1、2018-2019 学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数 z2018i 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知命题 p： “如果 x3，那么 x5” ，命题 q： “如果 x5，那么 x3” ，则命题 q 是命题 p 的（ ） A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式 3 （5 分）有 50 件产品，编号从 1 到
2、50，现在从中抽取 5 件检验，用系统抽样确定所抽取 的第一个样本编号为 7，则第三个样本编号是（ ） A12 B17 C27 D37 4（5 分） 已知甲、 乙两组数据如茎叶图所示， 则甲组的中位数与乙组的平均数分别为 （ ） A32，32 B27，32 C39，34 D32，34 5 （5 分）在ABC 中， “ab”是“sinAsinB”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）天气预报“明天降雨的概率为 90%” ，这是指（ ） A明天该地区约 90%的地方会降雨，其余地方不降雨 B明天该地区约 90%的时间会降雨，其余时间不降
3、雨 C气象台的专家中，有 90%的人认为明天降雨，其余的专家认为不降雨 D明天该地区降雨的可能性为 90% 7 （5 分）用反证法证明命题“已知 a、b、c 为非零实数，且 a+b+c0，ab+bc+ca0，求 证 a、b、c 中至少有二个为正数”时，要做的假设是（ ） Aa、b、c 中至少有二个为负数 Ba、b、c 中至多有一个为负数 Ca、b、c 中至多有二个为正数 Da、b、c 中至多有二个为负数 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为 2，以半径为直径画出两个半 圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 9
4、 （5 分）五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指中国古代的五行 学说也是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表火，3 代表木，4 代表金，依此类推， 5 又属土，6 属水，减去 5 即得如图，这是一个把 k 进制数 a（共有 N 位）化为 十进制数 b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1203，4，则输 出的 b（ ） A178 B386 C890 D14 303 10 （5 分）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中， 第 3 页（共 21 页） 利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A（3，4） ，
5、且法向量为 （1，2）的 直线（点法式）方程为：1（x+3）+（2）（y4）0，化简得 x2y+110类 比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点 A（1，2，3） ，且法向量为 （1，2， 1）的平面的方程为（ ） Ax+2yz20 Bx2yz20 Cx+2y+z20 Dx+2y+z+20 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 E：1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sinMF2F1，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ） Ay Byx Cy Dy2x 12 （5 分）已知函数 f（x） （xR）满足 f（1）1，且 f（x）的导数 f（x），则不等 式 f（x2）的解
6、集为（ ） A （，1） B （1，+） C （，11，+） D （1，1） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知，则 ，|z| 14 （5 分）函数 f（x）4x+4 的单调递增区间为 15 （5 分）观察下列各式：m+n1，m2+n23，m3+n34，m4+n47，m5+n511， 则 m7+n7 16 （5 分）如图，已知抛物线 C1的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点（2，4） ，圆 C2： x2+y24x+30， 过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P， Q， M， N， 则|PN|+9
7、|QM| 的最小值为 第 4 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表 示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食以肉类为主） （1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这 30 位亲属的饮食习惯 （2）根据以上数据完成如下 22 列联表 主食蔬菜 主食肉类 总计 50 岁以下 50 岁以上 总计 （3）能否有 99%的把
8、握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？ 独立性检验的临界值表 P（k2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 18 （12 分）已知命题 p：对xR，不等式 x22x+m0 恒成立；命题 q：方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆若p 为真，且 pq 为真，求实数 m 的取值范围 19 （12 分）为了解某地区某种农产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨） 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x
9、 1 2 3 4 5 第 5 页（共 21 页） y 8 6 5 4 2 已知 x 和 y 具有线性相关关系 （1）求 ， ； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）若年产量为 4.5 吨，试预测该农产品的价格 附：本题参考公式与参考数据： ， 20 （12 分）某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女 生中各随机抽取 100 名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图 所示 （1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人
10、， 求至少有1名男生的概 率 21 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的离心率为，椭圆短 轴上的一个顶点为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 P（1，） ，动直线 ykx2 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，若直线 AP，BP 的斜率均存在，求证：直线 AP，OP，BP 的斜率依次成等差数列 第 6 页（共 21 页） 22 （12 分）设函数 f（x）x2ex （1）求曲线 f（x）在点（1，e）处的切线方程； （2）若 f（x）ax 对 x（，0）恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）求整数 n 的值，使函数 F（x）f（x）在区间（n1，n）上有零点 第 7 页（
11、共 21 页） 2018-2019 学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数 z2018i 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由已知复数得到 z 在复平面内对应点的坐标得答案 【解答】解：复数 z2018i 在复平面内对应
12、的点的坐标为（2018，1） ， 在第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2 （5 分）已知命题 p： “如果 x3，那么 x5” ，命题 q： “如果 x5，那么 x3” ，则命题 q 是命题 p 的（ ） A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式 【分析】根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若q，则p” ，判断即可 【解答】解：命题 p： “如果 x3，那么 x5” ， 命题 q： “如果 x5，那么 x3” ， 则命题 q 是命题 p 的逆否命题 故选：C 【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题的判断与应用问题，是基础题 3 （5 分）有 50
13、 件产品，编号从 1 到 50，现在从中抽取 5 件检验，用系统抽样确定所抽取 的第一个样本编号为 7，则第三个样本编号是（ ） A12 B17 C27 D37 【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行求解 【解答】解：样本间隔为 50510， 则第一个编号为 7， 则第三个样本编号是 7+21027， 故选：C 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出第一个编号是解决本题的关键 4（5 分） 已知甲、 乙两组数据如茎叶图所示， 则甲组的中位数与乙组的平均数分别为 （ ） A32，32 B27，32 C39，34 D32，34 【分析】根据茎叶图中
14、的数据，求出甲组数据的中位数和乙组数据的平均数即可 【解答】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为 27，32，39，它的中位数是 32； 乙组数据分别为 24，32，34，38，它的平均数为（24+32+34+38）32 故选：A 【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数和平均数的应用问题，是基础题 5 （5 分）在ABC 中， “ab”是“sinAsinB”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可 【解答】解：abABsinAsinB， sinAsinB2RsinA2RsinBab， ab
15、 是 sinAsinB 的充要条件 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关 键 6 （5 分）天气预报“明天降雨的概率为 90%” ，这是指（ ） A明天该地区约 90%的地方会降雨，其余地方不降雨 B明天该地区约 90%的时间会降雨，其余时间不降雨 C气象台的专家中，有 90%的人认为明天降雨，其余的专家认为不降雨 D明天该地区降雨的可能性为 90% 【分析】根据概率的意义得知，天气预报中“明天降雨的概率”是指“明天该地区降雨 的可能性” ，由此得出结论 【解答】解：根据概率的意义知， 天气预报中“明天降雨的概率为 90%” ， 第 9 页（共
16、 21 页） 是指“明天该地区降雨的可能性为 90%” 故选：D 【点评】本题考查了概率的意义是什么，重点是理解概率的意义与应用，是基础题目 7 （5 分）用反证法证明命题“已知 a、b、c 为非零实数，且 a+b+c0，ab+bc+ca0，求 证 a、b、c 中至少有二个为正数”时，要做的假设是（ ） Aa、b、c 中至少有二个为负数 Ba、b、c 中至多有一个为负数 Ca、b、c 中至多有二个为正数 Da、b、c 中至多有二个为负数 【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为： “a、b、 c 中至少有二个为负数” ，由此得出结论 【解答】解：用反证法证明某命题时
17、，应先假设命题的否定成立， 而： “a、b、c 中至少有二个为正数”的否定为： “a、b、c 中至少有二个为负数” 故选：A 【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结 论的反面，是解题的关键 8 （5 分）如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为 2，以半径为直径画出两个半 圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】计算大圆的面积与阴影部分的面积，求对应的面积比即可 【解答】解：由题意知，大圆的面积为 S224； 阴影部分的面积为 S2212， 第 10 页（共 21 页） 则所求的概率为 P 故选：C 【点评】本
18、题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 9 （5 分）五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指中国古代的五行 学说也是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表火，3 代表木，4 代表金，依此类推， 5 又属土，6 属水，减去 5 即得如图，这是一个把 k 进制数 a（共有 N 位）化为 十进制数 b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1203，4，则输 出的 b（ ） A178 B386 C890 D14 303 【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 b350+051+252+1 53178 的值，从而得解 【解答】解：
19、模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出：b350+051+2 52+153178 故选：A 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确写出每次循环 得到的 b，i 的值，分析出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题 第 11 页（共 21 页） 10 （5 分）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中， 利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A（3，4） ，且法向量为 （1，2）的 直线（点法式）方程为：1（x+3）+（2）（y4）0，化简得 x2y+110类 比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点 A（1，2，3） ，且法向量为
20、（1，2， 1）的平面的方程为（ ） Ax+2yz20 Bx2yz20 Cx+2y+z20 Dx+2y+z+20 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点 P（x，y，z） ，则（x 1，y2，z3） ，利用平面法向量为 （1，2，1） ，即可求得结论 【解答】解：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点 P（x，y，z） ，则 （x1，y2，z3） 平面法向量为 （1，2，1） ， （x1）2（y2）+1（z3）0 x+2yz20， 故选：A 【点评】类比推理的一般步骤是： （1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个
21、明确的命题（猜想） 由于平面向量与 空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向 量的性质解决空间内平面方程的求解 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 E：1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sinMF2F1，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ） Ay Byx Cy Dy2x 【分析】由条件 MF1MF2，sinMF2F1，列出关系式，从而可求渐近线方程 【解答】解：由题意，M 为双曲线左支上的点， 则|MF1|，|MF2|+2a， 第 12 页（共 21 页） sinMF2F1， 可得：ba， 双曲线 E 的渐近线方程为：yx 故选
22、：B 【点评】本题考查双曲线的定义及渐近线方程的求解，关键是找出几何量之间的关系， 考查数形结合思想，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x） （xR）满足 f（1）1，且 f（x）的导数 f（x），则不等 式 f（x2）的解集为（ ） A （，1） B （1，+） C （，11，+） D （1，1） 【分析】根据题意，设 g（x）f（x），对其求导分析可得函数 g（x）在 R 上为增 函数，由 f（1）的值计算可得 g（1）的值，将不等式变形分析可以转化为 g（x2）g（1） ， 由函数的单调性可得 x21，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，设 g（x）f（x）
23、，其导数 g（x）f（x）0， 则函数 g（x）在 R 上为增函数， 又由 f（1）1，则 g（1）f（1）， 第 13 页（共 21 页） 不等式 f（x2）f（x2）g（x2）g（1） ， 又由 g（x）在 R 上为增函数，则 x21， 解可得：1x1， 即不等式的解集为（1，1） ； 故选：D 【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数 g（x） ，并分 析函数 g（x）的单调性 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知，则 ，|z| 【分析】根据两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i
24、的幂运算性质求得 z，可得 以及 |z|的值 【解答】解：已知，则 + i，|z|， 故答案为 +i， 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，附属求 模，属于基础题 14 （5 分）函数 f（x）4x+4 的单调递增区间为 （，2） ， （2，+） 【分析】求出原函数的导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段， 再由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调区间 【解答】解：由 f（x）x34x+4，得 f（x）x24， 由 f（x）x240，得 x2 或 x2 当 x（，2）（2，+）时，f（x）0， 当 x（2，2）时，f（x）0 f（x）
25、的单调递增区间为（，2） ， （2，+） 故答案为： （，2） ， （2，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，关键是明确函数的单调性与导函数符号 间的关系，是中档题 15 （5 分）观察下列各式：m+n1，m2+n23，m3+n34，m4+n47，m5+n511， 则 m7+n7 29 第 14 页（共 21 页） 【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之 和，问题得以解决 【解答】解：1+34，3+47，4+711，7+1118，11+1829， 可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和， m7+n729， 故答案为：29 【
26、点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到其数字的变化规律，属于基础题 16 （5 分）如图，已知抛物线 C1的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点（2，4） ，圆 C2： x2+y24x+30， 过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P， Q， M， N， 则|PN|+9|QM| 的最小值为 42 【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦 点弦性质， 求得+， 根据抛物线的性质及基本不等式， 即可求得答案 【解答】解：设抛物线的方程：y22px（p0） ， 则 162p2，则 2p8， 抛物线的标准方程：y28x，焦点坐标 F（2，0） ，准线
27、方程为 x2， 圆 C2：x2+y24x+30 的圆心为（2，0） ，半径为 1， 由直线 PQ 过抛物线的焦点，可设 P（1，） ，Q（2，+） ， 由 ，可得+， 圆 C2： （x2）2+y21 圆心为（2，0） ，半径 1， |PN|+9|QM|PF|+1+9（|QF|+1） |PF|+9|QF|+102（|PF|+9|QF|） （+）+10 2（10+）+102（10+2）+1042， 第 15 页（共 21 页） 可得|PN|+9|QM|的最小值为 42， 故答案为：42 【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性 质及基本不等式的应用，考查转化思想
28、，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表 示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食以肉类为主） （1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这 30 位亲属的饮食习惯 （2）根据以上数据完成如下 22 列联表 主食蔬菜 主食肉类 总计 50 岁以下 50 岁以上 总计 （3）能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
29、独立性检验的临界值表 P（k2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （1）由茎叶得出 30 位亲属中的饮食习惯； （2）填写 22 列联表即可； （3）计算 K2的观测值，对照临界值得出结论 【解答】解： （1）由茎叶图可知，30 位亲属中 50 岁以上的人饮食多以蔬菜为主， 50 岁以下的人饮食多以肉类为主；（4 分） （2）填写 22 列联表如下所示： 主食蔬菜 主食肉类
30、总计 50 岁以下 4 8 12 50 岁以上 16 2 18 总计 20 10 30 （8 分） （3）由题意，随机变量 K2的观测值为 ； 故有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关（12 分） 【点评】本题考查了茎叶图与独立性检验的应用问题，是基础题 18 （12 分）已知命题 p：对xR，不等式 x22x+m0 恒成立；命题 q：方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆若p 为真，且 pq 为真，求实数 m 的取值范围 【分析】复合命题的真假可得：若p 为真，且 pq 为真，则 p 为假命题，q 为真命题， 由题意有 m1 且 0m2，即实数 m 的取值范围为：0m1 【解答】解：由
31、p 为真，则 p 为假命题， 又 pq 为真，由复合命题的真假可得：q 为真命题， 当 p 为真时：44m0，解得：m1， 第 17 页（共 21 页） 又 p 为假：则实数 m 的取值范围为：m1， 当 q 为真时：椭圆的焦点在 y 轴上，则 0m2， 结合得： 当p 为真，且 pq 为真，可得实数 m 的取值范围为：0m1 【点评】本题考查了复合命题的真假及椭圆的定义，属简单题 19 （12 分）为了解某地区某种农产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨） 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 y 8 6 5 4 2 已知 x 和 y 具有
32、线性相关关系 （1）求 ， ； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）若年产量为 4.5 吨，试预测该农产品的价格 附：本题参考公式与参考数据： ， 【分析】 （1）由已知图表直接求得 ， ； （2）由已知公式求得 ，再由线性回归方程恒过样本中心点求得 ，则回归方程可求； （3）在线性回归方程中，取 x4.5 求得 y 值得答案 【解答】解： （1）计算可得， （2）， 线性回归直线过（） ， 故 y 关于 x 的线性回归方程是； （3）当 x4.5 时，（千元/吨） 第 18 页（共 21 页） 该农产品的价格为 2.9 千元/吨 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，
33、是基础题 20 （12 分）某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女 生中各随机抽取 100 名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图 所示 （1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人， 求至少有1名男生的概 率 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出男、女生优秀人数 （2）先求出样本容量与总体中的个体数的比，再求出样本中包含男生人数和女生人数， 设两名男生为 A1，A2，三名女生为 B1，B2，B3从 5 人中任意选取 2
34、人，利用列举法能 求出至少有 1 名男生的概率 【解答】解： （1）由题可得，男生优秀人数为 100（0.01+0.02）1030 人， 女生优秀人数为 100（0.015+0.03）1045 人（4 分） （2）因为样本容量与总体中的个体数的比是， 所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人（6 分） 设两名男生为 A1，A2，三名女生为 B1，B2，B3 则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为： A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，B1，B2， B1，B3，B2，B3，共 10 个， 记事件 C： “选取的 2 人中至少有一名男生”
35、 ， 第 19 页（共 21 页） 则事件 C 包含的基本事件有： A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3共 7 个 所以至少有 1 名男生的概率（12 分） 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 21 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的离心率为，椭圆短 轴上的一个顶点为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 P（1，） ，动直线 ykx2 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，若直线 AP，BP 的斜率均存在，求证：直线 AP，OP，BP 的斜率依次成等差
36、数列 【分析】 （1） 利用椭圆的离心率以及椭圆短轴上的一个顶点为， 求解椭圆方程 （2）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由，利用韦达定理求解直线的斜 率，然后推出 kAP+kBP2kOP，得到结果即可 【解答】解： （1）由，解得 a2， 则椭圆 C 的方程；（5 分） （2）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由， 得（3+4k2）x216kx+40，由0，有， 则， 第 20 页（共 21 页） ， 则 kAP+kBP2kOP， 故直线 AP，OP，BP 的斜率成等差数列（12 分） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算
37、能力 22 （12 分）设函数 f（x）x2ex （1）求曲线 f（x）在点（1，e）处的切线方程； （2）若 f（x）ax 对 x（，0）恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）求整数 n 的值，使函数 F（x）f（x）在区间（n1，n）上有零点 【分析】 （1）求出原函数的导函数，求得 f（1） ，再由直线方程的点斜式求曲线 f（x） 在点（1，e）处的切线方程； （2）把 f（x）ax，对 x（，0）恒成立，转化为对 x（，0） 恒成立设 g（x）xex，g（x）（x+1）ex，利用导数求其最小值，即可求得实数 a 的取值范围； （3）令 F（x）0，得，当 x0 时，不合题意，可知 F
38、（x）的零点只能在（0， +）上，利用导数研究其单调性，再由函数零点的判定求得答案 【解答】解： （1）f（x）（x2+2x）ex， f（1）3e， 所求切线方程为 ye3e（x1） ，即 y3ex2e； （2）f（x）ax，对 x（，0）恒成立，对 x（，0）恒 成立 设 g（x）xex，g（x）（x+1）ex， 令 g（x）0，得 x1，令 g（x）0 得 x1， g（x）在（，1）上递减，在（1，0）上递增， ， ； （3）令 F（x）0，得，当 x0 时， 第 21 页（共 21 页） F（x）的零点只能在（0，+）上， 在（0，+）上大于 0 恒成立，函数 F（x）在（0，+） 上递增 F（x）在（0，+）上最多有一个零点 ， 由零点存在的条件可得 F（x）在（0，+）上有一个零点 x0，且， n1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查化归与转化 思想方法，考查计算能力，是中档题