1、 2019 学年第二学期“山水联盟”返校考试学年第二学期“山水联盟”返校考试 高三年级高三年级 数学学科试题数学学科试题 命题：安吉县高级中学高三数学组命题：安吉县高级中学高三数学组 审校：审校： 审核：审核： 考生须知： 1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字 3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4考试结束后，只需上交答题卷 选择题部分（选择题部分（40 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1已知集合 2 |230AxZ xx， 21 1 2 2 y By ，则AB中的元素个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2双曲线C的方程为 22 21xy，则（ ） A实轴长为 2，焦点坐标(0, 3),(0,3) B实轴长为 2，焦点坐标 66 0, 0, 22 C实轴长为2，焦点坐标( 3,0),(3,0) D实轴长为2，焦点坐标 66 ,0 ,0 22 3已知实数, x y满足 24 1 22 xy xy xy ，则2zxy（ ） A最小值为 0，不存在最大值 B最小值为 4，不存在最
3、大值 C最大值为 0，不存在最小值 D最大值为 4，不存在最小值 4 九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载， “堑堵”即底面是直角三角形的 直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 （ ） A16 B18 C12 D14 5若0, 2 x ，则“sin1xx ”是“cos22xxx”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6函数 3 sincos ( ) xxx f x x 的图像大致是（ ） A B C D 7设 1 0 2 b，随机变量X的分布列如下表所示 X 1 2 3
4、 P a b c 已知()2E X ，则当b在 1 0, 2 内增大时，()D X的变化情况（ ） A先增大再减小 B先减小再增大 C增大 D减小 8 如图正四棱锥PABCD，E为线段BC上的一个动点， 记二面角PCDB为，PE与平面ABCD 所成的角为，PE与CD所成的角为，则（ ） A B C D 9 已知, a bR， 函数 (),0 ( ) ,0 x xa eax x f x x x ， 若函数( )yf xaxb恰有 3 个零点， 则 （ ） A1,0ab B1,0ab C1,0ab D1,0ab 10已知 n a为等差数列，且 213 ln2aaa，则（ ） A 12 aa且 34
5、 aa B 12 aa且 34 aa C 12 aa且 34 aa D 12 aa且 34 aa 非选择题部分（非选择题部分（110 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 题，多空题每题题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11设复数 3 12 z i （其中i为虚数单位） ，则复数z的虚部是_，|z为_ 12设直线 1 l， 2 l方程分别为 1: 230lxy， 2:4 80lxay，且 12 ll，则a _ 1 l， 2 l两 条平行线间的距离为_ 13若二项式 3 3 1 (21) n xx x 的展开式中各项系数之和为
6、108，则n _，有理项的个数为 _ 14 在ABC中，90ACB，22BCAC， 点M在BC上， 且 1 sin 3 BAM， 则s i nB M A _，AM _ 15设椭圆M的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，若斜率为 1 的直线与椭圆M相切同时亦与圆 222 :()C xybb（b为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e，则 2 e _ 16 设 1 , 3 a ，bR， 函数 3 ( )f xaxxb在 1,1上的最大值是 2 3 ， 则 22 ab的值是_ 17平面中存在三个向量a，b，c，若| 4a ，| 4b ，且0a b，且c满足 2 2150ca c，则
7、 | 4|cabc的最小值_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18设函数 2 3 ( )sincos 2 1223 f xxx （1）求函数( )f x的最小正周期及单调递减区间； （2）若0, 2 x ，求函数( )f x的值域 19如图，在四棱锥PABCD中，90ABCBCD，60BAD，ADP是等边三角形， 22ABAPCD，3BP （1）求证：ADBP； （2）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值 20已知等比数列 n a的公比1q ，且 234 14aaa，
8、3 1a 是 2 a， 4 a的等差中项，数列 n b满足： 数列 nn ab的前n项和为2nn （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）数列 n c满足： 1 3c ， * 1 , n nn n b ccnN c ，证明 * 12 (2) , 2 n n n cccnN 21 如图， 已知抛物线的标准方程为 2 2(0)ypx p， 其中O为坐标原点， 抛物线的焦点坐标为(1,0)F， A为抛物线上任意一点（原点除外） ，直线AB过焦点F交抛物线于B点，直线AC过点(3,0)M交抛物线 于C点，连结CF并延长交抛物线于D点 （1）若弦|AB的长度为 8，求OAB的面积； （2）求|
9、 |ABCD的最小值 22已知正实数a，设函数 22 ( )lnf xxa xx （1）若2a 时，求函数( )f x在1, e的值域； （2）对任意实数 1 , 2 x 均有( )21f xax恒成立，求实数a的取值范围 2019 学年第二学期“山水联盟”返校考试学年第二学期“山水联盟”返校考试 高三年级数学学科参考答案高三年级数学学科参考答案 一、选择题一、选择题 1答案 D 解析： 1,0,1,2,3A ，(0,)B ，1,2,3AB共 3 个元素，故选择 D 2答案 D 解析：焦点在x轴上， 2 1 2 a ， 2 1b ， 2 3 2 c ，故选 D 3答案 A 【解析】可行域如图所
10、示，易知目标函数2zxy有最小值 0，不存在最大值，故选 A 4答案 C 5答案 A 6答案 B 【解析】函数 3 sincos ( ) xxx f x x 是奇函数，并且当x 时，( )0f x 恒成立，故选 B 7答案 D 解析：由()2E X 和1abc 可得ac ()(2)D XD X 因此做随机变量2X 的分布列令2YX X 1 0 1 P a b c 222 ( )( )()1D YE YE Yaccaacb ，则()D X减小故选 D 8答案 C 9答案 B 【解析】令 (),0 ( )( ) (1) ,0 x xa ex g xf xax a x x ，则条件等价为方程( )g
11、 xb有 3 个实数根 当0x 时，( )(1) x g xexa 对 A 选项分析：当1a ，0b时，( )g x在(, (1)a ，( (1),0)a，(0,) ，( )g x图像如 图所示： ，此时方程( )g xb最多只有 1 个实数根，所以 A 选项错误 对 B 选项分析：当1a ，0b时，( )g x在(, (1)a ，( (1),0)a，(0,) ，( )g x图像如 图所示：，故方程( )g xb可能会出现 3 个实数根，所以 B 选项正确 对 C 选项分析：当1a ，0b时，( )g x在(0,) ，( )g x图像如图所示： ， 此时方程( )g xb最多只有 2 个实数根
12、，所以 C 选项错误 对 D 选项分析：当1a ，0b时，( )g x在(0,) ，( )g x图像如图所示： ， 此时方程( )g xb最多只有 2 个实数根，所以 D 选项错误 所以，本题的正确选项是 B 10答案 C 解答： 222 3ln1adaa，则 2 21da又 2 0a ，所以0d ，则 34 0aa，故 34 aa 122 1aada ， 1122 11aaaa ，故 12 aa 二、填空题二、填空题 11答案： 6 5 ， 3 5 5 解析： 33(12 )36 12(12 )(12 )5 ii z iii ，故虚部是 6 5 22 36453 5 | 5555 z 12答
13、案：8， 5 5 13答案：2，4 解析： 3 3 1 (21) n xx x 中令1x 可得 3 23108 n ，可得2n 2 2222 3232 3 3333 1 (21)2(21) ,2xxxxxxxxx x 中只有一项为有理项， 因此展开式中有 理项是 4 个 14答案： 6 3 ，3 解析：RtABC中，2AC ，2BC ，6AB 23 sin 36 ABC， 6 cos 3 ABC 又 1 sin 3 BAM， 2 2 cos 3 BAM 162 236 sinsin() 33333 AMBBAMABM 由正弦定理， sinsin AMAB ABMAMB 3 6 sin 3 3
14、sin6 3 ABABM AM AMB 15答案： 32 2 解析：是切线方程为yxm，代入椭圆方程可得： 22222222 20baxa mxa ma b 因为相切 222 0mab ， 直线yxm与圆C相切可得： | (12) 2 bm bmb ，或(12)b（舍去） 则有 2222 (12) bab，因为 222 bac， 所以可得 222 32 (2 21)(2 22) 2 ace 16答案是 1 9 【解析】 函数 3 ( )f xaxxb在 1,1上的最大值是 2 3 等价于 2 ( ) 3 f x 在 1,1上恒成立 所以 2 (1) 3 f， 2 ( 1) 3 f ，即 2 |
15、1| 3 2 |1| 3 ab ab ，两式相加结合绝对值不等式得： 4 |22| |1|1| 3 aabab ，解得 15 33 a，又因为 1 3 a ，所以 1 3 a 再把 1 3 a 代回到 2 (1) 3 f， 2 ( 1) 3 f 中，解得0b，所以 22 1 9 ab 17答案：257 | 4,| 4ab，且0a b，则a与b之间的夹角为 90； 将 2 2150ca c可以改写成 22 1535 2|00 1644 ca cacaca 因此 3 4 ca与 5 4 ca夹角为 90 因此综上条件我们可以做出如下图像 ,OAa OBb OCc 35 , 44 CDca CEca
16、 C点在以A点为圆心，1 为半径的圆上动 根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由 |15 4,0 |4 CO G CG 所构成的圆abOH， abcCH 1 | 4| 4| 4 cabccabc 1 4|4(|)4|257 4 OCHCCGCHHG 三、解答题三、解答题 18解析： （1） 2 1cos 2 336 ( )sincos 2cos 2 1223223 x f xxxx 11313 13 cos2sin2cos2sin2 2222222 xxxx 1311 cos2sin2sin 2 22223 xxx 最小正周期 2 2 T 由222, 232 kxkkZ 解得 5 , 121
17、2 kxkkZ ( )f x的单调递减区间是 5 ,() 1212 kkkZ （2）0, 2 x ， 4 2, 333 x 3 sin 2,1 32 x ( )f x的值域是 1 13 , 22 19解： （1）平面四边形ABCD中，计算得2BD 取AD中点F，连PF，BF， ADP，ADB都是等边三角形，PFAD，BFAD 又PFFBF AD 平面PFB，BP 平面PFB，ADBP （）法一：在直角梯形ADCB中，3BC AD 平面PFB，AD 平面APD平面PFB 平面APD 作BGPF交PF为G，则BG 平面APD，AD、BC交于H，BHG为直线BC与平面ADP所 成的角 由题意得3PF
18、BF又3BP 30GFB， 3 2 BG ， 90ABCBCD，ABCD，1CD，2AB C为BH的中点，22 3BHBC 3 sin 4 BG BHG BH 法二：CBCD，以C为坐标原点，与平面CBD垂直的CQ及CD、CB分别为x轴、y轴和z轴建 立平面直角坐标系， 则(0,0,0), (0,0, 3),(0,1,0)CBD，2BACD，(0,2, 3)A 又2PA，3PB，2PD 3 93 , 2 44 P (0,0, 3)CB ，(0, 1,3)AD ， 3 53 , 2 44 DP 设平面ADP的法向量为( , , )nx y z， 030 353 00 244 n ADyz n D
19、Pxyz 取(2, 3, 3)n 直线BC与平面ADP所成角的正弦， 3 sin 4| | BC n BCn 20解析（1）由题意 234 324 14 21 aaa aaa ，得 3 24 4 10 a aa ， 即 4 410q q ，解得2q 或 1 2 q ，已知1q 故2q 3 1 2 1 a a q ， 1 2n n a 当1n 时， 1 1 2a b 当2n时， 11 2(1) 2(1) 2 nnn nn a bnnn 则 1 (1) 2n nn a bn ，1 n bn （2） 1 1 nn n n cc c 法 1 2 22 1 2 (1) 2(1) nn n n ccn c
20、 ， 2 22 1 2 (1) 2(1)2(1) nn n n ccnn c 22 21 22 32 22 1 22 23 2 nn cc cc ccn 累加得当2n， 222 32232 n cnnn， 22 7 n cnn 当1n ， 22 7 n cnn 2 1 7 2 n cnnn 12 31 351(2)22 22222 n n n n cccnn 法 2先用数学归纳法证明当 * nN， 1 2 n cn 当1n 时， 1 13 3, 22 cn，左式右式，不等式成立 假设nk时，不等式成立，即 1 2 k ck 当1nk时 ， 1 1 kk k k cc c ， 因 为 1 ( )
21、 k f xx x 在(1,)k 上 单 调 递 增 ， 由 1 1 2 k ckk， 得 1 2 k f cf k ， 即 1 11 1 2 2 k k ck k ， 可得 1 3 2 k ck ， 不等式也成立 由得证当 * nN， 1 2 n cn 12 31 351(2)22 22222 n n n n cccnn 21解析： （1）因为焦点坐标为(1,0)，所以24p 设直线AB的方程为1xty（t为斜率的倒数） 2 2 1 440 4 xty yty yx ，则有 22 12 |14 18ABtyyt 所以1t ， OAB的面积为 2 2 121212 11 142 12 2 22
22、 yyyyy yt 另解：O到直线AB的距离为 2 12 2 1t ，所以AOB的面积为 12 82 2 22 （2）因为A在抛物线上可以设 2,2 A aa，根据第（1）问可知A，B两点的纵坐标之积为定值为4，所 以 2 12 ,B aa ，则有 2 1 | 4 1 AB AB k ，其中 42 21 2 AB k aa aa 可得： 2 2 1 1 | 4 1 2 a a ABa a 设直线AC的方程为3xmy，代入抛物线可得 2 2 3 4120 4 xty yty yx ，所以可知A，C两点的纵坐标之积为12 所以 2 96 ,C aa ，同理可得 2 3 | 3 a CD a 综上可
23、知： 22 22 2 2 131313 | |3 3333 aaa ABCDaa aaaaa 所以有 2 2 22 22 1313256 | |332 33339 aa ABCD aa （等号成立条件 2 3a ） 则有| |ABCD最不值为 256 9 22解析： （1）由 2 ( )2 lnf xxxx， 得( )2(1ln )fxxx ， 1 ( )2 10fx x ( )fx在1, e单调递增，( )(1)0fxf 所以：( )f x在1,e单调递增 所以 2 ( )1,2f xee （2）由题意可得：(1)fa，即01a 事实上，当01a时 2 22 2 21 ln21ln0 xx
24、xa xxaxxx aa 记 1 1t a ，设 2 2 ( )21lng tx txtxx，则( )g t为关于t的二次函数， 定义域为1,)，其对称轴为 2 21 2 x t x 42 414222xxxxx 2 21 1 2 x t x 2 ( )(1)21lng tgxxxx 设 211 ( )ln , 2 x h xxx x x 22 1 (1)21 1 2121 ( )1 x xxx xx h x xxx 当 1 ,1 2 x ，( )0h x，( )h x递增；当(1,)x，( )0h x，( )h x递减 所以： min ( )(1)0h xh 即( )0h x ，于是有：( )0g t 所以：01a