1、2018-2019 学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 （上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每个小题只有一个正确选项）分，每个小题只有一个正确选项） 1 （5 分）若复数 x，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 2 （5 分）命题 p：xN，x3x2的否定形式p 为（ ） AxN，x3x2 BxN，x3x2 CxN，x3x2 DxN，x3x2 3 （5 分）曲线 yx3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ） Ay3x1 By3x+5 Cy3x+5 Dy2x 4 （5 分）某学
2、校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比 赛，该项目只设置一个一等奖在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这 四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说： “甲或乙团队获得一等奖” ； 小王说： “丁团队获得一等奖” ； 小李说： “乙、丙两个团队均未获得一等奖” ； 小赵说： “甲团队获得一等奖” 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 5 （5 分）某产品近四年的广告费 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表： x 40 20 30 50 y 490 260 390 540 根据此表可得回归方程 x+ 中的
3、 9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为 60 万元时，其销售额为（ ） A650 万元 B655 万元 C677 万元 D720 万元 6 （5 分）设 p：实数 x，y 满足 x1 且 y1，q：实数 x，y 满足 x+y2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）已知双曲线1 实轴长为 8，则该双曲线的渐近线斜率为（ ） A B C D 8 （5 分）设抛物线 y22px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方 程为（ Ax1 Bx2 Cx3
4、 Dx4 9 （5 分）函数 f（x）lnxx2的图象大致是（ ） A B C D 10 （5 分）设 f0（x）sinx，f1（x）f'0（x） ，f2（x）f'1（x） ，fn+1（x）f'n（x） ， nN*，则 f2019（x）（ ） Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 11 （5 分）点 P 在曲线 yx32x2+3x 上移动，设点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的取 值范围是（ ） A0，），） B0，） C，），） D （， 12 （5 分）双曲线1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F2渐近线分别为 l1， l2，位
5、于第一象限的点 P 在 l1上，若 l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是（ ） A B C2 D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 3 页（共 20 页） 13 （5 分）已知某椭圆过点，则椭圆的标准方程为 14 （5 分）已知抛物线 y22x 与直线 yx+10 交于 A，B 两点，则弦长|AB| 15 （5 分）函数 f（x）x33x29x1 的图象与函数 g（x）a 的图象有三个交点，则实 数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知函数 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当
6、x0 时，f （x）g（x）+f（x）g（x）0 且 g（4）0，则不等式 f（x）g（x）0 的解集是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（10分） 已知命题p： 不等式x2+2xm10对一切实数x恒成立， 命题q：， 如果“pq”为真命题且“pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）的工人 300 名，25 周岁以下的工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样
7、的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁） ”和“25 周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50， 60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图 （1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名，求至少抽到一名 25 周 岁以下的工人的概率 （2）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ，请你根据已知条件作出 22 列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？ 附表及公
8、示 P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 第 4 页（共 20 页） K2 19 （12 分）如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） ，A（x1，y1） ， B（x2，y2）均在抛物线上 （）写出该抛物线的方程及其准线方程； （）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2的值及直线 AB 的斜率 20 （12 分）已知函数 f（x）bxlnx+3（b0） ，f'（e）4，g（x）x2+ax （1）求函数 f（x）的极值； （2）若对x（0，+）有 f（x）g（x）
9、0 恒成立，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）点 P 为圆 O；x2+y24 上一动点，PDx 轴于 D 点，记线段 PD 的中点 M 的 运动轨迹为曲线 C （I）求曲线 C 的方程； （II）直线 l 经过定点（0，2）与曲线 C 交于 A、B 两点，求OAB 面积的最大值 22 （12 分）设函数 f（x）klnx，k0 （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 （上）学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 （上
10、） 期末数学试卷（文科）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每个小题只有一个正确选项）分，每个小题只有一个正确选项） 1 （5 分）若复数 x，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 则共轭复数 1+i 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）命题 p：xN，x3x2的否定形式p 为（ ） AxN，x3x2 BxN，x
11、3x2 CxN，x3x2 DxN，x3x2 【分析】命题 P 为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题解答 【解答】解：命题 p：xN，x3x2的否定形式是特称命题； p： “xN，x3x2” 故选：D 【点评】通常像“所有” 、 “任意” 、 “每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词， 通常用符号“x”表示“对任意 x” ，一般形式为：全称命题：xM，p（x） ； “有一个” 、 “有些” 、 “存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表 示“存在 x” ，xM，p（x） ；特称命题xM，p（x） 全称命题与特称命题互为否定命 题 3 （5 分）曲线 yx3+3
12、x2在点（1，2）处的切线方程为（ ） Ay3x1 By3x+5 Cy3x+5 Dy2x 【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x1 处的导数，从而求出切线的斜率， 再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可 【解答】解：yx3+3x2y'3x2+6x， 第 6 页（共 20 页） y'|x1（3x2+6x）|x13， 曲线 yx3+3x2在点（1，2）处的切线方程为 y23（x1） ， 即 y3x1， 故选：A 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题 4 （5 分）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比 赛，该项
13、目只设置一个一等奖在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这 四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说： “甲或乙团队获得一等奖” ； 小王说： “丁团队获得一等奖” ； 小李说： “乙、丙两个团队均未获得一等奖” ； 小赵说： “甲团队获得一等奖” 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】分别假设获得一等奖的团队是甲、乙、丙、丁，分析四位同学的预测结果，能 求出正确结果 【解答】解： （1）若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； （2）若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符； （3）若丙获得一等奖，
14、则四人的预测都错误，与题意不符； （4）若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意 故选：D 【点评】本题考查学生的逻辑推理能力，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5 （5 分）某产品近四年的广告费 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表： x 40 20 30 50 y 490 260 390 540 根据此表可得回归方程 x+ 中的 9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为 60 万元时，其销售额为（ ） A650 万元 B655 万元 C677 万元 D720 万元 第 7 页（共 20 页）
15、【分析】由图表求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得 ，可得回归直线方程， 取 x60 得答案 【解答】解：由图表可得， 9.4， 4209.43591， 则 9.4x+91， 取 x60，可得 9.460+91655（万元） 故选：B 【点评】本题考查线性回归直线方程，明确线性回归直线方程恒过样本中心点是关键， 是基础题 6 （5 分）设 p：实数 x，y 满足 x1 且 y1，q：实数 x，y 满足 x+y2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x1 且 y1，可得：x+y2，反之不成立，
16、例如取 x3，y 【解答】解：由 x1 且 y1，可得：x+y2，反之不成立：例如取 x3，y p 是 q 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7 （5 分）已知双曲线1 实轴长为 8，则该双曲线的渐近线斜率为（ ） A B C D 【分析】求出双曲线的实轴长，得到 m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的 斜率即可 【解答】解：双曲线1 的实轴长为 8， 可得：m2+1216，解得 m2，m2（舍去） 第 8 页（共 20 页） 所以，双曲线的渐近线方程为：0 则该双曲线的渐近线的斜率： 故选
17、：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 8 （5 分）设抛物线 y22px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方 程为（ Ax1 Bx2 Cx3 Dx4 【分析】由题设中的条件 y22px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可 以先求出椭圆的右焦点坐标， 根据两曲线的关系求出 p， 再由抛物线的性质求出它的准线 方程 【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（4，0） ， 又 y22px（p0）的焦点与椭圆右焦点重合， 故得 p8， 抛物线的准线方程为 x4 故选：D 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质 及几何特征，熟
18、练运用这些性质与几何特征解答问题 9 （5 分）函数 f（x）lnxx2的图象大致是（ ） A B 第 9 页（共 20 页） C D 【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的 单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案 【解答】解：（x0） （x0） 则当 x（0，1）时，f（x）0，函数 f（x）为增函数； 当 x（1，+）时，f（x）0，函数 f（x）为减函数； 当 x1 时，f（x）取最大值，f（1）； 故选：B 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是 解答本题的关键 10 （5 分）设 f0（x）si
19、nx，f1（x）f'0（x） ，f2（x）f'1（x） ，fn+1（x）f'n（x） ， nN*，则 f2019（x）（ ） Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 【分析】根据题意，依次求出 f1（x） 、f2（x） 、f3（x） 、f4（x）的值，分析可得 fn+4（x） fn（x） ，据此可得 f2019（x）f3（x） ，即可得答案 【解答】解：根据题意，f0（x）sinx，f1（x）f'0（x）cosx， f2（x）f'1（x）sinx， f3（x）f'2（x）cosx， f4（x）f'3（x）sinx， 则有 f1（x
20、）f4（x） ，f2（x）f5（x） ， 则有 fn+4（x）fn（x） ， 则 f2019（x）f3（x）cosx； 故选：D 【点评】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式 第 10 页（共 20 页） 11 （5 分）点 P 在曲线 yx32x2+3x 上移动，设点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的取 值范围是（ ） A0，），） B0，） C，），） D （， 【分析】利用导数的几何意义和正切函数的单调性的性质求出结果即可 【解答】解：设切点 P（x0，y0） ，由 f（x）x24x+3，得过切点 p 处的切线的斜率 k x024x0+3（x02）
21、211 tan1，解得 0，），） 故选：A 【点评】熟练掌握导数的几何意义和正切函数的单调性是解题的关键 12 （5 分）双曲线1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F2渐近线分别为 l1， l2，位于第一象限的点 P 在 l1上，若 l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】由双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，渐近线分 别为 l1，l2，点 P 在第一 象限内且在 l1上，知 F1（c，0）F2（c，0）P（x，y） ，由渐 近线 l1的直线方程为 yx， 渐近线 l2的直线方程为 yx， l2PF2， 知 aybcbx， 由 ayb
22、x，知 P（，） ，由此能求出离心率 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2， 渐近线分别为 l1，l2，点 P 在第一 象限内且在 l1上， F1（c，0）F2（c，0）P（x，y） ， 渐近线 l1的直线方程为 yx，渐近线 l2的直线方程为 yx， l2PF2，即 aybcbx， 点 P 在 l1上即 aybx， 第 11 页（共 20 页） bxbcbx 即 x，P（，） ， l2PF1， ，即 3a2b2， a2+b2c2， 4a2c2，即 c2a， 离心率 e2 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线 和双曲
23、线位置关系的灵活运用 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知某椭圆过点，则椭圆的标准方程为 + 1 【分析】根据题意，设要求椭圆的方程为：mx2+ny21，将已知点的坐标代入可得 ，解可得 m、n 的值，将 m、n 的值代入方程，即可得答案 【解答】解：根据题意，设要求椭圆的方程为：mx2+ny21， （m、n0） 又由椭圆过点， 则有，解可得， 故要求椭圆的标准方程为：+1； 故答案为：+1 【点评】本题考查椭圆的标准方程的计算，注意用待定系数法分析 14 （5 分）已知抛物线 y22x 与直线 yx+10 交于 A，B 两点，则弦长|A
24、B| 第 12 页（共 20 页） 【分析】联立方程组消元，利用根与系数的关系代入弦长公式得出|AB| 【解答】解：把 yx1 代入 y22x 可得： x24x+10， x1+x24，x1x21， |AB|2 故答案为：2 【点评】本题考查了弦长公式的应用，属于中档题 15 （5 分）函数 f（x）x33x29x1 的图象与函数 g（x）a 的图象有三个交点，则实 数 a 的取值范围是 （28，4） 【分析】求导数 f（x） ，令 f（x）0，f（x）0 解得函数单调区间，由此可求出 函数极值；通过函数 f（x）的图象与 g（x）的图象恰有三个交点，即 f（x）g（x）有 3 个解
25、，从而得到 a 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）x33x29x1，可得 f（x）3x26x93（x+1） （x 3） ， 令 f（x）0，解得 x1 或 x3；令 f（x）0，解得1x3， 所以 f（x）在（，1） ， （3，+）上单调递增；在（1，3）上单调递减 所以 x1 时取得极大值 f（1）4，x3 时取得极小值 f（3）28 函数 f（x）x33x29x1 的图象与函数 g（x）a 的图象有三个交点， 即 x33x29x1a 有 3 个解， 所以28a4，即 a 的取值范围为（28，4） 故答案为： （28，4） 【点评】本题考查应用导数求函数的极值问题，可导函数 f（x）在某
26、点 x0取得极值的充 要条件是：f（x0）0，且 f（x）在 x0左右两侧异号 16 （5 分）已知函数 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f （x）g（x）+f（x）g（x）0 且 g（4）0，则不等式 f（x）g（x）0 的解集是 （ 4，0）（4，+） 【分析】根据题意，令 h（x）f（x）g（x） ，分析可得函数 h（x）在 R 上是奇函数， 分 2 种情况讨论 f（x）g（x）0 的解集，、当 x0 时，、当 x0 时，分别求出 f （x）g（x）0 的解集，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，令 h（x）f（x）g（x） ， 第 13 页（共
27、 20 页） 又由 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 则 h（x）f（x）g（x）f（x）g（x）h（x） ， 则函数 h（x）在 R 上是奇函数； 分 2 种情况讨论： 、当 x0 时，h（x）f（x）g（x）+f（x）g（x）0，则 h（x）在（，0） 单调递增， 若 g（4）0，则 h（4）f（4）g（4）0，则 h（4）h（4）0， 此时 f（x）g（x）0h（x）h（4） ， 则有4x0， 、当 x0 时，由于函数 h（x）为奇函数且在（，0）单调递增， 则函数 h（x）在（0，+）单调递增， 此时 f（x）g（x）0h（x）h（4） ， 必有 x4， 综合
28、可得：4x0 或 x4， 不等式 f（x）g（x）0 的解集为（4，0）（4，+） ， 故答案为： （4，0）（4，+） 【点评】本题考查函数的导数与函数单调性之间的关系，涉及函数奇偶性的性质，恰当 构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（10分） 已知命题p： 不等式x2+2xm10对一切实数x恒成立， 命题q：， 如果“pq”为真命题且“pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】首先确定命题 p：m2，命题 q：m1
29、或 m3，由已知得 p、q 一真一假， 分 p 真 q 假和 q 真 p 假两类分别求范围，而后取并集即可 【解答】解：命题 p：mx2+2x1（x+1）22，m2， 命题 q：，m22m30，m1 或 m3， “pq”为真命题且“pq”为假命题， p、q 一真一假， p 真 q 假（，21，3， q 真 p 假（2，+）（，1）（3，+）（2，1）（3，+） ， 第 14 页（共 20 页） 实数 m 的取值范围为（2，1）（3，+） 【点评】本题考查了简易逻辑的判定、解一元二次不等式、二次函数的最值，考查了推 理能力，属于基础题 18 （12 分）某工厂有 25 周岁以上（含
30、25 周岁）的工人 300 名，25 周岁以下的工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁） ”和“25 周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50， 60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图 （1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名，求至少抽到一名 25 周 岁以下的工人的概率 （2）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能
31、手” ，请你根据已知条件作出 22 列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？ 附表及公示 P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K2 【分析】 （1）由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数，再由所对应 的频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上、 下组工人的人数分 别为 3，2，由古典概型的概率公式可得答案； （2）由频率分布直方图可得“25 周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25 周岁以 下组”中的生产能手的人数，据此可得 22 列
32、联表，可得 k21.79，由 1.792.706，可 得结论 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由已知可得，样本中有 25 周岁以上组工人 10060 名， 25 周岁以下组工人 10040 名， 所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有 600.053 （人） ， 25 周岁以下组工人有 400.052（人） ， 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共10 种， 其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共7 种， 故所求的概率为：； （2）由频率分布直方图可知：在抽取的 100 名工人中， “25 周岁以上组”中的生产能手
33、 有 600.2515（人） ， “25 周岁以下组”中的生产能手有 400.37515（人） ，据此可得 22 列联表如下： 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以可得 K21.79， 因为 1.792.706，所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中 档题 19 （12 分）如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） ，A（x1，y1） ， B（x2，y2）均在抛物线上 （）写出
34、该抛物线的方程及其准线方程； （）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2的值及直线 AB 的斜率 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （I）设出抛物线的方程，把点 P 代入抛物线求得 p 则抛物线的方程可得，进而 求得抛物线的准线方程 （II）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，则可分别表示 kPA和 kPB，根据倾 斜角互补可知 kPAkPB，进而求得 y1+y2的值，把 A，B 代入抛物线方程两式相减后即 可求得直线 AB 的斜率 【解答】解： （I）由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px 点 P（1，2）在抛物线上222p1，得 p
35、2 故所求抛物线的方程是 y24x 准线方程是 x1 （II）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB 则， PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 kPAkPB 由 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，得 y124x1（1）y224x2（2） y1+2（y2+2） y1+y24 由（1）（2）得直线 AB 的斜率 第 17 页（共 20 页） 【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题 和解决问题的能力 20 （12 分）已知函数 f（x）bxlnx+3（b0） ，f'（e）4，g（x）x2+ax （1）求函数 f（x
36、）的极值； （2）若对x（0，+）有 f（x）g（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 b 的方程，求出 b 的值，求出函数的单调区间， 从而求出函数的极值即可； （2）问题转化为 a2lnx+x+在 x（0，+）恒成立，令 h（x）2lnx+x+， （x0） ， 根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）b（lnx+1） ， 由 f（e）b（1+1）4，解得：b2， 故 f（x）2xlnx+3， （x0） ， f（x）2（x+1）lnx， 令 f（x）0，解得：x1， 令 f（x）0，解得：0x1， 故 f（x）在（0，1）
37、递减，在（1，+）递增， 故 f（x）极小值f（1）3，无极大值； （2）若对x（0，+）有 f（x）g（x）0 恒成立， 即对x（0，+）都有 2xlnx+3+x2ax0 恒成立， 即 a2lnx+x+在 x（0，+）恒成立， 令 h（x）2lnx+x+， （x0） ， h（x）+1， 第 18 页（共 20 页） 令 h（x）0，解得：x1， 令 h（x）0，解得：0x1， 故 h（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增， 故 h（x）minh（1）4， 故 a4 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 考查转化思想，是一道综合题 21 （12 分）点
38、 P 为圆 O；x2+y24 上一动点，PDx 轴于 D 点，记线段 PD 的中点 M 的 运动轨迹为曲线 C （I）求曲线 C 的方程； （II）直线 l 经过定点（0，2）与曲线 C 交于 A、B 两点，求OAB 面积的最大值 【分析】 （）设 P（x0，y0） ，M（x，y） ，由，能求出曲线 C 的方程 ）依题意 l 斜率存在，其方程为 ykx+2，由，得（4k2+1）x2+16kx+12 0，由此入手能够求出OAB 面积的最大值 【解答】解： （）设 P（x0，y0） ，M（x，y） ， 点 P 为圆 O；x2+y24 上一动点，PDx 轴于 D 点，记线段 PD 的中点 M， ，2
39、 分 代入 x2+y24，得曲线 C 的方程：4 分 （）依题意 l 斜率存在， 其方程为 ykx+2， 由，消去 y 整理得（4k2+1）x2+16kx+120， （16k）24（4k2+1）124（4k23） ， 由0，得 4k230， 第 19 页（共 20 页） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x26 分 |AB| ， 原点到直线 l 距离为 d，8 分 由面积公式及得 SOAB 4 4 4 4 41，10 分 当且仅当 ，即 4k234 时，等号成立 此时 SOAB最大值为 112 分 【点评】本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法解题时
40、要认真审 题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 22 （12 分）设函数 f（x）klnx，k0 （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点 【分析】 （1）利用 f'（x）0 或 f'（x）0 求得函数的单调区间并能求出极值； （2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况 【解答】解： （1）由 f（x） 第 20 页（共 20 页） f'（x）x 由 f'（x）0 解得 x f（x）与 f'（x）在区间（0，+）上的情况如下： X （0，） （） f&#
41、39;（x） 0 + f（x） 所以，f（x）的单调递增区间为（） ，单调递减区间为（0，） ； f（x）在 x处的极小值为 f（），无极大值 （2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为 f（） 因为 f（x）存在零点，所以，从而 ke 当 ke 时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且 f（）0 所以 x是 f（x）在区间（1，）上唯一零点 当 ke 时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且， 所以 f（x）在区间（1，）上仅有一个零点 综上所述，若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点 【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题 型