1、 2019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 27 尺规作图性问题尺规作图性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 1能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线； 作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线 2会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底边上 的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形 3会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：作圆的内接正 方形和正六边形 4在尺规作图中，了
2、解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法， 中考中常见考点有：中考中常见考点有： 1网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图 2尺规作图： (1)尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用 的尺规作图，称为基本作图 (2)五种基本尺规作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角：作一个角的角平分线： 作线段的垂直平分线：经过一点作已知直线的垂线 (3)尺规作图的步骤： 已知：写出已知的线段和角，画出图形： 求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化： 作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，
3、但图中必须保留基本作图的痕迹： 证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图 形完全符合题设条件， 对所作图形下结论 (4)作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形：已知两角及其夹边作三角形： 已知底边及底边上的高作等腰三角形 (5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】“直角”在初中几何学习中无处不在如图，已知AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方 法判断AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规） 解：如图 1 ， 在 OA，
4、OB 上分别，截取 OC=4，OD=3，若 CD 的长为 5，则AOB=90 如图 2 ， 在 OA，OB 上分别取点 C，D，以 CD 为直径画圆，若点 O 在圆上，则AOB=90 【原创【原创 2】如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N， 再分别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点 P（a，b） ，则 a 与 b 的 数量关系是_. 【解析】【解析】根据作图方法可得点 P 在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符 号可得 2a+b+1=0，然后再整理可得答案 解：
5、根据作图方法可得点 P 在第二象限的角平分线上， 因此 2a+b+1=0， 即：2a+b=-1故答案为：2a+b=-1 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） ： 已知线段 a 和AOB，点 M 在 OB 上（如图所示） （1）在 OA 边上作点 P，使 OP=2a； （2）作AOB 的平分线； （3）过点 M 作 OB 的垂线 【分析】 （1）在 OA 上截取 OP=2a 即可求出点 P 的位置； （2）根据角平分线的作法即可作出AOB 的平分线； （3）以 M 为圆心，作一圆与射线 OB 交
6、于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于 D 点， 连接 MD 即为 OB 的垂线； 【解答】解： （1）点 P 为所求作； （2）OC 为所求作； （3）MD 为所求作； 【例题【例题 2】两个城镇 A、B 与两条公路 ME，MF 位置如图所示，其中 ME 是东西方向的公路现电信部门需 在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 ME，MF 的距离 也必须相等，且在FME 的内部，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C （不 写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】解题点拨：此题考查了尺规作图，正确的作出
7、图形是解答本题的关键到 A、B 距离相等则作线段 AB 的垂直平分线，到 ME、MF 距离相等则作FME 的角平分线，它们的交点即为所求 解：答案如图： 【例题【例题 3】如图，在 5 5 的正方形网格中有一条线段 AB，点 A 与点 B 均在格点上请在这个网格中作线段 AB 的垂直平分线要求：仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；保留必要的作图痕迹 【分析】以 AB 为边作正方形 ABCD，正方形 ABEF，连接 AC，BD 交于 O，连接 AE，BF 交于 O，过 O， O作直线 OO于是得到结论 【解答】解：如图所示，直线 OO即为所求 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试
8、题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题：一、选择题： 1. 如图，在 ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E若 BF=8，AB=5，则 AE 的长 为（ ） A5 B6 C8 D12 【分析】由基本作图得到 AB=AF，AG 平分BAD，故可得出四边形 ABEF 是菱形，由菱形的性质可知 AEBF，故可得出 OB 的长，再由勾股定理即可得出 OA 的长，进而得出结论 【解答】解：连结 EF，AE 与 BF 交于点 O， 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AF， 四边形 ABEF 是菱形， AEBF，OB=BF=4，OA=AE AB=5， 在 RtAO
9、B 中，AO=3， AE=2AO=6 故选 B 2. 用直尺和圆规作 RtABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ） 【解析】A、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，不符合题意； 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，不符合题意； D、无法证明 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，符合题意 3. 已知ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ） A. DAEBA
10、E B. DEA 1 2 DAB C. DEBE D. BCDE 【解析】 【解答】根据图中尺规作图的痕迹，可知， 是 的角平分线, ,故 A 不符合题意, 四边形 是平行四边形， 故 B 不符合题意. 故 D 不符合题意. 和 的关系不能确定. 故答案为：C. 4. 如图，在 RtABC 中，C=90 ，按下列步骤作图：以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，与 AB，BC 分别交于点 D，E；分别以 D，E 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径画弧，两弧交于点 P；作射线 BP 交 AC 于点 F；过点 F 作 FGAB 于点 G下列结论正确的是（ ） ACF=FG BAF=AG CAF=C
11、F DAG=FG 【解答】解：根据作图的步骤得到：EF 是CBG 的角平分线， A、因为 EF 是CBG 的角平分线，FGAB，CFBC，所以 CF=FG，故本选项正确； B、AF 是直角AFG 的斜边，AFAG，故本选项错误； C、EF 是CBG 的角平分线，但是点 F 不一定是 AC 的中点，即 AF 与 CF 不一定相等，故本选项错误； D、当 RtABC 是等腰直角三角形时，等式 AG=FG 才成立，故本选项错误； 故选：A 5. 如图，点 A 在双曲线 y（x0）上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为点 B，分别以点 O 和点 A 为圆心， 大于OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E
12、 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 F（0，2） ，连 接 AC若 AC=1，则 k 的值为（ ） A2 B 32 25 C 4 3 5 D 2 52 5 【分析】如图，设 OA 交 CF 于 K利用面积法求出 OA 的长，再利用相似三角形的性质求出 AB、OB 即可 解决问题； 【解答】解：如图，设 OA 交 CF 于 K 由作图可知，CF 垂直平分线段 OA， OC=CA=1，OK=AK， 在 RtOFC 中，CF= 22 OFOC=5， AK=OK= 1 2 5 = 2 5 5 ， OA= 4 5 5 ， 由FOCOBA，可得 OFOCCF OBABOA ， 215
13、 4 5 5 OBAB ， OB= 8 5 ，AB= 4 5 ， A（ 8 5 ， 4 5 ） ， k= 32 25 故选：B 二、填空题：二、填空题： 6. 如图，点 A，B，C 均在 6 6 的正方形网格格点上，过 A，B，C 三点的外接圆除经过 A，B，C 三点外 还能经过的格点数为 5 【分析】根据圆的确定先做出过 A，B，C 三点的外接圆，从而得出答案 【解答】解：如图，分别作 AB、BC 的中垂线，两直线的交点为 O， 以 O 为圆心、OA 为半径作圆，则O 即为过 A，B，C 三点的外接圆， 由图可知，O 还经过点 D、E、F、G、H 这 5 个格点， 故答案为：5 7. 如图，
14、已知线段 AB，分别以 A、B 为圆心，大于AB 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 l，在直线 l 上取一点 C，使得CAB=25 ，延长 AC 至 M，求BCM 的度数为 。 【分析】根据作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，故可得出 AC=BC，再由三角形外角的性质即可得 出结论 【解答】解：由作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， AC=BC， CAB=CBA=25 ， BCM=CAB+CBA=25 +25 =50 8. 以 RtABC 的锐角顶点 A 为圆心，适当长为半径作弧，与边 AB，AC 各相交于一点，再分别以这两个 交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点
15、 A 作直线，与边 BC 交于点 D若ADB=60 ，点 D 到 AC 的距离为 2，则 AB 的长为 2 3 【分析】如图，作 DEAC 于 E首先证明 BD=DE=2，在 RtABD 中，解直角三角形即可解决问题 【解答】解：如图，作 DEAC 于 E 由题意 AD 平分BAC， DBAB，DEAC， DB=DE=2， 在 RtADB 中，B=90 ，BDA=60 ，BD=2， AB=BDtan60=2， 故答案为 2 9. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P 求作：直线 l 的平行直线，使它经过点 P 作法：如图
16、 2 （i）过点 P 作直线 m 与直线 l 交于点 O； （ii）在直线 m 上取一点 A（OAOP） ，以点 O 为圆心，OA 长为半径画弧，与直线 l 交于点 B； （iii）以点 P 为圆心，OA 长为半径画弧，交直线 m 于点 C，以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于 点 D； （iv）作直线 PD 所以直线 PD 就是所求作的平行线 请回答：该作图的依据是_ 【解析】【解析】利用作法得 OA=OB=PD=PC，CD=AB，原式可判断OABPCD，则AOB=CPD，然后根 据平行线的判定方法可判断 PDl 解：如图 2，由作法得 OA=OB=PD=PC，CD=AB，则OAB
17、PCD， 所以AOB=CPD，所以 PDl 故答案为三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等，直线平行 10. 如图，在ABC 中，C=90 ，B=30 ，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N ， 再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ， 连结 AP 并延长交 BC 于点 D ， 则下列说法AD 是BAC 的平分线；ADC=60 ；点 D 在 AB 的中垂线上；正确的个数是 _个 【解析】 【解答】AD 是BAC 的平分线，说法正确； C=90 ，B=30 ， CAB=60 ， AD 平分CAB ， DAB
18、=30 ， ADC=30 +30 =60 ， 因此ADC=60 正确； DAB=30 ，B=30 ，AD=BD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得正确 三、计算与三、计算与解答：解答： 11. 已知：如图，线段 m. 求作：ABC，使A=，B=，AB=m 第 4 题 【答案】解：如图所示，ABC 即为所求 12. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） ： 已知线段 a 和AOB，点 M 在 OB 上（如图所示） （1）在 OA 边上作点 P，使 OP=2a； （2）作AOB 的平分线； （3）过点 M 作 OB 的垂线 【答案】 （1）点 P 为所求作 （2）OC 为所求作 （3）MD 为所求作
19、 13. 两个城镇 A，B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄 到 A， B 的距离必须相等， 到 CD 和 CE 的距离也必须相等， 且在DCE 的内部， 请画出该山庄的位置 P（不 要求写作法，保留作图痕迹 ） 【解析】解：作法：作ECD 的平分线 CF， 作线段 AB 的中垂线 MN， MN 与 CF 交于点 P，则 P 就是山庄的位置 14. A、两所学校在一条东西走向公路的同侧，以公路所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 且点 A 的坐标是(2，2)，点 B 的坐标是(7，3) (1)一-辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否
20、存在一点 C，使 C 点到 A、B 两校的距离相等？如果有， 请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标 (2)若在公路边建一游乐场 P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场 P 的位置， 并求出它的坐标。 【答案】解：(1)存在满足条件的点 C，作出图形，如图所示： (2)作点 A 关于 x 轴对称的点 A（2，-2） ，连接 AB，与 x 轴的交点即为所求的点 P设 AB 所在直线的解 析式为：y =kx+b把（2，-2）和(7，3)代入得： 73 22 kb kb ，解得 1 4 k b AB 所在直线的解析式为：y =x-4 当 y=0 时，x=4， 点 P 的
21、坐标为(4，0) 15. 在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线 l 和 l 外一点 P. 图 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P. 作法：如图：在直线 l 上任取两点 A，B； 分别以点 A，B 为圆心，AP，BP 长为半径画弧，两弧相交于点 Q； 作直线 PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (2)已知：直线 l 和 l 外一点 P. 求作：P，使它与直线 l 相切(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 图 解：(2)作图如解图