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2018-2019学年湖南省张家界市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019 学年湖南省张家界市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)复数 z2018i 在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 (5 分)已知命题 p: “如果 x3,那么 x5” ,命题 q: “如果 x5,那么 x3” ,则命题 q 是命题 p 的( ) A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式 3 (5 分)有 50 件产品,编号从 1 到

2、50,现在从中抽取 5 件检验,用系统抽样确定所抽取 的第一个样本编号为 7,则第三个样本编号是( ) A12 B17 C27 D37 4(5 分) 已知甲、 乙两组数据如茎叶图所示, 则甲组的中位数与乙组的平均数分别为 ( ) A32,32 B27,32 C39,34 D32,34 5 (5 分)在ABC 中, “ab”是“sinAsinB”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 (5 分)天气预报“明天降雨的概率为 90%” ,这是指( ) A明天该地区约 90%的地方会降雨,其余地方不降雨 B明天该地区约 90%的时间会降雨,其余时间不降

3、雨 C气象台的专家中,有 90%的人认为明天降雨,其余的专家认为不降雨 D明天该地区降雨的可能性为 90% 7 (5 分)用反证法证明命题“已知 a、b、c 为非零实数,且 a+b+c0,ab+bc+ca0,求 证 a、b、c 中至少有二个为正数”时,要做的假设是( ) Aa、b、c 中至少有二个为负数 Ba、b、c 中至多有一个为负数 Ca、b、c 中至多有二个为正数 Da、b、c 中至多有二个为负数 第 2 页(共 21 页) 8 (5 分)如图是一个中心对称的几何图形,已知大圆半径为 2,以半径为直径画出两个半 圆,在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A B C D 9

4、 (5 分)五进制是以 5 为底的进位制,主因乃人类的一只手有五只手指中国古代的五行 学说也是采用的五进制,0 代表土,1 代表水,2 代表火,3 代表木,4 代表金,依此类推, 5 又属土,6 属水,减去 5 即得如图,这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为 十进制数 b 的程序框图,执行该程序框图,若输入的 k,a,n 分别为 5,1203,4,则输 出的 b( ) A178 B386 C890 D14 303 10 (5 分)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中, 第 3 页(共 21 页) 利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(3,4) ,

5、且法向量为 (1,2)的 直线(点法式)方程为:1(x+3)+(2)(y4)0,化简得 x2y+110类 比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A(1,2,3) ,且法向量为 (1,2, 1)的平面的方程为( ) Ax+2yz20 Bx2yz20 Cx+2y+z20 Dx+2y+z+20 11 (5 分)已知 F1,F2是双曲线 E:1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,MF1与 x 轴垂直,sinMF2F1,则双曲线 E 的渐近线方程为( ) Ay Byx Cy Dy2x 12 (5 分)已知函数 f(x) (xR)满足 f(1)1,且 f(x)的导数 f(x),则不等 式 f(x2)的解

6、集为( ) A (,1) B (1,+) C (,11,+) D (1,1) 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)已知,则 ,|z| 14 (5 分)函数 f(x)4x+4 的单调递增区间为 15 (5 分)观察下列各式:m+n1,m2+n23,m3+n34,m4+n47,m5+n511, 则 m7+n7 16 (5 分)如图,已知抛物线 C1的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,且过点(2,4) ,圆 C2: x2+y24x+30, 过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P, Q, M, N, 则|PN|+9

7、|QM| 的最小值为 第 4 页(共 21 页) 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,满分小题,满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表 示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主) (1)根据茎叶图,帮助这位同学说明这 30 位亲属的饮食习惯 (2)根据以上数据完成如下 22 列联表 主食蔬菜 主食肉类 总计 50 岁以下 50 岁以上 总计 (3)能否有 99%的把

8、握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关? 独立性检验的临界值表 P(k2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:K2,其中 na+b+c+d 18 (12 分)已知命题 p:对xR,不等式 x22x+m0 恒成立;命题 q:方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆若p 为真,且 pq 为真,求实数 m 的取值范围 19 (12 分)为了解某地区某种农产品的年产量 x(单位:吨)对价格 y(单位:千元/吨) 的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如表: x

9、 1 2 3 4 5 第 5 页(共 21 页) y 8 6 5 4 2 已知 x 和 y 具有线性相关关系 (1)求 , ; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程; (3)若年产量为 4.5 吨,试预测该农产品的价格 附:本题参考公式与参考数据: , 20 (12 分)某校高二期中考试后,教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析,从男、女 生中各随机抽取 100 名学生,分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图,如图 所示 (1)若所得分数大于等于 80 分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人? (2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人,从这 5 人中任意任取 2 人

10、, 求至少有1名男生的概 率 21 (12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:的离心率为,椭圆短 轴上的一个顶点为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(1,) ,动直线 ykx2 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若直线 AP,BP 的斜率均存在,求证:直线 AP,OP,BP 的斜率依次成等差数列 第 6 页(共 21 页) 22 (12 分)设函数 f(x)x2ex (1)求曲线 f(x)在点(1,e)处的切线方程; (2)若 f(x)ax 对 x(,0)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求整数 n 的值,使函数 F(x)f(x)在区间(n1,n)上有零点 第 7 页(

11、共 21 页) 2018-2019 学年湖南省张家界市高二(上)期末数学试卷(文科)学年湖南省张家界市高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)复数 z2018i 在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由已知复数得到 z 在复平面内对应点的坐标得答案 【解答】解:复数 z2018i 在复平面内对应

12、的点的坐标为(2018,1) , 在第四象限 故选:D 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题 2 (5 分)已知命题 p: “如果 x3,那么 x5” ,命题 q: “如果 x5,那么 x3” ,则命题 q 是命题 p 的( ) A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式 【分析】根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若q,则p” ,判断即可 【解答】解:命题 p: “如果 x3,那么 x5” , 命题 q: “如果 x5,那么 x3” , 则命题 q 是命题 p 的逆否命题 故选:C 【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题的判断与应用问题,是基础题 3 (5 分)有 50

13、 件产品,编号从 1 到 50,现在从中抽取 5 件检验,用系统抽样确定所抽取 的第一个样本编号为 7,则第三个样本编号是( ) A12 B17 C27 D37 【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔,然后进行求解 【解答】解:样本间隔为 50510, 则第一个编号为 7, 则第三个样本编号是 7+21027, 故选:C 第 8 页(共 21 页) 【点评】本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出第一个编号是解决本题的关键 4(5 分) 已知甲、 乙两组数据如茎叶图所示, 则甲组的中位数与乙组的平均数分别为 ( ) A32,32 B27,32 C39,34 D32,34 【分析】根据茎叶图中

14、的数据,求出甲组数据的中位数和乙组数据的平均数即可 【解答】解:由茎叶图知,甲组数据从小到大排列为 27,32,39,它的中位数是 32; 乙组数据分别为 24,32,34,38,它的平均数为(24+32+34+38)32 故选:A 【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数和平均数的应用问题,是基础题 5 (5 分)在ABC 中, “ab”是“sinAsinB”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可 【解答】解:abABsinAsinB, sinAsinB2RsinA2RsinBab, ab

15、 是 sinAsinB 的充要条件 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关 键 6 (5 分)天气预报“明天降雨的概率为 90%” ,这是指( ) A明天该地区约 90%的地方会降雨,其余地方不降雨 B明天该地区约 90%的时间会降雨,其余时间不降雨 C气象台的专家中,有 90%的人认为明天降雨,其余的专家认为不降雨 D明天该地区降雨的可能性为 90% 【分析】根据概率的意义得知,天气预报中“明天降雨的概率”是指“明天该地区降雨 的可能性” ,由此得出结论 【解答】解:根据概率的意义知, 天气预报中“明天降雨的概率为 90%” , 第 9 页(共

16、 21 页) 是指“明天该地区降雨的可能性为 90%” 故选:D 【点评】本题考查了概率的意义是什么,重点是理解概率的意义与应用,是基础题目 7 (5 分)用反证法证明命题“已知 a、b、c 为非零实数,且 a+b+c0,ab+bc+ca0,求 证 a、b、c 中至少有二个为正数”时,要做的假设是( ) Aa、b、c 中至少有二个为负数 Ba、b、c 中至多有一个为负数 Ca、b、c 中至多有二个为正数 Da、b、c 中至多有二个为负数 【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的否定成立,而命题的否定为: “a、b、 c 中至少有二个为负数” ,由此得出结论 【解答】解:用反证法证明某命题时

17、,应先假设命题的否定成立, 而: “a、b、c 中至少有二个为正数”的否定为: “a、b、c 中至少有二个为负数” 故选:A 【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,得到要证的结 论的反面,是解题的关键 8 (5 分)如图是一个中心对称的几何图形,已知大圆半径为 2,以半径为直径画出两个半 圆,在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A B C D 【分析】计算大圆的面积与阴影部分的面积,求对应的面积比即可 【解答】解:由题意知,大圆的面积为 S224; 阴影部分的面积为 S2212, 第 10 页(共 21 页) 则所求的概率为 P 故选:C 【点评】本

18、题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题 9 (5 分)五进制是以 5 为底的进位制,主因乃人类的一只手有五只手指中国古代的五行 学说也是采用的五进制,0 代表土,1 代表水,2 代表火,3 代表木,4 代表金,依此类推, 5 又属土,6 属水,减去 5 即得如图,这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为 十进制数 b 的程序框图,执行该程序框图,若输入的 k,a,n 分别为 5,1203,4,则输 出的 b( ) A178 B386 C890 D14 303 【分析】模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 b350+051+252+1 53178 的值,从而得解 【解答】解:

19、模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出:b350+051+2 52+153178 故选:A 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,模拟执行程序框图,正确写出每次循环 得到的 b,i 的值,分析出程序框图的功能是解题的关键,属于基础题 第 11 页(共 21 页) 10 (5 分)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中, 利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(3,4) ,且法向量为 (1,2)的 直线(点法式)方程为:1(x+3)+(2)(y4)0,化简得 x2y+110类 比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A(1,2,3) ,且法向量为

20、(1,2, 1)的平面的方程为( ) Ax+2yz20 Bx2yz20 Cx+2y+z20 Dx+2y+z+20 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法,在空间任取一点 P(x,y,z) ,则(x 1,y2,z3) ,利用平面法向量为 (1,2,1) ,即可求得结论 【解答】解:类比平面中求动点轨迹方程的方法,在空间任取一点 P(x,y,z) ,则 (x1,y2,z3) 平面法向量为 (1,2,1) , (x1)2(y2)+1(z3)0 x+2yz20, 故选:A 【点评】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个

21、明确的命题(猜想) 由于平面向量与 空间向量的运算性质相似,故我们可以利用求平面曲线方程的办法,构造向量,利用向 量的性质解决空间内平面方程的求解 11 (5 分)已知 F1,F2是双曲线 E:1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,MF1与 x 轴垂直,sinMF2F1,则双曲线 E 的渐近线方程为( ) Ay Byx Cy Dy2x 【分析】由条件 MF1MF2,sinMF2F1,列出关系式,从而可求渐近线方程 【解答】解:由题意,M 为双曲线左支上的点, 则|MF1|,|MF2|+2a, 第 12 页(共 21 页) sinMF2F1, 可得:ba, 双曲线 E 的渐近线方程为:yx 故选

22、:B 【点评】本题考查双曲线的定义及渐近线方程的求解,关键是找出几何量之间的关系, 考查数形结合思想,属于中档题 12 (5 分)已知函数 f(x) (xR)满足 f(1)1,且 f(x)的导数 f(x),则不等 式 f(x2)的解集为( ) A (,1) B (1,+) C (,11,+) D (1,1) 【分析】根据题意,设 g(x)f(x),对其求导分析可得函数 g(x)在 R 上为增 函数,由 f(1)的值计算可得 g(1)的值,将不等式变形分析可以转化为 g(x2)g(1) , 由函数的单调性可得 x21,解可得 x 的取值范围,即可得答案 【解答】解:根据题意,设 g(x)f(x)

23、,其导数 g(x)f(x)0, 则函数 g(x)在 R 上为增函数, 又由 f(1)1,则 g(1)f(1), 第 13 页(共 21 页) 不等式 f(x2)f(x2)g(x2)g(1) , 又由 g(x)在 R 上为增函数,则 x21, 解可得:1x1, 即不等式的解集为(1,1) ; 故选:D 【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系,关键是构造函数 g(x) ,并分 析函数 g(x)的单调性 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)已知,则 ,|z| 【分析】根据两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i

24、的幂运算性质求得 z,可得 以及 |z|的值 【解答】解:已知,则 + i,|z|, 故答案为 +i, 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,附属求 模,属于基础题 14 (5 分)函数 f(x)4x+4 的单调递增区间为 (,2) , (2,+) 【分析】求出原函数的导函数,解得导函数的零点,由导函数的零点对函数定义域分段, 再由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调区间 【解答】解:由 f(x)x34x+4,得 f(x)x24, 由 f(x)x240,得 x2 或 x2 当 x(,2)(2,+)时,f(x)0, 当 x(2,2)时,f(x)0 f(x)

25、的单调递增区间为(,2) , (2,+) 故答案为: (,2) , (2,+) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,关键是明确函数的单调性与导函数符号 间的关系,是中档题 15 (5 分)观察下列各式:m+n1,m2+n23,m3+n34,m4+n47,m5+n511, 则 m7+n7 29 第 14 页(共 21 页) 【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始,右边的数字等于前两项的右边的数字之 和,问题得以解决 【解答】解:1+34,3+47,4+711,7+1118,11+1829, 可以发现从第三项开始,右边的数字等于前两项的右边的数字之和, m7+n729, 故答案为:29 【

26、点评】本题考查了归纳推理的问题,关键是找到其数字的变化规律,属于基础题 16 (5 分)如图,已知抛物线 C1的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,且过点(2,4) ,圆 C2: x2+y24x+30, 过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P, Q, M, N, 则|PN|+9|QM| 的最小值为 42 【分析】设抛物线的标准方程,将点代入抛物线方程,求得抛物线方程,由抛物线的焦 点弦性质, 求得+, 根据抛物线的性质及基本不等式, 即可求得答案 【解答】解:设抛物线的方程:y22px(p0) , 则 162p2,则 2p8, 抛物线的标准方程:y28x,焦点坐标 F(2,0) ,准线

27、方程为 x2, 圆 C2:x2+y24x+30 的圆心为(2,0) ,半径为 1, 由直线 PQ 过抛物线的焦点,可设 P(1,) ,Q(2,+) , 由 ,可得+, 圆 C2: (x2)2+y21 圆心为(2,0) ,半径 1, |PN|+9|QM|PF|+1+9(|QF|+1) |PF|+9|QF|+102(|PF|+9|QF|) (+)+10 2(10+)+102(10+2)+1042, 第 15 页(共 21 页) 可得|PN|+9|QM|的最小值为 42, 故答案为:42 【点评】本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,抛物线的焦点弦的性 质及基本不等式的应用,考查转化思想

28、,属于中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,满分小题,满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表 示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主) (1)根据茎叶图,帮助这位同学说明这 30 位亲属的饮食习惯 (2)根据以上数据完成如下 22 列联表 主食蔬菜 主食肉类 总计 50 岁以下 50 岁以上 总计 (3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?

29、独立性检验的临界值表 P(k2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:K2,其中 na+b+c+d 第 16 页(共 21 页) 【分析】 (1)由茎叶得出 30 位亲属中的饮食习惯; (2)填写 22 列联表即可; (3)计算 K2的观测值,对照临界值得出结论 【解答】解: (1)由茎叶图可知,30 位亲属中 50 岁以上的人饮食多以蔬菜为主, 50 岁以下的人饮食多以肉类为主;(4 分) (2)填写 22 列联表如下所示: 主食蔬菜 主食肉类

30、总计 50 岁以下 4 8 12 50 岁以上 16 2 18 总计 20 10 30 (8 分) (3)由题意,随机变量 K2的观测值为 ; 故有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关(12 分) 【点评】本题考查了茎叶图与独立性检验的应用问题,是基础题 18 (12 分)已知命题 p:对xR,不等式 x22x+m0 恒成立;命题 q:方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆若p 为真,且 pq 为真,求实数 m 的取值范围 【分析】复合命题的真假可得:若p 为真,且 pq 为真,则 p 为假命题,q 为真命题, 由题意有 m1 且 0m2,即实数 m 的取值范围为:0m1 【解答】解:由

31、p 为真,则 p 为假命题, 又 pq 为真,由复合命题的真假可得:q 为真命题, 当 p 为真时:44m0,解得:m1, 第 17 页(共 21 页) 又 p 为假:则实数 m 的取值范围为:m1, 当 q 为真时:椭圆的焦点在 y 轴上,则 0m2, 结合得: 当p 为真,且 pq 为真,可得实数 m 的取值范围为:0m1 【点评】本题考查了复合命题的真假及椭圆的定义,属简单题 19 (12 分)为了解某地区某种农产品的年产量 x(单位:吨)对价格 y(单位:千元/吨) 的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如表: x 1 2 3 4 5 y 8 6 5 4 2 已知 x 和 y 具有

32、线性相关关系 (1)求 , ; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程; (3)若年产量为 4.5 吨,试预测该农产品的价格 附:本题参考公式与参考数据: , 【分析】 (1)由已知图表直接求得 , ; (2)由已知公式求得 ,再由线性回归方程恒过样本中心点求得 ,则回归方程可求; (3)在线性回归方程中,取 x4.5 求得 y 值得答案 【解答】解: (1)计算可得, (2), 线性回归直线过() , 故 y 关于 x 的线性回归方程是; (3)当 x4.5 时,(千元/吨) 第 18 页(共 21 页) 该农产品的价格为 2.9 千元/吨 【点评】本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,

33、是基础题 20 (12 分)某校高二期中考试后,教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析,从男、女 生中各随机抽取 100 名学生,分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图,如图 所示 (1)若所得分数大于等于 80 分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人? (2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人,从这 5 人中任意任取 2 人, 求至少有1名男生的概 率 【分析】 (1)由频率分布直方图能求出男、女生优秀人数 (2)先求出样本容量与总体中的个体数的比,再求出样本中包含男生人数和女生人数, 设两名男生为 A1,A2,三名女生为 B1,B2,B3从 5 人中任意选取 2

34、人,利用列举法能 求出至少有 1 名男生的概率 【解答】解: (1)由题可得,男生优秀人数为 100(0.01+0.02)1030 人, 女生优秀人数为 100(0.015+0.03)1045 人(4 分) (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是, 所以样本中包含男生人数为人,女生人数为人(6 分) 设两名男生为 A1,A2,三名女生为 B1,B2,B3 则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为: A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,B1,B2, B1,B3,B2,B3,共 10 个, 记事件 C: “选取的 2 人中至少有一名男生”

35、 , 第 19 页(共 21 页) 则事件 C 包含的基本事件有: A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3共 7 个 所以至少有 1 名男生的概率(12 分) 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,考查列举法、古典概型等 基础知识,考查运算求解能力,是基础题 21 (12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:的离心率为,椭圆短 轴上的一个顶点为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(1,) ,动直线 ykx2 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若直线 AP,BP 的斜率均存在,求证:直线 AP,OP,BP 的斜率依次成等差

36、数列 【分析】 (1) 利用椭圆的离心率以及椭圆短轴上的一个顶点为, 求解椭圆方程 (2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由,利用韦达定理求解直线的斜 率,然后推出 kAP+kBP2kOP,得到结果即可 【解答】解: (1)由,解得 a2, 则椭圆 C 的方程;(5 分) (2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由, 得(3+4k2)x216kx+40,由0,有, 则, 第 20 页(共 21 页) , 则 kAP+kBP2kOP, 故直线 AP,OP,BP 的斜率成等差数列(12 分) 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用椭圆方程的求法,考查转化思想以及计算

37、能力 22 (12 分)设函数 f(x)x2ex (1)求曲线 f(x)在点(1,e)处的切线方程; (2)若 f(x)ax 对 x(,0)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求整数 n 的值,使函数 F(x)f(x)在区间(n1,n)上有零点 【分析】 (1)求出原函数的导函数,求得 f(1) ,再由直线方程的点斜式求曲线 f(x) 在点(1,e)处的切线方程; (2)把 f(x)ax,对 x(,0)恒成立,转化为对 x(,0) 恒成立设 g(x)xex,g(x)(x+1)ex,利用导数求其最小值,即可求得实数 a 的取值范围; (3)令 F(x)0,得,当 x0 时,不合题意,可知 F

38、(x)的零点只能在(0, +)上,利用导数研究其单调性,再由函数零点的判定求得答案 【解答】解: (1)f(x)(x2+2x)ex, f(1)3e, 所求切线方程为 ye3e(x1) ,即 y3ex2e; (2)f(x)ax,对 x(,0)恒成立,对 x(,0)恒 成立 设 g(x)xex,g(x)(x+1)ex, 令 g(x)0,得 x1,令 g(x)0 得 x1, g(x)在(,1)上递减,在(1,0)上递增, , ; (3)令 F(x)0,得,当 x0 时, 第 21 页(共 21 页) F(x)的零点只能在(0,+)上, 在(0,+)上大于 0 恒成立,函数 F(x)在(0,+) 上递增 F(x)在(0,+)上最多有一个零点 , 由零点存在的条件可得 F(x)在(0,+)上有一个零点 x0,且, n1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查函数零点的判定,考查化归与转化 思想方法,考查计算能力,是中档题