1、2020 年高三模拟考试数学试题年高三模拟考试数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知全集UR，集合 A 2 x xx ，则 UA A 0, 1 B （0，1） C ,1 D 1（， ） 2.设复数 2 1 i z i （其中 i 为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限 3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡 状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为 400N，则
2、该学生的体重（单位:kg）约为 （参考数据:取重力加速度大小为 2 10/31.732gm s，） A 63 B 69 C 75 D81 4.已知函数yf x（ ）的部分图象如图，则f x（ ）的解析式可能是 A f xxtanx（ ） B 2f xxsin x（ ） C 1 2 2 f xxsinx（ ） D. 1 cos 2 f xxx（ ） 5.方舱医院的创设， 在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。 某方舱医院医疗小组有七名护士， 每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚 早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五
3、值夜班的护士为 A 甲 B 丙 C 戊 D庚 6.已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，直线l过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂 足为 M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q。若8ABPQ ，则 A 2 B 4 C 6 D 8 7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡 献之一。 在古代传说中有神龟出于洛水， 其甲壳上有图 1：“以五居中， 五方白圈皆阳数， 四隅黑点为阴数”， 这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将 1 到 9 这九个数字，填在如图 2 所示的九宫格里，九宫格的
4、中 间填 5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数字的和都等于 15 的概率是 A 1 3 B 1 6 C 1 72 D 1 144 8.已知直线0yaxb b （ ）与曲线 3 yx有且只有两个公共点 1122 ,A xyB xy（ ， ），（），其中 12 xx，则 12 2xx A 1 B 0 C 1 Da 二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。下面是 2008
5、 年至 2019 年国际原油价格高低区间 的对比图。 下列说法正确的是 A.2008 年原油价格波动幅度最大 B.2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 C.2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D.2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 10.已知符号函数 1,0 sgn( )0,0 1,0 x xx x 下列说法正确的是 A.函数ysgn x （ ）是奇函数 B.对任意的11xsgnx， （ln ） C.函数 x yesgnx（）的值域为1（， ） D.对任意的xR xx sgn x， （ ） 11.如图，在棱长为 1
6、 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为棱 1 CC上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过 点 P 作平面分别与棱 ABC，CD 交于 M，N 两点，若CP CMCN，则下列说法正确的是 A 1 AC 平面 B 存在点 P，使得 1 AC平面 C 存在点 P，使得点 A1到平面的距离为 5 3 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 12.已知函数 cosf xsinxcosx sin xx（ ）（），下列说法正确的是 A.f x（ ）是周期函数 B.f x（ ）在区间 2 2 -， 上是增函数 C.若 12 +=2f xf x（ ） （ ），则 12
7、 ) 2 k xxkZ （ D.函数1g xf x（ ）（ ）在区间0 2 ， 上有且仅有 1 个零点 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知 2 2 33 cos （)=，则 2 1 sin () 26 的值为_ 14.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab （ ）的渐近线与圆（ 22 (21xy ） 相切，则该双曲线的离心率为 _ 15.已知 12 ee，是夹角为 3 的单位向量，若 12 3aebeabR= （ ，），则ab的最大值为_ 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点 A，B 距离之比为常数01 （ 且）的点的轨迹是 一个圆
8、心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题: 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 226ABADAA，点 E 在棱 AB 上，2BEAE，动点 P 满 足3BPPE.若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为_;若点 P 在长方体 1111 ABCDABC D内部运动，F 为棱 11 C D的中点，M 为 CP 的中点，则三棱锥 1 MBCF的体积的最小 值为_（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17.（10 分） 若数列 n a 满足
9、22 1nn aap nNp （， 为常数），则称数列 n a 为等方差数列，p为公方差。 （1）已知数列 nnn cdx n , ， ， y分别满足2020,1,21,3n nnnn cdnxny ，从上述四 个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）; （2）若数列 n a 是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，求数列 2 n a 的前 n 项和 Sn 18.（12 分） 如图，平面四边形 ABCD，点 B，C，D 均在半径为 5 3 3 的圆上，且 3 BCD （1）求 BD 的长度； （2）若32ADADBABD，求ABD 的面积 19.（12 分）如图 1，平面四边形 ABCD 中
10、，2AB ACABACACCD，E 为 BC 的中点， 将ACD 沿对角线 AC 折起，使CDBC，连接 BD，得到如图 2 所示的三棱锥 DABC （1）证明:ADEBCD平面平面； （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 4 ，求二面角A BD C的余弦值 20.（12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻 商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价 分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评 给商家计 1 分，中评计 0 分，
11、差评计1分，某商家在试营业期间随机抽取 100 单交易调查了其商品的物 流情况以及买家的评价情况，分别制成了图 1 和图 2 （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓； 请根据题目所给信息完成下面 2 2 列联表，并判断能否有 99的把握认为“获得好评”与物流速度有关？ （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X.该商家将试营业 50 天期间的成交情况制 成了频数分布表（表 1） ，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。 （）求 X 的分布列和数学期望； （）平台规定，当积分超过 10 000 分时，商家会获得“诚信商家称号，请估计
12、该商家从正式营业开始，1 年内（365 天）能否获得“诚信商家称号 21.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点30A （， ），直线l: 4 3 3 x，动点 P 满足到点 A 的距离与到直线 l 的距离之比为 3 2 已知圆 C 的方程为 22 4xy ，直线l为圆 C 的切线，记点( 30)30)A，,(，到直线l的距离分别为 12 dd，动点 P 满足 12 PAd PBd ， 点 S，T 分别在 x 轴，y 轴上运动，且3ST ，动点 P 满足 21 33 OPOSOT （1）在，这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹方程； 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （2）记（1）中的轨迹为 E，经过点 D（1，0）的直线 l 交 E 于 M，N 两点，若线段 MN 的垂直平分线与 y 轴相交于点 Q，求点 Q 纵坐标的取值范围。 22.（12 分）已知函数 2 (1) x a ex f x x （ ）=，且曲线yf x（ ）在22f（ ，（ ）处的切线斜率为 1. （1）求实数 a 的值； （2）证明:01xf x当 时，（ ） （3）若数列 n x 满足 1n x n ef x （ ） ，且 1 1 3 x，证明:211 n xn e