1、全 等 三 角 形一.选 择题1. （2 018遂宁 4 分） 下 列说法 正确 的是 （ ） A有 两条 边和 一个 角对 应 相等的 两个 三角 形全 等 B正 方形 既是 轴对 称图 形 又是中 心对 称图 形 C矩 形的 对角 线互 相垂 直 平分 D六 边形 的内 角和 是 540【分析 】直 接利 用全 等三 角形的 判定 以及 矩形 、菱 形的性 质和 多边 形内 角和 定理【解答 】 解 ： A.有两 条边 和一个 角对 应相 等的 两个 三角形 全等 ， 错 误， 必须 是两边 及其 夹角 分别对 应相 等的 两个 三角 形全等 ；B.正方 形既 是轴 对称 图形 又是中 心
2、对 称图 形， 正确 ； C.矩形 的对 角线 相等 且互 相平分 ，故 此选 项错 误； D.六边 形的 内角 和 是 720，故 此选 项错 误 故选： B【点评 】 此题 主要考 查了 全等三 角形 的判 定以 及矩 形、 菱形 的性 质和多 边形 内角和 定理 ， 正 确把握 相关 性质 是解 题关 键2. （2 018贵州 安顺 3 分 ） 如 图， 点， 分别 在线 段 AB， AC 上， CD 与 BE 相交于 点， 已知AB=AC，现添 加以 下哪 个条 件仍 不 能 判 定 AB E ACD （）A. B=C B.AD=AE C. BD=CE D. BE=CD【答案 】D【解
3、析 】 分 析： 欲使 ABEAC D， 已知 AB=AC， 可 根据全 等三 角形 判定 定 理 AAS、 SAS、 ASA添加条 件， 逐一 证明 即可 详解： AB =AC， A 为 公共角， A.如添 加 B= C， 利用 ASA 即 可证 明ABE AC D； B.如 添 AD=AE， 利用 SAS 即可证 明ABEA CD；C.如 添 BD=CE， 等量 关系 可得 AD=AE，利 用 SAS 即 可证明 AB E ACD ；D.如 添 BE=CD， 因为 SSA， 不能证 明 ABEA CD， 所以此 选项 不能 作为 添加 的条件 故选 D 点睛 ： 此 题主 要考查 学生 对
4、全等 三角 形判 定定 理的 理解和 掌握 ， 此类添 加条 件题 ，要 求学 生 应熟练 掌握 全等 三角 形的 判定定 理3. （ 2018黑 龙江 龙东 地 区 3 分） 如图 ， 四 边 形 ABCD 中， AB=AD， AC=5， D AB=DCB= 90， 则四边 形 ABCD 的面 积为 （ ）A15 B12. 5 C 14.5 D17【分析 】 过 A 作 AEA C， 交 CB 的 延长 线于 E， 判定 ACD A EB， 即可 得到 AC E 是 等腰直角三 角形 ，四 边 形 ABCD 的面积 与 ACE 的面 积相 等，根 据 SACE = 55=12.5，即 可1得
5、 出结论 【解答 】解 ：如 图， 过 A 作 AEAC ，交 CB 的 延长 线于 E，DA B= DCB=90，D+ AB C=180= ABE+ABC ，D= AB E， 又 DAB=CA E=90，CA D= EAB， 又AD =AB，AC D AEB ，AC=A E， 即A CE 是等 腰 直角三 角形 ，四边 形 ABCD 的面 积与 ACE 的 面积 相等 ，S ACE = 55=12.5，2四边 形 ABCD 的面 积为 12.5， 故选： B【点评 】 本 题主 要考 查了 全等三 角形 的判 定与 性质 ， 全等 三角 形的 判定 是结 合全等 三角 形的 性质证 明线 段
6、和 角相 等的 重要工 具 在 判定三 角形 全等时 ， 关键 是选择 恰当 的判定 条件 在应用全 等三 角形 的判 定时 ， 要注 意三 角形 间的 公共 边和公 共角 ， 必 要时 添加 适当辅 助线 构造三角形 4.（ 2018贵 州黔 西南 州 4 分 ） 下 列各 图中 A.B.c 为三角 形的 边长 ， 则甲 、 乙、 丙三 个三 角 形和左 侧 ABC 全等 的是 （ ）A甲 和乙 B乙 和丙 C甲 和丙 D只 有丙【分析 】根 据三 角形 全等 的判定 方法 得出 乙和 丙与 ABC 全等 ，甲 与 ABC 不 全等【解答 】解 ：乙 和 ABC 全等； 理由 如下 ：在AB
7、 C 和 图乙 的三 角形 中，满 足三 角形 全等 的判 定方法 ：SA S， 所以乙 和 ABC 全等 ；在AB C 和 图丙 的三 角形 中，满 足三 角形 全等 的判 定方法 ：AA S， 所以丙 和 ABC 全等 ；不能判 定甲 与 ABC 全等 ； 故选： B【点评 】 本 题考 查了 三角 形全等 的判 定方 法， 判定 两个三 角形 全等 的一 般方 法有： SSS、 SAS、 ASA.AAS、HL 注意 ： AAA.SSA 不 能判定 两个三 角形 全等，判 定两个 三角 形全 等时，必 须有 边的参 与， 若有 两边 一角 对应相 等时 ，角 必须 是两 边的夹 角5（2
8、018 年 湖南 省娄 底 市）如 图， AB C 中，A B=AC，AD B C 于 D 点，D E AB 于 点 E，BFAC 于点 F，DE =3cm， 则 BF= 6 cm【分析 】 先利 用 HL 证明 RtADB Rt ADC ， 得出 SA BC=2SABD =2 ABDE=ABDE=3AB，12又 SABC = ACBF， 将 AC=AB 代入 即可求 出 BF12【解答 】解 ： 在 RtADB 与 RtADC 中， ，ABDRt ADBRt ADC ，S ABC =2SABD =2 ABDE=ABDE=3AB，12S ABC = ACBF， ACBF=3AB，12AC=A
9、B， BF=3，BF=6 故答案 为 6【点评 】 本 题考 查了 全等 三角形 的判 定与 性质 ， 等 腰三角 形的 性质 ， 三 角形 的面积 ， 利 用面 积公式 得出 等式 是解 题的 关键6. （2 018遂宁 4 分） 下 列说法 正确 的是 （ ） A有 两条 边和 一个 角对 应 相等的 两个 三角 形全 等 B正 方形 既是 轴对 称图 形 又是中 心对 称图 形 C矩 形的 对角 线互 相垂 直 平分 D六 边形 的内 角和 是 540【分析 】直 接利 用全 等三 角形的 判定 以及 矩形 、菱 形的性 质和 多边 形内 角和 定理【解答 】 解 ： A.有两 条边 和
10、一个 角对 应相 等的 两个 三角形 全等 ， 错 误， 必须 是两边 及其 夹角 分别对 应相 等的 两个 三角 形全等 ；B.正方 形既 是轴 对称 图形 又是中 心对 称图 形， 正确 ； C.矩形 的对 角线 相等 且互 相平分 ，故 此选 项错 误； D.六边 形的 内角 和 是 720，故 此选 项错 误 故选： B【点评 】 此题 主要考 查了 全等三 角形 的判 定以 及矩 形、 菱形 的性 质和多 边形 内角和 定理 ， 正 确把握 相关 性质 是解 题关 键二.填 空题1. （2 018江苏 宿迁 3 分 ）如图 ，在 平面 直角 坐标 系中， 反比 例函 数 （x 0 ）
11、与正2y比 例函 数 y=kx、 （ k1） 的图象 分别 交于 点 A.B， 若AO B4 5，则 AO B 的面y积 是.【答案 】2【分析 】 作 BDx 轴 ， ACy 轴 ， OHAB （如 图） ， 设 A（ x1， y1） ， B（x 2 ， y2） ， 根据反 比例函 数 k 的 几何 意义 得 x1y1=x2y2=2； 将 反比 例函 数分 别与 y=kx， y=联 立， 解得 x1= ， x2=k， 从而 得 x1x2=2， 所以 y1=x2， y2=x1， 根 据 SAS 得 ACO BD O， 由全 等三 角形性 质2得 AO=BO， AOC= BO D， 由垂 直定
12、义 和已知 条件 得 AOC=BO D=AOH =B OH=22.5， 根 据 AAS 得 ACO B DO AH O BHO， 根据 三角 形面 积公 式 得 SABO =SAHO +SBHO =SACO+S BDO=x1y1+x2y2=2+2=2.【详解 】如 图： 作 BDx 轴，AC y 轴， OH AB，设 A（ x1，y 1） ，B （x 2 ， y2） ，A.B 在反 比例 函数 上， x 1y1=x2y2=2， xk ，解 得： x1= ，2ykk又 ，解得 ：x 2= ，x 1x2= =2， y 1=x2， y2=x1， 即 yk k2OC=OD， AC=BD，BD x 轴
13、，AC y 轴， ACO= BD O=90， ACO BDO（SAS ） ，AO=B O， AOC =B OD， 又 AOB45 ，OHA B， AOC=BO D= AOH=BOH= 22.5，AC O BDO AHO BHO ，S ABO =SAHO +S BHO=SACO +SBD O=x1y1+ x2y2=2+2=2， 故答案 为： 2.【点睛 】 本题 考查了 反比 例函数 系 数 k 的 几何 意义 ， 反 比例 函数 与一次 函数 的交点 问题 ， 全 等三角 形的 判定 与性 质等 ，正确 添加 辅助 线是 解题 的关键 .2. （2 018达州 3 分） 如 图，Rt AB C
14、 中， C=9 0，AC =2， BC=5， 点 D 是 BC 边 上一 点且CD=1， 点 P 是 线段 DB 上一 动点， 连接 AP，以 AP 为 斜边在 AP 的下 方作 等腰 RtAOP 当 P从点 D 出发 运动 至 点 B 停 止时， 点 O 的运 动路 径长 为 【分析 】 过 O 点 作 OE CA 于 E， OFBC 于 F， 连接 CO， 如图， 易得 四边 形 OECF 为矩 形， 由AO P 为 等腰 直角三 角形 得到 OA=OP， AOP= 90，则可 证明 OA E OPF ，所 以 AE=PF，OE=OF，根 据角 平分 线的 性 质定理 的逆 定理 得 到
15、CO 平 分AC P， 从而 可判 断 当 P 从点 D 出 发运动至 点 B 停止 时， 点 O 的运动 路径 为一 条线 段， 接着证 明 CE= （AC+CP ） ， 然 后分别 计算12P 点在 D 点 和 B 点时 OC 的 长， 从而 计算 它们 的差 即 可得 到 P 从 点 D 出发 运动 至点 B 停止 时， 点 O 的 运动 路径 长【解答 】解 ： 过 O 点 作 OECA 于 E， OF BC 于 F， 连接 CO， 如图 ，AO P 为 等腰 直角 三角 形，OA=O P， AOP =90， 易得四 边 形 OECF 为 矩形 ，EO F=90， CE=CF，AO E
16、= POF，OA E OPF ，AE=P F，O E=OF，CO 平分 ACP ，当 P 从 点 D 出 发运 动至 点 B 停 止时 ， 点 O 的 运动 路径为 一条 线段 ，AE=P F，即 ACCE= CF CP， 而 CE=CF，CE= （AC+ CP） ，12OC= CE= （AC+C P） ，当 AC=2，C P=CD=1 时 ， OC= （2+ 1）= ， 3当 AC=2，C P=CB=5 时 ， OC= （2+ 5）= ，7当 P 从 点 D 出 发运 动至 点 B 停 止时 ， 点 O 的 运动 路径长= =2 7232故答案 为 2 【点评 】 本题 考查了 轨迹 ： 灵
17、 活运 用几 何性质 确定 图形运 动过 程中 不变 的几 何量 ， 从 而判 定 轨迹的 几何 特征 ，然 后进 行几何 计算 也 考查 了全 等三角 形的 判定 与性 质3. （2 018湖州 4 分） 在 每个小 正方 形的 边长 为 1 的网格 图形 中， 每个 小正 方形的 顶点 称 为格点 以 顶点 都是 格点 的正方 形 ABCD 的 边为 斜边 ，向内 作四 个全 等的 直角 三角形 ，使 四 个直角 顶 点 E， F， G， H 都 是格点 ， 且 四边 形 EFGH 为 正方形 ， 我 们把 这样 的图 形称为 格点 弦 图 例 如， 在如 图 1 所示 的格点 弦图 中，
18、 正方 形 ABCD 的边 长为 ， 此 时正 方形 EFGH 的 而 65积为 5 问： 当格 点弦 图中 的正方 形 ABCD 的边 长为 时 ， 正方 形 EFGH 的 面积 的所 有可能 值是 13 或 49 （ 不包 括 5） 【分析 】 当 DG= ， CG=2 时， 满足 DG2+CG2=CD2， 此时 HG= ， 可 得正 方 形 EFGH 的13 13面 积为 13 当 DG=8，C G=1 时，满 足 DG2+CG2=CD2，此 时 HG=7， 可得 正方 形 EFGH 的面 积为 49【解答 】 解 ： 当 DG= ， CG=2 时， 满足 DG2+CG2=CD2， 此
19、时 HG= ， 可得 正方 形 13 13EFGH的面积 为 13当 DG=8，C G=1 时， 满足 DG2+CG2=CD2， 此 时 HG=7， 可 得正方 形 EFGH 的面 积为 49 故答案 为 13 或 49【点评 】 本 题考 查作 图 应用与 设计 、 全 等三 角形 的判定 、 勾 股定 理等 知识 ， 解题 的关 键是 学会利 用数 形结 合的 思想 解决问 题， 属于 中考 填空 题中的 压轴 题4. （2 018金华 、 丽 水4 分） 如 图， ABC 的 两条 高 AD ， BE相交于 点 F ， 请 添加 一个 条件 ， 使 得A DC BE C（不 添加其他字
20、母及 辅助 线） ，你 添 加的条 件是 【解析】 【解答 】从题 中不 难得出 ADC=BEC =90，而且 ACD=BCE （公共 角） ，则 只需 要加一 个对 应边 相等 的条 件即可 ，所 以从 “CA=CB， CE=CD，BE= AD”中添 加一 个即可 。 故答案 为： CA=CB，C E=CD（答案 不唯 一） 。【分析】 判断 两个三 角形 全等，判 定定 理有“ AAS， SSS，SA S，AS A，HL ”， 只需要添 加一 个条件 ，那 么就 要从 题目 中找出 其他 两个 条件 ， 再 根据判 定定 理， 缺什 么就 添什么 条件 。5. （2 018达州 3 分）
21、如 图，Rt AB C 中， C=9 0，AC =2， BC=5， 点 D 是 BC 边 上一 点且 CD=1， 点 P 是 线段 DB 上一 动点， 连接 AP，以 AP 为 斜边在 AP 的下 方作 等腰 RtAOP 当 P 从点 D 出发 运动 至 点 B 停 止时， 点 O 的运 动路 径长 为 【分析 】 过 O 点 作 OE CA 于 E， OFBC 于 F， 连接 CO， 如图， 易得 四边 形 OECF 为矩 形， 由AO P 为 等腰 直角三 角形 得到 OA=OP， AOP= 90，则可 证明 OA E OPF ，所 以 AE=PF，OE=OF，根 据角 平分 线的 性 质
22、定理 的逆 定理 得 到 CO 平 分AC P， 从而 可判 断 当 P 从点 D 出 发运动至 点 B 停止 时， 点 O 的运动 路径 为一 条线 段， 接着证 明 CE= （AC+CP ） ， 然 后分别 计算12P 点在 D 点 和 B 点时 OC 的 长， 从而 计算 它们 的差 即 可得 到 P 从 点 D 出发 运动 至点 B 停止 时， 点 O 的 运动 路径 长【解答 】解 ： 过 O 点 作 OECA 于 E， OF BC 于 F， 连接 CO， 如图 ，AO P 为 等腰 直角 三角 形，OA=O P， AOP =90， 易得四 边 形 OECF 为 矩形 ，EO F=9
23、0， CE=CF，AO E= POF，OA E OPF ，AE=P F，O E=OF，CO 平分 ACP ，当 P 从 点 D 出 发运 动至 点 B 停 止时 ， 点 O 的 运动 路径为 一条 线段 ，AE=P F，即 ACCE= CF CP， 而 CE=CF，CE= （AC+ CP） ，12OC= CE= （AC+C P） ，当 AC=2，C P=CD=1 时 ， OC= （2+ 1）= ， 3当 AC=2，C P=CB=5 时 ， OC= （2+ 5）= ， 当 P 从 点 D 出 发运 动至 点 B 停 止时 ， 点 7O 的 运动 路径长 = =2 7232【点评 】 本题 考查了
24、 轨迹 ： 灵 活运 用几 何性质 确定 图形运 动过 程中 不变 的几 何量 ， 从 而判 定 轨迹的 几何 特征 ，然 后进 行几何 计算 也 考查 了全 等三角 形的 判定 与性 质三.解 答题1. （2 018湖 北江 汉油 田 、潜江 市、 天门 市、 仙桃 市1 0 分 ） 问题 ： 如图 ，在 RtA BC 中，AB =AC，D 为 BC 边 上 一点（ 不与 点 B，C 重合 ） ，将线 段 AD 绕点 A 逆时 针 旋转 90得 到 AE，连 接 EC， 则线 段 BC， DC，E C 之 间满 足的 等量 关 系式为 BC=DC+EC ； 探索： 如 图 ，在 Rt ABC
25、 与 RtAD E 中 ， AB=AC， AD=AE， 将 ADE 绕点 A 旋 转， 使 点 D 落 在 BC 边上 ，试 探索 线段 AD，BD ，CD 之间 满足 的等 量关系 ，并 证明 你的 结论 ； 应用： 如 图 ， 在 四边 形 ABCD 中 ， ABC=AC B= ADC=45 若 BD=9， CD=3， 求 AD 的长【分析 】 （1 ）证 明 BAD CAE ，根 据全 等三 角形 的 性质解 答；（2） 连接 CE， 根 据全 等三 角形的 性质 得 到 BD=CE， ACE= B， 得到 DCE =90， 根据 勾股 定理计 算即 可；（3） 作 AEAD ，使 AE
26、=AD，连接 CE， DE， 证明 BA DC AE， 得到 BD=CE=9，根据 勾股 定理计算 即可 【解答 】解 ： （1 ）BC =DC+EC， 理由如 下： BAC= DAE=90，BA C DAC =D AE DAC ，即 BAD =C AE， 在BA D 和 CA E 中 ， ，BBA D CAE ，BD=C E，BC=B D+CD=EC+CD， 故答案 为： BC=DC+EC；（2）B D2+CD2=2AD2， 理由如 下： 连 接 CE， 由（1 ）得 ，B AD CAE，BD=C E， ACE =B ，DC E=90，CE 2+CD2=ED2，在 RtADE 中， AD2+
27、AE2=ED2，又 AD=AE，BD 2+CD2=2AD2；（3） 作 AEAD ，使 AE=AD，连 接 CE，DE ，BA C+ CAD=DA E+ CAD， 即BA D= CAD，在BA D 与 CA E 中 ，BBA D CAE （SA S） ，BD=C E=9，AD C=45， ED A=45，ED C=90，DE= =6 ，2EDA E=90，AD=A E= DE=62【点评 】 本 题考 查的 是全 等三角 形的 判定 和性 质、 勾股定 理、 以及 旋转 变换 的性质 ， 掌 握全等三角 形的 判定 定理 和性 质定理 是解 题的 关键2. （20 18湖 南怀 化 10 分）
28、 已 知： 如 图， 点 A F， E C 在 同一 直线 上， ABDC， AB=CD，B= D（1） 求证 ：A BE CDF；（2） 若点 E，G 分别 为线 段 FC，FD 的中 点， 连接 EG，且 EG=5，求 AB 的长 【分析 】 （1 ）根 据平 行线 的性质 得出 A= C ，进 而 利用全 等三 角形 的判 定证 明即可 ；（2） 利用 全等 三角 形的 性 质和中 点的 性质 解答 即可 【解答 】证 明： （1） ABDC，A= C ，在AB E 与 CD F 中 ， CAB E CDF （AS A） ；（2） 点 E，G 分别 为线 段 FC，FD 的中 点，ED=
29、 CD，1EG=5 ，CD=1 0，AB E CDF ，AB=C D=10【点评 】此 题考 查全 等三 角形的 判定 和性 质， 关键 是根据 平行 线的 性质 得出 A= C3.（20 18江苏 宿迁 8 分 ）如图 ，在 AB CD 中， 点 E.F 分 别在 边 CB.AD 的延 长线上 ， 且 BEDF， EF 分别 与 AB.CD 交 于点 G、H ，求 证：A GC H.【答案 】证 明见 解析 .【分析 】 根据 平行 四边 形 的性质 得 ADB C， AD=BC， A= C， 根据 平行 线的 性 质得 E= F， 再结合 已知 条件 可 得 AF=CE，根 据 ASA 得
30、 CEH AFG，根 据全 等三 角形 对应 边相等 得证 .【详解 】 在四 边 形 ABCD 是平行 四边 形， AD BC ，AD=B C， A= C，E= F ， 又BE DF ， AD+DF=CB+BE， 即 AF=CE，在CE H 和 AF G 中 ， CEH A FG， CH =AG.AEF【点睛 】 本题 考查了 平行 四边形 的性 质 、 全等 三角 形的判 定与 性质 等， 熟练 掌握相 关知 识 是 解题的 关键 .4.已知 四边 形 ABCD 的对 角 线 AC 与 BD 交于 点 O，给 出下列 四个 论断 ：OA=O C， AB= CD， BAD=D CB， AD
31、BC 请你从 中选 择两 个论 断作 为条件 ，以 “四边形 ABCD 为平行 四边 形” 作为 结论 ，完成 下列 各 题：构造 一个 真命 题， 画图 并给出 证明 ；构造 一个 假命 题， 举反 例加以 说明 【分析 】 如果 结合 ， 那么这 些线 段所 在的 两个 三角形 是 SSA， 不 一定 全 等， 那么 就不 能 得到相 等的 对边 平行 ； 如 果 结合 ， 和 结合 的情况 相同 ； 如 果 结 合， 由 对边 平行 可得到 两对 内错 角相 等， 那么 AD，BC 所在 的三 角形 全等， 也得 到平 行的 对边 也相等 ，那 么 是平行 四边 形； 最易 举出 反例的
32、 是 ， 它有 可能 是等腰 梯形 【解答 】解 ： （1 ） 为 论断时 ：AD BC， DAC= BCA，AD B= DBC 又OA =OC， AOD COB AD=BC 四 边形 ABCD 为 平行 四边 形（2） 为论 断时 ，此 时 一组对 边平 行， 另一 组对 边相等 ，可 以构 成等 腰梯 形【点评 】 本 题主 要考 查平 行四边 形的 判定 ， 学 生注 意常用 等腰 梯形 做反 例来 推翻不 是平 行四边形的 判断 5.（20 18江苏 无锡 8 分 ）如图 ，平 行四 边 形 ABCD 中，E. F 分 别是 边 BC.AD 的 中点 ，求 证 ：ABF= CD E【分
33、析 】根 据平 行四 边形 的性质 以及 全等 三角 形的 性质即 可求 出答 案【解答 】解 ：在 ABCD 中 ，AD=B C， A= C，E.F 分别 是边 BC.AD 的 中点， AF =CE， 在AB F 与 CD E 中 ， ACAB F CDE （SA S）AB F= CDE【点评 】 本 题考 查平 行四 边形的 性质 ， 解 题的 关键 是熟练 运用 平行 四边 形的 性质以 及全 等三 角形， 本题 属于 中等 题型6.（20 18江苏 淮安 8 分 ）已知 ：如 图， ABCD 的 对角 线 AC.BD 相交 于 点 O，过 点 O 的直 线 分别 与 AD.BC 相 交
34、于 点 E.F求 证：A E=CF【分析】 利用平 行四 边形 的性质得 出 A O=CO， ADB C，进而 得出 EAC= FCO，再利 用 ASA求出 AOEC OF， 即可 得出答 案【解答 】证 明： A BCD 的对角 线 AC，B D 交 于点 O，AO=C O，A DB C，EA C= FCO，在AO E 和 CO F 中ACD，AO E COF （AS A） ，AE=C F【点评 】 此 题主 要考 查了 全等三 角形 的判 定与 性质 以及平 行四 边形 的性 质， 熟练掌 握全 等三 角形的 判定 方法 是解 题关 键7.（2 018江苏 苏州 6 分 ） 如图 ， 点
35、A， F， C， D 在一 条直线 上 ， ABDE ， AB=DE， AF=DC 求 证：BC EF 【分析 】 由全 等三角 形的 性质 SAS 判 定 ABCD EF， 则 对应 角 ACB=DFE ， 故 证得 结论 【解答 】证 明： AB DE， A= D，AF=D C， AC= DF在 ABC 与 DEF 中，AFABC DEF（ SAS） ， ACB=DF E， BC EF【点评 】 本题 考查全 等三 角形的 判定 和性 质、 平行 线的性 质等 知识 ， 解 题的 关键是 正确 寻 找 全等三 角形 全等 的条 件， 属于中 考常 考题 型6.（20 18江苏 宿迁 12
36、分 ）如图 ，在 边长为 1 的正 方形 ABCD 中， 动点 E.F 分 别在边 AB.CD 上，将 正方 形 ABCD 沿直 线 EF 折叠 ，使 点 B 的对 应 点 M 始 终落 在边 AD 上（ 点 M 不 与点 A.D 重合） ，点 C 落 在点 N 处 ， MN 与 CD 交 于点 P， 设 BE=x，（1） 当 AM= 时，求 x 的 值；3（2） 随着 点 M 在边 AD 上 位置的 变化 ， PDM 的周 长是否 发生 变化 ？如 变化 ，请说 明理 由 ； 如不变 ，请 求出 该定 值；（3） 设四 边形 BEFC 的面 积为 S，求 S 与 x 之 间的 函数表 达式
37、，并 求 出 S 的 最小值 .【分析 】 （1 ） 由 折叠 性质 可知 BE=ME=x， 结合 已知 条 件知 AE=1-x， 在 RtAME 中， 根 据勾 股定理得 （1- x） 2+ =x2 ， 解得： x= ()3.59（2） PDM 的周 长不 会发 生变化 ， 且 为定 值 2.连 接 BM、 BP， 过 点 B 作 BHMN ， 根据 折叠 性 质知 BE=ME， 由 等边 对等 角 得EB M= EMB， 由等 角的 余角相 等得 MB C= BMN， 由全等 三角 形的判 定 AAS 得 RtABM Rt HBM， 根 据全 等三 角 形的性 质 得 AM=HM， AB=
38、HB=BC， 又根 据全 等三角 形的 判定 HL 得 RtBHP Rt BCP ，根 据全 等三角 形的 性质 得 HP=CP，由三 角形 周长 和等量 代换 即可 得出 PDM 周长 为定 值 2.（3） 过 F 作 FQAB， 连 接 BM， 由折 叠性 质可 知： BEF= ME F,BMEF ， 由 等角的 余角 相等 得EB M= EMB=QF E， 由 全等三 角形 的判 定 ASA 得 RtAB MR tQ FE， 据全 等三角 形的 性 质得 AM=QE； 设 AM 长为 a，在 RtAEM 中， 根据 勾 股定理 得（ 1-x） 2+a2=x2,从而得 AM=QE= 21x
39、BQ=CF=x- ，根 据梯 形得 面 积公式 代入 即可 得 出 S 与 x 的函 数关 系式 ；又 由（ 1-x）2+a2=x2,得 x= =AM=BE， BQ=CF= -a（0a 1） ，代入梯形面积 公式即可转为关2a2于 a的二次 函数 ，配 方从 而求 得 S 的 最小 值.【详解 】解 ： （1 ）由 折叠 性质可 知： BE=ME=x， 正 方形 ABCD 边长 为 1，A E=1-x，在 RtAME 中， AE 2+AM2=ME2 ， 即 （1- x） 2+ =x2 ， 解 得：()3x= .59（2） PD M 的 周长 不会 发 生变化 ，且 为定 值 2.连接 BM、B
40、 P， 过点 B 作 BHMN，BE=M E， E BM= EMB，又 EBC=EM N=90， 即EB M+ MBC=EM B+ BMN=90， M BC=BMN ， 又正 方 形 ABCD， AD BC，AB =BC， AMB =M BC=BM N，在 RtABM 和 RtH BM 中 ， ,Rt ABMRt HBM （AAS） ， AM=HM，A B=HB=BC， 在 RtBHP 和 RtB CP 中 ， , Rt BHP Rt BC P（HL） ，H P=CP， 又C PDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2.PD M 的 周长 不会 发
41、生 变化， 且为 定 值 2.（3） 解： 过 F 作 FQ AB，连 接 BM，由折叠 性质 可知 ： BEF=MEF, BM EF，EB M+ BEF=EM B+ MEF=Q FE+BEF =90, EBM= EM B= QFE， 在 RtABM 和 RtQ FE 中 ， ,Rt ABMRt QFE （ASA） ， AM=QE， 设 AM 长为 a， 在 Rt AEM 中， AE2+AM2=EM2,即 （1- x） 2+a2=x2,AM=Q E= , BQ=CF=x- ，21xxS= （CF+ BE） BC = （ x- +x）1 = （2x- ）,21又（ 1-x） 2+a2=x2, x
42、= =AM=BE，B Q=CF= -a，21a21aS= （ -a+ ）1= （a 2-a+1） = （a- ） 2+ ，1a 380a 1， 当 a= 时， S 最 小值 = .238【点睛 】 二 次函 数的 最值 ， 全等 三角 形的 判定 与性 质， 勾 股定 理， 正方 形的 性质， 翻折 变换（折叠 问题 ）.8.（20 18江苏 苏州 10 分 ）如图 ，A B 是 O 的直 径 ，点 C 在 O 上，A D 垂 直 于过 点 C 的切 线， 垂足 为 D， CE 垂直 AB， 垂 足为 E 延长 DA 交 O 于点 F， 连 接 FC， FC 与 AB 相交 于点 G， 连接
43、OC（1） 求证 ：CD= CE；（2） 若 AE=GE，求 证： CEO 是 等腰 直角 三角 形【分析 】 （1 ） 连 接 AC， 根 据切线 的性 质和 已知 得： ADOC ， 得 DAC =A CO， 根据 AAS 证 明CDA C EA（ AAS） ，可 得结论 ；（2） 介绍 两种 证法 ：证法一 ： 根 据C DA CEA， 得 DCA=EC A， 由 等腰 三角形 三线 合一 得： F= ACE= DC A=ECG ，在 直角 三角 形中 得 ：F= DC A= ACE=EC G=22.5， 可得 结论 ； 证法二： 设F =x，则 AO C=2F= 2x，根 据平角 的定
44、 义得： DAC+EAC+ OAF =180，则3x+3x+2x=180， 可得 结论 【解答 】证 明： （1） 连 接 AC，CD 是O 的切 线， OCCD，AD CD， DCO= D=90， AD OC ， DAC =ACO ，OC=O A， C AO= ACO， DAC=CA O，CE AB， CEA=90， 在CD A 和 CE A 中 ， ，CCD A CEA （AA S） ，CD=C E；（2） 证法 一： 连接 BC，CD A CEA ， DCA=ECA ，CE AG， AE=EG， CA=CG， ECA =E CG，AB 是O 的直 径， ACB=90，CE AB， ACE
45、= B，B= F ， F= ACE=DCA= EC G，D= 90， DC F+ F=90， F= DCA =A CE=EC G=22.5，AO C=2F=4 5，CE O 是 等腰 直角 三角 形； 证法二 ：设 F= x， 则 A OC=2F =2x，AD OC， OAF= AOC=2x， C GA=OAF +F =3x，CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC =C GA，CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC =C GA， DAC=E AC=CGA =3x，DA C+ EAC+OA F=180， 3x+3x+2x=180，x= 22.5， AOC =2x=45，CE
46、O 是 等腰 直角 三角 形【点评 】 此 题考 查了 切线 的性质 、 全 等三 角形 的判 定与性 质、 圆周 角定 理、 勾股定 理、 三角 形内角 和定 理以 及等 腰三 角形和 等腰 直角 三角 形的 判定与 性质 等知 识 此题 难度适 中， 本题 相等的 角较 多， 注意 各角 之间的 关系 ，注 意掌 握数 形结合 思想 的应 用9. （2 018杭州 12 分） 23.如图 ， 在 正方 形 ABCD 中 ， 点 G 在边 BC 上 （不 与 点 B， C 重 合） ，连接 AG， 作 DEAG ，于 点 E， BF AG 于 点 F，设 。BkC（1） 求证 ：AE= BF；（2） 连接 BE， DF， 设 EDF=， EBF =求 证：tan = k tan （3） 设线