1、2018-2019 学年湖南省湘东六校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 U1，2，5，7，9，A1，2，5，B2，5，7，则下列结论中正确的 是（ ） AAB BAB2 CAB1，2，5，7，9 DAUB1 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z1+i，则 的实部与虚部之差为（ ） A1 B0 C2 D2 3 （5 分）cos4260（ ） A B C D 4 （5 分）某所学校在一个学
2、期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开 支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（ ） A12.25% B16.25% C11.25% D9.25% 5 （5 分）（ ） Abca Bbac Ccba Dcab 6 （5 分）在空间中，下列命题为真命题的是（ ） A对于直线 a，b，c，若 ac，bc 则 ab B对任意直线 a，在平面 中必存在一条直线 b 与之垂直 C若直线 a，b 与平面 所成的角相等，则 ab D若直线 a，b 与平面 所成的角互余，则 ab 第 2 页（共 17 页） 7 （5 分）曲线在点（3，f（3） ）处的切线的
3、倾斜角为（ ） A135 B135 C45 D45 8 （5 分）已知向量 （1，3） ， （3，m） ，若 ，则|2 + |等于（ ） A10 B16 C5 D4 9 （5 分）要得到函数 ysin（2x+）的图象，只需将函数 ycos（2x）的图象上 所有点（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 10 （5 分）函数 f（x）+x22|x|的大致图象为（ ） A B C D 11 （5 分）设双曲线 C：（a，b0）的一条渐近线与抛物线 y2x 的一个交点 为 A，若点 A 到直线的距离大于，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是（
4、 ） A B （1，） C （，+） D 12 （5 分）设数列an满足 a12，a26，且 an+22an+1+an2，若x表示不超过 x 的最 大整数， （例如1.61，1.62）则（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 第 3 页（共 17 页） 二填空题： （本大题共二填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.） 13 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f （1） ）的值为 14 （5 分）在等差数列an中，公差 d0，a1+a614，a2a540，则数列an的前 9 项之
5、 和等于 15（5分） 若直线 l： xy+t0 与圆 C： x2+y212x16y+960相切， 则实数 t的值为 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，AD2，ABBCCA3，当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球的表面积为 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答解答 写在答题卡的制定区域内写在答题卡的制定区域内. 17 （10 分）新高考 3+3 最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、 化学、生物、政治、历史、地理这 6 科中自由选择三门科目
6、作为选考科目某研究机构 为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一 年级的 1000 名学生中随机抽取男生，女生各 25 人进行模拟选科经统计，选择全文的 人数比不选全文的人数少 10 人 选择全文 不选择全文 全计 男生 5 女生 合计 （1）估计在男生中，选择全文的概率 （2）请完成下面的 22 列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明 理由； 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.845 5.024 6.636 7.879
7、 10.828 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn为等比数列，b1 a1，且 b3是 a2，a12的等差中项 （）求数列an、bn的通项公式； 第 4 页（共 17 页） （）记，求数列cn的前 n 项和为 Tn 19 （12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 b （13cosA） 3acosB， （1）求的值， （2）若 a3，求ABC 的面积 20 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 AC 的中点 （1）求证：AB1面 BC1D （2）若 ABBCBB1，ABC，求 CC1与面 BC1D 所
8、成角的正弦值 21 （12 分）已知动点 G（x，y）满足 （1）求动点 G 的轨迹 C 的方程； （2） 过点 Q （1， 1） 作直线 L 与曲线 C 交于不同的两点 A， B， 且线段 AB 中点恰好为 Q 求 OAB 的面积； 22 （12 分）已知 f（x）exsinx （1）求函数 f（x）在（0，）的极值 （2）证明：g（x） 第 5 页（共 17 页） 2018-2019 学年湖南省湘东六校高二（下）期末数学试卷（文科）学年湖南省湘东六校高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题
9、 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 U1，2，5，7，9，A1，2，5，B2，5，7，则下列结论中正确的 是（ ） AAB BAB2 CAB1，2，5，7，9 DAUB1 【分析】由全集 U 以及 B 的补集求出UB，找出 AUB 正确 【解答】解：U1，2，5，7，9，A1，2，5，B2，5，7， UB1，9，A1，2，5，AUB1 故选：D 【点评】本题主要考查集合的基本运算，集合的关系，比较基础 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z1+i，则 的实部与虚部之差为
10、（ ） A1 B0 C2 D2 【分析】由已知求得 的实部与虚部，作差得答案 【解答】解：z1+i， 则 的实部为 1，虚部为1， 的实部与虚部之差为 2 故选：D 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）cos4260（ ） A B C D 【分析】直接利用诱导公式化简为特殊角的三角函数，求解即可 【解答】解： 故选：A 【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力 4 （5 分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开 第 6 页（共 17 页） 支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（ ） A12.25%
11、B16.25% C11.25% D9.25% 【分析】先对图表信息进行分析处理再结合进行简单的合情推理可得：该学期的水电费 开支占总开支的百分比为20%16.25%，得解 【解答】 解： 由图 1， 图 2 可知： 该学期的水电费开支占总开支的百分比为 20%16.25%， 故选：B 【点评】本题考查了对图表信息的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题 5 （5 分）（ ） Abca Bbac Ccba Dcab 【分析】容易得出 log20.30，0log321，20.11，从而得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：log20.3log210，0log31log32log331，20
12、.1201； cba 故选：C 【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，增函数的定义 6 （5 分）在空间中，下列命题为真命题的是（ ） A对于直线 a，b，c，若 ac，bc 则 ab B对任意直线 a，在平面 中必存在一条直线 b 与之垂直 C若直线 a，b 与平面 所成的角相等，则 ab D若直线 a，b 与平面 所成的角互余，则 ab 【分析】通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：若 ac，bc 则 a 与 b 可能平行，相交，异面，所以，A 假； 若直线在平面内，则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的 射影，在平
13、面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B 真； 设当 a，b 与平面 所成的角都为 45，则 ab，ab 都有可能，C，D 均为假， 故选：B 【点评】本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推 理能力 7 （5 分）曲线在点（3，f（3） ）处的切线的倾斜角为（ ） A135 B135 C45 D45 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线的倾斜角 【解答】解：曲线可得：， 因此，倾斜角为 135 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力 8 （5 分）已知向量 （1，3） ， （3，m） ，若 ，则|2
14、+ |等于（ ） A10 B16 C5 D4 【分析】通过斜率的数量积求出 m，利用斜率的模转化求解即可 【解答】解： ， 33m0，解得 m1 2 + （5，5） ，则|2 + | 故选：C 【点评】本题考查斜率的数量积的应用，斜率的模的求法，是基本知识的考查、 9 （5 分）要得到函数 ysin（2x+）的图象，只需将函数 ycos（2x）的图象上 所有点（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 第 8 页（共 17 页） D向右平移个单位长度 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数 yAsin（x+）的图象变换规 律，得出结论 【解答】 解： 函
15、数 ycos （2x） cos （2x+） sin （2x+） sin2 （x+） +， 要得到函数 ysin（2x+）的图象， 只需将函数 ycos（2x）的图象上所有点向右平移个单位长度， 故选：D 【点评】本题主要考查诱导公式、函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 10 （5 分）函数 f（x）+x22|x|的大致图象为（ ） A B C D 【分析】利用 f（1）0，以及函数的极限思想进行排除即可 【解答】解：f（1）sin1+12sin110，排除，B，C， 当 x0 时，1，则 f（x）1+01，排除 A， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除
16、法结合函数的极限思想是解决 本题的关键 11 （5 分）设双曲线 C：（a，b0）的一条渐近线与抛物线 y2x 的一个交点 为 A，若点 A 到直线的距离大于，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是（ ） 第 9 页（共 17 页） A B （1，） C （，+） D 【分析】 求出双曲线的渐近线方程， 利用渐近线方程与抛物线方程联立， 求出交点坐标 A， 推出 a，b 的关系式，然后求解离心率的范围即可 【解答】解：双曲线 C：（a，b0）的一条渐近线 bx+ay0， 联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程， 消去 y 得x2x，由 x0知2，即2， 故 e23又 e1，所以 1e， 故选：B
17、 【点评】本题考查抛物线的性质双曲线的简单性质，求解双曲线 C 的离心率 e 的取值范 围的综合应用 12 （5 分）设数列an满足 a12，a26，且 an+22an+1+an2，若x表示不超过 x 的最 大整数， （例如1.61，1.62）则（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 【分析】利用 an+22an+1+an2，推出an+1an是等差数列，首项为 4，公差为 2求 出 an+1an2n+2利用累加法切线通项公式，得到1然后求解 即可 【解答】解：an+22an+1+an2，an+2an+1（an+1an）2， a2a14 an+1an是等差数列，首项为 4，公差为
18、 2 an+1an4+2（n1）2n+2 n2 时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1 2n+2（n1）+22+2n（n+1） 1 第 10 页（共 17 页） 2+20172019 故选：B 【点评】本题考查数列的应用，数列与函数相结合的应用，考查计算能力 二填空题： （本大题共二填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.） 13 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f （1） ）的值为 1 【分析】推导出 f（1）log10，从而 f（f （1） ）f（0） ，由此能求出结
19、果 【解答】解：函数 f（x）， f（1）log10， f（f （1） ）f（0）2.1901 故答案为：1 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 14 （5 分）在等差数列an中，公差 d0，a1+a614，a2a540，则数列an的前 9 项之 和等于 90 【分析】由公差 d0，a1+a614，a2a540，可得：2a1+5d14， （a1+d） （a1+4d）40， 联立解得：a1，d，再利用求和公式即可得出 【解答】解：由公差 d0，a1+a614，a2a540， 2a1+5d14， （a1+d） （a1+4d）40， 联立解得：a12，
20、d2， 故 S99a1+d90 故答案为：90 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 15 （5 分）若直线 l：xy+t0 与圆 C：x2+y212x16y+960 相切，则实数 t 的值为 【分析】将圆 C 化为标准形式，然后根据圆心到直线 l 的距离等于半径求出 t 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：由题意知，圆 C： （x6）2+（y8）24，圆 C 的半径 R2， 直线 l 与圆 C 相切，圆心（6，8）到直线 xy+t0 的距离 dR2， 故2，即， 故答案为： 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，关键是理解直线与圆相切时
21、圆心到直线的距 离等于半径，属基础题 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，AD2，ABBCCA3，当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球的表面积为 16 【分析】由题意画出图形，求出ABC 外接圆的半径，再由勾股定理求外接球的半径， 代入球的表面积公式求解 【解答】解：ABBCCA3，该三角形的外接圆半径为， 当 AD平面 ABC 时，四面体 ABCD 的体积取最大值， 此时，其外接球的半径为， 因此，四面体 ABCD 的外接球的表面积为 4R24416 故答案为：16 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，明确球心是解答该题的关键，是中档题 三解答题：本大题共三解答题：本大题共
22、 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答解答 写在答题卡的制定区域内写在答题卡的制定区域内. 17 （10 分）新高考 3+3 最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、 化学、生物、政治、历史、地理这 6 科中自由选择三门科目作为选考科目某研究机构 为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一 年级的 1000 名学生中随机抽取男生，女生各 25 人进行模拟选科经统计，选择全文的 人数比不选全文的人数少 10 人 第 12 页（共 17 页） 选择全文 不选择全文
23、 全计 男生 5 女生 合计 （1）估计在男生中，选择全文的概率 （2）请完成下面的 22 列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明 理由； 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.845 5.024 6.636 7.879 10.828 【分析】 （1）用频率估计概率，从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值； （2）由公式计算 K2的值，从而查表即可 【解答】解： （1）由题中数据可知，男生总共 25 人，选择全文的 5 人，故选择全文的概 率为； （
24、2）完成的 22 列联表如下； 选择全文 不选择全文 全计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计 20 30 50 因为：K28.33370879， 所以至少有 99.5%的把握认为选择全文与性别有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn为等比数列，b1 a1，且 b3是 a2，a12的等差中项 （）求数列an、bn的通项公式； （）记，求数列cn的前 n 项和为 Tn 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （）由数列前 n 项和求得首项与 an（n2） ，验证首项得答案； （）整理，利用裂项相消法求数列
25、cn的前 n 项和为 Tn 【解答】解： （）当 n1 时，a1S12， 当 n2 时，anSnSn1n+1 a12 适合上式 ann+1； 又由题意得，得 b12，b38， ，则 q2 当 q2 时，； 当 q2 时，； （）由（）知，当 b24 时， 可求得 当 b24 时，可求得， 则 【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式，训练了利 用裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题 19 （12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 b （13cosA） 3acosB， （1）求的值， （2）若 a3，求ABC 的面
26、积 【分析】 （1）由 b（13cosA）3acosB，由正弦定理得 sinB（1cosA）3sinAcosB， 化简后再由正弦定理可得的值； （2）结合（1）的结论利用余项定理求出 b，c 再用面积公式求出三角性 ABC 的面积 第 14 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由 b（13cosA）3acosB，由正弦定理得 sinB（1cosA）3sinAcosB，化简得 sinB3sinC， 又，； （2）由 b3c，且，解得 b3，c1， 又由 cosA，可解得， 【点评】本题考查了正余弦定理和面积公式，考查了转化思想，属基础题 20 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1
27、中，D 为 AC 的中点 （1）求证：AB1面 BC1D （2）若 ABBCBB1，ABC，求 CC1与面 BC1D 所成角的正弦值 【分析】（1） 连接 B1C 交 BC1于点 O， 连接 DO， 证明 ODAB1， 然后证明 AB1面 BC1D （2）连接 BD，过点 C 作 CHC1D 交 C1D 与点 H，说明CC1D 为 CC1与平面 BC1D 所成的角，然后求解即可 【解答】证明： （1）连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 DO， 则 O 为 B1C 的中点，又 D 为 AC 的中点 ODAB1又 OD面 BC1D，AB1面 BC1D， 故 AB1面 BC1D （2）连接 BD
28、，过点 C 作 CHC1D 交 C1D 与点 H， 由于三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱 CC1面 ABC，BD面 ABC 故 CC1BD， 又 ABBC，D 为 AC 的中点BDAC 第 15 页（共 17 页） BD面 ACC1，CH面 ACC1故 BDCH 又 CHC1DCH面 BC1DCH面 BC1DD 内的射影， 所以CC1D 为 CC1与平面 BC1D 所成的角， 设 AB2a，则 CDa，C1Da， sinCC1D 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查 空间想象力以及计算能力 21 （12 分）已知动点 G（x，y）满足 （1）求动点
29、G 的轨迹 C 的方程； （2） 过点 Q （1， 1） 作直线 L 与曲线 C 交于不同的两点 A， B， 且线段 AB 中点恰好为 Q 求 OAB 的面积； 【分析】 （1）利用已知条件列出方程，化简即可得到椭圆方程 （2）由于直线 L 与曲线 C 相交所得线段 AB 中点恰好为 Q（1，1）可知，直线 L 的方程 为 y1k（x1） ，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，弦长公式，求出原点到直线 L 的距离，即可求解三角形的面积 【解答】解： （1）由动点 G（x，y）满足， 可知，动点 G 的轨迹是以（1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为 4 的椭圆，其方程为 （2）由于直线 L 与曲线
30、 C 相交所得线段 AB 中点恰好为 Q（1，1）可知， 直线 L 的斜率一定存在，设直线 L 的方程为 y1k（x1） ， 第 16 页（共 17 页） 联立，消去 y 可得（4k2+3）x2（8k28k）x+（4k28k8）0， 所以， 又线段 AB 中点的横坐标为 1，解得， ，直线 L 的方程为 3x+4y70 弦长， 原点到直线 L 的距离为， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力 22 （12 分）已知 f（x）exsinx （1）求函数 f（x）在（0，）的极值 （2）证明：g（x） 【分析】 （1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然
31、后求函数 f（x）在 （0，）的极值 （2）通过判断函数 g（x）的导函数的符号，得到函数的单调性，利用函数的零点判断定 理转化证明求解即可 【解答】 解：（1）， ， ， ， 第 17 页（共 17 页） （2）证明：当 x（，）时，cosx0，0，于是 f（x）cosx0， f（x）单调递减，其中 f（）1ln（1+）1ln（1+）1ln2.61lne 0， f（）ln（1+）ln30 由函数零点存在性定理可知，f（x）在（，）上有且只有一个零点 x1， 当 x，+）时，f（x）sinxln（1+x）1ln（1+）1ln30，因此函数 f（x） 在，+）上无零点 综上，f（x）有且仅有 1 个零点 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化 思想以及分析问题解决问题的能力