理,锐角三角函数或相似三角形求解;求线段和的最小值时,往往运用菱形的轴对称的性质转化为 求线段的长度 解题要领:判定四边形是正方形,一般先判定是平行四边形,然后再判定是矩形或菱形,最后判定 这

3、个四边形是正方形;正方形是最特殊的四边形,在正方形的计算或证明时,要特别注意线段或角的等 量转化 【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创【原创 1】如图所示,在菱形 ABCD 中,BAD=120 ,AB=3,M,N 分别从 B,C 两点同时出发,以相同的 速度分别向终点 C,D 移动,连接 MN.在移动的过程中,MN 的最小值为( ). N M D CB A A 3 3 4 B 2 3 3 C 4 3 3 D 3 3 2 【解析】 N M D CB A 连接 AM,AC,AN, ABCD, BAD=120 B =60 又四边形 ABCD 是

4、菱形, AB=BC, ABC 为正三角形,故 AB=AC. 在ABM 和ACN 中, ABAC BACN BMCN =60 ABMACN BAM=CAN,AM=AN MAN=MAC+CAN=MAC+BAM=60 故AMN 为正三角形 AM=MN N M D CB A 当 AM 最短时,即 AMBC 时, 在 RtAMB 中,B=60 , AM= 3 3 2 ,故 MN 的最小值为 3 3 2 ,故选 D。 【原创【原创 2】如图,矩形 ABCD 中,AB4,BC6,E 是 BC 边的中点,点 P 在线段 AD 上,过作 PFAE 于 F,设 PAx (1)求证:PFAABE; (2) 当点 P

5、 在线段 AD 上运动时, 设 PAx, 是否存在实数 x, 使得以点 P, F, E 为顶点的三角形也与ABE 相似?若存在,请求出 x 的值;若不存在,请说明理由; (3)探究:当以 D 为圆心,DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时,请直接写出 x 满足的条 件: 【分析】(1)根据正方形的性质,结合已知条件可以证明两个角对应相等,从而证明三角形相似; (2)由于对应关系不确定,所以应针对不同的对应关系分情况考虑:当PEFEAB 时,则得到四边 形 ABEP 为矩形,从而求得 x 的值;当PEFAEB 时,再结合(1)中的结论,得到等腰APE再 根据等腰三角形的三线合一得到 F

6、 是 AE 的中点,运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解 (3)首先计算圆 D 与线段相切时,x 的值,在画出圆 D 过 E 时,半径 r 的值,确定 x 的值,半径比这时大 时符合题意,根据图形确定 x 的取 值范围 【解答】(1)证明:矩形 ABCD, ABE90 ,ADBC, PAFAEB, 又PFAE, PFA90 ABE, PFAABE (2)解:分二种情况: 若EFPABE,如图 1,则PEFEAB, PEAB, 四边形 ABEP 为矩形, PAEB3,即 x3 若PFEABE,则PEFAEB, ADBC PAFAEB, PEFPAF PEPA PFAE, 点 F 为 AE 的中

7、点, RtABE 中,AB4,BE3, AE5, EFAE, PFEABE, , , PE,即 x 满足条件的 x 的值为 3 或 (3)如图 3,当D 与 AE 相切时,设切点为 G,连接 DG, APx, PDDG6x, DAGAEB,AGDB90 , AGDEBA, ,x, 当D 过点 E 时,如图 4,D 与线段有两个公共点,连接 DE,此时 PDDE5, APx651, 当以 D 为圆心,DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时,x 满足的条件:x或 0x1; 故答案为:x或 0x1(12 分) 【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三;【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反

8、三; 【例题【例题 1】 正方形 ABCD 的边长是 4,点 P 是 AD 边的中点,点 E 是正方形边上的一点,若PBE 是等腰三 角形,则腰长为_2 5或5 2或 65 2 _ 【解析】如图,当 E,C 重合时,PBPC2 5;在 AB 上取 E 使 PEEB,如图,设 AEx,(4 x)2x24,解得 x3 2,使 PE 5 2;在 BP 上取中点 M,如图,作 MEPB 交 DC 于 E.设 ECx,由 PE BE 知 42x222(4x)2,解得 x1 2,PE 22(41 2) 2 65 2 . 【例题【例题 2】 (2018潍坊) 如图, 点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上

9、一点, 连接 AM, 作 DEAM 于点 E, BFAM 于点 F,连接 BE (1)求证:AE=BF; (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为 24,求EBF 的正弦值 【分析】(1)通过证明ABFDEA 得到 BF=AE; (2)设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2,利用四边形 ABED 的面积等于ABE 的面积与ADE 的面积之和得 到xx+x2=24,解方程求出 x 得到 AE=BF=6,则 EF=x2=4,然后利用勾股定理计算出 BE,最后利 用正弦的定义求解 【解答】(1)证明:四边形 ABCD 为正方形, BA=AD,BAD=90 , DEAM 于点 E,BFAM

10、 于点 F, AFB=90 ,DEA=90 , ABF+BAF=90 ,EAD+BAF=90 , ABF=EAD, 在ABF 和DEA 中 , ABFDEA(AAS), BF=AE; (2)解:设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2, 四边形 ABED 的面积为 24, xx+x2=24,解得 x1=6,x2=8(舍去), EF=x2=4, 在 RtBEF 中,BE=2, sinEBF= 【例题【例题 3】(2018泰安)如图,ABC 中,D 是 AB 上一点,DEAC 于点 E,F 是 AD 的中点,FGBC 于点 G,与 DE 交于点 H,若 FG=AF,AG 平分CAB,连接 GE,

11、CD (1)求证:ECGGHD; (2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论 (3)若B=30 ,判定四边形 AEGF 是否为菱形,并说明理由 【分析】(1)依据条件得出C=DHG=90 ,CGE=GED,依据 F 是 AD 的中点,FGAE,即可得 到 FG 是线段 ED 的垂直平分线,进而得到 GE=GD,CGE=GDE,利用 AAS 即可判定ECGGHD; (2)过点 G 作 GPAB 于 P,判定CAGPAG,可得 AC=AP,由(1)可得 EG=DG,即可得到 RtECGRtGPD,依据 EC=PD,即可得出 AD=AP+PD=AC+EC; (3)依据B

12、=30 ,可得ADE=30 ,进而得到 AE=AD,故 AE=AF=FG,再根据四边形 AECF 是平行 四边形,即可得到四边形 AEGF 是菱形 【解答】解:(1)AF=FG, FAG=FGA, AG 平分CAB, CAG=FGA, CAG=FGA, ACFG, DEAC, FGDE, FGBC, DEBC, ACBC, C=DHG=90 ,CGE=GED, F 是 AD 的中点,FGAE, H 是 ED 的中点, FG 是线段 ED 的垂直平分线, GE=GD,GDE=GED, CGE=GDE, ECGGHD; (2)证明:过点 G 作 GPAB 于 P, GC=GP,而 AG=AG, C

13、AGPAG, AC=AP, 由(1)可得 EG=DG, RtECGRtGPD, EC=PD, AD=AP+PD=AC+EC; (3)四边形 AEGF 是菱形, 证明:B=30 , ADE=30 , AE=AD, AE=AF=FG, 由(1)得 AEFG, 四边形 AECF 是平行四边形, 四边形 AEGF 是菱形 【例题【例题4】 在四边形ABCD中, 对角线AC、 BD相交于点O, 将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1, 旋转角为 (0 90 ) ,连接 AC1、BD1,AC1与 BD1交于点 P (1)如图 1,若四边形 ABCD 是正方形 求证:AOC1BOD1 请直接写出 AC

14、1 与 BD1的位置关系 (2)如图 2,若四边形 ABCD 是菱形,AC=5,BD=7,设 AC1=k BD1判断 AC1与 BD1的位置关系,说明 理由,并求出 k 的值 (3)如图 3,若四边形 ABCD 是平行四边形,AC=5,BD=10,连接 DD1,设 AC1=kBD1请直接写出 k 的 值和 AC12+(kDD1)2的值 【解析】 (1)如图 1,根据正方形的性质得 OC=OA=OD=OB,ACBD,则AOB=COD=90 ,再根据 旋转的性质得O C1=OC, O D1=OD, CO C1=DO D1, 则O C1=O D1, 利用等角的补角相等得AO C1=BO D1,然后根

15、据“SAS”可证明AO C1BOD1; 由AOB=90 ,则O AB+ABP+OB D1=90 ,所以O AB+ABP+O AC1=90 ,则APB=90 所 以 AC1BD1; (2)如图 2,根据菱形的性质得 OC=OA=AC,OD=OB=BD,ACBD,则AOB=COD=90 ,再根据旋 转的性质得 O C1=OC, O D1=OD, CO C1=DO D1, 则 O C1=OA, O D1=OB, 利用等角的补角相等得AO C1=BO D1,加上 1 1 OCOA ODOB ,根据相似三角形的判定方法得到AO C1BOD1,得到O AC1=OB D1, 由AOB=90 得O AB+AB

16、P+OB D1=90 ,则O AB+ABP+O AC1=90 ,则APB=90 ,所以 AC1BD1;然后根据相似比得到 1 1 ACOAAC BDOBBD = 5 7 , 所以 k= 5 7 ; (3)与(2)一样可证明AO C1BOD1,则 1 1 ACOAAC BDOBBD = 1 2 ,所以 k= 1 2 ;根据旋转的性质得 O D1=OD,根据平行四边形的性质得 OD=OB,则 OD1=OB=OD,于是可判断BDD1为直角三角形,根据勾 股定理得 BD12+DD12=BD2=100,所以(2AC1)2+DD12=100,于是有 AC12+(kDD1)2=25 【解答】 (1)证明:如

17、图 1, 四边形 ABCD 是正方形, OC=OA=OD=OB,ACBD, AOB=COD=90 , COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到C1OD1, O C1=OC,O D1=OD,CO C1=DO D1, O C1=O D1,AO C1=BO D1=90 +AOD1, 在AO C1和BOD1中, 11 11 OAOB AOCBOD OCOD , AO C1BOD1(SAS) ; AC1BD1; (2)AC1BD1 理由如下:如图 2, 四边形 ABCD 是菱形, OC=OA=AC,OD=OB=BD,ACBD, AOB=COD=90 , COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到C1OD1,

18、O C1=OC,O D1=OD,CO C1=DO D1, O C1=OA,O D1=OB,AO C1=BO D1, 1 1 OCOA ODOB , AO C1BOD1, O AC1=OB D1, 又AOB=90 , O AB+ABP+OB D1=90 , O AB+ABP+O AC1=90 , APB=90 AC1BD1; AO C1BOD1, 1 1 ACOA BDOB = 1 2 1 2 AC BD = AC BD = 5 7 ,k= 5 7 ; (3)如图 3,与(2)一样可证明AO C1BOD1, 1 1 ACOAAC BDOBBD = 1 2 , k=; COD 绕点 O 按逆时针方

19、向旋转得到C1OD1, O D1=OD, 而 OD=OB, OD1=OB=OD, BDD1为直角三角形, 在 RtBDD1中,BD12+DD12=BD2=100, (2AC1)2+DD12=100, AC12+(kDD1)2=25 【最新试题】名校【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。直考,巅峰冲刺,一步到位。 一、选择题: 1. 如图,点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过点 P 作 EFBC,分别交 AB,CD 于 E、F,连接 PB、 PD若 AE=2,PF=8则图中阴影部分的面积为( ) A10 B12 C16 D18 【分析】想办法证明 SPEB=SPFD解答即可

20、【解答】解:作 PMAD 于 M,交 BC 于 N 则有四边形 AEPM,四边形 DFPM,四边形 CFPN,四边形 BEPN 都是矩形, SADC=SABC,SAMP=SAEP,SPBE=SPBN,S PFD=SPDM,SPFC=SPCN, SDFP=SPBE= 2 8=8, S阴=8+8=16, 故选:C 2. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OA,OC 分别在 x 轴和 y 轴上,并且 OA=5,OC=3若 把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 , 使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1处, 则点 C 的对应点 C1的坐标为 ( ) A(, ) B(, ) C(,

21、) D(, ) 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC1三边关系,再利用勾股定理得出答案 【解答】解:过点 C1作 C1Nx 轴于点 N,过点 A1作 A1Mx 轴于点 M, 由题意可得:C1NO=A1MO=90 , 1=2=3, 则A1OMOC1N, OA=5,OC=3, OA1=5,A1M=3, OM=4, 设 NO=3x,则 NC1=4x,OC1=3, 则(3x)2+(4x)2=9, 解得:x= (负数舍去), 则 NO=,NC1=, 故点 C 的对应点 C1的坐标为:(,) 故选:A 3. 矩形 ABCD 与 CEFG,如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连

22、接 AF,取 AF 的中点 H,连 接 GH若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH=( ) A1 B C D 【分析】延长 GH 交 AD 于点 P,先证APHFGH 得 AP=GF=1,GH=PH=PG,再利用勾股定理求得 PG=,从而得出答案 【解答】解:如图,延长 GH 交 AD 于点 P, 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形, ADC=ADG=CGF=90 ,AD=BC=2、GF=CE=1, ADGF, GFH=PAH, 又H 是 AF 的中点, AH=FH, 在APH 和FGH 中, , APHFGH(ASA), AP=GF=1,GH=PH=PG, PD=ADAP=

23、1, CG=2、CD=1, DG=1, 则 GH=PG= =, 故选:C 4. 如图,菱形 ABCD 的边长是 4 厘米,B60 ,动点 P 以 1 厘米秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止,动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动 了 t 秒,记BPQ 的面积为 S 厘米 2,下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是( ) A B CD 【分析】应根据 0t2 和 2t4 两种情况进行讨论把 t 当作已知数值,就可以求出 S,从而得到函数的 解析式,进一步即可求解 【解答】解:当 0t2 时,S 2t

24、 (4t)t2+2t; 当 2t4 时,S 4 (4t)t+4; 只有选项 D 的图形符合 故选:D 5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上, 反比例函数 y=(k0,x0)的图象与正方形 OABC 的两边 AB、BC 分别交于点 M、N,NDx 轴,垂 足为 D,连接 OM、ON、MN,则下列选项中的结论错误的是( ) AONCOAM B四边形 DAMN 与OMN 面积相等 CON=MN D若MON=45 ,MN=2,则点 C 的坐标为(0, +1) 【解答】解:点 M、N 都在 y= k x 的图象上,SONC=

25、SOAM= 1 2 k,即 1 2 OCNC= 1 2 OAAM 四边形 ABCO 为正方形,OC=OA,OCN=OAM=90 ,NC=AM,OCNOAM,A 正确; SOND=SOAM= 1 2 k,而 SOND+S四边形DAMN=SOAM+SOMN,四边形 DAMN 与MON 面积相等,B 正 确; OCNOAM,ON=OM k 的值不能确定,MON 的值不能确定,ONM 只能为等腰三角形,不能确定为等边三角形, ONMN,C 错误; 作 NEOM 于 E 点,如图所示: MON=45 ,ONE 为等腰直角三角形,NE=OE,设 NE=x,则 ON= 2x,OM= 2x,EM= 2xx=(

26、21)x在 RtNEM 中,MN=2 MN2=NE2+EM2,即 22=x2+(21)x2,x2=2+ 2,ON2=(2x)2=4+2v CN=AM,CB=AB,BN=BM,BMN 为等腰直角三角形,BN= 2 2 MN= 2,设正方形 ABCO 的边长为 a,则 OC=a,CN=a2在 RtOCN 中,OC2+CN2=ON2,a2+(a2)2=4+2,解得 a1= 2+1,a2=1(舍去) ,OC= 2+1,C 点坐标为(0,2 +1) ,D 正确 故选 C 二、填空题: 6. 如图所示,在正方形 ABCD 中,以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE,连接 CE、BD 交于点 G,连

27、接 AG,那么AGD 的底数是 度 【分析】根据已知可求得BEC 的度数,根据三角形外角定理可求得AGD 的度数 【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, ABBCADCD,ABC90 ,ADGCDG,ABD45 , GDGD, ADGCDG, AGDCGD, CGDEGB, AGDEGB, ABE 是等边三角形, ABBE,ABE60 , BEBC,EBC150 , BECECB15 , BGE180 BECEBG180 15 60 45 60 , AGD60 故答案为 60 7. 如图,在菱形 ABCD 中,AB=4cm,ADC=120 ,点 E、F 同时由 A、C 两点出发,分别沿 AB

28、、CB 方 向向点 B 匀速移动(到点 B 为止) ,点 E 的速度为 1cm/s,点 F 的速度为 2cm/s,经过 t 秒DEF 为等边三 角形,则 t 的值为 【解析】延长 AB 至 M,使 BM=AE,连接 FM,证出DAE 和EMF,得到BMF 是等边三角形,再利 用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值 【解答】解:延长 AB 至 M,使 BM=AE,连接 FM, 四边形 ABCD 是菱形,ADC=120 AB=AD,A=60 , BM=AE, AD=ME, DEF 为等边三角形, DEA=DFE=60 ,DE=EF=FD, MEF+DEA120,ADE+DEA=180 A=120

29、, MEF=ADE, 在DAE 和EMF 中, DAE 和EMF(SAS) , AE=MF,M=A=60 , 又BM=AE, BMF 是等边三角形, BF=AE, AE=t,CF=2t, BF=CF+BF=2t+t=3t, BF=4, 3t=4, t= 故答案为: 8. 如图,把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中,使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴上,连接 OB,将纸片 OABC 沿 OB 折叠,使点 A 落在点 A的位置,若 OB,tanBOC,则点 A的坐标为 【分析】如图,作辅助线;根据题意首先求出 AB、BC 的长度;借助面积公式求出 AD、OD 的长度,即可 解决问题 【

30、解答】解:如图,过点 A作 ADx 轴与点 D; 设 AD,OD; 四边形 ABCO 为矩形, OABOCB90 ;四边形 ABAD 为梯形; 设 ABOC,BCAO; OB,tanBOC, , 解得:2,1; 由题意得:AOAO1;ABOABO; 由勾股定理得:2+21, 由面积公式得:; 联立并解得:, 故答案为(,) 9. 如图, 矩形 ABCD 中, AB4, AD6, 点 E 为 AD 中点, 点 P 为线段 AB 上一个动点, 连接 EP, 将APE 沿 PE 折叠得到FPE,连接 CE,CF,当ECF 为直角三角形时,AP 的长为 或 1 【分析】分两种情况进行讨论:当CFE90

31、 时,ECF 是直角三角形;当CEF90 时,ECF 是直角 三角形,分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可 【解答】解:如图所示,当CFE90 时,ECF 是直角三角形, 由折叠可得,PFEA90 ,AEFEDE, CFP180 ,即点 P,F,C 在一条直线上, 在 RtCDE 和 RtCFE 中, , RtCDERtCFE(HL), CFCD4, 设 APFPx,则 BP4x,CPx+4, 在 RtBCP 中,BP2+BC2PC2,即(4x)2+62(x+4)2, 解得 x,即 AP; 如图所示,当CEF90 时,ECF 是直角三角形, 过 F 作 FHAB 于 H,作 FQAD 于

32、 Q,则FQED90 , 又FEQ+CED90 ECD+CED, FEQECD, FEQECD, ,即, 解得 FQ,QE, AQHF,AH, 设 APFPx,则 HPx, RtPFH 中,HP2+HF2PF2,即(x)2+()2x2, 解得 x1,即 AP1 综上所述,AP 的长为 1 或 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB2,AD,在边 CD 上有一点 E,使 EB 平分AEC若 P 为 BC 边上 一点,且 BP2CP,连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F给出以下五个结论: 点 B 平分线段 AF;PFDE;BEFFEC;S矩形ABCD4SBPF;AEB 是正三角形 其中正确

33、结论的 序号是 【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明AEBABE,可求得 AEAB2,在 RtADE 中可求 得 DE1,则 EC1,又可证明PECPBF,可求得 BF2,可判定;在 RtPBF 中可求得 PF,可 判定;在 RtBCE 中可求得 BE2,可得BEFF,可判定;容易计算出 S矩形ABCD和 SBPF;可判 定;由 AEABBE 可判定;可得出答案 【解答】解:四边形 ABCD 为矩形, ABCD, CEBABE, 又BE 平分AEC, AEBCEB, AEBABE, AEAB2, 在 RtADE 中,AD,AE2,由勾股定理可求得 DE1, CECDDE211, DCAB

34、, PCEPBF, ,即, BF2, ABBF, 点 B 平分线段 AF, 故正确; BCAD, BP, 在 RtBPF 中,BF2,由勾股定理可求得 PF, DE1, PFDE, 故正确; 在 RtBCE 中,EC1,BC,由勾股定理可求得 BE2, BEBF, BEFF, 又ABCD, FECF, BEFFEC, 故正确; AB2,AD, S矩形ABCDABAD2 2, BF2,BP, SBPF BFBP 2 , 4SBPF , S矩形ABCD4SBPF, 故不正确; 由上可知 ABAEBE2, AEB 为正三角形, 故正确; 综上可知正确的结论为: 故答案为: 三、解答题: 11. 如图

35、,在平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别在 AB、CD 上,且 EDDB,FBBD (1)求证:AEDCFB; (2)若A30 ,DEB45 ,求证:DADF 【分析】(1)由四边形 ABCD 为平行四边形,利用平行四边形的性质得到对边平行且相等,对角相等,再 由垂直的定义得到一对直角相等,利用等式的性质得到一对角相等,利用 ASA 即可得证; (2) 过 D 作 DH 垂直于 AB, 在直角三角形 ADH 中, 利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半得到 AD2DH, 在直角三角形 DEB 中, 利用斜边上的中线等于斜边的一半得到 EB2DH, 易得四边形 EBFD 为平行四边形,

36、利用平行四边形的对边相等得到 EBDF,等量代换即可得证 【解答】证明:(1)四边形 ABCD 是平行四边形, ADCB,AC,ADCB,ABCD, ADBCBD, EDDB,FBBD, EDBFBD90 , ADECBF, 在AED 和CFB 中, , AEDCFB(ASA); (2)作 DHAB,垂足为 H, 在 RtADH 中,A30 , AD2DH, 在 RtDEB 中,DEB45 , EB2DH, EDDB,FBBD DEBF,ABCD, 四边形 EBFD 为平行四边形, FDEB, DADF 12. 已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,PAQ45 ,将PAQ 绕着正方形的顶点

37、A 旋转,使它与正方 形 ABCD 的两个外角EBC 和FDC 的平分线分别交于点 M 和 N,连接 MN (1)求证:ABMNDA; (2)连接 BD,当BAM 的度数为多少时,四边形 BMND 为矩形,并加以证明 【分析】(1)由正方形 ABCD,BM、DN 分别是正方形的两个外角平分线,可证得ABMADN135 , 又由MAN45 ,可证得BAMAND45 DAN,即可证得ABMNDA; (2)证出四边形 BMND 是平行四边形,再证出BDN90 ,继而求得答案 【解答】(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, ABCADCBAD90 , BM、DN 分别是正方形的两个外角平分线, AB

38、MADN135 , MAN45 , BAMAND45 DAN, ABMNDA; (2)解:当BAM22.5 时,四边形 BMND 为矩形;理由如下: BAM22.5 ,EBM45 , AMB22.5 , BAMAMB, ABBM, 同理 ADDN, ABAD,BMDN, 四边形 ABCD 是正方形 ABDADB45 , BDNDBM90 BDN+DBM180 , BMDN 四边形 BMND 为平行四边形, BDN90 , 四边形 BMND 为矩形 13. 问题情境 在四边形 ABCD 中,BABC,DCAC,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E,M 是边 AD 的中点, 连接 M

39、B,ME. 特例探究 (1)如图 1,当ABC90 时,线段 MB 与 ME 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图 2,当ABC120 时,试探究线段 MB 与 ME 的数量关系,并证明你的结论; 拓展延伸 (3)如图 3,当ABC 时,请直接用含 的式子表示线段 MB 与 ME 之间的数量关系 解:(1)MBME,MBME. (2)ME 3MB 证明如下:连接 CM,如解图所示 DCAC,M 是边 AD 的中点, MCMAMD BABC, BM 垂直平分 AC ABC120 ,BABC, MBE1 2ABC60,BACBCA30 ,DCE60 . ABDE, ABEDEC180 , D

40、EC60 , DCEDEC60 , CDE 是等边三角形, ECED MCMD, EM 垂直平分 CD,EM 平分DEC, MEC1 2DEC30 , MBEMEB90 ,即BME90 . 在 RtBME 中,MEB30 , ME 3MB (3)MEMB tan 2. 14. 如图 1, 在矩形 ABCD 中, P 为 CD 边上一点 (DPCP) , APB=90 将ADP 沿 AP 翻折得到ADP, PD的延长线交边 AB 于点 M,过点 B 作 BNMP 交 DC 于点 N (1)求证:AD2=DPPC; (2)请判断四边形 PMBN 的形状,并说明理由; (3)如图 2,连接 AC,分

41、别交 PM,PB 于点 E,F若=,求的值 【解答】解: (1)过点 P 作 PGAB 于点 G, 易知四边形 DPGA,四边形 PCBG 是矩形, AD=PG,DP=AG,GB=PC APB=90 , APG+GPB=GPB+PBG=90 , APG=PBG, APGPBG, , PG2=AGGB, 即 AD2=DPPC; (2)DPAB, DPA=PAM, 由题意可知:DPA=APM, PAM=APM, APBPAM=APBAPM, 即ABP=MPB AM=PM,PM=MB, PM=MB, 又易证四边形 PMBN 是平行四边形, 四边形 PMBN 是菱形; (3)由于=, 可设 DP=1,

42、AD=2, 由(1)可知:AG=DP=1,PG=AD=2, PG2=AGGB, 4=1GB, GB=PC=4, AB=AG+GB=5, CPAB, PCFBAF, =, , 又易证:PCEMAE,AM=AB= = , EF=AFAE=AC=AC, = 15. 如图 1,点 E 是正方形 ABCD 边 CD 上任意一点,以 DE 为边作正方形 DEFG,连接 BF,点 M 是线段 BF 中点,射线 EM 与 BC 交于点 H,连接 CM (1)请直接写出 CM 和 EM 的数量关系和位置关系; (2)把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 45 ,此时点 F 恰好落在线段 CD 上

43、,如图 2,其他条件 不变, (1)中的结论是否成立,请说明理由; (3)把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 90 ,此时点 E、G 恰好分别落在线段 AD、CD 上,如图 3,其他条件不变, (1)中的结论是否成立,请说明理由 【解答】解: (1)如图 1,结论:CM=EM,CMEM 理由:ADEF,ADBC,BCEF,EFM=HBM在FME 和BMH 中, FMEBMH,HM=EM,EF=BH CD=BC,CE=CH1HCE=90 ,HM=EM,CM=ME,CMEM (2 如图 2,连接 AE, 四边形 ABCD 和四边形 EDGF 是正方形,FDE=45 ,CBD=45 ,点 B、E、D 在同一条直线上 BCF=90 ,BEF=90 ,M 为 AF 的中点,CM= 1 2 AF,EM= 1 2 AF,CM=ME EFD=45 ,EFC=135 CM=FM=ME,MCF=MFC,MFE=MEF,MCF+MEF=135 ,CME=360 135 135 =90 ,CMME (3)如图 3,连接 CF,MG,作 MNCD 于 N, 在EDM 和GDM 中,EDMGDM,ME=MG,MED=MGD M 为 BF 的中点,FGMNBC,