1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 2121 函数中三角形存在问题函数中三角形存在问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、 等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等 式计算 主要思路为：由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；分类讨论，画图；建等式，对结果验 证取舍对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： 从角度入手，通过角 的对应关系尝试画
2、出一种情形解决第一种情形能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、 或线段长转坐标代入函数表达式求解； 不能直接表达线段长的， 观察点的位置， 考虑联立函数表达式求解 分类讨论，类比解决其他情形分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题 解题策略可以从以下几方面进行分析：解题策略可以从以下几方面进行分析：直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦 图模型、直线 k 值乘积为；等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合 一找相似建等式；全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助 函数或几何特征建等式分类不仅要考虑
3、图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并 验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题 联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三 角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形 的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边， 那
4、么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点） 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别相交于点 A、B、C，其坐标分别为 A（3，0） ，B（0， 3） ，C（-1，0） ，直线 y=kx+d 经过 A、B 两点，点 D 为抛物线的顶点. （1）求此抛物线的解析式; （2）在 x 轴上是否存在点 N 使ADN 为直角三角形？若存在，确定点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）是否存在点 P,使以 A,B,C,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 P
5、 的坐标；若不存 在，请说明理由 【原创 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？ 若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】等腰三角
6、形存在性问题】等腰三角形存在性问题 如图，直线 y3x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A，B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C(3，0) (1)求点 A，B 的坐标 (2)求抛物线对应的函数表达式 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 【例题【例题 2】直角三角形、全等三角形存在性问题】直角三角形、全等三角形存在性问题 如图，已知直线 ykx6 与抛物线 yax2bxc 相交于 A，B 两点，且点 A(1，4)为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上 (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)在(
7、1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由 (3)若点 Q 是 y 轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 1. 如图，已知直线 ykx6 经过点 A(1,4)，与 x 轴相交于点 B若点 Q 是 y 轴上一点，且ABQ 为直角 三角形，求点 Q 的坐标 2. 已知抛物线 c1的顶点为 A(1，4)，与 y 轴的交点为 D(0，3)，抛物线 c1关于 y 轴对称的抛物线记作 c2. (1)求 c2的解析式； (2)若 c2与
8、 x 轴正半轴交点记作 B，试在 x 轴上求点 P，使PAB 为等腰三角形. 3. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，抛物线y1 2x 2bxc经过矩形ABCO的顶点B(4， 3)， C，D 为 BC 的中点，直线 AD 与 y 轴交于 E 点，与抛物线交于第四象限的 F 点 (1)求该抛物线解析式与 F 点坐标； (2)如图 2，动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE 以每秒 13 2 个单位长度的速度向终点 E 运动过点 P 作 PHOA ，垂足为 H , 连结 MP ，MH.设点 P 的
9、运动时间为 t 秒若PMH 是等腰三角形，求出此时 t 的值 4. 如图，抛物线4 2 bxaxy经过 A（3，6） ，B（5，4）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC， BC （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB 平分CAO； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ABM是以 AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 5.如图，抛物线 yax2bx6 过点 A(6，0)，B(4，6)，与 y 轴交于点 C (1)求该抛物线的解析式； (2)如图 1，直线 l 的解析式为 yx，抛物线的对称轴与线段 BC 交于点 P，过点 P 作直线 l 的垂
10、线，垂足为 点 H，连接 OP，求OPH 的面积； (3)把图1中的直线yx向下平移4个单位长度得到直线yx4， 如图2，直线yx4与x轴交于点G， 点 P 是四边形 ABCO 边上的一点，过点 P 分别作 x 轴，直线 l 的垂线，垂足分别为点 E，F.是否存在点 P， 使得以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 6.如图 1，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线上 求四边形 ACFD 的面积； 点 P 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点A、B 重合），过点 P 作 PQx 轴交该抛物线于点 Q，连接 AQ、 DQ，当AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx4k+4 与抛物线 yx2x 交于 A、B 两点 （1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）点 P 在抛物线上，当 k时，解决下列问题： 在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20； 连接 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和ABO 相似，请直接写出点 P 的坐标