1、2018-2019 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）的倒数是（ ） A4 B C D4 2 （3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列二次根式能与合并的是（ ） A B C D 4 （3 分）若 ab3，a2b29，则 a+b 的值为（ ） A2 B3 C2 D3 5 （3 分）为了绿化校园，甲、乙两班共植树苗 30 棵，已知甲班植树数量是乙班的 1.5 倍， 设甲班植树 x 棵，乙班植树 y 棵根据题意，所列方程组
2、正确的是（ ） A B C D 6 （3 分）以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7 （3 分）把分式中的 x，y 的值都扩大 3 倍，那么分式的值是（ ） A扩大到原来的 3 倍 B扩大到原来的 9 倍 C不变 D缩小到原来的 8 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，DBDC，C70，AEBD 于 E，则DAE 等于（ ） 第 2 页（共 27 页） A20 B25 C30 D35 9 （3 分）如图，DE 是ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFC90，若 AC10，BC 16，则 DF
3、的长为（ ） A5 B3 C8 D10 10 （3 分）下列说法错误的是（ ） A平行四边形的内角和与外角和相等 B一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D四条边都相等的四边形是正方形 11 （3 分）下列各数中，与 2的积为有理数的是（ ） A B2+ C2 D2+ 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为，E 在正方形外，DEDC，过 D 作 DHAE 于 H，直线 DH，EC 交于点 M，直线 CE 交直线 AD 于点，则下列结论正确的是（ ） DAE DEA ； DMC 45 ； ； 若 MH 2
4、 ， 则 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）因式分解：a39ab2 14 （3 分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，那么 0.000037 毫克可以用科学记数法表示为 毫克 15 （3 分）若实数 m、n 满足|m2|+0，且 m，n 恰好是等腰ABC 的两条边的边 第 3 页（共 27 页） 长，则ABC 的周长是 16 （3 分）若，则 17（3 分） 在矩形 ABCD
5、 中， AC 与 BD 交于点 O， 如果AOB60， 则 AB： AC 18 （3 分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 5dm、3dm 和 1dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物请你想 一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是 dm 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）先化简，再求值： （2x+y） 2+（xy） （x+y）5x（xy） ，其中 x +1，y 1 21 （8
6、 分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、 舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类） ， 并将调查结果绘制成如下不完整的统计图 请你根据图中信息，回答下列问题： （1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）若该学校共有学生 2000 人，请问该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目？ 22 （8 分）如图，AEBF，AC 平分BAE，交 BF 于点 C，BD 平分ABC，交 AE 于点 D， 连接 CD 第 4 页（共 27 页） （1）求证：四边形 ABCD
7、 是菱形； （2）若 AB5，AC6，求 AE，BF 之间的距离 23 （9 分）某中学购买 A、B 品牌篮球分别花费了 2400 元、1950 元，且购买 A 品牌篮球数 量是购买 B 品牌篮球数量的 2 倍，购买一个 B 品牌篮球比购买一个 A 品牌篮球多花 50 元 （1）求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的篮球各需多少元？ （2）该学校决定再次购进 A、B 两种品牌篮球共 30 个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的 售价进行调整，A 品牌篮球售价比第一次购买时提高了 10%，B 品牌篮球按第一次购买 时售价的 9 折出售， 如果这所中学此次购买 A、 B 两种品牌篮球的总费用不超过 32
8、00 元， 那么该学校此次最多可购买多少个 B 品牌篮球？ 24 （9 分）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC4，D 是 AB 的中 点，E，F 分别是 AC，BC 上的点（点 E 不与端点 A，C 重合） ，且 AECF （1）求证：ADECDF； （2）如图 2，连接 EF 并取 EF 的中点 O，连接 DO 并延长至点 G，使 GOOD，连接 DE，DF，GE，GF求证：四边形 EDFG 是正方形 （3）当点 E 在什么位置时，四边形 EDFG 的面积最小？直接写出点 E 的位置及四边形 EDFG 面积的最小值 25 （10 分）综合与实践 问题情境：在数学活动
9、课上，老师出示了这样一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，AD 2AB，E 是 AB 延长线上一点，且 BEAB，连接 DE，交 BC 于点 M，以 DE 为一边在 DE 的左下方作正方形 DEFG，连接 AM试判断线段 AM 与 DE 的位置关系 第 5 页（共 27 页） 探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分 DE，并展示了如下的证明方法： 证明：BEAB，AE2AB AD2AB，ADAE 四边形 ABCD 是矩形，ADBC （依据 1） BEAB，EMDM 即 AM 是ADE 的 DE 边上的中线， 又ADAE，AMDE （依据 2） AM 垂直平分 DE 反思交流： （1）上述证
10、明过程中的“依据 1” “依据 2”分别是指什么？ 试判断图 1 中的点 A 是否在线段 GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图 2，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的左下方作正方形 CEFG，发现点 G 在线段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现： （3）如图 3，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG，可以发现点 C， 点 B 都在线段 AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 ABCD 和正方形 CEFG 的顶 点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论
11、，并 加以证明 26 （10 分）已知；如图 1，菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 B 的坐标为，点 C 在 y 轴上，OBC60 （1）求点 A 的坐标； 第 6 页（共 27 页） （2）如图 2，连接 AC，点 P 为ACD 内一点，BP 与 AC 交于点 G，APB60，点 E、F 分别在线段 AP、BP 上，且 BFAE若AFE30，求 AF2+EF2的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 PEAE 时，试判断PAF 形状并说明理由 第 7 页（共 27 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学
12、校八年 级（上）期末数学试卷级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）的倒数是（ ） A4 B C D4 【分析】a 的倒数是（a0） 【解答】解：的倒数是4， 故选：D 【点评】此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法注意：负数的倒 数还是负数 2 （3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形 叫做轴对称图形进行分析即可 【解答】解：A、不是轴
13、对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义 3 （3 分）下列二次根式能与合并的是（ ） A B C D 【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答 【解答】解：的被开方数是 3，而、2、的被开方数分别是 5、2、2， 第 8 页（共 27 页） 所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项 A、B、D 都不符合题意 2的被开方数是 3，与是同类二次根式，能合并，即选项 C 符合题意 故选：C 【点评】本题考查了同类二次根式的定
14、义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样 的二次根式叫做同类二次根式 4 （3 分）若 ab3，a2b29，则 a+b 的值为（ ） A2 B3 C2 D3 【分析】利用平方差公式解答 【解答】解：ab3，a2b29， （a+b） （ab）3（a+b）9， a+b3 故选：D 【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结 果是相同项的平方减去相反项的平方 5 （3 分）为了绿化校园，甲、乙两班共植树苗 30 棵，已知甲班植树数量是乙班的 1.5 倍， 设甲班植树 x 棵，乙班植树 y 棵根据题意，所列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】根
15、据“甲、乙两班共植树苗 30 棵，甲班植树数量是乙班的 1.5 倍”即可得 【解答】解：设甲班植树 x 棵，乙班植树 y 棵根据题意，所列方程组为， 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意， 找出等量关系，列出方程组 6 （3 分）以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】连接不在同一直线上的三点，得到一个三角形，分别以三角形的三边为对角线， 用作图的方法，可得出选项 【解答】 解： 如图， 以点 A， B， C 能做三个平行四边形： 分别是ABCD， ABFC， AEBC &nbs
16、p;故选：B 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键平行四边形 共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对 角有关，其他三种与边有关 7 （3 分）把分式中的 x，y 的值都扩大 3 倍，那么分式的值是（ ） A扩大到原来的 3 倍 B扩大到原来的 9 倍 C不变 D缩小到原来的 【分析】按照分式的基本性质，结合题意进行变形，可得答案 【解答】解：将分式中的 x，y 的值都扩大 3 倍，则有： 故选：C 【点评】本题考查了分式的基本性质在化简中的应用，属于基础知识的考查，比较简单 8
17、 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，DBDC，C70，AEBD 于 E，则DAE 等于（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】要求DAE，就要先求出ADE，要求出ADE，就要先求出DBC利用 DB DC，C70即可求出 【解答】解：DBDC，C70 DBCC70， 又ADBC， ADEDBC70 AEBD AEB90那么DAE90ADE20 第 10 页（共 27 页） 故选：A 【点评】解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有 关的角的度数 9 （3 分）如图，DE 是ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFC90，若 AC10，BC 16，
18、则 DF 的长为（ ） A5 B3 C8 D10 【分析】根据三角形中位线定理求出 DE，根据直角三角形的性质求出 EF，计算即可 【解答】解：DE 是ABC 的中位线， DEBC8， AFC90，E 是 AC 的中点， EFAC5， DFDEEF3， 故选：B 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平 行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 10 （3 分）下列说法错误的是（ ） A平行四边形的内角和与外角和相等 B一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D四条边都相等的四边形是正方形
19、 【分析】根据四条边都相等的四边形一定是菱形，对角线互相平分且相等的四边形是矩 形，对各个结论进行分析，从而得到最后答案 【解答】解：A 正确，平行四边形的内角和与外角和都是 360； B 正确，符合菱形的定义； C 正确，符合矩形的判定； 第 11 页（共 27 页） D 不正确，四条边都相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形； 故选：D 【点评】掌握特殊四边形的定义与判定 11 （3 分）下列各数中，与 2的积为有理数的是（ ） A B2+ C2 D2+ 【分析】根据（2+）（2）1 可得出 2+与 2互为有理化因式，此题 得解 【解答】解：（2+）（2）221， 2+与 2互为有理化因式
20、 故选：B 【点评】本题考查了分母有理化以及平方差公式，根据平方差公式寻找有理化因式是解 题的关键 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为，E 在正方形外，DEDC，过 D 作 DHAE 于 H，直线 DH，EC 交于点 M，直线 CE 交直线 AD 于点，则下列结论正确的是（ ） DAE DEA ； DMC 45 ； ； 若 MH 2 ， 则 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用等腰三角形的性质即可证明根据 DADCDE，利用圆周角定理可 知AECADC45，即可解决问题如图，作 DFDM 交 PM 于 F，证明 ADMCDF（SAS）即可解决问题解直
21、角三角形求出 CEEF可得结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， DADC，ADC90， DCDE， DADE， 第 12 页（共 27 页） DAEDEA，故正确， DADCDE， AECADC45（圆周角定理） ， DMAE， EHM90， DMC45，故正确， 如图，作 DFDM 交 PM 于 F， ADCMDF90， ADMCDF， DMF45， DMFDFM45， DMDF，DADC， ADMCDF（SAS） ， AMCF， AM+CMCF+CMMFDM， ，故正确， 若 MH2，则易知 AHMHHE2，AMEM2， 在 RtADH 中，DH1， DM3，AM+CM3， CM
22、CE， SDCMSDCE，故错误 故选：C 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 第 13 页（共 27 页） 13 （3 分）因式分解：a39ab2 a（a3b） （a+3b） 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：a39ab2a（a29b2）a（a3b） （a+3b） 故答案为：a（a3b） （a+3b） 【点评】此题主要考查了提取公因式以及公式
23、法分解因式，正确应用平方差公式是解题 关键 14 （3 分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，那么 0.000037 毫克可以用科学记数法表示为 3.710 5 毫克 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000037 毫克可以用科学记数法表示为 3.710 5 毫克， 故答案为：3.710 5 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由
24、原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 15 （3 分）若实数 m、n 满足|m2|+0，且 m，n 恰好是等腰ABC 的两条边的边 长，则ABC 的周长是 10 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 m、n 的值，再根据 m、n 分别作为等腰三角 形的腰，分类求解 【解答】解：|m2|+0， m20，n40， 解得 m2，n4， 当 m2 作腰时，三边为 2，2，4，不符合三边关系定理； 当 n4 作腰时，三边为 2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+410 故答案为：10 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质关键是根据非负数的性质求 m、 n 的值，再根
25、据 m 或 n 作为腰，分类求解 16 （3 分）若，则 【分析】根据已知式子，利用比例的合比性质对原式化简即可得出，即可直接求解 第 14 页（共 27 页） 【解答】解：原式 【点评】注意观察要求的式子和已知的式子之间的关系，利用合比性质对比例式进行灵 活变形 17 （3 分） 在矩形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， 如果AOB60， 则 AB： AC 【分析】根据矩形对角线的性质可推出ABO 为等边三角形，得出OAB60，得出 ACB30，得出 AC2AB，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ACBD，AOAC，BOBD，AB90， AOBO，
26、 又AOB60， AOB 是等边三角形， OAB60， ACB30， AC2AB， AB：AC1：2； 故答案为： 【点评】本题考查的是矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟记矩形的性质，证 明AOB 是等边三角形是解题的关键 18 （3 分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 5dm、3dm 和 1dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物请你想 一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是 13 dm 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路将台阶展开得到的是一个 第 15 页（共 27 页） 矩
27、形，蚂蚁要从 B 点到 A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答 案 【解答】解：将台阶展开，如图， 因为 AC33+1312，BC5， 所以 AB2AC2+BC2169， 所以 AB13（dm） ， 所以蚂蚁爬行的最短线路为 13dm 答：蚂蚁爬行的最短线路为 13dm 故答案为：13 【点评】此题主要考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方 形的长和宽是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得 出答案
28、 【解答】解：原式4+13+2 4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （6 分）先化简，再求值： （2x+y） 2+（xy） （x+y）5x（xy） ，其中 x +1，y 1 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括 号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式4x2+4xy+y2+x2y25x2+5xy9xy， 当 x+1，y1 时，原式9436 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 第 16 页（共 27 页） 21 （8 分）某学校要开展校园文化艺术节活动，
29、为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、 舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类） ， 并将调查结果绘制成如下不完整的统计图 请你根据图中信息，回答下列问题： （1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）若该学校共有学生 2000 人，请问该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目？ 【分析】 （1）根据喜爱相声的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以 求得喜爱舞蹈的人数，进而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角 的
30、度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目 【解答】解： （1）本次调查的学生有：1428%50（人） ， 喜爱舞蹈的学生有：5020%10（人） ， 补全的条形统计图如右图所示； （2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数是：36072； （3）2000640（名） ， 答：该学校大约有 640 名同学最喜爱“小品”节目 第 17 页（共 27 页） 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答 22 （8 分）如图，AEBF，AC 平分BAE，交 BF 于点 C，BD 平分ABC
31、，交 AE 于点 D， 连接 CD （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB5，AC6，求 AE，BF 之间的距离 【分析】 （1）根据平行线的性质得出ADBDBC，DACBCA，根据角平分线 定义得出DACBAC，ABDDBC，求出BACACB，ABDADB，根 据等腰三角形的判定得出 ABBCAD，根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平 行四边形，即可得出答案； （2）先求出 BD 的长，求出菱形的面积，即可求出答案 【解答】 （1）证明：AEBF， ADBDBC，DACBCA， AC、BD 分别是BAD、ABC 的平分线， DACBAC，ABDDBC， BACACB
32、，ABDADB， ABBC，ABAD ADBC， ADBC， 第 18 页（共 27 页） 四边形 ABCD 是平行四边形， ADAB， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：过 A 作 AMBC 于 M，则 AM 的长是 AE，BF 之间的距离， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOOCAC63， AB5， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：BO4， BD2BO8， 菱形 ABCD 的面积为ACBD6824， 四边形 ABCD 是菱形， BCAB5， 5AM24， AM， 即 AE，BF 之间的距离是 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角 形的判
33、定的应用，能熟记菱形的判定和性质是解此题的关键 23 （9 分）某中学购买 A、B 品牌篮球分别花费了 2400 元、1950 元，且购买 A 品牌篮球数 量是购买 B 品牌篮球数量的 2 倍，购买一个 B 品牌篮球比购买一个 A 品牌篮球多花 50 元 （1）求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的篮球各需多少元？ （2）该学校决定再次购进 A、B 两种品牌篮球共 30 个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的 售价进行调整，A 品牌篮球售价比第一次购买时提高了 10%，B 品牌篮球按第一次购买 第 19 页（共 27 页） 时售价的 9 折出售， 如果这所中学此次购买 A、 B 两种品牌篮球的总费用
34、不超过 3200 元， 那么该学校此次最多可购买多少个 B 品牌篮球？ 【分析】 （1）设购买一个 A 品牌的篮球需 x 元，则购买一个 B 品牌的篮球需（x+50）元， 根据购买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足球数量的 2 倍列出方程解答即可； （2）设此次可购买 a 个 B 品牌篮球，则购进 A 品牌篮球（30a）个，根据购买 A、B 两种品牌篮球的总费用不超过 3200 元，列出不等式解决问题 【解答】解： （1）设购买一个 A 品牌的篮球需 x 元，则购买一个 B 品牌的篮球需（x+50） 元，由题意得 2， 解得：x80， 经检验 x80 是原方程的解， x+50130 答：购买
35、一个 A 品牌的篮球需 80 元，购买一个 B 品牌的篮球需 130 元 （2）设此次可购买 a 个 B 品牌篮球，则购进 A 品牌篮球（30a）个，由题意得 80（1+10%） （30a）+1300.9a3200， 解得 a19， a 是整数， a 最大等于 19， 答：该学校此次最多可购买 19 个 B 品牌蓝球 【点评】此题考查分式方程与一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等 关系是解决问题的关键 24 （9 分）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC4，D 是 AB 的中 点，E，F 分别是 AC，BC 上的点（点 E 不与端点 A，C 重合） ，且
36、AECF （1）求证：ADECDF； （2）如图 2，连接 EF 并取 EF 的中点 O，连接 DO 并延长至点 G，使 GOOD，连接 DE，DF，GE，GF求证：四边形 EDFG 是正方形 （3）当点 E 在什么位置时，四边形 EDFG 的面积最小？直接写出点 E 的位置及四边形 EDFG 面积的最小值 第 20 页（共 27 页） 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质知AB45，结合 D 为 AB 中点知 CD AB 且 ADBDCD，继而得ADCF，结合 AECF 即可证得全等； （2）首先证明四边形 EDFG 是平行四边形，再证明 DEDF，EDF90即可； （3）根据垂线段最短即
37、可解决问题 【解答】解： （1）ACB90，ACBC4， AB45， 点 D 是 AB 的中点， CDAB，且 ADBDCD， DCB45， ADCF， 又AECF， ADECDF（SAS） ； （2）O 是 EF 的中点，GOOD， 四边形 EDFG 是平行四边形 ADECDF DEDF，ADECDF 由 DEDF 及四边形 EDFG 是平行四边形知四边形 EDFG 是菱形， ADE+EDC90， EDC+CDFEDF90 四边形 EDFG 是正方形 （3）当 DEAC 时，线段 DE 的值最小，四边形 EDFG 的面积最小，最小值为 4 此时，E 为线段 AC 的中点 【点评】本题是四边形
38、的综合问题，主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、 第 21 页（共 27 页） 等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识 25 （10 分）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，AD 2AB，E 是 AB 延长线上一点，且 BEAB，连接 DE，交 BC 于点 M，以 DE 为一边在 DE 的左下方作正方形 DEFG，连接 AM试判断线段 AM 与 DE 的位置关系 探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分 DE，并展示了如下的证明方法： 证明：BEAB，AE2AB AD2AB，ADAE 四边形 ABCD 是矩形，ADBC （依据
39、1） BEAB，EMDM 即 AM 是ADE 的 DE 边上的中线， 又ADAE，AMDE （依据 2） AM 垂直平分 DE 反思交流： （1）上述证明过程中的“依据 1” “依据 2”分别是指什么？ 试判断图 1 中的点 A 是否在线段 GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图 2，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的左下方作正方形 CEFG，发现点 G 在线段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现： （3）如图 3，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG，可以发现点 C， 点 B 都在线段
40、AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 ABCD 和正方形 CEFG 的顶 点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并 加以证明 第 22 页（共 27 页） 【分析】 （1）直接得出结论； 借助问题情景即可得出结论； （2） 先判断出BCE+BEC90， 进而判断出BECBCG， 得出GHCCBE， 判断出 ADBC，进而判断出 HCBH，即可得出结论； （3）先判断出四边形 BENM 为矩形，进而得出1+290，再判断出13，得 出ENFEBC，即可得出结论 【解答】解： （1）依据 1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或 平行线分线段
41、成比例） 依据 2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形 的“三线合一” ） 答：点 A 在线段 GF 的垂直平分线上 理由：由问题情景知，AMDE， 四边形 DEFG 是正方形， DEFG， 点 A 在线段 GF 的垂直平分线上 （2）证明：过点 G 作 GHBC 于点 H， 第 23 页（共 27 页） 四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上， CBEABCGHC90， BCE+BEC90 四边形 CEFG 为正方形， CGCE，GCE90， BCE+BCG90 BECBCG GHCCBE HCBE， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC
42、AD2AB，BEAB， BC2BE2HC， HCBH GH 垂直平分 BC 点 G 在 BC 的垂直平分线上 （3）答：点 F 在 BC 边的垂直平分线上（或点 F 在 AD 边的垂直平分线上） 证法一：过点 F 作 FMBC 于点 M，过点 E 作 ENFM 于点 N BMNENMENF90 四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上， CBEABC90， 四边形 BENM 为矩形 BMEN，BEN90 1+290 四边形 CEFG 为正方形， EFEC，CEF90 2+390 13 CBEENF90， 第 24 页（共 27 页） ENFEBC NEBEBMBE 四边形 ABC
43、D 是矩形， ADBC AD2AB，ABBE BC2BM BMMC FM 垂直平分 BC 点 F 在 BC 边的垂直平分线上 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的 判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键 26 （10 分）已知；如图 1，菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 B 的坐标为，点 C 在 y 轴上，OBC60 （1）求点 A 的坐标； （2）如图 2，连接 AC，点 P 为ACD 内一点，BP 与 AC 交于点 G，APB60，点 E、F 分别在线段 AP、BP 上，且 BFAE若AFE30，求 AF2+
44、EF2的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 PEAE 时，试判断PAF 形状并说明理由 【分析】 （1）由直角三角形的性质可求 BC9，由菱形的 ABBC9，即可求解； （2）如图 2 中，连接 CE、CF想办法证明CEF 是等边三角形，AFCF 即可解决问 题； （3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，在 BP 上截取 BTPA，连接 CH，CP， CT，通过证明PCT 是等边三角形，可得 CTPT，CPTCTP60，可得 CP FH，即可得结论 第 25 页（共 27 页） 【解答】解： （1）点 B 的坐标为， OB， BOC90，OBC60， OCB30， B
45、C2OB9， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC9， OA， 点 A（，0） （2）如图 2 中，连接 CE、CF OAOB，COAB， ACBC9， ABBCAC， ABC 是等边三角形， ACB60， APB60， APBACB， PAG+APBAGBCBG+ACB， PAGCBG，且 AEBF，ACBC， ACEBCF（SAS） ， CECF，ACEBCF， ECFACF+ACEACF+BCFACB60， CEF 是等边三角形， 第 26 页（共 27 页） CFE60，EFFC， AFE30， AFCAFE+CFE90， 在 RtACF 中，AF2+CF2AC281， AF2+EF281； （3）APF 是等边三角形， 理由如下：如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，在 BP 上截取 BTPA，连接 CH， CP，CT， CEF 是等边三角形， CEF60，ECCFCF， AFE30，CEFH+EFH， HCEFEFH30， HEFH， EHEF， ECEH，且 PEAE，