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2018-2019学年湖南省郴州市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019 学年湖南省郴州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共计分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把答案填写在答题卡上有一个符合题目要求,把答案填写在答题卡上 1 (4 分)命题“xR,都有 x21”的否定是( ) Ax0R,使得 x021 BxR,都有 x1 或 x1 Cx0R,使得 x021 Dx0R,使得 x021 2 (4 分)在ABC 中,若 abcosC,则ABC 是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 3 (4 分)ABC 中

2、,AB3,BC,AC4,则角 A 的大小是( ) A60 B90 C120 D135 4 (4 分)若 ab0,则下列不等式成立的是( ) Aabb2 B Caba2 D|a|b| 5 (4 分)抛物线 y28x 的焦点到双曲线 x21 的一条渐近线的距离为( ) A1 B2 C D 6 (4 分)古代数学著作九章算术有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五尺, 问日织几何?”意思是: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天 共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布 多少尺?( ) A B C9 D10 7 (4 分)对于

3、实数 x,规定x表示不大于 x 的最大整数,那么不等式 4x263x+450 成立的 x 的取值范围是( ) A1,15) B2,8 C2,8) D2,15) 8 (4 分)若 AB 是过椭圆1 中心的弦,F1为椭圆的焦点,则F1AB 面积的最大 值为( ) A4 B8 C12 D24 9 (4 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f(x) ,且函数 f(x)在 x2 处取得极 大值,则函数 yxf(x)的图象可能是( ) 第 2 页(共 16 页) A B C D 10 (4 分)已知等比数列an的前 n 项和 Snt2n 1 ,则函数 f(x)(x0) 的最小值为( ) A9

4、B12 C16 D25 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小題,每小题小題,每小题 4 分,共计分,共计 20 分分 11 (4 分)若函数 f(x),f(x)是 f(x)的导函数,则 f(1)的值是 12 (4 分)已知集合 Ax|1x2,Bx|1xm+1,若 xA 是 xB 成立的一个 充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 13 (4 分)已知 P(x,y)是抛物线 y28x 的准线与双曲线 x2y21 的两条渐近线所围 成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,则 z2xy 的最大值为 14 (4 分)若数列an中,a13,an1(n2) ,则 a2018 15 (4 分

5、)ABC 的顶点分别为 A(1,1,2) ,B(3,0,5) ,C(1,3,1) ,则 AC 边上的高 BD 等于 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 个小題,共个小題,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 (6 分)在ABC 中,AC5,cosC,B (1)求 AB 的长; (2)求ABC 的面积 SABC 17 (8 分)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1(底面为正三角形,侧棱和底面垂直)的所有棱 长都为 2,D 为 CC1的中点,O 为 BC 中点 (1)求证:BD平面 AOB1 (2)求平面 AOB1与平面 AC

6、C1A1所成锐二面角的余弦值 第 3 页(共 16 页) 18 (8 分)已知等差数列an的公差 d0,它的前 n 项和为 S,若 S312,且 a2,a6,a18 成等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设数列的前 n 项和为 Tn,求证:1Tn2 19 (8 分)已知椭圆 E:1(ab0)的离心率为,且过点 A(2,0) (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)问:是否存在过点 M(0,2)的直线 l,使以直线 l 被椭圆 E 所截得的弦 CD 为直 径的圆过点 N(1,0) ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 20 (10 分)已知函数 f(x)axlnx 图象上

7、在点(1,f(1) )处的切线与直线 yx 垂 直 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对所有 x1 都有 f(x)mx+20,求实数 m 的取值范围 第 4 页(共 16 页) 2018-2019 学年湖南省郴州市高二(上)期末数学试卷(理科)学年湖南省郴州市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题一、选择题:本大题 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共计分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把答案填写在答题卡上有一个符合题目要求,把答案填写在答题卡上 1 (4 分)命题“

8、xR,都有 x21”的否定是( ) Ax0R,使得 x021 BxR,都有 x1 或 x1 Cx0R,使得 x021 Dx0R,使得 x021 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“xR,都有 x21”的否 定是x0R,使得 x021 故选:C 【点评】本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握全称命题: “xA,P(x) ”的 否定是特称命题: “xA,非 P(x) ” ,是解答此类问题的关键 2 (4 分)在ABC 中,若 abcosC,则ABC 是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 【分析】

9、根据余弦定理表示出 cosC,代入已知的等式中,化简后即可得到 a,b,c 满足 勾股定理,进而得到此三角形为直角三角形 【解答】解:由余弦定理得 cosC, 把 cosC 代入 abcosC 得:ab, 2a2a2+b2c2, a2+c2b2, 即三角形为直角三角形 故选:C 【点评】此题考查了余弦定理,以及三角形的形状判定,利用余弦定理表示出 cosC 是本 题的突破点 3 (4 分)ABC 中,AB3,BC,AC4,则角 A 的大小是( ) A60 B90 C120 D135 【分析】 利用余弦定理表示出 cosA, 把三边长代入求出 cosA 的值, 即可确定出 A 的度数 第 5 页

10、(共 16 页) 【解答】解:在ABC 中,ABc3,BCa,ACb4, 由余弦定理得:cosA, A(0,180) , 则 A60 故选:A 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本 题的关键,属于基础题 4 (4 分)若 ab0,则下列不等式成立的是( ) Aabb2 B Caba2 D|a|b| 【分析】该题是选择题,可利用排除法,数可以是满足 ab0 任意数,代入后看所给 等式是否成立,即可得到正确选项 【解答】解:若 ab0, 不妨设 a2,b1 代入各个选项, 错误的是 A、C、D, 故选:B 【点评】本题主要考查了比较大小,利用特殊值法验证一些

11、式子错误是有效的方法,属 于基础题 5 (4 分)抛物线 y28x 的焦点到双曲线 x21 的一条渐近线的距离为( ) A1 B2 C D 【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,再由点到直线的距离公式计算即可 得到所求 【解答】解:抛物线 y28x 的焦点为(2,0) , 双曲线 x21 的一条渐近线为 yx, 则焦点到渐近线的距离为 d 故选:C 【点评】本题考查抛物线和双曲线的性质,主要考查渐近线方程和焦点坐标,运用点到 直线的距离公式是解题的关键 第 6 页(共 16 页) 6 (4 分)古代数学著作九章算术有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五尺, 问日织几何?”意思是

12、: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天 共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布 多少尺?( ) A B C9 D10 【分析】根据题意,分析可得该女子每天织的布组成等比数列,且其公比为 2,设该等比 数列为an,由等比数列的前 n 项和公式可得 S55,解可得 a1的值,结 合等比数列的通项公式计算可得答案 【解答】解:根据题意,该女子每天织的布组成等比数列,且其公比为 2, 设该等比数列为an, 又由她 5 天共织布 5 尺,则 S55,解可得 a1, 则 a1a1q2, 故选:B 【点评】本题考查等比数列的求和,涉及数

13、列的应用,关键是建立等比数列的数学模型 7 (4 分)对于实数 x,规定x表示不大于 x 的最大整数,那么不等式 4x263x+450 成立的 x 的取值范围是( ) A1,15) B2,8 C2,8) D2,15) 【分析】可解关于x的一元二次不等式不等式 4x263x+450 得到, 从而得出 1x15,即得出 x 的范围 【解答】解:解 4x263x+450 得,; x表示不大于 x 的最大整数; 1x15; x 的取值范围是1,15) 故选:A 【点评】考查一元二次不等式的解法,知道x表示不超过 x 的最大整数 第 7 页(共 16 页) 8 (4 分)若 AB 是过椭圆1 中心的弦,

14、F1为椭圆的焦点,则F1AB 面积的最大 值为( ) A4 B8 C12 D24 【分析】根据题意,由椭圆的方程求出 a、b、c 的值,设 F1为椭圆的右焦点,其坐标为 (2,0) ,再设 A 的坐标(x,y)则根据对称性得:B(x,y) ,再表示出F1AB 面 积,由图知,当 A 点在椭圆的顶点时,其F1AB 面积最大,最后结合椭圆的标准方程即 可求出F1AB 面积的最大值 【解答】解:根据题意,椭圆的方程为1,其中 a2,b2, 则 c2,设 F1为椭圆的右焦点,其坐标为(2,0) , 椭圆的中心为(0,0) ,若 AB 是过椭圆1 中心的弦,则 A、B 关于原点对称, 设 A 的坐标(x

15、,y) ,则 B 的坐标为(x,y) , F1AB 面积 S+|OF1|y|+|OF1|y|2|y|, 当 A 点在椭圆的顶点,即|y|2 时,其F1AB 面积最大,此时 S224, 故选:A 【点评】本题考查椭圆的几何性质,注意椭圆的对称性,属于简单题 9 (4 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f(x) ,且函数 f(x)在 x2 处取得极 大值,则函数 yxf(x)的图象可能是( ) A B 第 8 页(共 16 页) C D 【分析】由题设条件知:当 0x2 以及 x0 时,xf(x)的符号;当 x2 时, xf(x)0;当 x2 时,xf(x)符号由此观察四个选项能够得

16、到正确结果 【解答】解:函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x) , 且函数 f(x)在 x2 处取得极大值, 当 x2 时,f(x)0; 当 x2 时,f(x)0; 当 x2 时,f(x)0 当 0x2 时,xf(x)0;x0 时,xf(x)0; 当 x2 时,xf(x)0; 当 x2 时,xf(x)0 故选:D 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用,解题时要认真审题,注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 10 (4 分)已知等比数列an的前 n 项和 Snt2n 1 ,则函数 f(x)(x0) 的最小值为( ) A9 B12 C16 D25 【分析】根据等比数列的前 n

17、 项和公式,求出 t 的值,结合基本不等式的性质进行转化 求解即可 【解答】解:当 n2 时,anSnSn1t2n 1 t2n 2+ t2n 1t2n22t2n 2t2n2t2n1, 当 n1 时,a1S1t, 而当 n1 时,t21 2 , 则满足 t,即, 得 t1, 第 9 页(共 16 页) 则 f (x) (x+1) +8+ 8+28+816, 当且仅当 x+1,即 x+14,x3 时,取等号, 即 f(x)的最小值为 16, 故选:C 【点评】本题主要考查函数最值的求解,结合等比数列的性质以及分式函数分子常数法 转化为基本不等式形式是解决本题的关键 二、填空题:本大题共二、填空题:

18、本大题共 5 小題,每小题小題,每小题 4 分,共计分,共计 20 分分 11 (4 分)若函数 f(x),f(x)是 f(x)的导函数,则 f(1)的值是 【分析】根据题意,求出函数 f(x)的导数,将 x1 代入导数的解析式,计算可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x),其导数 f(x), 则 f(1), 故答案为: 【点评】本题考查函数导数的计算,关键是掌握函数导数的计算公式,属于基础题 12 (4 分)已知集合 Ax|1x2,Bx|1xm+1,若 xA 是 xB 成立的一个 充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 (1,+) 【分析】由充分必要条件与集合的关系得:AB,列方程组

19、运算得解 【解答】解:由 xA 是 xB 成立的一个充分不必要条件, 得:AB, 即,即 m1, 故答案为: (1,+) 【点评】本题考查了充分必要条件与集合的关系,属简单题 13 (4 分)已知 P(x,y)是抛物线 y28x 的准线与双曲线 x2y21 的两条渐近线所围 成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,则 z2xy 的最大值为 6 【分析】作出可行域,并求出可行域的各顶点坐标,将直线 z2xy 进行平移,观察直 线经过哪个顶点时,该直线在 x 轴上的截距最大,此时,z 取最大值,再将相应顶点的坐 第 10 页(共 16 页) 标代入即可得出的答案 【解答】解:三角形平面区域(含边

20、界)如下图所示, 该区域为OAB,联立,得, 当直线 z2xy 经过可行域上的点 A 时,直线 z2xy 在 x 轴上的截距最大,此时,z 取最大值, 即 zmax22(2)6 故答案为:6 【点评】本题考查抛物线的性质,考查线性规划问题,考查计算能力,属于中等题 14 (4 分)若数列an中,a13,an1(n2) ,则 a2018 【分析】直接利用赋值法求出数列的周期,进一步求出结果 【解答】解:数列an中,a13,an1(n2) , 当 n2 时, 当 n3 时, 当 n4 时, 当 n5 时, 故数列的周期为 3, 所以:201836723+2, 故:, 故答案为: 第 11 页(共

21、16 页) 【点评】本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,数列的周期的应用,主要考 查学生的运算能力和转化能力,属于基础题 15 (4 分)ABC 的顶点分别为 A(1,1,2) ,B(3,0,5) ,C(1,3,1) ,则 AC 边上的高 BD 等于 【分析】推导出(2,1,7) ,(0,4,3) ,AC 边上的高:BD ,由此能求出结果 【解答】解:ABC 的顶点分别为 A(1,1,2) ,B(3,0,5) ,C(1,3,1) , (2,1,7) ,(0,4,3) , AC 边上的高: BD 故答案为: 【点评】本题考查三角形的高的求法,考查点到直线的距离公式等基础知识,考查运算 求

22、解能力,是基础题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 个小題,共个小題,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 (6 分)在ABC 中,AC5,cosC,B (1)求 AB 的长; (2)求ABC 的面积 SABC 【分析】 (1)求得 sinC,利用正弦定理求出 AB 的值即可; (2)求出 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积 【解答】解: (1)在ABC 中,cosC,sinC 由正弦定理可得,AB (2)在ABC 中,A(B+C) sinAsin(B+C)sinBcosC+cosBsinC

23、 ABC 的面积 SABC28 第 12 页(共 16 页) 【点评】此题考查了正弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟 练掌握余弦定理是解本题的关键 17 (8 分)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1(底面为正三角形,侧棱和底面垂直)的所有棱 长都为 2,D 为 CC1的中点,O 为 BC 中点 (1)求证:BD平面 AOB1 (2)求平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【分析】 (1)推导出 AOBC,AOBD,B1OBD,由此能证明 BD平面 AOB1 (2)设 B1C1中点为 O1,取 O 为原点,分别取 OB,OO1,OA 为 x,y,z 轴,建

24、立空间 直角坐标系,利用向量法能求出平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【解答】证明: (1)ABC 是正三角形,O 为 BC 中点,AOBC, 在正三棱锥 ABCA1B1C1中,平面 ABC平面 BCC1B1, 平面 ABC平面 BCC1B1BC, AO平面 BCC1B1,AOBD, 正方形 BCC1B1中,BCDB1BO, BOB1+OBDCDB+OBD90, B1OBD, AOB1OO,BD平面 AOB1 解: (2)设 B1C1中点为 O1, 由(1)知可取 O 为原点,分别取 OB,OO1,OA 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0) ,D

25、(1,1,0) ,A1(0,2,) ,A(0,0,) ,C(1,0,0) , (0,2,0) ,(1,0,) ,(2,1,0) , BD平面 AOB1(2,1,0)是平面 AOB1 的一个法向量, 设平面 ACC1A1的法向量 (x,y,z) , 第 13 页(共 16 页) 则,取 z1,得 () , 设平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角为 , 则 cos, 平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 18 (8

26、 分)已知等差数列an的公差 d0,它的前 n 项和为 S,若 S312,且 a2,a6,a18 成等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设数列的前 n 项和为 Tn,求证:1Tn2 【分析】 (1)运用等差数列的通项公式和求和公式,结合等比数列的中项性质,可得首 项和公差的方程,解方程即可得到所求通项公式; (2)求得2() ,由数列的裂项相消求和,化简可得所求和, 由数列的单调性即可得证 【解答】解: (1)S312,即 3a1+3d12, a2,a6,a18成等比数列,可得 a62a2a18, 即有(a1+5d)2(a1+d) (a1+17d) , 由解得 a1d2, 则 an2

27、n: (2)证明:2() , 第 14 页(共 16 页) 则前 n 项和为 Tn2(1+) 2(1) , 由Tn为递增数列,可得 TnT11,Tn2, 即有 1Tn2 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,考查等比数列中项性质,以及数列 的裂项相消求和,数列的单调性的运用,考查化简运算能力,属于中档题 19 (8 分)已知椭圆 E:1(ab0)的离心率为,且过点 A(2,0) (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)问:是否存在过点 M(0,2)的直线 l,使以直线 l 被椭圆 E 所截得的弦 CD 为直 径的圆过点 N(1,0) ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由

28、【分析】 (1)根据椭圆的离心率公式及椭圆过点 A,即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭 圆方程; (2)讨论直线 l 的斜率不存在,求得 C,D 的坐标,可得符合题意;设直线的斜率存在, 设为 ykx+2,代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于 0,由以 CD 为直径的圆过定 点 N(1,0) ,可得 CNDN,由向量的数量积的坐标表示,解方程可得所求斜率,即 可判断存在性 【解答】解: (1)由题意过点 A(2,0) ,则 a2, 椭圆的离心率 e,则 c,b2a2c21, 椭圆的标准方程: (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 即为 y 轴, 此时 C,D 为椭圆 C 的短轴端点

29、,以 CD 为直径的圆经过点 N(1,0) ; 当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,由, 得(1+4k2)x2+16kx+120, 所以(16k)248(1+4k2)64k2480 第 15 页(共 16 页) 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 而 y1y2(kx1+2) (kx2+2)k2x1x2+2k(x1+x2)+4, 因为以 CD 为直径的圆过定点 N(1,0) , 所以 CNDN,则0,即(x1+1) (x2+1)+y1y20 所以(k2+1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+50 将式代入式整理解得 k满足0 上可知,存在直线 l:x0 或 17x16y+

30、320: ,使得以 CD 为直径的圆经过点 N(1, 0) 【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式, 考查直线方程的求法,注意讨论直线的斜率是否存在,以及联立方程运用韦达定理,考 查化简整理的运算能力,属于中档题 20 (10 分)已知函数 f(x)axlnx 图象上在点(1,f(1) )处的切线与直线 yx 垂 直 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对所有 x1 都有 f(x)mx+20,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)求得函数的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为1, 即可得到 a,进而得到所求解析式; (2)由题意可得

31、 2xlnxmx+20,即有 m2lnx+在 x1 恒成立,设 g(x)2lnx+, 求得导数和单调性、最小值,即可得到所求范围 【解答】解: (1)函数 f(x)axlnx 的导数为 f(x)a(1+lnx) , 图象上在点(1,f(1) )处的切线斜率为 a, 由切线与直线 yx 垂直,可得 a2, 即 f(x)2xlnx; (2)所有 x1 都有 f(x)mx+20, 即为 2xlnxmx+20, 第 16 页(共 16 页) 即有 m2lnx+在 x1 恒成立, 设 g(x)2lnx+,g(x), 由 x1 可得 g(x)0,g(x)递增, 可得 g(x)的最小值为 g(1)2, 则 m2,即 m 的取值范围是(,2 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性、最值,考查不等式恒成立问题 解法,注意运用参数分离和构造函数法,考查运算能力,属于中档题