1、2018-2019 学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个符合题目要求，把答案填写在答题卡上有一个符合题目要求，把答案填写在答题卡上 1 （4 分）命题“xR，都有 x21”的否定是（ ） Ax0R，使得 x021 BxR，都有 x1 或 x1 Cx0R，使得 x021 Dx0R，使得 x021 2 （4 分）在ABC 中，若 abcosC，则ABC 是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 3 （4 分）ABC 中
2、，AB3，BC，AC4，则角 A 的大小是（ ） A60 B90 C120 D135 4 （4 分）若 ab0，则下列不等式成立的是（ ） Aabb2 B Caba2 D|a|b| 5 （4 分）抛物线 y28x 的焦点到双曲线 x21 的一条渐近线的距离为（ ） A1 B2 C D 6 （4 分）古代数学著作九章算术有如下问题： “今有女子善织，日自倍，五日织五尺， 问日织几何？”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天 共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布 多少尺？（ ） A B C9 D10 7 （4 分）对于
3、实数 x，规定x表示不大于 x 的最大整数，那么不等式 4x263x+450 成立的 x 的取值范围是（ ） A1，15） B2，8 C2，8） D2，15） 8 （4 分）若 AB 是过椭圆1 中心的弦，F1为椭圆的焦点，则F1AB 面积的最大 值为（ ） A4 B8 C12 D24 9 （4 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 f（x）在 x2 处取得极 大值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 10 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和 Snt2n 1 ，则函数 f（x）（x0） 的最小值为（ ） A9
4、B12 C16 D25 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小題，每小题小題，每小题 4 分，共计分，共计 20 分分 11 （4 分）若函数 f（x），f（x）是 f（x）的导函数，则 f（1）的值是 12 （4 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|1xm+1，若 xA 是 xB 成立的一个 充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是 13 （4 分）已知 P（x，y）是抛物线 y28x 的准线与双曲线 x2y21 的两条渐近线所围 成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则 z2xy 的最大值为 14 （4 分）若数列an中，a13，an1（n2） ，则 a2018 15 （4 分
5、）ABC 的顶点分别为 A（1，1，2） ，B（3，0，5） ，C（1，3，1） ，则 AC 边上的高 BD 等于 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小題，共个小題，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （6 分）在ABC 中，AC5，cosC，B （1）求 AB 的长； （2）求ABC 的面积 SABC 17 （8 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1（底面为正三角形，侧棱和底面垂直）的所有棱 长都为 2，D 为 CC1的中点，O 为 BC 中点 （1）求证：BD平面 AOB1 （2）求平面 AOB1与平面 AC
6、C1A1所成锐二面角的余弦值 第 3 页（共 16 页） 18 （8 分）已知等差数列an的公差 d0，它的前 n 项和为 S，若 S312，且 a2，a6，a18 成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Tn，求证：1Tn2 19 （8 分）已知椭圆 E：1（ab0）的离心率为，且过点 A（2，0） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）问：是否存在过点 M（0，2）的直线 l，使以直线 l 被椭圆 E 所截得的弦 CD 为直 径的圆过点 N（1，0） ，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 20 （10 分）已知函数 f（x）axlnx 图象上
7、在点（1，f（1） ）处的切线与直线 yx 垂 直 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若对所有 x1 都有 f（x）mx+20，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题一、选择题：本大题 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个符合题目要求，把答案填写在答题卡上有一个符合题目要求，把答案填写在答题卡上 1 （4 分）命题“
8、xR，都有 x21”的否定是（ ） Ax0R，使得 x021 BxR，都有 x1 或 x1 Cx0R，使得 x021 Dx0R，使得 x021 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，都有 x21”的否 定是x0R，使得 x021 故选：C 【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题： “xA，P（x） ”的 否定是特称命题： “xA，非 P（x） ” ，是解答此类问题的关键 2 （4 分）在ABC 中，若 abcosC，则ABC 是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 【分析】
9、根据余弦定理表示出 cosC，代入已知的等式中，化简后即可得到 a，b，c 满足 勾股定理，进而得到此三角形为直角三角形 【解答】解：由余弦定理得 cosC， 把 cosC 代入 abcosC 得：ab， 2a2a2+b2c2， a2+c2b2， 即三角形为直角三角形 故选：C 【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出 cosC 是本 题的突破点 3 （4 分）ABC 中，AB3，BC，AC4，则角 A 的大小是（ ） A60 B90 C120 D135 【分析】 利用余弦定理表示出 cosA， 把三边长代入求出 cosA 的值， 即可确定出 A 的度数 第 5 页
10、（共 16 页） 【解答】解：在ABC 中，ABc3，BCa，ACb4， 由余弦定理得：cosA， A（0，180） ， 则 A60 故选：A 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本 题的关键，属于基础题 4 （4 分）若 ab0，则下列不等式成立的是（ ） Aabb2 B Caba2 D|a|b| 【分析】该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足 ab0 任意数，代入后看所给 等式是否成立，即可得到正确选项 【解答】解：若 ab0， 不妨设 a2，b1 代入各个选项， 错误的是 A、C、D， 故选：B 【点评】本题主要考查了比较大小，利用特殊值法验证一些
11、式子错误是有效的方法，属 于基础题 5 （4 分）抛物线 y28x 的焦点到双曲线 x21 的一条渐近线的距离为（ ） A1 B2 C D 【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可 得到所求 【解答】解：抛物线 y28x 的焦点为（2，0） ， 双曲线 x21 的一条渐近线为 yx， 则焦点到渐近线的距离为 d 故选：C 【点评】本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到 直线的距离公式是解题的关键 第 6 页（共 16 页） 6 （4 分）古代数学著作九章算术有如下问题： “今有女子善织，日自倍，五日织五尺， 问日织几何？”意思是
12、： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天 共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布 多少尺？（ ） A B C9 D10 【分析】根据题意，分析可得该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为 2，设该等比 数列为an，由等比数列的前 n 项和公式可得 S55，解可得 a1的值，结 合等比数列的通项公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为 2， 设该等比数列为an， 又由她 5 天共织布 5 尺，则 S55，解可得 a1， 则 a1a1q2， 故选：B 【点评】本题考查等比数列的求和，涉及数
13、列的应用，关键是建立等比数列的数学模型 7 （4 分）对于实数 x，规定x表示不大于 x 的最大整数，那么不等式 4x263x+450 成立的 x 的取值范围是（ ） A1，15） B2，8 C2，8） D2，15） 【分析】可解关于x的一元二次不等式不等式 4x263x+450 得到， 从而得出 1x15，即得出 x 的范围 【解答】解：解 4x263x+450 得，； x表示不大于 x 的最大整数； 1x15； x 的取值范围是1，15） 故选：A 【点评】考查一元二次不等式的解法，知道x表示不超过 x 的最大整数 第 7 页（共 16 页） 8 （4 分）若 AB 是过椭圆1 中心的弦，
14、F1为椭圆的焦点，则F1AB 面积的最大 值为（ ） A4 B8 C12 D24 【分析】根据题意，由椭圆的方程求出 a、b、c 的值，设 F1为椭圆的右焦点，其坐标为 （2，0） ，再设 A 的坐标（x，y）则根据对称性得：B（x，y） ，再表示出F1AB 面 积，由图知，当 A 点在椭圆的顶点时，其F1AB 面积最大，最后结合椭圆的标准方程即 可求出F1AB 面积的最大值 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为1，其中 a2，b2， 则 c2，设 F1为椭圆的右焦点，其坐标为（2，0） ， 椭圆的中心为（0，0） ，若 AB 是过椭圆1 中心的弦，则 A、B 关于原点对称， 设 A 的坐标（x
15、，y） ，则 B 的坐标为（x，y） ， F1AB 面积 S+|OF1|y|+|OF1|y|2|y|， 当 A 点在椭圆的顶点，即|y|2 时，其F1AB 面积最大，此时 S224， 故选：A 【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的对称性，属于简单题 9 （4 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 f（x）在 x2 处取得极 大值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B 第 8 页（共 16 页） C D 【分析】由题设条件知：当 0x2 以及 x0 时，xf（x）的符号；当 x2 时， xf（x）0；当 x2 时，xf（x）符号由此观察四个选项能够得
16、到正确结果 【解答】解：函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ， 且函数 f（x）在 x2 处取得极大值， 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0 当 0x2 时，xf（x）0；x0 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 10 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和 Snt2n 1 ，则函数 f（x）（x0） 的最小值为（ ） A9 B12 C16 D25 【分析】根据等比数列的前 n
17、 项和公式，求出 t 的值，结合基本不等式的性质进行转化 求解即可 【解答】解：当 n2 时，anSnSn1t2n 1 t2n 2+ t2n 1t2n22t2n 2t2n2t2n1， 当 n1 时，a1S1t， 而当 n1 时，t21 2 ， 则满足 t，即， 得 t1， 第 9 页（共 16 页） 则 f （x） （x+1） +8+ 8+28+816， 当且仅当 x+1，即 x+14，x3 时，取等号， 即 f（x）的最小值为 16， 故选：C 【点评】本题主要考查函数最值的求解，结合等比数列的性质以及分式函数分子常数法 转化为基本不等式形式是解决本题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：
18、本大题共 5 小題，每小题小題，每小题 4 分，共计分，共计 20 分分 11 （4 分）若函数 f（x），f（x）是 f（x）的导函数，则 f（1）的值是 【分析】根据题意，求出函数 f（x）的导数，将 x1 代入导数的解析式，计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x），其导数 f（x）， 则 f（1）， 故答案为： 【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题 12 （4 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|1xm+1，若 xA 是 xB 成立的一个 充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是 （1，+） 【分析】由充分必要条件与集合的关系得：AB，列方程组
19、运算得解 【解答】解：由 xA 是 xB 成立的一个充分不必要条件， 得：AB， 即，即 m1， 故答案为： （1，+） 【点评】本题考查了充分必要条件与集合的关系，属简单题 13 （4 分）已知 P（x，y）是抛物线 y28x 的准线与双曲线 x2y21 的两条渐近线所围 成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则 z2xy 的最大值为 6 【分析】作出可行域，并求出可行域的各顶点坐标，将直线 z2xy 进行平移，观察直 线经过哪个顶点时，该直线在 x 轴上的截距最大，此时，z 取最大值，再将相应顶点的坐 第 10 页（共 16 页） 标代入即可得出的答案 【解答】解：三角形平面区域（含边
20、界）如下图所示， 该区域为OAB，联立，得， 当直线 z2xy 经过可行域上的点 A 时，直线 z2xy 在 x 轴上的截距最大，此时，z 取最大值， 即 zmax22（2）6 故答案为：6 【点评】本题考查抛物线的性质，考查线性规划问题，考查计算能力，属于中等题 14 （4 分）若数列an中，a13，an1（n2） ，则 a2018 【分析】直接利用赋值法求出数列的周期，进一步求出结果 【解答】解：数列an中，a13，an1（n2） ， 当 n2 时， 当 n3 时， 当 n4 时， 当 n5 时， 故数列的周期为 3， 所以：201836723+2， 故：， 故答案为： 第 11 页（共
21、16 页） 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考 查学生的运算能力和转化能力，属于基础题 15 （4 分）ABC 的顶点分别为 A（1，1，2） ，B（3，0，5） ，C（1，3，1） ，则 AC 边上的高 BD 等于 【分析】推导出（2，1，7） ，（0，4，3） ，AC 边上的高：BD ，由此能求出结果 【解答】解：ABC 的顶点分别为 A（1，1，2） ，B（3，0，5） ，C（1，3，1） ， （2，1，7） ，（0，4，3） ， AC 边上的高： BD 故答案为： 【点评】本题考查三角形的高的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算 求
22、解能力，是基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小題，共个小題，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （6 分）在ABC 中，AC5，cosC，B （1）求 AB 的长； （2）求ABC 的面积 SABC 【分析】 （1）求得 sinC，利用正弦定理求出 AB 的值即可； （2）求出 sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积 【解答】解： （1）在ABC 中，cosC，sinC 由正弦定理可得，AB （2）在ABC 中，A（B+C） sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC
23、 ABC 的面积 SABC28 第 12 页（共 16 页） 【点评】此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟 练掌握余弦定理是解本题的关键 17 （8 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1（底面为正三角形，侧棱和底面垂直）的所有棱 长都为 2，D 为 CC1的中点，O 为 BC 中点 （1）求证：BD平面 AOB1 （2）求平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）推导出 AOBC，AOBD，B1OBD，由此能证明 BD平面 AOB1 （2）设 B1C1中点为 O1，取 O 为原点，分别取 OB，OO1，OA 为 x，y，z 轴，建
24、立空间 直角坐标系，利用向量法能求出平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （1）ABC 是正三角形，O 为 BC 中点，AOBC， 在正三棱锥 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1， 平面 ABC平面 BCC1B1BC， AO平面 BCC1B1，AOBD， 正方形 BCC1B1中，BCDB1BO， BOB1+OBDCDB+OBD90， B1OBD， AOB1OO，BD平面 AOB1 解： （2）设 B1C1中点为 O1， 由（1）知可取 O 为原点，分别取 OB，OO1，OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（1，0，0） ，D
25、（1，1，0） ，A1（0，2，） ，A（0，0，） ，C（1，0，0） ， （0，2，0） ，（1，0，） ，（2，1，0） ， BD平面 AOB1（2，1，0）是平面 AOB1 的一个法向量， 设平面 ACC1A1的法向量 （x，y，z） ， 第 13 页（共 16 页） 则，取 z1，得 （） ， 设平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角为 ， 则 cos， 平面 AOB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 18 （8
26、 分）已知等差数列an的公差 d0，它的前 n 项和为 S，若 S312，且 a2，a6，a18 成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Tn，求证：1Tn2 【分析】 （1）运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，可得首 项和公差的方程，解方程即可得到所求通项公式； （2）求得2（） ，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和， 由数列的单调性即可得证 【解答】解： （1）S312，即 3a1+3d12， a2，a6，a18成等比数列，可得 a62a2a18， 即有（a1+5d）2（a1+d） （a1+17d） ， 由解得 a1d2， 则 an2
27、n： （2）证明：2（） ， 第 14 页（共 16 页） 则前 n 项和为 Tn2（1+） 2（1） ， 由Tn为递增数列，可得 TnT11，Tn2， 即有 1Tn2 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列中项性质，以及数列 的裂项相消求和，数列的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题 19 （8 分）已知椭圆 E：1（ab0）的离心率为，且过点 A（2，0） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）问：是否存在过点 M（0，2）的直线 l，使以直线 l 被椭圆 E 所截得的弦 CD 为直 径的圆过点 N（1，0） ，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由
28、【分析】 （1）根据椭圆的离心率公式及椭圆过点 A，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭 圆方程； （2）讨论直线 l 的斜率不存在，求得 C，D 的坐标，可得符合题意；设直线的斜率存在， 设为 ykx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，由以 CD 为直径的圆过定 点 N（1，0） ，可得 CNDN，由向量的数量积的坐标表示，解方程可得所求斜率，即 可判断存在性 【解答】解： （1）由题意过点 A（2，0） ，则 a2， 椭圆的离心率 e，则 c，b2a2c21， 椭圆的标准方程： （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 即为 y 轴， 此时 C，D 为椭圆 C 的短轴端点
29、，以 CD 为直径的圆经过点 N（1，0） ； 当直线 l 的斜率存在时，设其斜率为 k，由， 得（1+4k2）x2+16kx+120， 所以（16k）248（1+4k2）64k2480 第 15 页（共 16 页） 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 而 y1y2（kx1+2） （kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4， 因为以 CD 为直径的圆过定点 N（1，0） ， 所以 CNDN，则0，即（x1+1） （x2+1）+y1y20 所以（k2+1）x1x2+（2k+1） （x1+x2）+50 将式代入式整理解得 k满足0 上可知，存在直线 l：x0 或 17x16y+
30、320： ，使得以 CD 为直径的圆经过点 N（1， 0） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式， 考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，以及联立方程运用韦达定理，考 查化简整理的运算能力，属于中档题 20 （10 分）已知函数 f（x）axlnx 图象上在点（1，f（1） ）处的切线与直线 yx 垂 直 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若对所有 x1 都有 f（x）mx+20，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1， 即可得到 a，进而得到所求解析式； （2）由题意可得
31、 2xlnxmx+20，即有 m2lnx+在 x1 恒成立，设 g（x）2lnx+， 求得导数和单调性、最小值，即可得到所求范围 【解答】解： （1）函数 f（x）axlnx 的导数为 f（x）a（1+lnx） ， 图象上在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 a， 由切线与直线 yx 垂直，可得 a2， 即 f（x）2xlnx； （2）所有 x1 都有 f（x）mx+20， 即为 2xlnxmx+20， 第 16 页（共 16 页） 即有 m2lnx+在 x1 恒成立， 设 g（x）2lnx+，g（x）， 由 x1 可得 g（x）0，g（x）递增， 可得 g（x）的最小值为 g（1）2， 则 m2，即 m 的取值范围是（，2 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查不等式恒成立问题 解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题