1、5.公元 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯面前 1000 米处开 始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟速度的 10 倍，当比赛开始后若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米，当阿基里斯跑完 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米，当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米,所以阿基里斯永远追不上乌龟，根据这一的规律，若阿基里斯和乌龟的 距离恰好为 2 10米时，乌龟爬行的总距离是（ ） 第 2 页 共 13 页 A. 5 101 900 B. 5 109 90 C. 4 109 900
2、 D 4 101 90 6.设数列 n a的前n项和为 n S，满足 1 ( 1) 2 n nn n Sa ，则 123 SSS（ ） A. 0 B. 17 64 C. 5 64 D 21 64 7.已知数据1,2,3,4, (05)xx的平均数与中位数相等， 从这 5 个数中任取 2 个， 则这 2 个数字之积大于 5 的概率是（ ） A. 7 10 B. 3 5 C. 1 2 D 2 5 8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图中的正方形边长为 2，正视图 和俯视图中的三角形均为等腰直角
3、三角形，则该几何体的体积为（ ） A. 16 3 B. 16 3 或 20 3 C. 20 3 D 20 3 或 6 9. 已 知 函 数 1 2 212 ()l n( 52 )2 ,() 21 x x m f xmxg x xx ， 若 对 任 意 12 1 , ,1 2 x x 的 不 等 式 12 ( )()f xg x恒成立，则正数m的取值范围是（ ） A. 0,1 ln2 B. 25 0,ln 28 C. ln2, D 53 ln, 84 10.已知在ABC中，角, ,A B C的对边分别是, , ,2sin2
4、2 sincosa b ccbAaAB，点D在ABC内部， 且满足 2 3 ADBBDCCDA ，若2, 3 aABC ,则ADBD CD（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D 7 11.为了研究国民收入在国民之间的的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦兹提出了著名的劳伦兹 第 3 页 共 13 页 曲线，如图所示劳伦兹曲线为直线OL时，表示收入完全平等，劳伦兹曲线为折线OKL时，表示收入完全 不平等，记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为OKL面积，将 a Gini S 称为基尼系数 Gini越小，则国民分配越公平 设劳伦兹曲线对应的函数( )y
5、f x，则对任意(0,1)x，均有 ( ) 1 f x x 若某国家某年的劳伦兹曲线近似于 2( 0,1)yxx，则 1 4 Gini 若某国家某年的劳伦兹曲线近似于 3( 0,1)yx x，则 1 2 Gini 上述说法正确的序号是( ) A. B. C. D 12.我们把形如(0,0) b yab xa 的函数因其图像类似汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数” ，并把 其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点” ， 以“囧点” 为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆 称为“囧圆” ，则当1,1ab时，所有的“囧圆”中面积的最小值为（ ） A. &nb
6、sp;2 B. 3 C. 4 D 12 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分共分共 20 分分 13.已知复数 2 1 i z i （i 为虚数单位） ，则_z 14.如图，函数( )2sin()(0,0)f xx 的图像与坐标轴交于, ,A B C点，直线BC交( )f x的 图象于点,D O（坐标原点）为ABD的重心，(,0)A,则点C的坐标为_; (0)_f 第 4 页 共 13 页 15.若函数满足：定义域,()()R fxaf xa ，且()( )fxf x，在称函数( )f x为双a对称函数，已 知函数( )f x为 “双
7、对称 1 函数” ， 且当0,1x时 3 ( )f xx， 记函数( )( )(1)3 (56)g xf xf xxx， 则函数( )g x的最小值为_ 16.已知南北回归线的纬度23 26 ，设地球表面某地正午太阳高度角为 0，为此时太阳直射纬度，为该 地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90| ，当地夏半年取正值，冬半年取负值，如果 在北半球某地（纬度为 0 ）的一栋高为的楼房北面盖一栋新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的 楼房遮挡，两楼的距离不小于_（结果用含 00 ,h的式子表示） 三、解答题共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.如图所示，四边形ABCD是
8、正方形，平PA 面ABCD，,E F分别是线段,AD PB的中点, 1PAAB. （1）求证：/EF平面DCP （2）求点F到平面PDC的距离. 18.若数列 n a的前n项和为 n S，且 2 1221 1,2,(1)(1)(1) nnn aaSSS （1）求 n S 第 5 页 共 13 页 （2）记数列 1 n a 的前n项和为 n T，证明：12 n T 19.某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价将 该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据,(1,2,3,4,5,6) ii x yi 如下表所示： （1）求P的值； （2）已知
9、变量, x y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程（计 算结果精确到整数位） （3）用 i y表示用正确的线性回归方程得到的与 i x对应的产品销量的估计值，当销量数据, ii x y的残差的 绝对值1 ii yy时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这 6 组数据中任取 2 组，求抽出的 2 组销 售数据都是“有效数据”的概率 附参考公式： 666 2 111 1 80,1606,91 6 iiii iii yyx yx ， 66 11 66 2 22 11 ()() () iiii ii ii ii xx yyx ynxy b xxxnx ，aybx
10、20. 已知椭圆 22 :1 1612 xy 双曲线 的焦距等与椭圆 的长轴长。 （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线l经过点(3,0)E与椭圆交于,A B两点，求OAB的面积的最大值; （3）设直线: l ykxm(其中, k m为整数）与椭圆交于不同的,A B两点，且与双曲线交于不同的 ,C D两点，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在指出这样的直线有多少条？若不存在，请 说明理由. 第 6 页 共 13 页 21.已知函数 ln ( ) x f x x （1）若直线 3 2 :2l ykxe与( )yf x的图像相切，求实数k的值； （2）设 3 2 2ae ，求证:对0k
11、，直线ykxa与( )yf x的图像有唯一公共点. 请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。 22.已知曲线C的及坐标方程是4cos ,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线l的参数方程是 2 2 2 2 xmt yt （t 是参数） (1)若直线l与曲线C相交于,A B两点，且14AB ，求实数m的值； （2）设( , )M x y为曲线C上任意一点，求xy的取值范围. 23.已知函数 ( )| 21 |1 |fxxx （1）求不等式( )4f x 的解集； （2）设函数( )f x的最小值为m，当, ,a b
12、cR,且a b cm 时， 求212121abc 的最大值. 试题答案部分 一、选择题 1-6, ADCBAD 7-12 BCADAB 二、填空题 13. 11 22 i 14. ,0 2 3 15. 17 16. 00 tan(23 26 )h 第 7 页 共 13 页 三、解答题 17.（1）取PC中点M,连接,DM MF, 1 /, 2 MFCB MFCB ,EDEAABCD正方形, 1 /, 2 DECB DECB /,MFDE MFDE所以四边形DEFM平行
13、四边形, /,EFDMEF平面,PDC DM 平面PDC, 所以/EF平面PDC. （2）因为/EF平面PDC.，所以点F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离 因为PA 面,1,2ABCDPADAPAADDP， PA 平面 ABCD, ,PACBCBAB PAABACB平面PAB 222 ,3,CBPBPCPDDCPC, 122 1 222 S , E PDCC PDE VV 111112 2, 323 2 24 hh 所以点到平面的距离为 2 4 18.解： （1） 由题意得：1 n S 是等比数列， 第 8 页 共 13 页 12 12,14,2
14、SSq ， 12 ,21 nn nn SS （2）当1n 时， 1 1a 当2n时， 1 1 1 11 2, 2 n nnn n n aSS a ， 1 12 11111 .1. 22 n n n T aaa 1 1 2 2 n 1 1 01 2 n ， 1 1 122,12 2 n n T 19. （1）由 6 1 1 80 6 i i yy 得 91 86787370 80 6 p 求得82p （2）3.5x ， 666 2 111 1 80,1606,91 6 iiii iii yyx yx 2 16066 3.5 80 4 91 6 3.5 b ，804 3.594a （或 74 80
15、3.595 175 a ） 所以回归方程为495yx 或494yx （3）当 11 1,90xy时,当 22 2,86xy时,当 33 2,82xy时.当 66 6,70xy时 第 9 页 共 13 页 所以满足条件的有： 2,86 , 3,82 , 4,78 , 6,70 任意抽取 2 个共有 15 个结果 所以所求事件的概率为 62 155 20.解： （1）椭圆的焦点坐标为2,0，长轴为 8 则双曲线的 2 2,4,12acb 所以双曲线的方程为 22 1 412 xy （2）设直线方程为3xmy 则 22 22 3 ,(34)18210 121612 16 xmy mymy xy ，
16、1212 22 1821 , 3434 m yyy y mm 2 2 121222 22 11127 3()46 3 22(34) m SOE yyyyy y m ， 令 2 22 127 (34) m t m ，则 2 7 12 t m 所以 2 222 12716164 81 (34)18819 18 mt mtt t t 当且仅当9t ，等号成立 2 22 127 6 34 3 (34) m S m 所以三角形面积的最大值为4 3 第 10 页 共 13 页 （3）存在这样的直线ykxm，且有 9 条 22 121612 16xy ykxm ， 222 (34)84480kxkmxm，
17、设 1122 ( ,) (,)A x y B xy 12 2 8 ,0 34 km xx k 22 12448 ykxm xy 设 3344 ,C x yD x y 342 2 2 ,0 3 km xx k ， 0ACBD 所以 4231 0yyyy, 1234 22 82 , 343 kmkm xxxx kk , 20km或 22 82 343 kmkm kk 所以0k 或0m 当0k 时2 32 3m 因为 m 是整数，所以3, 2, 1,0,1,2,3m 因为 k 是整数，所以1,0,1k 所以满足条件的直线共 9 条。 第 11 页 共 13 页 21 .(1)设切点为 0 0 2 0
18、 ln1 ln ,( ) xx xfx xx 则切线方程为 00 0 2 00 ln1 ln () xx yxx xx 因为 2 2ykxe与( )yf x相切，所以 11 0 22 0 0 2ln1 2,2ln210 x exex x 令 3 2 ( )2ln21h tte t ， 333 0 222 0 2 l n12 2,( )20 ,0 x eh tete xt ，此时为增函数， 33 22 2 ( )20,h tete t ，此时为减函数， 即当 3 2 xe时有极大值， 3 2 ()3 2 10h e ， 33 22 0 1 ( )0,2 , 2 h ttexk e （
19、2）令 ln1 ln2ln3 ( ),( ),( ) xxx g xkxa g xgx xxx ， 当 3 2 0xe时( )0,( )gxg x递减 当 3 2 xe时，( )0,( )gxg x递增 所以 3 2 3 1 ( )() 2 g xg ek e 当 3 1 2 k e 时( )0, ( )g xg x单调递增， ()()0 kkkk k k g ekeak ee e 当1x时 ln 0 x x ；当 a x k 时 0kxa， 第 12 页 共 13 页 取 11 ln1 max1, ()()0 1 aa xg xka kk ( )g x有
20、唯一的零点 ； 当 3 1 0 2 k e 时， 3 2 3 ln1 ( )2 2 x g xxe xe 单调递增， 3 2 ()0,g e 3 2 0xe s 时， 3 2 ln1 2 2 x xekxa xe ， 故( )0,( )g xg x在 3 2 0,e 上没有零点; 当 3 2 xe时( )g x在 3 2 ,)e单调递增, 3 2 3 1 ()0 2 g ek e , 22 11 1 ln() 1 ()0 11 kk gkk k kk 所以存在 33 22 (,),( )0, ( )teext g xg x单调递减， 当,( )0, ( )xt g xg x单调递增， 又 33
21、3 222 3 2 3 0, ( )()0 2 g ekeag tg e e 取 22 max1, ()0 a xg x k 所以( )g x有唯一的零点 综上所述 3 2 2ae ，对0k ，直线ykxa与( )yf x的图像有唯一公共点. 22.（1）曲线的直角坐标方程为 22 (2)4xy, 直线的直角坐标方程为yxm, 第 13 页 共 13 页 所以 2022 ,1 222 m dm 或3m (2)圆的参数方程为 2sin 22cos y x 因为点在圆上，所以22cos2sin22sin() 4 xy 所以xy范围是22 2,22 2 23.解： （1） 1 ( )42 324 x f x x 或 1 1 2 4 x x 或 1 324 x x , 解得： 2 |2 3 xx （2） 1 32, 2 1 ( ),1 2 32,1 xx f xxx xx ， min 11 ( ), 22 f xm， 设21,21,21xaybzc. 22 2,221 22222xyxyxyabab , 同理2221,2222yxbcxzca, 2222 ()22221 21 21 812xyyxyzxyyzxzabc , 2 3xyz 所以当 1 6 abc时取得最大值2 3.