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浙江省2020届高三第二学期山水联盟返校考试数学试题(含答案)

1、 2019 学年第二学期“山水联盟”返校考试学年第二学期“山水联盟”返校考试 高三年级高三年级 数学学科试题数学学科试题 命题:安吉县高级中学高三数学组命题:安吉县高级中学高三数学组 审校:审校: 审核:审核: 考生须知: 1本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字 3所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4考试结束后,只需上交答题卷 选择题部分(选择题部分(40 分)分) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,

2、只有一项是符合题分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)目要求的) 1已知集合 2 |230AxZ xx, 21 1 2 2 y By ,则AB中的元素个数是( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2双曲线C的方程为 22 21xy,则( ) A实轴长为 2,焦点坐标(0, 3),(0,3) B实轴长为 2,焦点坐标 66 0, 0, 22 C实轴长为2,焦点坐标( 3,0),(3,0) D实轴长为2,焦点坐标 66 ,0 ,0 22 3已知实数, x y满足 24 1 22 xy xy xy ,则2zxy( ) A最小值为 0,不存在最大值 B最小值为 4,不存在最

3、大值 C最大值为 0,不存在最小值 D最大值为 4,不存在最小值 4 九章算术是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载, “堑堵”即底面是直角三角形的 直三棱柱,已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如图所示,则剩下部分的体积是 ( ) A16 B18 C12 D14 5若0, 2 x ,则“sin1xx ”是“cos22xxx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6函数 3 sincos ( ) xxx f x x 的图像大致是( ) A B C D 7设 1 0 2 b,随机变量X的分布列如下表所示 X 1 2 3

4、 P a b c 已知()2E X ,则当b在 1 0, 2 内增大时,()D X的变化情况( ) A先增大再减小 B先减小再增大 C增大 D减小 8 如图正四棱锥PABCD,E为线段BC上的一个动点, 记二面角PCDB为,PE与平面ABCD 所成的角为,PE与CD所成的角为,则( ) A B C D 9 已知, a bR, 函数 (),0 ( ) ,0 x xa eax x f x x x , 若函数( )yf xaxb恰有 3 个零点, 则 ( ) A1,0ab B1,0ab C1,0ab D1,0ab 10已知 n a为等差数列,且 213 ln2aaa,则( ) A 12 aa且 34

5、 aa B 12 aa且 34 aa C 12 aa且 34 aa D 12 aa且 34 aa 非选择题部分(非选择题部分(110 分)分) 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 题,多空题每题题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分)分) 11设复数 3 12 z i (其中i为虚数单位) ,则复数z的虚部是_,|z为_ 12设直线 1 l, 2 l方程分别为 1: 230lxy, 2:4 80lxay,且 12 ll,则a _ 1 l, 2 l两 条平行线间的距离为_ 13若二项式 3 3 1 (21) n xx x 的展开式中各项系数之和为

6、108,则n _,有理项的个数为 _ 14 在ABC中,90ACB,22BCAC, 点M在BC上, 且 1 sin 3 BAM, 则s i nB M A _,AM _ 15设椭圆M的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ,若斜率为 1 的直线与椭圆M相切同时亦与圆 222 :()C xybb(b为椭圆的短半轴)相切,记椭圆的离心率为e,则 2 e _ 16 设 1 , 3 a ,bR, 函数 3 ( )f xaxxb在 1,1上的最大值是 2 3 , 则 22 ab的值是_ 17平面中存在三个向量a,b,c,若| 4a ,| 4b ,且0a b,且c满足 2 2150ca c,则

7、 | 4|cabc的最小值_ 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18设函数 2 3 ( )sincos 2 1223 f xxx (1)求函数( )f x的最小正周期及单调递减区间; (2)若0, 2 x ,求函数( )f x的值域 19如图,在四棱锥PABCD中,90ABCBCD,60BAD,ADP是等边三角形, 22ABAPCD,3BP (1)求证:ADBP; (2)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值 20已知等比数列 n a的公比1q ,且 234 14aaa,

8、3 1a 是 2 a, 4 a的等差中项,数列 n b满足: 数列 nn ab的前n项和为2nn (1)求数列 n a、 n b的通项公式; (2)数列 n c满足: 1 3c , * 1 , n nn n b ccnN c ,证明 * 12 (2) , 2 n n n cccnN 21 如图, 已知抛物线的标准方程为 2 2(0)ypx p, 其中O为坐标原点, 抛物线的焦点坐标为(1,0)F, A为抛物线上任意一点(原点除外) ,直线AB过焦点F交抛物线于B点,直线AC过点(3,0)M交抛物线 于C点,连结CF并延长交抛物线于D点 (1)若弦|AB的长度为 8,求OAB的面积; (2)求|

9、 |ABCD的最小值 22已知正实数a,设函数 22 ( )lnf xxa xx (1)若2a 时,求函数( )f x在1, e的值域; (2)对任意实数 1 , 2 x 均有( )21f xax恒成立,求实数a的取值范围 2019 学年第二学期“山水联盟”返校考试学年第二学期“山水联盟”返校考试 高三年级数学学科参考答案高三年级数学学科参考答案 一、选择题一、选择题 1答案 D 解析: 1,0,1,2,3A ,(0,)B ,1,2,3AB共 3 个元素,故选择 D 2答案 D 解析:焦点在x轴上, 2 1 2 a , 2 1b , 2 3 2 c ,故选 D 3答案 A 【解析】可行域如图所

10、示,易知目标函数2zxy有最小值 0,不存在最大值,故选 A 4答案 C 5答案 A 6答案 B 【解析】函数 3 sincos ( ) xxx f x x 是奇函数,并且当x 时,( )0f x 恒成立,故选 B 7答案 D 解析:由()2E X 和1abc 可得ac ()(2)D XD X 因此做随机变量2X 的分布列令2YX X 1 0 1 P a b c 222 ( )( )()1D YE YE Yaccaacb ,则()D X减小故选 D 8答案 C 9答案 B 【解析】令 (),0 ( )( ) (1) ,0 x xa ex g xf xax a x x ,则条件等价为方程( )g

11、 xb有 3 个实数根 当0x 时,( )(1) x g xexa 对 A 选项分析:当1a ,0b时,( )g x在(, (1)a ,( (1),0)a,(0,) ,( )g x图像如 图所示: ,此时方程( )g xb最多只有 1 个实数根,所以 A 选项错误 对 B 选项分析:当1a ,0b时,( )g x在(, (1)a ,( (1),0)a,(0,) ,( )g x图像如 图所示:,故方程( )g xb可能会出现 3 个实数根,所以 B 选项正确 对 C 选项分析:当1a ,0b时,( )g x在(0,) ,( )g x图像如图所示: , 此时方程( )g xb最多只有 2 个实数根

12、,所以 C 选项错误 对 D 选项分析:当1a ,0b时,( )g x在(0,) ,( )g x图像如图所示: , 此时方程( )g xb最多只有 2 个实数根,所以 D 选项错误 所以,本题的正确选项是 B 10答案 C 解答: 222 3ln1adaa,则 2 21da又 2 0a ,所以0d ,则 34 0aa,故 34 aa 122 1aada , 1122 11aaaa ,故 12 aa 二、填空题二、填空题 11答案: 6 5 , 3 5 5 解析: 33(12 )36 12(12 )(12 )5 ii z iii ,故虚部是 6 5 22 36453 5 | 5555 z 12答

13、案:8, 5 5 13答案:2,4 解析: 3 3 1 (21) n xx x 中令1x 可得 3 23108 n ,可得2n 2 2222 3232 3 3333 1 (21)2(21) ,2xxxxxxxxx x 中只有一项为有理项, 因此展开式中有 理项是 4 个 14答案: 6 3 ,3 解析:RtABC中,2AC ,2BC ,6AB 23 sin 36 ABC, 6 cos 3 ABC 又 1 sin 3 BAM, 2 2 cos 3 BAM 162 236 sinsin() 33333 AMBBAMABM 由正弦定理, sinsin AMAB ABMAMB 3 6 sin 3 3

14、sin6 3 ABABM AM AMB 15答案: 32 2 解析:是切线方程为yxm,代入椭圆方程可得: 22222222 20baxa mxa ma b 因为相切 222 0mab , 直线yxm与圆C相切可得: | (12) 2 bm bmb ,或(12)b(舍去) 则有 2222 (12) bab,因为 222 bac, 所以可得 222 32 (2 21)(2 22) 2 ace 16答案是 1 9 【解析】 函数 3 ( )f xaxxb在 1,1上的最大值是 2 3 等价于 2 ( ) 3 f x 在 1,1上恒成立 所以 2 (1) 3 f, 2 ( 1) 3 f ,即 2 |

15、1| 3 2 |1| 3 ab ab ,两式相加结合绝对值不等式得: 4 |22| |1|1| 3 aabab ,解得 15 33 a,又因为 1 3 a ,所以 1 3 a 再把 1 3 a 代回到 2 (1) 3 f, 2 ( 1) 3 f 中,解得0b,所以 22 1 9 ab 17答案:257 | 4,| 4ab,且0a b,则a与b之间的夹角为 90; 将 2 2150ca c可以改写成 22 1535 2|00 1644 ca cacaca 因此 3 4 ca与 5 4 ca夹角为 90 因此综上条件我们可以做出如下图像 ,OAa OBb OCc 35 , 44 CDca CEca

16、 C点在以A点为圆心,1 为半径的圆上动 根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由 |15 4,0 |4 CO G CG 所构成的圆abOH, abcCH 1 | 4| 4| 4 cabccabc 1 4|4(|)4|257 4 OCHCCGCHHG 三、解答题三、解答题 18解析: (1) 2 1cos 2 336 ( )sincos 2cos 2 1223223 x f xxxx 11313 13 cos2sin2cos2sin2 2222222 xxxx 1311 cos2sin2sin 2 22223 xxx 最小正周期 2 2 T 由222, 232 kxkkZ 解得 5 , 121

17、2 kxkkZ ( )f x的单调递减区间是 5 ,() 1212 kkkZ (2)0, 2 x , 4 2, 333 x 3 sin 2,1 32 x ( )f x的值域是 1 13 , 22 19解: (1)平面四边形ABCD中,计算得2BD 取AD中点F,连PF,BF, ADP,ADB都是等边三角形,PFAD,BFAD 又PFFBF AD 平面PFB,BP 平面PFB,ADBP ()法一:在直角梯形ADCB中,3BC AD 平面PFB,AD 平面APD平面PFB 平面APD 作BGPF交PF为G,则BG 平面APD,AD、BC交于H,BHG为直线BC与平面ADP所 成的角 由题意得3PF

18、BF又3BP 30GFB, 3 2 BG , 90ABCBCD,ABCD,1CD,2AB C为BH的中点,22 3BHBC 3 sin 4 BG BHG BH 法二:CBCD,以C为坐标原点,与平面CBD垂直的CQ及CD、CB分别为x轴、y轴和z轴建 立平面直角坐标系, 则(0,0,0), (0,0, 3),(0,1,0)CBD,2BACD,(0,2, 3)A 又2PA,3PB,2PD 3 93 , 2 44 P (0,0, 3)CB ,(0, 1,3)AD , 3 53 , 2 44 DP 设平面ADP的法向量为( , , )nx y z, 030 353 00 244 n ADyz n D

19、Pxyz 取(2, 3, 3)n 直线BC与平面ADP所成角的正弦, 3 sin 4| | BC n BCn 20解析(1)由题意 234 324 14 21 aaa aaa ,得 3 24 4 10 a aa , 即 4 410q q ,解得2q 或 1 2 q ,已知1q 故2q 3 1 2 1 a a q , 1 2n n a 当1n 时, 1 1 2a b 当2n时, 11 2(1) 2(1) 2 nnn nn a bnnn 则 1 (1) 2n nn a bn ,1 n bn (2) 1 1 nn n n cc c 法 1 2 22 1 2 (1) 2(1) nn n n ccn c

20、 , 2 22 1 2 (1) 2(1)2(1) nn n n ccnn c 22 21 22 32 22 1 22 23 2 nn cc cc ccn 累加得当2n, 222 32232 n cnnn, 22 7 n cnn 当1n , 22 7 n cnn 2 1 7 2 n cnnn 12 31 351(2)22 22222 n n n n cccnn 法 2先用数学归纳法证明当 * nN, 1 2 n cn 当1n 时, 1 13 3, 22 cn,左式右式,不等式成立 假设nk时,不等式成立,即 1 2 k ck 当1nk时 , 1 1 kk k k cc c , 因 为 1 ( )

21、 k f xx x 在(1,)k 上 单 调 递 增 , 由 1 1 2 k ckk, 得 1 2 k f cf k , 即 1 11 1 2 2 k k ck k , 可得 1 3 2 k ck , 不等式也成立 由得证当 * nN, 1 2 n cn 12 31 351(2)22 22222 n n n n cccnn 21解析: (1)因为焦点坐标为(1,0),所以24p 设直线AB的方程为1xty(t为斜率的倒数) 2 2 1 440 4 xty yty yx ,则有 22 12 |14 18ABtyyt 所以1t , OAB的面积为 2 2 121212 11 142 12 2 22

22、 yyyyy yt 另解:O到直线AB的距离为 2 12 2 1t ,所以AOB的面积为 12 82 2 22 (2)因为A在抛物线上可以设 2,2 A aa,根据第(1)问可知A,B两点的纵坐标之积为定值为4,所 以 2 12 ,B aa ,则有 2 1 | 4 1 AB AB k ,其中 42 21 2 AB k aa aa 可得: 2 2 1 1 | 4 1 2 a a ABa a 设直线AC的方程为3xmy,代入抛物线可得 2 2 3 4120 4 xty yty yx ,所以可知A,C两点的纵坐标之积为12 所以 2 96 ,C aa ,同理可得 2 3 | 3 a CD a 综上可

23、知: 22 22 2 2 131313 | |3 3333 aaa ABCDaa aaaaa 所以有 2 2 22 22 1313256 | |332 33339 aa ABCD aa (等号成立条件 2 3a ) 则有| |ABCD最不值为 256 9 22解析: (1)由 2 ( )2 lnf xxxx, 得( )2(1ln )fxxx , 1 ( )2 10fx x ( )fx在1, e单调递增,( )(1)0fxf 所以:( )f x在1,e单调递增 所以 2 ( )1,2f xee (2)由题意可得:(1)fa,即01a 事实上,当01a时 2 22 2 21 ln21ln0 xx

24、xa xxaxxx aa 记 1 1t a ,设 2 2 ( )21lng tx txtxx,则( )g t为关于t的二次函数, 定义域为1,),其对称轴为 2 21 2 x t x 42 414222xxxxx 2 21 1 2 x t x 2 ( )(1)21lng tgxxxx 设 211 ( )ln , 2 x h xxx x x 22 1 (1)21 1 2121 ( )1 x xxx xx h x xxx 当 1 ,1 2 x ,( )0h x,( )h x递增;当(1,)x,( )0h x,( )h x递减 所以: min ( )(1)0h xh 即( )0h x ,于是有:( )0g t 所以:01a