1、2018-2019 学年湖南省三湘名校教育联盟高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合題目要求的一项是符合題目要求的 1 （5 分）已知集合 A（x+1） （x4）0，Bx|ex1，则 AB（ ） A （0，1） B （0，4） C （1，4） D （4，+） 2 （5 分）复数 z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D笫四象限 3 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a34，S756，则 a7（
2、） A10 B12 C16 D20 4 （5 分）下列函数既是偶函数，又在（0，+）上为减函数的是（ ） Ay|x1| Byln| Cy2x2 x Dy 5 （5 分）已知 、 为两个不同平面，l 为直线且 l，则“”是“l” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知量（3，1） ，（1，t） ，0，若 t0，则 t（ ） A4 B3 C2 D1 7 （5 分）设 alg5，blog42，c（）1.1，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 8 （5 分）如图是求样本数据方差 S
3、 的程序框图，则图中空白框应填入的內容为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 9 （5 分）将函数 f（x）cos（x+）图象上各点的坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于 x对称，则 tan （ ） A B C D 10 （5 分）过双曲线 C：（a0，b0）的个焦点 F 向其条渐近线 l：yx 作垂线，垂足为 E，O 为坐标原点，若OEF 的面积为 1，则 C 的焦距为（ ） A B3 C2 D5 11 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c 的图象关于点（0，2）对称，曲线 yf（x）在 点（1
4、，f（1） ）处的切线过点（2，7） ，设曲线 yf（x）在 x0 处的切线的倾斜角为 ， 则 sin（3+） tan（）的值为（ ） A B C D 12 （5 分）已知点 M（0，4） ，点 P 在抛物线 x28y 上运动，点 Q 在圆 x2+（y2）21 第 3 页（共 22 页） 上运动，则的最小值为（ ） A2 B C4 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2 分分 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值为 14 （5 分） （x）6展开式中，含 x2项的系数是 15 （5 分
5、）设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn+an，S6，则 16 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤 二丈，无广，高一丈” “刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体， “下广三丈” 是指底面矩形宽三丈， “袤四丈”是指底面矩形长四丈” ，上袤二丈”是指脊长二丈， “无 宽”是揞脊无宽度， “高一丈”是指几何体的高为一丈，现有一个刍甍如图所示，下广三 丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为 平方丈 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分
6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、3 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，acosB+bc （1）求 A； （2）若 a，ABC 的面积为，求ABC 的周长 18 （12 分）如图，直三校柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1为正方形，ACBC，E 是 AA1 的中点，D 是 AC 的中点 （1）证明：平面 BCE平面 BDC1； （2）若 A
7、C2BC，求二面角 CBDC1的余弦值 第 4 页（共 22 页） 19 （12 分）已知椭圆 C1：（a0）与抛物线 C2：y22px（p0）有公共的焦 点 F，且公共弦长为 （1）求 a，p 的值； （2）过 F 的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 M，N 两点，且，求|AB| 20 （12 分）设函数 f（x）xasinxcosx，x0， （1）当 a1 时，求 f（x）的值域； （2）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）某疾病控制中心为了硏究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放入含 40 个小 白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，
8、已知小白鼠对 这种病毒产生杭体的概率为现对 40 个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该 种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按 n（1n40，且 n 是 40 的约数）个 小白鼠平均分组，并将抽到的同组的 n 个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若 发现该病毒抗体，则对该组的 n 个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记 X 为某组中含有 抗体的小白鼠的个数 （1）若 n5，求 X 的分布列和数学期望； （2）为减少化验次数的期望值，试确定 n 的大小 （参考数据：0.41， 0.33，0.17，0.11，0.012） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第
9、 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，将单位圆 x2+y21 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍， 纵坐标不变得到曲线 C，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求曲线 C 的参数方程； 第 5 页（共 22 页） （2）设 M 为 C 上一点，N 点的极坐标为（2，） ，求|MN|的最大值及此时点 M 的纵坐 标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+|x+1|的最小值
10、为 m （1）求 m 的值； （2）若 a，b，cR，a2+b2+c2m，求 ab+bc 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年湖南省三湘名校教育联盟高二（下）期末数学试学年湖南省三湘名校教育联盟高二（下）期末数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题：本题共：本题共 12 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合題目要求的一项是符合題目要求的 1 （5 分）已知集合 A（x+1） （x4）0，Bx|ex1，则 AB（ ） A （0，1）
11、 B （0，4） C （1，4） D （4，+） 【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A（x+1） （x4）0x|1x4， Bx|ex1x|x0， ABx|0x4（0，4） 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）复数 z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D笫四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得 的坐标得答案 【解答】解：z， ， 则 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数
12、形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a34，S756，则 a7（ ） A10 B12 C16 D20 【分析】 利用等差数列an的前 n 项和公式和通项公式列出方程组， 求出 a14， d4， 由此能求出 a7 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a34，S756， ， 解得 a14，d4， a74+4620 故选：D 【点评】本题考查等差数列的第 7 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （5 分）下列函数既是偶函数，又在（0，+）上为减
13、函数的是（ ） Ay|x1| Byln| Cy2x2 x Dy 【分析】容易判断选项 A，C 的函数都不是偶函数，选项 D 的函数在（0，+）上为增 函数，从而得出选项 A，C，D 都错误，只能选 B 【解答】解：Ay|x1|是非奇非偶函数； 该选项错误； B.是偶函数； x（0，+）时，是减函数； 该选项正确； Cy2x2 x 是奇函数； 该选项错误； Dx（0，+）时，yx2+2x 是增函数； 该选项错误 故选：B 【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断，复合函数、对数函数、反 比例函数和二次函数的单调性 第 8 页（共 22 页） 5 （
14、5 分）已知 、 为两个不同平面，l 为直线且 l，则“”是“l” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意，由直线与平面平行、垂直的关系，分析可得当“l”时，必有“ ” ，反之，当“”时， “l”不一定成立，结合充分必要条件的定义分析可得答 案 【解答】解：根据题意，当“l”时，必有“” ， 反之，当“”时，l 可能在平面 内，即“l”不一定成立， 则“”是“l”的必要不充分条件； 故选：B 【点评】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题 6 （5 分）已知量（3，1） ，（1，t）
15、 ，0，若 t0，则 t（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列方程求出 t 的值 【解答】解：向量（3，1） ，（1，t） ， 则（2，1t） ， 又0， 所以 2+t（1t）0， 化简得 t2+t20， 解得 t2 或 t1， 又 t0，所以 t2 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题 7 （5 分）设 alg5，blog42，c（）1.1，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】容易得出，从而可得出 a，b，c 的大小 关系 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：，； abc 故选：A 【点评】考查
16、对数的运算，对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义 8 （5 分）如图是求样本数据方差 S 的程序框图，则图中空白框应填入的內容为（ ） A B C D 【分析】由题意知该程序的作用是求样本 x1，x2，x8的方差，由方差公式可得 【解答】解：由题意知该程序的作用是求样本 x1，x2，x8的方差， 所用方法是求得每个数与 的差的平方，再求这 8 个数的平均值， 则图中空白框应填入的内容为：S， 故选：D 【点评】本题考查方差的求法，以及程序的运行结果，考查运算能力，属于基础题 9 （5 分）将函数 f（x）cos（x+）图象上各点的坐标伸长到原来的 2 倍
17、（纵坐标不变） ， 第 10 页（共 22 页） 再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于 x对称，则 tan （ ） A B C D 【分析】运用三角函数的图象变换，可得 ycos（x+） ，再由余弦函数的对称性， 可得 k，kZ，计算可得所求值 【解答】解：函数 f（x）cos（x+）图象上各点的坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不 变） ， 可得 ycos（x+） ， 再把得到的图象向左平移个单位长度，可得 ycos（x+） ， 由所得函数图象关于 x对称，可得 cos（+）1， 即为+k，即有 k，kZ， tantan 故选：B 【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数
18、的对称性，以及化简整理的运算 能力，属于基础题 10 （5 分）过双曲线 C：（a0，b0）的个焦点 F 向其条渐近线 l：yx 作垂线，垂足为 E，O 为坐标原点，若OEF 的面积为 1，则 C 的焦距为（ ） A B3 C2 D5 【分析】由双曲线的渐近线方程可得 a2b，运用点到直线的距离公式可得|FE|，|OE|， 运用三角形的面积公式，解方程可得所求值 【解答】解：渐近线 l：yx，可得 a2b， 设 F（c，0） ，可得|FE|， 在直角三角形 OEF 中，|OE|， 第 11 页（共 22 页） 由题意可得1， 解得 c，可得焦距为 2， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和
19、性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c 的图象关于点（0，2）对称，曲线 yf（x）在 点（1，f（1） ）处的切线过点（2，7） ，设曲线 yf（x）在 x0 处的切线的倾斜角为 ， 则 sin（3+） tan（）的值为（ ） A B C D 【分析】由题意可得 f（x）+f（x）4，求得 a0，c2，求得 f（x）的导数，可得 切线的斜率，结合两点的斜率公式可得 b，再由诱导公式和同角的基本关系式，即可得到 所求结论 【解答】解：函数 f（x）x3+ax2+bx+c 的图象关于点（0，2）对称， 可得 f（x）
20、+f（x）4，即 x3+ax2+bx+cx3+ax2bx+c4， 即有 a0，c2，可得 f（x）x3+bx+2， f（x）3x2+b，可得 f（x）在 x1 处的切线斜率为 3+b，且 3+b， 解得 b， 可得 f（x）在 x0 处的斜率为，即 tan，sin， 则 sin（3+） tan（）sin （tan） 故选：C 【点评】本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线方程，考查三角函数的诱导公式 和同角基本关系式，考查运算能力，属于基础题 12 （5 分）已知点 M（0，4） ，点 P 在抛物线 x28y 上运动，点 Q 在圆 x2+（y2）21 上运动，则的最小值为（ ） A2 B C
21、4 D 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程， 过 P 作 PBl， 垂足为 B， 求得圆的圆心和半径， 运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所 第 12 页（共 22 页） 求最小值 【解答】解：抛物线 x28y 的准线方程为 l：y2，焦点 F（0，2） ， 过 P 作 PBl，垂足为 B， 由抛物线的定义可得|PF|PB|， 圆 x2+（y2）21 的圆心为 F（0，2） ，半径 r1， 可得|PQ|的最大值为|PF|+r|PF|+1， 由， 可令|PF|+1t， （t1） ，可得|PF|t1|PB|yP+2， 即 yPt3，xP28（t3） ， 可
22、得t+6264， 当且仅当 t5 时，上式取得等号， 则的最小值为：4， 故选：C 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本 不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2 分分 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值为 3 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数 zx+y 为 yx+z，
23、 由图可知，当直线 yx+z 过点 A（3，0）时直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分） （x）6展开式中，含 x2项的系数是 160 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出 r 的值， 将 r 的值代入通项求出展开式中含 x3项的系数 【解答】解：展开式的通项为 令得 r3 展开式中含 x2项的系数为（2）3C63160 故答案为：160 【点评】解决二项展开式的特定项问题，应该利用的工具是利用二项展开式的通项公式 &n
24、bsp;15 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn+an，S6，则 4 【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求 【解答】解：Sn+an，可得 2a1，即 a1； n2 时，Sn1+an1，又 Sn+an， 相减可得 2anan10，即 anan1， 第 14 页（共 22 页） 可得 an （）n， 则 Sn （）n， 由 S6，可得 （）6， 解得 4 故答案为：4 【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式，考查运算能 力，属于基础题 16 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤 二丈，无
25、广，高一丈” “刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体， “下广三丈” 是指底面矩形宽三丈， “袤四丈”是指底面矩形长四丈” ，上袤二丈”是指脊长二丈， “无 宽”是揞脊无宽度， “高一丈”是指几何体的高为一丈，现有一个刍甍如图所示，下广三 丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为 25 平方丈 【分析】连接 AC、BD，相交于点 O，由已知求得 OAOBOCODOEOF，再由 球的表面积公式求解 【解答】解：如图， 连接 AC、BD，相交于点 O，可得 OAOBOCOD， 由已知解得 OEOF，则 O 为该刍甍的外接球的球心， 半径为，则该刍甍的外接球
26、的表面积为 第 15 页（共 22 页） 故答案为：25 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档 题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、3 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，acosB+bc （1）求 A； （2）若 a，ABC 的
27、面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 cosA，即可解 得 A 的值 （2）由（1）及已知利用三角形的面积公式可求 bc 的值，由余弦定理可得 b+c 的值，即 可求解ABC 的周长 【解答】解： （1）acosB+bc， 由正弦定理可得：sinAcosB+sinBsinC， sinBsin（A+B）sinAcosBsinBcosA， cosA，可得 A （2）由（1）及已知可得：bc， 解得 bc6， 由余弦定理可得 a27b2+c2bc（b+c）23bc， b+c5， ABC 的周长为 a+b+c5+ 【点评】本题主要考查了正弦定理，两
28、角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦 定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）如图，直三校柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1为正方形，ACBC，E 是 AA1 的中点，D 是 AC 的中点 （1）证明：平面 BCE平面 BDC1； 第 16 页（共 22 页） （2）若 AC2BC，求二面角 CBDC1的余弦值 【分析】 （1）先证明 DC1平面 BCE，再利用面面垂直的判定，证明平面 C1BD平面 BCE； （2）建立空间直角坐标系，求得法向量即可 【解答】解： （1）直三校柱 ABCA1B1C1中，ACBCBC侧面 ACC1A1BC
29、C1D 侧面 ACC1A1为正方形，E 是 AA1的中点，D 是 AC 的中点 CEC1D， 又 CEBCC，C1D面 BCE， C1D面 BDC1， 平面 BCE平面 BDC1， （2）以 C 为原点建立空间直角坐标系，设 BC1，则 D（1，0，0） ， B（0，1，0） ，C1（0，0，2） ， ， 设平面 BDC1 的法向量为，则， 又平面 CBD 的法向量为， cos， 二面角 CBDC1的余弦值为 第 17 页（共 22 页） 【点评】本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作 出面面角，属于中档题 19 （12 分）已知椭圆 C1：（a0）与抛物线 C2
30、：y22px（p0）有公共的焦 点 F，且公共弦长为 （1）求 a，p 的值； （2）过 F 的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 M，N 两点，且，求|AB| 【分析】 （1）由已知可得公共弦关于 x 轴对称，将 y代入 C1与 C2中，解得 x与 x，可得 ap6，再由两圆锥曲线有公共焦点联立求得 a，p 的值； （ 2 ） 由 已 知 可 得 |AB| |MN| ， 即 |x1 x2| |x3 x4| ， 则 ，联立直线与两圆锥曲线，再由根与系数的 关系列式求得|AB| 【解答】解： （1）C1与 C2均关于 x 轴对称，公共弦也关于 x 轴对称， 公共弦长为，将 y代入 C1与
31、C2中，解得 x与 x， ，得 ap6， C1与 C2有公共焦点，解得 a3，p2； （2）F（1，0） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x3，y3） ，N（x4，y4） ， ，|AB|MN|，即|x1x2|x3x4|， ， 第 18 页（共 22 页） 当 l 的斜率不存在时，显然不成立，设 l：yk（x1） ， 将 l 得方程代入 C1整理得： （8+9k2）x218k2x+9k2720 ， 将 l 得方程代入 C2整理得：k2x2（2k2+4）x+k20 ，x3x41 把代入中解得， |AB|MN| 【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应
32、用，考 查计算能力，是中档题 20 （12 分）设函数 f（x）xasinxcosx，x0， （1）当 a1 时，求 f（x）的值域； （2）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由题意求导可得 f（x）1+sin（x）0，可得 f（x）在0， 上单调递增，最小值为 f（0）1，最大值为 f（）1，即可求导 f（x）的值 域 （2） 由题意可得 asinxxcosx， 分类讨论 x0 时， 成立， 当 0x时， a， 令 h（x），求导可得 h（x），令 g（x）sinx+1xcosx， 则 g（x）xinx0，可得 h（x）h（），从而可求 a，可得实数 a 的 取值范围
33、【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）xsinxcosx，f（x）1cosx+sinx1+sin （x）0， f（x）在0，上单调递增，最小值为 f（0）1，最大值为 f（）1， f（x）的值域为1，1 （2）由 f（x）0，可得 asinxxcosx， 第 19 页（共 22 页） 当 x0 时，成立； 当 0x时，a， 令 h（x）， 则 h（x）， 令 g（x）sinx+1xcosx， 则 g（x）xinx0，g（x）g（0）1， h（x）0， h（x）h（）， a， 综上可得：a，+） 【点评】本题主要考查了导数的性质及其应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于 中档题 21 （1
34、2 分）某疾病控制中心为了硏究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放入含 40 个小 白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，已知小白鼠对 这种病毒产生杭体的概率为现对 40 个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该 种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按 n（1n40，且 n 是 40 的约数）个 小白鼠平均分组，并将抽到的同组的 n 个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若 发现该病毒抗体，则对该组的 n 个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记 X 为某组中含有 抗体的小白鼠的个数 （1）若 n5，求 X 的分布列和数学期望； （2）为减少化验次数的期望值，试确定
35、 n 的大小 （参考数据：0.41， 0.33，0.17，0.11，0.012） 【分析】 （1）当 n5 时，XB（5，） ，由此能求出 X 的分布列和数学期望 （2）根据题意 n 的可能取值为 2，4，5，8，10，20，当 n2，4，5，8，10，20时，X B（n，） ，对于某组 n 个小白鼠，化验次数 Y 的可能取值为 1，n+1，P（Y1）（） 第 20 页（共 22 页） n，P（Yn+1）1（ ）n，E（Y）1（）n+（n+1） （1（）n）n+1n （） n，由此能求出按 4 个小白鼠一组化验，可使化验次数的期望值最小 【解答】解： （1）当 n5 时，XB（5，） ， P（
36、X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， P（X4）， P（X5）C （）5（）0， X 的分布列为： x 0 1 2 3 4 5 P EXnp51 （2）根据题意 n 的可能取值为 2，4，5，8，10，20， 当 n2，4，5，8，10，20时，XB（n，） ， 对于某组 n 个小白鼠，化验次数 Y 的可能取值为 1，n+1， P（Y1）（）n，P（Yn+1）1（）n， E（Y）1（）n+（n+1） （1（）n）n+1n （）n， 40 个小白鼠化验总次数的期望值为 f（n）n+1n（）n401+（）n， f（2）34.4，f（4）33.6，f（5）34.8，f（8）
37、38.2，f（10）39.6，f（20）41.5， 按 4 个小白鼠一组化验，可使化验次数的期望值最小 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参数方程数方程 第 21 页（共 22 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，将单位圆 x2+y21 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍， 纵坐标不
38、变得到曲线 C，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求曲线 C 的参数方程； （2）设 M 为 C 上一点，N 点的极坐标为（2，） ，求|MN|的最大值及此时点 M 的纵坐 标 【分析】 （1）由坐标变换可得曲线 C 的方程，由平方关系转化为参数方程； （2）求出 N 的直角坐标，由两点间的距离公式可得|MN|，平方后利用三角函数求最值 【解答】解： （1）由题意，可得曲线 C 的直角坐标方程为，则其参数方程为 （ 为参数） ； （2）由 N 的极坐标为（2，） ，得 N 的直角坐标为（0，2） ， |MN| 当 sin时，|MN|取得最大值为， 此时 M 的
39、纵坐标为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，训练了利 用三角函数求最值，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+|x+1|的最小值为 m （1）求 m 的值； （2）若 a，b，cR，a2+b2+c2m，求 ab+bc 的取值范围 【分析】 （1）运用绝对值的意义和性质，可得所求最小值 m； （2）运用基本不等式和绝对值的性质，即可得到所求范围 【解答】解： （1）|2x1|+|x+1|x|+|x|+|x+1|0+|（x）（x+1）|， 当且仅当 x时，f（x）取得最小值， 则 m； （2）a2+b2+c2， 第 22 页（共 22 页） 由（a2+b2）+（b2+c2）2+2|ab|+|bc|ab+bc|， 可得|ab+bc|，即有ab+bc 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力， 属于基础题