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2020届内蒙古赤峰市高考模拟考试数学理科试题(含答案)

1、理科数学试卷第 1 页 共 8 页 绝密绝密启用前启用前 赤峰市高三 416 模拟考试试题 理科数学2020.4 本试卷共本试卷共 23 题,共题,共 150 分,共分,共 8 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:注意事项: 1答题前,考生先将自己的姓名,准考证号码填写清楚,将条形码粘贴在条形码区 域内. . 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写,字体工整,笔迹清楚. . 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试卷上答题无效. . 4

2、作图可先使用铅笔画出,确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. . 5保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. . 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1已知集合 2 |+230Ax xx,1 sin ,0By yx x ,则AB A.3,1B.0,1C.1,2D.3,2 2已知复数z满足0zz,且9z z ,则z A.3B.3iC.3iD.3 3某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月 份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调 查,得到 本月的用水量(单位:m m 3 3)的频

3、率分布直 方图如图所示,则小区内用水量超过15m m 3 3的住户 的户数为 A.140B.10C.50D.60 o 510152025 0.01 0.04 0.05 0.10 用水量用水量 频率频率/组组 理科数学试卷第 2 页 共 8 页 4设等比数列 n a的前n项和为 n S,则“ 1 0a ”是“ 2021 0S” 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5设双曲线C: 2 2 1 x y m 的一条渐近线方程为320xy,则m的值为 A. 4 9 B. 9 4 C. 3 2 D. 2 3 6已知 1 2 2a , 1 5 5b , 3 l

4、og 2c ,则a,b,c的大小关系为 A.abcB.cbaC.cabD.bac 7若实数x,y满足不等式组 026 36 xy xy ,则2zxy的最大值为 A.10B.8C.5D.3 8关于函数( )sincosf xxx有下述四个结论: ( )f x是偶函数;( )f x在区间,0 2 上是单调递增函数; ( )f x在R上的最大值为2;( )f x在区间2 ,2上有 4 个零点. 其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D. 9设等边ABC内接于圆 22 :1xy,P是圆上一点,则()PAPBPC 的最大值是 A.2B.1C.3D.2 10 已知椭圆C:1 9 2 2 2 2 a y a

5、 x , 直线 1 l:03mymx与直线 2 l:03myx相 交于点P,且P点在椭圆内恒成立,则椭圆C的离心率取值范围为 A. 2 0 2 ,B. 2 ,1 2 C. 1 0, 2 D. 1 ,1 2 理科数学试卷第 3 页 共 8 页 11如图, 在三棱柱 111 ABCABC中, 底面为正三角形, 侧棱垂直底面, 4AB , 1 8AA . 若E,F分别是棱 1 BB, 1 CC上的点, 且 1 BEB E, 11 1 4 C FCC, 则异面直线 1 AE 与AF所成角的余弦值为 A. 2 10 B. 26 13 C. 13 13 D. 3 10 12已知定义在R上的可导函数 xf满

6、足 01 xxfxfx, 若 3 2exfy 是奇函数,则不等式 02 1 x exxf的解集是 A.2 ,B.1 ,C.,2D.,1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13已知非零向量, a b 满足=2ba ,且 baa ,则a 与b 的夹角为. 14在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是cba,,若 4 cos 5 B , 12 cos 13 C , 1b ,则a . 15验证码就是将一串随机产生的数字或符号,生成一幅图片,图片里加上一些干扰象 素(防止 OCR),由用户肉眼识别其中的验证码信息,输入表单提交网站验证,验证 成功后才能使用某项功能。很多网站

7、利用验证码技术来防止恶意登录,以提升网络 安 全在抗疫期间,某居民小区电子出入证的登录验证码由 0,1,2,9 中的 五个数字随机组成。将中间数字最大,然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验 证码”(例如:如 14532,12543),已知某人收到了一个“钟型验证码”,则该验证 码的中间数字是 7 的概率为. 理科数学试卷第 4 页 共 8 页 16在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑,在鳖臑 ABCD 中,AB平面 BCD,且有 BDCD,ABBD2,CD1,则此鳖臑的外接球 O (A、B、C、D 均在球 O 表面上)的直径为;过 BD 的平面截球 O 所得 截面面积的最小

8、值为. 三、解答题:共三、解答题:共 7070 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第第 17172121 题为必题为必 考题,每个试题考生都必须作答,第考题,每个试题考生都必须作答,第 22222323 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. . (一)必考题:共(一)必考题:共 6060 分分 17(12 分) 如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABAD,=45ADC , / /ADBC,22ADAB,ADP为等边三角形,平面PAD 底面ABCD, E为AD的中点. (1)求证:平面PBC 平面PCE;

9、 (2)点F在线段CD上,且 3 = 2 CF FD , 求平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值. 18(12 分) 已知数列 n a和 n b满足: 11 2,1ab , 11 2 nnn aab , 11 2 nnn bba , ,2nNn (1)求证:数列 nn ab为等比数列; (2)求数列 1 3n nn a a 的前n项和 n S. 理科数学试卷第 5 页 共 8 页 19.(12 分) 为响应“坚定文化自信,建设文化强国”,提升全民文化修养,引领学生“读经典, 用经典”,某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集 中,在某高中学校随机抽取了 120

10、 名学生做调查,统计结果显示:样本中男女比例为 3:2,而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7:5,女生中喜欢阅读中国古 典文学和不喜欢的比例是 5:3. (1) 填写下面列联表, 并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与 性别有关系? 男生女生总计 喜欢阅读中国古典文学 不喜欢阅读中国古典文学 总计 (2)为做好文化建设引领,实验组把该校作为试点,和该校的的学生进行中国古典文 学阅读交流.实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人 作为代表,这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学.现从 这 7 名

11、代表中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会,记为参加会议的 5 人中喜欢古典文学的人数,求的分布列及数学期望 E. 附表及公式:附表及公式: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,nabcd. 2 0 ()P Kk0.050.0250.0100.0050.001 0 k3.8415.0246.6357.87910.828 理科数学试卷第 6 页 共 8 页 20.(12 分) 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc 关于直线l:02 yx的对 称点为M,且23FM.若点P为C的准线上的任意一点,过点P作C的两条切 线PBPA,其中BA,为

12、切点. (1)求抛物线C的方程; (2)求证:直线AB恒过定点,并求PAB面积的最小值. 21(12 分) 已知函数 xxfln. (1)设 2 x xf xg,求函数 xg的单调区间,并证明函数 xg有唯一零点; (2)若函数 1xafexh x 在区间(1,1) a e上不单调,证明: 11 1 a aa . 理科数学试卷第 7 页 共 8 页 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做 的第一题计分. 做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22.(10 分)选修选修 44:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 在平面直角坐

13、标系xOy中,直线l的参数方程为 2xat yt (t为参数),以坐标原 点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin . (1)若2a ,求曲线C与l的交点坐标; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为45o的直线,交l于点A,且PA的最大值 为10,求a的值. 理科数学试卷第 8 页 共 8 页 23.(10 分)选修选修 4 45 5:不等式选讲:不等式选讲 已知函数( )12f xxx. (1)解不等式1)(xf; (2)记函数)(xf的最大值为s,若( , ,0)a b cs a b c , 证明: 222222 3a bb cc aabc.

14、 理科数学答案 第 1 页 共 1 页 赤峰市高三赤峰市高三 4 41616 模拟考试试题模拟考试试题 理科数学参考答案理科数学参考答案 20202020.4.4 说明:说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分分 1.1.B B ; 2 2. . D D; 3 3. .D D ; 4 4.

15、.C C; 5 5. . A A; 6 6. .B B; 7 7. .D D; 8 8. .C C ; 9 9. .D D ; 1010. .A A; 1111. .B B ; 1212. .A A 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分分. . 13 3 ; 14. 56 39 ; 15. 5 36 ; 163,. 三、解答题:共三、解答题:共 7070 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (12 分) (1)证明:PAD为等边三角形,E为AD的中点, PEA

16、D 平面PAD 底面ABCD,平面PAD底面=ABCD AD, PE 底面ABCD,BC 平面ABCD,PEBC3 分 由又题意可知ABCE为正方形,CEBC 又PEECE,BC 平面PCE 5 分 BC 平面PBC,平面PBC 平面PCE 6 分 (2)解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0), (0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0)EABC (0,1,0),(0,0, 3DP) ,由已知 3 5 CFCD ,得 2 3 ( ,0) 5 5 F7 分 2 3 (1, 1,3),( ,3) 5 5 PBPF 设平面PBF的法向量为( , , )nx y z ,则 理科数学答

17、案 第 2 页 共 2 页 30 23 30 55 n PBxyz n PFxyz 令 3z ,则 249 , 55 xy, 24 9 3 55 n , 9 分 又(1)知平面PAD的法向量可取为(1,0,0)m 10 分 22 2 24 4 183 5 cos, 61 249 3 55 m n 11 分 平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值为 4 183 61 . 12 分 18. (12 分) 解:(1) 111111 (2)(2)3() nnnnnnnn ababbaab 3 分 ,2nNn, 11 =3 nn nn ab ab 所以数列 nn ab是以3为首项,以3为公比的等比

18、数列 6 分 (2)由(1)知,=3n nn ab, 111111 (2)(2) nnnnnnnn ababbaab nn ab为常数列,且 11 1 nn abab8 分 231 n n a, 31 2 n n a 11 +1 34 311 =2 (31)(31)3131 nn nnnn nn a a 10 分 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 1 111111 2 41010283131 n nn S 11 1112 2= 431231 nn 12 分 19. (12 分) 解:(1) 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 42 30 72 不喜欢阅读中国古典文学 30 18 48

19、总计 72 48 120 3 分 2 2 7248 120 7 (42 183030) =0.2083. 248 841K 所以,没有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系6 分 (2)设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m,女生中喜欢古典文学的人数 为n,则=m n .且=234 , ,7 分 1211 2221 32 43 1 =21,1; 3 C C C C PP mn C C 2111122 2221222 3232 4343 1 =32,11,2; 2 C C C CC C C PP mnP mn C CC C 212 222 32 43 1 =42,2 6 C

20、C C PP mn C C 10 分 所以的分布列为: 2 3 4 P 1 3 1 2 1 6 则 11117 =2+3+4=. 3266 E 12 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页 20.(12 分) 解:(1)依题意 023 2 22 c d ,解得1c (负根舍去) 抛物线C的方程为 2 4xy 5 分 (2)设点 11 ( ,)A xy, 22 (,)B xy,) 1,( tP,由 2 4xy, 即 2 1 4 yx ,得y 1 2 x 6 分 抛物线C在点A处的切线PA的方程为)( 2 1 1 1 xx x yy, 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 7 分 2 1

21、1 4 1 xy , 1 1 2 yx x y,点) 1,( tP在切线PA上, 1 1 2 1yt x ,同理, 2 2 2 1yt x 8 分 综合、得,点 1122 ( ,), (,)A x yB x y的坐标都满足方程 yt x 2 1. 即直线:AB1 2 x t y恒过抛物线焦点(0,1)F 9 分 当0t时,此时) 1, 0( P,可知:ABPF 当0t,此时直线PF直线的斜率为 2 PF k t ,得ABPF 10 分 于是ABPFS PAB 2 1 ,而4) 11()0( 222 ttPF 把直线1 2 x t y代入 2 4xy中消去x得 22 (2)10yty 11 分

22、2 21 42tyyAB,即: 2 3 222 )4( 2 1 4)4( 2 1 tttS 理科数学答案 第 5 页 共 5 页 当0t 时, PAB S最小,且最小值为 412 分 21.(12 分) 解(1)函数 xg的定义域为,0,由 0 ln21 3 x x xg,解得ex, 0为 增区间;由 0 ln21 3 x x xg解得,ex为减区间2 分 下面证明函数只有一个零点: 0 2 1 , 0 1 2 e ege e g,所以函数在区间e,0内有零点, 0,xgx,函数在区间,e上没有零点, 故函数只有一个零点 5 分 (2) 证明:函数 1ln1xaexafexh xx ,则 1,

23、 1 1 1 x x aex x a exh x x 6 分 当0a时, 0 xh, 不符合题意; 当0a时, 令axexm x ) 1()( , 1x, 则 0 x xexm, 所以)(xm 在 , 1上单调增函数, 而0) 1 (m, 又 xh 区间(1,1) a e上不单调,所以存在 0 (1,1) a xe,使得 xh在(1,1) a e上有一 个零点 0 x,即0 0 xh,所以0)( 0 xm 8 分 0)()1 ( 0 11 xmaeaeeem aeea a a a ,即 1 a a e ea 两边取自然对数,得1 a aelna ,即1 a elnaa , 要证 11 1 a

24、aa ,不妨考虑证 11 1 1 a elna aa 10 分 先证明:1(0) x exx,令( )1 x n xex,则( )10 x n xe ( )n x在(0),上单调递增,即( )(0)0n xn,1(0) x exx 在中令xa, 111 1 11 aa a eae eaa 11 分 理科数学答案 第 6 页 共 6 页 令 1 lnx a 1 ln 1 ln1 a e a ,即 111 ln11lna aaa 即 11 1ln 1 a ea aa , 11 1 a aa 12 分 22.(10 分)选修选修 4 44 4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 解:(1) 2222

25、 2 12 ,3sin12. 3sin 由 cos sin x y 得 22 3412,xy曲线C的直角坐标方程为 22 1 43 xy . 当2a 时,直线l的普通方程为220xy3 分 由 22 220 1 43 xy xy 解得 2 0 x y 或 1 3 2 x y . 从而C与l的交点坐标为 3 2,0 , 1, 2 .5 分 (2)由题意知直线l的普通方程为20xya, C的参数方程为 2cos 3sin x y (为参数) 故C上任意一点 2cos , 3sinP到l的距离为 4sin 2cos2 3sin 6 55 a a d 8 分 则 2 4sin 6 2 sin455 a

26、 d PAd . 当0a时,PA的最大值为 24 10 5 a ,所以1a ; 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 当0a时,PA的最大值为 2 4 10 5 a ,所以1a . 综上所述,1a 或1a 10 分 23.(10 分)选修选修 4 45 5:不等式选讲:不等式选讲 (1)解: 3,1 ( )21, 12 3,2 x f xxx x 3 分 当1x时,3 1 恒成立,所1x; 当12x 时,21 1x 即1x,所11x ; 当2x时,3 1显然不成立,所以不合题意; 综上所述,不等式的解集为(,15 分 (2)证明:由(1)知 max ( )3f xs,于是 3abc 由基本不等式可得 22222422 22a bb ca b cab c (当且仅当a c 时取等号) 22222242 22b cc aa b cabc (当且仅当b a时取等号) 22224222 22c aa ba b ca bc (当且仅当c b时取等号)8 分 上述三式相加可得 222222 2()2()a bb cc aabc abc (当且仅当abc 时取等号) 3abc , 222222 3a bb cc aabc,故得证10 分