1、2019-2020 学年湖南省长沙一中双语实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷次月考数学试卷 一、选择题（12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列图形是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）9 的算术平方根是（ ） A3 B3 C3 D 3 （3 分）已知是方程组 mx+y10 的解，则 m 的值是（ ） A1 B2 C1 D2 4（3 分） 若某三角形的两边长分别为 3 和 4， 则下列长度的线段能作为其第三边的是 （ ） A1 B5 C7 D9 5 （3 分）2019 年我市有 3.7 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这 3.7 万学生的数学 成绩，从
2、中抽取 2000 名学生的数学成绩进行统计，这个问题中样本是（ ） A3.7 万名考生 B2000 名考生 C3.7 万名考生的数学成绩 D2000 名考生的数学成绩 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Am2+2m33m5 Bm2m3m6 C （m）3m3 D （mn）3mn3 7 （3 分）如图，在ABC 中，ABADDC，B70，则C 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 8 （3 分）下列能断定ABC 为等腰三角形的是（ ） AA30，B60 BA50，B80 第 2 页（共 24 页） CABAC2，BC4 DAB3，BC7，周长为 10 9 （3 分）若不等式（a+1）
3、xa+1 的解是 x1，那么 a 满足（ ） Aa0 Ba1 Ca1 Da1 10 （3 分）如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪 一次） ，不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ） A B C D 11 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，A120，若点 D 在 AB、AC 的垂直平分线上， 则BDC 为（ ） A90 B100 C120 D140 12 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 P（2，3） ，点 Q 在 y 轴上，PQO 是等腰三角 形，则满足条件的 Q 点有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题
4、 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）计算 aa6的结果等于 14 （3 分）已知点 P（2a+b，b）与 P1（8，2）关于 y 轴对称，则 a+b 15 （3 分）一个多边形的内角和是 1080，这个多边形的边数是 16 （3 分）在平面直角坐标系内，把点 P（5，2）先向左平移 2 个单位长度，再向上 平移 4 个单位长度后得到的点的坐标是 17 （3 分）如图，某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75，又继续 航行8海里后， 在B处测得小岛P的方位是北偏东60， 则此时ABP的面积为 平 方海里 第 3 页（共 24 页） 18 （3 分）ABC
5、中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，若EAF50，则 BAC 三、解答题（共三、解答题（共 8 大题，共大题，共 66 分）分） 19 （8 分）计算： （1）12+（2）3|+（）2 （2）a2a3（a3） a4+a6 （a） 20 （8 分）计算： （1）解方程组 （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 四、解答题（共四、解答题（共 6 大题，共大题，共 50 分）分） 21 （8 分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周 的课外阅读时间 x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布 直方图和扇形统计图 根据图中提供
6、的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中 m 的值和“E”组对应的圆心角度数； （3）请估计该校 3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于 6 小时的人数 第 4 页（共 24 页） 22 （6 分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是 1 （1）画出ABC 关于直线 l 对称的图形A1B1C1； （2）在直线 l 上找一点 P，使 PB+PC 最小（有必要作图痕迹） 23 （8 分）已知，如图点 E 在三角形 ABC 的边 AC 上，且AEBABC （1）求证：ABEC； （2）若BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F，FDBC 交 AC 于 D，求证：
7、ABFADF； （3）在（2）的条件下，设 AB5，AC8，求 DC 的长 24 （8 分）2016 年 5 月 6 日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营， 该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设 尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输 任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知 2 辆大型渣土运输车与 3 辆 小型渣土运输车一次共运输土方 31 吨，5 辆大型渣土运输车与 6 辆小型渣土运输车一次 共运输土方 70 吨 （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2
8、）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共 20 辆参与运输土方，若 每次运输土方总量不少于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 2 辆，则有哪几种派车方 案？ 第 5 页（共 24 页） 25 （10 分）概念学习已知ABC，点 P 为其内部一点，连接 PA、PB、PC，在PAB、 PBC、PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与ABC 的三个内角分别相等，那么 就称点 P 为ABC 的等角点 理解应用 （1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题” ；反 之，则写“假命题” 内角分别为 30、60、90的三角形存在等角点； ； 任意的三角形都存在等角
9、点； ； （2）如图，点 P 是锐角ABC 的等角点，若BACPBC，探究图中，BPC、 ABC、ACP 之间的数量关系，并说明理由 解决问题 如图，在ABC 中，ABC，若ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该 三角形的等角点，求ABC 三角形三个内角的度数 26 （10 分）如图 1，A 是 OB 的垂直平分线上一点，P 为 y 轴上一点且OPBOAB （1）若AOB60，PB4，求点 P 的坐标； （2）在（1）的条件下，求证：PA+POPB； （3）如图 2，若点 A 是 OB 的垂直平分线上一点，已知 A（2，5） ，OPBOAB，求 PO+PB 的值 第 6 页（共 24 页
10、） 2019-2020 学年湖南省长沙一中双语实验学校八年级（上）第一学年湖南省长沙一中双语实验学校八年级（上）第一 次月考数学试卷次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列图形是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
11、部分 折叠后可重合 2 （3 分）9 的算术平方根是（ ） A3 B3 C3 D 【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这 个正数 x 叫做 a 的算术平方根依此即可求解 【解答】解：9 的算术平方根是 3 故选：C 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆 而导致错误 3 （3 分）已知是方程组 mx+y10 的解，则 m 的值是（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】把 x 与 y 的值代入方程计算即可求出 m 的值 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：把代入方程 mx+y10， 得：2m+510， 解得
12、：m2， 故选：D 【点评】此题考查了二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 4（3 分） 若某三角形的两边长分别为 3 和 4， 则下列长度的线段能作为其第三边的是 （ ） A1 B5 C7 D9 【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合 条件的数值 【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边两边之差，即 431，而两边之 和，即 4+37， 即 1第三边7， 只有 5 符合条件， 故选：B 【点评】本题主要考查了构成三角形的条件：两边之和第三边，两边之差第三边， 比较简单 5 （3 分）201
13、9 年我市有 3.7 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这 3.7 万学生的数学 成绩，从中抽取 2000 名学生的数学成绩进行统计，这个问题中样本是（ ） A3.7 万名考生 B2000 名考生 C3.7 万名考生的数学成绩 D2000 名考生的数学成绩 【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，依此 即可求解 【解答】解：2019 年我市有 3.7 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这 3.7 万学生的 数学成绩，从中抽取 2000 名学生的数学成绩进行统计，这个问题中样本是 2000 万名考 生的数学成绩 故选：D 第 8 页（共 24 页） 【点评】本
14、题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考察的对象的全体叫做 总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总 体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Am2+2m33m5 Bm2m3m6 C （m）3m3 D （mn）3mn3 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得 【解答】解：A、m2与 2m3不是同类项，不能合并，此选项错误； B、m2m3m5，此选项错误； C、 （m）3m3，此选项正确； D、 （mn）3m3n3，此选项错误； 故选：C 【点评】本题主要考查整式的运算
15、，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘 法、幂的乘方与积的乘方 7 （3 分）如图，在ABC 中，ABADDC，B70，则C 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 【分析】先根据等腰三角形的性质求出ADB 的度数，再由平角的定义得出ADC 的度 数，根据等腰三角形的性质即可得出结论 【解答】解：ABD 中，ABAD，B70， BADB70， ADC180ADB110， ADCD， C（180ADC）2（180110）235， 故选：A 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的 关键 8 （3 分）下列能断定ABC 为等腰三角形的是（ ） 第
16、 9 页（共 24 页） AA30，B60 BA50，B80 CABAC2，BC4 DAB3，BC7，周长为 10 【分析】A、B 根据三角形的内角和求出第三个角，可得结果；C 不能组成三角形，D 利 用周长求出第三边即可得到答案，根据等腰三角形的判定，采用逐条分析排除的方法判 断 【解答】解：A、根据三角形内角和定理得，C180603090，故不是 等腰三角形； B、根据三角形内角和定理得，C180508050，故是等腰三角形； C、根据三角形中三边的关系知，任意两边之和大于第三边，而 AB+AC4BC，不能 构成三角形； D、周长为 10，而 AB+BC10，与周长相等，第三边为 0，则不
17、能构成三角形 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用三角形内角和定理：内角和为 180和三角 形中三边的关系求解有的同学可能选 C 出现错误，只看表面现象会造成错误 9 （3 分）若不等式（a+1）xa+1 的解是 x1，那么 a 满足（ ） Aa0 Ba1 Ca1 Da1 【分析】根据已知不等式的解集和不等式的性质得出 a+10，再求出即可 【解答】解：不等式（a+1）xa+1 的解是 x1， a+10， 解得：a1， 故选：C 【点评】本题考查了解一元一次不等式，能得出关于 a 的不等式是解此题的关键 10 （3 分）如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（
18、只允许剪 一次） ，不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ） A B 第 10 页（共 24 页） C D 【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断 即可 【解答】解：A、如图所示，ACD 和BCD 都是等腰三角形； B、如图所示，ABC 不能够分成两个等腰三角形； C、如图所示，ACD 和BCD 都是等腰三角形； D、如图所示，ACD 和BCD 都是等腰三角形； 故选：B 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题时注意：等腰三角形是一个轴对称图 形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法 11 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，A120，若点 D 在
19、 AB、AC 的垂直平分线上， 则BDC 为（ ） A90 B100 C120 D140 【分析】连接 AD，根据线段的垂直平分线性质得出 BDAD，DCAD，推出B 第 11 页（共 24 页） BAD，CCAD，求出BACBAD+CADB+C120，即可求出答案 【解答】解：如图，连接 AD， 点 D 在 AB、AC 的垂直平分线上， BDAD，DCAD， BBAD，CCAD， BAC120BAD+CAD， B+C120， BDC360（B+C）BAC360120120120， 故选：C 【点评】本题考查了四边形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线 性质的应用，注意：线段垂
20、直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 12 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 P（2，3） ，点 Q 在 y 轴上，PQO 是等腰三角 形，则满足条件的 Q 点有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】分别以 O、P 为圆心，PO 长为半径画弧，作 PO 的垂直平分线，即可得到符合 题意的点 Q 的位置 【解答】解：如图所示，分别以 O、P 为圆心，PO 长为半径画弧，与 y 轴的交点 Q1， Q2，Q3符合题意；作 PO 的垂直平分线，与 y 轴的交点 Q4符合题意， 第 12 页（共 24 页） 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用等腰三角形的判定来解决
21、特殊的问题，关 键是根据题意，画出符合实际条件的图形 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）计算 aa6的结果等于 a7 【分析】利用同底数幂的法则计算即可得到结果 【解答】解：aa6a7 故答案为：a7 【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14 （3 分）已知点 P（2a+b，b）与 P1（8，2）关于 y 轴对称，则 a+b 5 【分析】 首先根据关于 y 轴对称点的坐标特点可得 2a+b8， b2， 再解方程可得 a、 b 的值，进而得到答案 【解答】解：点 P（2a+b，b）与 P1（8，2）关于 y
22、轴对称， 2a+b8，b2， 解得：a3， 则 a+b325 故答案为：5 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化特点：横 坐标互为相反数，纵坐标不变 15 （3 分）一个多边形的内角和是 1080，这个多边形的边数是 8 第 13 页（共 24 页） 【分析】根据多边形内角和定理： （n2） 180 （n3）可得方程 180（x2）1080， 再解方程即可 【解答】解：设多边形边数有 x 条，由题意得： 180（x2）1080， 解得：x8， 故答案为：8 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式： （n2） 180 （n 3） 16
23、（3 分）在平面直角坐标系内，把点 P（5，2）先向左平移 2 个单位长度，再向上 平移 4 个单位长度后得到的点的坐标是 （7，2） 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可 平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 【解答】解：原来点的横坐标是5，纵坐标是2，向左平移 2 个单位长度，再向上平 移 4 个单位得到新点的横坐标是527，纵坐标为2+42 得到的点的坐标是（7，2） 故答案为： （7，2） 【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右 加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加 17 （3 分）如图，某轮船由西向东航行，在
24、A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75，又继续 航行 8 海里后，在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东 60，则此时ABP 的面积为 16 平方海里 【分析】先过 P 作 AB 的垂线 PD，在直角BPD 中可以求得PAD 的度数是 30，即 可证明APB 是等腰三角形，即可求解 【解答】解：过 P 作 PDAB 于点 D， PBD906030 第 14 页（共 24 页） 且PBDPAB+APB，PAB907515 PABAPB， BPAB8（海里） ， PDBP4（海里） ， ABP 的面积为 84216 平方海里 故答案为：16 【点评】此题考查的是三角形的面积、解直角三角形的应用，
25、解一般三角形的问题一般 可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线正确证明APB 是等腰三角 形是解决本题的关键 18 （3 分）ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，若EAF50，则 BAC 115 【分析】由 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F，根据线段垂直平分线的性质， 即可求得 AEBE，AFCF，即可得BAEB，CAFC，又由EAF50， 易求得BAE+CAF65，继而求得BAC 的度数 【解答】解：若 DE 与 GF 不相交 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F， AEBE，AFCF， BAEB，CAFC， AEFBAE
26、+B2BAE，AFECAF+C2CAF， EAF50， AEF+AFE180EAF130， 2BAE+2CAF130， BAE+CAF65， BACBAE+CAF+EAF115 如图 2：若 DE 与 GF 相交 第 15 页（共 24 页） 同理可求BAC65 故答案为：115或 65 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形外角 的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用 三、解答题（共三、解答题（共 8 大题，共大题，共 66 分）分） 19 （8 分）计算： （1）12+（2）3|+（）2 （2）a2a3（a3） a4+a6 （a） 【分析
27、】 （1）分别根据幂的定义，立方根的定义以及绝对值的定义化简，再根据实数的 混合运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则化简后，再根据合并同类项的法则计算即可 【解答】解： （1）原式1+（8）111+21； （2）原式a5+a7a7a5 【点评】本题主要考查了实数的运算以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本 题的关键 20 （8 分）计算： （1）解方程组 （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 【分析】 （1）先把二元一次方程组转化成一元一次方程，求出 x，再求出 y 即可； 第 16 页（共 24 页） （2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可 【解答】解：
28、（1） 2+得：13x13， 解得：x1， 把 x1 代入得：52y7， 解得：y1， 所以原方程组的解为：； （2） 解不等式得：x1， 解不等式得：x3， 不等式组的解集为：3x1， 在数轴上表示为： 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的 解集等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能求出不等 式组的解集是解（2）的关键 四、解答题（共四、解答题（共 6 大题，共大题，共 50 分）分） 21 （8 分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周 的课外阅读时间 x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了
29、如图所示的不完整的频数分布 直方图和扇形统计图 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中 m 的值和“E”组对应的圆心角度数； （3）请估计该校 3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于 6 小时的人数 第 17 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据第二组频数为 21，所占百分比为 21%，求出数据总数，再用数据总数 减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图； （2）用第三组频数除以数据总数，再乘以 100，得到 m 的值；先求出“E”组所占百分 比，再乘以 360即可求出对应的圆心角度数； （3）用 3000 乘以每周课外阅读时
30、间不小于 6 小时的学生所占百分比即可 【解答】解： （1）数据总数为：2121%100， 第四组频数为：100102140425， 频数分布直方图补充如下： （2）m4010010040； “E”组对应的圆心角度数为：36014.4； （3）3000（25%+）870（人） 即估计该校 3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于 6 小时的人数是 870 人 【点评】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的 能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判 第 18 页（共 24 页） 断和解决问题也考查了利用样本估计总体 22 （6
31、分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是 1 （1）画出ABC 关于直线 l 对称的图形A1B1C1； （2）在直线 l 上找一点 P，使 PB+PC 最小（有必要作图痕迹） 【分析】 （1）利用轴对称的性质和网格特点，分别画出 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1 即可； （2）连接 BA1交 l 于点 P，利用两点之间线段最短可判断 P 点满足条件 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，点 P 为所作 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个 图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的 23 （8 分）已知，如图点 E
32、 在三角形 ABC 的边 AC 上，且AEBABC 第 19 页（共 24 页） （1）求证：ABEC； （2）若BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F，FDBC 交 AC 于 D，求证：ABFADF； （3）在（2）的条件下，设 AB5，AC8，求 DC 的长 【分析】 （1）由外角的性质可得C+EBCABE+EBC，可得结论； （2）由“AAS”可证DAFBAF； （3）由全等三角形的性质可得 ADAB5，即可求 CD 的长 【解答】解： （1）AEBABC，且AEBC+EBC，ABCABE+EBC， C+EBCABE+EBC， ABEC； （2）FDBC， ADFC， ABEC， AD
33、FABF， AF 平分BAE， DAFBAF，且ADFABF，AFAF， ABFADF（AAS） ； （3）ABFADF ADAB5， AC8， DCACAD853 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出ABFADF 24 （8 分）2016 年 5 月 6 日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营， 该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设 尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输 任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知 2 辆大型渣土运输车与 3 辆 小型渣土运输车一次
34、共运输土方 31 吨，5 辆大型渣土运输车与 6 辆小型渣土运输车一次 第 20 页（共 24 页） 共运输土方 70 吨 （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共 20 辆参与运输土方，若 每次运输土方总量不少于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 2 辆，则有哪几种派车方 案？ 【分析】 （1）根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输 车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨； （2）根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案 【解答】解： （1）设一辆大型渣土运输车一
35、次运输 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 y 吨， ， 解得 即一辆大型渣土运输车一次运输 8 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 5 吨； （2）由题意可得， 设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为 x 辆、y 辆， ， 解得或或， 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车 18 辆，小型运输车 2 辆； 第二种方案：大型运输车 17 辆，小型运输车 3 辆； 第三种方案：大型运输车 16 辆，小型运输车 4 辆 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明 确题意，找出所求问题需要的条件 25 （10 分）概念学习已知ABC，点 P 为其内
36、部一点，连接 PA、PB、PC，在PAB、 PBC、PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与ABC 的三个内角分别相等，那么 就称点 P 为ABC 的等角点 第 21 页（共 24 页） 理解应用 （1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题” ；反 之，则写“假命题” 内角分别为 30、60、90的三角形存在等角点； 真命题 ； 任意的三角形都存在等角点； 假命题 ； （2）如图，点 P 是锐角ABC 的等角点，若BACPBC，探究图中，BPC、 ABC、ACP 之间的数量关系，并说明理由 解决问题 如图，在ABC 中，ABC，若ABC 的三个内角的角平分线的交点
37、 P 是该 三角形的等角点，求ABC 三角形三个内角的度数 【分析】理解应用 （1）根据等角点的定义，可知内角分别为 30、60、90 的三角形存在等角点，而等边三 角形不存在等角点，据此判断即可； （2）根据ABC 中，BPCABP+BAC+ACP 以及BACPBC 进行推导，即 可得出BPC、ABC、ACP 之间的数量关系； 解决问题 先连接 PB，PC，再根据ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该三角形的等角点， 以及三角形内角和为 180，得出关于A 的方程，求得A 的度数即得出可三角形三个 内角的度数 【解答】解：理解应用 （1）内角分别为 30、60、90 的三角形存在等角点
38、是真命题； 任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：真命题，假命题； （2）如图，在ABC 中，BPCABP+BAC+ACP，BACPBC， 第 22 页（共 24 页） BPCABP+PBC+ACPABC+ACP； 解决问题 如图，连接 PB，PC P 为ABC 的角平分线的交点， PBCABC，PCBACB， P 为ABC 的等角点， PBCBAC，BCPABC2PBC2BAC，ACBBPC4A， 又A+ABC+ACB180， A+2A+4A180， A， 该三角形三个内角的度数分别为， 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角
39、点的定 义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为 180，得出角的关系式并进行求解 26 （10 分）如图 1，A 是 OB 的垂直平分线上一点，P 为 y 轴上一点且OPBOAB （1）若AOB60，PB4，求点 P 的坐标； （2）在（1）的条件下，求证：PA+POPB； （3）如图 2，若点 A 是 OB 的垂直平分线上一点，已知 A（2，5） ，OPBOAB，求 PO+PB 的值 【分析】 （1）根据垂直平分线性质可得 OAAB，根据AOB 的大小可以求得OPB 60，根据 30角所对直角边为斜边一半即可求得 P 点坐标； （2）在 PB 上取一点 E，使 OPOE，可证POAEOB，
40、可证POAEOB，可 得 PAEB，即可解题； （3） 延长 BA 交 y 轴于点 D， 过 A 作 AHx 轴， AEy 轴， 可证 BPPD， 即可求得 PO+PB OP+PDOD 即可解题 【解答】解： （1）OPBOAB，AOB60， 第 23 页（共 24 页） OPB60， OBP30， PB4， OP2， P 点坐标为（0，2） ； （2）在 PB 上取一点 E，使 OPOE， OPE60， POE 是等边三角形， POE60，PEPOOE， AOB60， POAEOB 在POA 和EOB 中， ， POAEOB（SAS） ， PAEB， PBPE+EBPO+PA； （3）延长 BA 交 y 轴于点 D，过 A 作 AHx 轴，AEy 轴； OAAB， 第 24 页（共 24 页） AOBABO， ABO+ODBAOB+AOD90， AODODB， ODBABP， ADOA，BPPD， E 为 OD 中点， OEAH5， PO+PBPO+PDOD2OE10 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中 每一问作辅助线构建全等三角形是解题的关键