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本文(2018-2019学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中联考高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答)为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2018-2019学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中联考高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019 学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 (上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,每个小题只有一个正确选项)分,每个小题只有一个正确选项) 1 (5 分)若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 2 (5 分)命题 p:xN,x3x2的否定形式p 为( ) AxN,x3x2 BxN,x3x2 CxN,x3x2 DxN,x3x2 3 (5 分)曲线 yx3+3x2在点(1,2)处的切线方程为( ) Ay3x1 By3x+5 Cy3x+5 Dy2x 4 (5 分)某学

2、校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比 赛,该项目只设置一个一等奖在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这 四个参赛团队获奖结果预测如下: 小张说: “甲或乙团队获得一等奖” ; 小王说: “丁团队获得一等奖” ; 小李说: “乙、丙两个团队均未获得一等奖” ; 小赵说: “甲团队获得一等奖” 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 5 (5 分)某产品近四年的广告费 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表: x 40 20 30 50 y 490 260 390 540 根据此表可得回归方程 x+ 中的

3、 9.4,据此模型预测下一年该产品广告费预算为 60 万元时,其销售额为( ) A650 万元 B655 万元 C677 万元 D720 万元 6 (5 分)设 p:实数 x,y 满足 x1 且 y1,q:实数 x,y 满足 x+y2,则 p 是 q 的( )  A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页(共 20 页) 7 (5 分)已知双曲线1 实轴长为 8,则该双曲线的渐近线斜率为( )  A B C D 8 (5 分)设抛物线 y22px 的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方 程为( Ax1 Bx2 Cx3

4、 Dx4 9 (5 分)函数 f(x)lnxx2的图象大致是( ) A B  C D 10 (5 分)设 f0(x)sinx,f1(x)f'0(x) ,f2(x)f'1(x) ,fn+1(x)f'n(x) , nN*,则 f2019(x)( ) Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 11 (5 分)点 P 在曲线 yx32x2+3x 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取 值范围是( ) A0,),) B0,)  C,),) D (, 12 (5 分)双曲线1(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F2渐近线分别为 l1, l2,位

5、于第一象限的点 P 在 l1上,若 l2PF1,l2PF2,则双曲线的离心率是( ) A B C2 D 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 第 3 页(共 20 页) 13 (5 分)已知某椭圆过点,则椭圆的标准方程为   14 (5 分)已知抛物线 y22x 与直线 yx+10 交于 A,B 两点,则弦长|AB|   15 (5 分)函数 f(x)x33x29x1 的图象与函数 g(x)a 的图象有三个交点,则实 数 a 的取值范围是   16 (5 分)已知函数 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当

6、x0 时,f (x)g(x)+f(x)g(x)0 且 g(4)0,则不等式 f(x)g(x)0 的解集是    三、解答题(本题共三、解答题(本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分) 已知命题p: 不等式x2+2xm10对一切实数x恒成立, 命题q:, 如果“pq”为真命题且“pq”为假命题,求实数 m 的取值范围 18 (12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样

7、的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:50, 60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90,100加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图 (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周 岁以下的工人的概率 (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件作出 22 列联表,并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”? 附表及公

8、示 P(K2k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 第 4 页(共 20 页) K2 19 (12 分)如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2) ,A(x1,y1) , B(x2,y2)均在抛物线上 ()写出该抛物线的方程及其准线方程; ()当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2的值及直线 AB 的斜率 20 (12 分)已知函数 f(x)bxlnx+3(b0) ,f'(e)4,g(x)x2+ax (1)求函数 f(x)的极值; (2)若对x(0,+)有 f(x)g(x)

9、0 恒成立,求实数 a 的取值范围 21 (12 分)点 P 为圆 O;x2+y24 上一动点,PDx 轴于 D 点,记线段 PD 的中点 M 的 运动轨迹为曲线 C (I)求曲线 C 的方程; (II)直线 l 经过定点(0,2)与曲线 C 交于 A、B 两点,求OAB 面积的最大值 22 (12 分)设函数 f(x)klnx,k0 (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,上仅有一个零点 第 5 页(共 20 页) 2018-2019 学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 (上)学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 (上

10、) 期末数学试卷(文科)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,每个小题只有一个正确选项)分,每个小题只有一个正确选项) 1 (5 分)若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:, 则共轭复数 1+i 故选:A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 2 (5 分)命题 p:xN,x3x2的否定形式p 为( ) AxN,x3x2 BxN,x

11、3x2 CxN,x3x2 DxN,x3x2 【分析】命题 P 为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题解答 【解答】解:命题 p:xN,x3x2的否定形式是特称命题; p: “xN,x3x2” 故选:D 【点评】通常像“所有” 、 “任意” 、 “每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词, 通常用符号“x”表示“对任意 x” ,一般形式为:全称命题:xM,p(x) ; “有一个” 、 “有些” 、 “存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“x”表 示“存在 x” ,xM,p(x) ;特称命题xM,p(x) 全称命题与特称命题互为否定命 题 3 (5 分)曲线 yx3+3

12、x2在点(1,2)处的切线方程为( ) Ay3x1 By3x+5 Cy3x+5 Dy2x 【分析】根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x1 处的导数,从而求出切线的斜率, 再用点斜式写出切线方程,化成斜截式即可 【解答】解:yx3+3x2y'3x2+6x, 第 6 页(共 20 页) y'|x1(3x2+6x)|x13, 曲线 yx3+3x2在点(1,2)处的切线方程为 y23(x1) , 即 y3x1, 故选:A 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,属于基础题 4 (5 分)某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比 赛,该项

13、目只设置一个一等奖在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这 四个参赛团队获奖结果预测如下: 小张说: “甲或乙团队获得一等奖” ; 小王说: “丁团队获得一等奖” ; 小李说: “乙、丙两个团队均未获得一等奖” ; 小赵说: “甲团队获得一等奖” 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】分别假设获得一等奖的团队是甲、乙、丙、丁,分析四位同学的预测结果,能 求出正确结果 【解答】解: (1)若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符; (2)若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符; (3)若丙获得一等奖,

14、则四人的预测都错误,与题意不符; (4)若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意  故选:D 【点评】本题考查学生的逻辑推理能力,考查简单的合情推理等基础知识,考查运算求 解能力,考查函数与方程思想,是基础题 5 (5 分)某产品近四年的广告费 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表: x 40 20 30 50 y 490 260 390 540 根据此表可得回归方程 x+ 中的 9.4,据此模型预测下一年该产品广告费预算为 60 万元时,其销售额为( ) A650 万元 B655 万元 C677 万元 D720 万元 第 7 页(共 20 页)

15、【分析】由图表求出样本中心点的坐标,代入回归直线方程求得 ,可得回归直线方程, 取 x60 得答案 【解答】解:由图表可得, 9.4, 4209.43591, 则 9.4x+91, 取 x60,可得 9.460+91655(万元) 故选:B 【点评】本题考查线性回归直线方程,明确线性回归直线方程恒过样本中心点是关键, 是基础题 6 (5 分)设 p:实数 x,y 满足 x1 且 y1,q:实数 x,y 满足 x+y2,则 p 是 q 的( )  A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x1 且 y1,可得:x+y2,反之不成立,

16、例如取 x3,y 【解答】解:由 x1 且 y1,可得:x+y2,反之不成立:例如取 x3,y p 是 q 的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 7 (5 分)已知双曲线1 实轴长为 8,则该双曲线的渐近线斜率为( )  A B C D 【分析】求出双曲线的实轴长,得到 m,然后求解双曲线的渐近线方程,得到渐近线的 斜率即可 【解答】解:双曲线1 的实轴长为 8, 可得:m2+1216,解得 m2,m2(舍去) 第 8 页(共 20 页) 所以,双曲线的渐近线方程为:0 则该双曲线的渐近线的斜率: 故选

17、:C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查 8 (5 分)设抛物线 y22px 的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方 程为( Ax1 Bx2 Cx3 Dx4 【分析】由题设中的条件 y22px(p0)的焦点与椭圆的右焦点重合,故可 以先求出椭圆的右焦点坐标, 根据两曲线的关系求出 p, 再由抛物线的性质求出它的准线 方程 【解答】解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是(4,0) , 又 y22px(p0)的焦点与椭圆右焦点重合, 故得 p8, 抛物线的准线方程为 x4 故选:D 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质 及几何特征,熟

18、练运用这些性质与几何特征解答问题 9 (5 分)函数 f(x)lnxx2的图象大致是( ) A B  第 9 页(共 20 页) C D 【分析】由已知中函数的解析式,我们利用导数法,可以判断出函数的 单调性及最大值,进而分析四个答案中的图象,即可得到答案 【解答】解:(x0) (x0) 则当 x(0,1)时,f(x)0,函数 f(x)为增函数; 当 x(1,+)时,f(x)0,函数 f(x)为减函数; 当 x1 时,f(x)取最大值,f(1); 故选:B 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质,其中利用导数分析出函数的性质,是 解答本题的关键 10 (5 分)设 f0(x)si

19、nx,f1(x)f'0(x) ,f2(x)f'1(x) ,fn+1(x)f'n(x) , nN*,则 f2019(x)( ) Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 【分析】根据题意,依次求出 f1(x) 、f2(x) 、f3(x) 、f4(x)的值,分析可得 fn+4(x) fn(x) ,据此可得 f2019(x)f3(x) ,即可得答案 【解答】解:根据题意,f0(x)sinx,f1(x)f'0(x)cosx, f2(x)f'1(x)sinx, f3(x)f'2(x)cosx, f4(x)f'3(x)sinx, 则有 f1(x

20、)f4(x) ,f2(x)f5(x) , 则有 fn+4(x)fn(x) , 则 f2019(x)f3(x)cosx; 故选:D 【点评】本题考查导数的计算,涉及归纳推理的应用,关键是掌握导数的计算公式 第 10 页(共 20 页) 11 (5 分)点 P 在曲线 yx32x2+3x 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取 值范围是( ) A0,),) B0,)  C,),) D (, 【分析】利用导数的几何意义和正切函数的单调性的性质求出结果即可 【解答】解:设切点 P(x0,y0) ,由 f(x)x24x+3,得过切点 p 处的切线的斜率 k x024x0+3(x02)

21、211 tan1,解得 0,),) 故选:A 【点评】熟练掌握导数的几何意义和正切函数的单调性是解题的关键 12 (5 分)双曲线1(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F2渐近线分别为 l1, l2,位于第一象限的点 P 在 l1上,若 l2PF1,l2PF2,则双曲线的离心率是( ) A B C2 D 【分析】由双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分 别为 l1,l2,点 P 在第一 象限内且在 l1上,知 F1(c,0)F2(c,0)P(x,y) ,由渐 近线 l1的直线方程为 yx, 渐近线 l2的直线方程为 yx, l2PF2, 知 aybcbx, 由 ayb

22、x,知 P(,) ,由此能求出离心率 【解答】解:双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 渐近线分别为 l1,l2,点 P 在第一 象限内且在 l1上, F1(c,0)F2(c,0)P(x,y) , 渐近线 l1的直线方程为 yx,渐近线 l2的直线方程为 yx, l2PF2,即 aybcbx, 点 P 在 l1上即 aybx, 第 11 页(共 20 页) bxbcbx 即 x,P(,) , l2PF1, ,即 3a2b2, a2+b2c2, 4a2c2,即 c2a, 离心率 e2 故选:C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线 和双曲

23、线位置关系的灵活运用 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知某椭圆过点,则椭圆的标准方程为 + 1 【分析】根据题意,设要求椭圆的方程为:mx2+ny21,将已知点的坐标代入可得 ,解可得 m、n 的值,将 m、n 的值代入方程,即可得答案 【解答】解:根据题意,设要求椭圆的方程为:mx2+ny21, (m、n0) 又由椭圆过点, 则有,解可得, 故要求椭圆的标准方程为:+1; 故答案为:+1 【点评】本题考查椭圆的标准方程的计算,注意用待定系数法分析 14 (5 分)已知抛物线 y22x 与直线 yx+10 交于 A,B 两点,则弦长|A

24、B|  第 12 页(共 20 页) 【分析】联立方程组消元,利用根与系数的关系代入弦长公式得出|AB| 【解答】解:把 yx1 代入 y22x 可得: x24x+10, x1+x24,x1x21, |AB|2 故答案为:2 【点评】本题考查了弦长公式的应用,属于中档题 15 (5 分)函数 f(x)x33x29x1 的图象与函数 g(x)a 的图象有三个交点,则实 数 a 的取值范围是 (28,4) 【分析】求导数 f(x) ,令 f(x)0,f(x)0 解得函数单调区间,由此可求出 函数极值;通过函数 f(x)的图象与 g(x)的图象恰有三个交点,即 f(x)g(x)有 3 个解

25、,从而得到 a 的取值范围 【解答】解:函数 f(x)x33x29x1,可得 f(x)3x26x93(x+1) (x 3) , 令 f(x)0,解得 x1 或 x3;令 f(x)0,解得1x3, 所以 f(x)在(,1) , (3,+)上单调递增;在(1,3)上单调递减 所以 x1 时取得极大值 f(1)4,x3 时取得极小值 f(3)28 函数 f(x)x33x29x1 的图象与函数 g(x)a 的图象有三个交点, 即 x33x29x1a 有 3 个解, 所以28a4,即 a 的取值范围为(28,4) 故答案为: (28,4) 【点评】本题考查应用导数求函数的极值问题,可导函数 f(x)在某

26、点 x0取得极值的充 要条件是:f(x0)0,且 f(x)在 x0左右两侧异号 16 (5 分)已知函数 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,f (x)g(x)+f(x)g(x)0 且 g(4)0,则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 ( 4,0)(4,+) 【分析】根据题意,令 h(x)f(x)g(x) ,分析可得函数 h(x)在 R 上是奇函数, 分 2 种情况讨论 f(x)g(x)0 的解集,、当 x0 时,、当 x0 时,分别求出 f (x)g(x)0 的解集,综合即可得答案 【解答】解:根据题意,令 h(x)f(x)g(x) , 第 13 页(共

27、 20 页) 又由 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 则 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x) , 则函数 h(x)在 R 上是奇函数; 分 2 种情况讨论: 、当 x0 时,h(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)0,则 h(x)在(,0) 单调递增, 若 g(4)0,则 h(4)f(4)g(4)0,则 h(4)h(4)0, 此时 f(x)g(x)0h(x)h(4) , 则有4x0, 、当 x0 时,由于函数 h(x)为奇函数且在(,0)单调递增, 则函数 h(x)在(0,+)单调递增, 此时 f(x)g(x)0h(x)h(4) , 必有 x4, 综合

28、可得:4x0 或 x4, 不等式 f(x)g(x)0 的解集为(4,0)(4,+) , 故答案为: (4,0)(4,+) 【点评】本题考查函数的导数与函数单调性之间的关系,涉及函数奇偶性的性质,恰当 构造函数,熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分) 已知命题p: 不等式x2+2xm10对一切实数x恒成立, 命题q:, 如果“pq”为真命题且“pq”为假命题,求实数 m 的取值范围 【分析】首先确定命题 p:m2,命题 q:m1

29、或 m3,由已知得 p、q 一真一假,  分 p 真 q 假和 q 真 p 假两类分别求范围,而后取并集即可 【解答】解:命题 p:mx2+2x1(x+1)22,m2, 命题 q:,m22m30,m1 或 m3, “pq”为真命题且“pq”为假命题, p、q 一真一假, p 真 q 假(,21,3, q 真 p 假(2,+)(,1)(3,+)(2,1)(3,+) , 第 14 页(共 20 页) 实数 m 的取值范围为(2,1)(3,+) 【点评】本题考查了简易逻辑的判定、解一元二次不等式、二次函数的最值,考查了推 理能力,属于基础题 18 (12 分)某工厂有 25 周岁以上(含

30、25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:50, 60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90,100加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图 (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周 岁以下的工人的概率 (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能

31、手” ,请你根据已知条件作出 22 列联表,并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”? 附表及公示 P(K2k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K2 【分析】 (1)由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数,再由所对应 的频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上、 下组工人的人数分 别为 3,2,由古典概型的概率公式可得答案; (2)由频率分布直方图可得“25 周岁以上组”中的生产能手的人数,以及“25 周岁以 下组”中的生产能手的人数,据此可得 22 列

32、联表,可得 k21.79,由 1.792.706,可 得结论 第 15 页(共 20 页) 【解答】解: (1)由已知可得,样本中有 25 周岁以上组工人 10060 名, 25 周岁以下组工人 10040 名, 所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 600.053 (人) ,  25 周岁以下组工人有 400.052(人) , 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共10 种, 其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共7 种, 故所求的概率为:; (2)由频率分布直方图可知:在抽取的 100 名工人中, “25 周岁以上组”中的生产能手

33、 有 600.2515(人) , “25 周岁以下组”中的生产能手有 400.37515(人) ,据此可得 22 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以可得 K21.79, 因为 1.792.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 【点评】本题考查独立性检验,涉及频率分布直方图,以及古典概型的概率公式,属中 档题 19 (12 分)如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2) ,A(x1,y1) , B(x2,y2)均在抛物线上 ()写出

34、该抛物线的方程及其准线方程; ()当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2的值及直线 AB 的斜率 第 16 页(共 20 页) 【分析】 (I)设出抛物线的方程,把点 P 代入抛物线求得 p 则抛物线的方程可得,进而 求得抛物线的准线方程 (II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则可分别表示 kPA和 kPB,根据倾 斜角互补可知 kPAkPB,进而求得 y1+y2的值,把 A,B 代入抛物线方程两式相减后即 可求得直线 AB 的斜率 【解答】解: (I)由已知条件,可设抛物线的方程为 y22px 点 P(1,2)在抛物线上222p1,得 p

35、2 故所求抛物线的方程是 y24x 准线方程是 x1 (II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 则, PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 kPAkPB 由 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在抛物线上,得 y124x1(1)y224x2(2) y1+2(y2+2) y1+y24 由(1)(2)得直线 AB 的斜率 第 17 页(共 20 页) 【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题 和解决问题的能力 20 (12 分)已知函数 f(x)bxlnx+3(b0) ,f'(e)4,g(x)x2+ax (1)求函数 f(x

36、)的极值; (2)若对x(0,+)有 f(x)g(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)求出函数的导数,得到关于 b 的方程,求出 b 的值,求出函数的单调区间, 从而求出函数的极值即可; (2)问题转化为 a2lnx+x+在 x(0,+)恒成立,令 h(x)2lnx+x+, (x0) , 根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解: (1)f(x)b(lnx+1) , 由 f(e)b(1+1)4,解得:b2, 故 f(x)2xlnx+3, (x0) , f(x)2(x+1)lnx, 令 f(x)0,解得:x1, 令 f(x)0,解得:0x1, 故 f(x)在(0,1)

37、递减,在(1,+)递增, 故 f(x)极小值f(1)3,无极大值; (2)若对x(0,+)有 f(x)g(x)0 恒成立, 即对x(0,+)都有 2xlnx+3+x2ax0 恒成立, 即 a2lnx+x+在 x(0,+)恒成立, 令 h(x)2lnx+x+, (x0) , h(x)+1, 第 18 页(共 20 页) 令 h(x)0,解得:x1, 令 h(x)0,解得:0x1, 故 h(x)在(0,1)递减,在(1,+)递增, 故 h(x)minh(1)4, 故 a4 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题, 考查转化思想,是一道综合题 21 (12 分)点

38、 P 为圆 O;x2+y24 上一动点,PDx 轴于 D 点,记线段 PD 的中点 M 的 运动轨迹为曲线 C (I)求曲线 C 的方程; (II)直线 l 经过定点(0,2)与曲线 C 交于 A、B 两点,求OAB 面积的最大值 【分析】 ()设 P(x0,y0) ,M(x,y) ,由,能求出曲线 C 的方程 )依题意 l 斜率存在,其方程为 ykx+2,由,得(4k2+1)x2+16kx+12 0,由此入手能够求出OAB 面积的最大值 【解答】解: ()设 P(x0,y0) ,M(x,y) , 点 P 为圆 O;x2+y24 上一动点,PDx 轴于 D 点,记线段 PD 的中点 M, ,2

39、 分 代入 x2+y24,得曲线 C 的方程:4 分 ()依题意 l 斜率存在, 其方程为 ykx+2, 由,消去 y 整理得(4k2+1)x2+16kx+120, (16k)24(4k2+1)124(4k23) , 由0,得 4k230, 第 19 页(共 20 页) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2,x1x26 分 |AB| , 原点到直线 l 距离为 d,8 分 由面积公式及得 SOAB 4 4 4 4 41,10 分 当且仅当 ,即 4k234 时,等号成立 此时 SOAB最大值为 112 分 【点评】本题考查曲线方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法解题时

40、要认真审 题,仔细解答,注意合理地进行等价转化 22 (12 分)设函数 f(x)klnx,k0 (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,上仅有一个零点 【分析】 (1)利用 f'(x)0 或 f'(x)0 求得函数的单调区间并能求出极值; (2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况 【解答】解: (1)由 f(x) 第 20 页(共 20 页) f'(x)x 由 f'(x)0 解得 x f(x)与 f'(x)在区间(0,+)上的情况如下: X (0,)  () f&#

41、39;(x) 0 + f(x) 所以,f(x)的单调递增区间为() ,单调递减区间为(0,) ; f(x)在 x处的极小值为 f(),无极大值 (2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为 f()  因为 f(x)存在零点,所以,从而 ke 当 ke 时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且 f()0 所以 x是 f(x)在区间(1,)上唯一零点 当 ke 时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且,  所以 f(x)在区间(1,)上仅有一个零点 综上所述,若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,上仅有一个零点 【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题 型