1、2018-2019 学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（文科）一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只分，在每小题所给的四个选项中，只 有一个是正确的有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上请把正确答案涂在答题卡上.） 1 （5 分）已知复数 za+i，aR，若 z+ 2，则复数 z 的共轭复数 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 2 （5 分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ， 则该样本的中位数、众数、极差分别为（ ） A46 45 53 B46 45 56 &
2、nbsp;C47 45 56 D46 47 53 3 （5 分）从 2 名男生和 2 名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每 天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ） A有一个解 B有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解 5 （5 分）已知下列命题： 命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x” ； 已知 p，q 为两个命题，若“pq”为假命题，则“ （p）（q）为真命题” ； “a2”是“a5”的充分不必要条件； “若 xy0，则 x0 且 y0”
3、的逆否命题为真命题 其中真命题 有（ ）个 A4 B3 C2 D1 6 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判 断框中的条件可能为（ ） 第 2 页（共 20 页） Ax3 Bx4 Cx4 Dx5 7 （5 分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x+0.35，那么表中 m 值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 A4 B3.15 C4.5 D3 8 （5 分）函数 f（x）lnxx2的图
4、象大致是（ ） A B C D 9 （5 分）若函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A （，2 B （，1 C2，+） D1，+） 10 （5 分）已知双曲线的一个焦点坐标为（0，3） ，则此双曲线的渐近线方程为 （ ） 第 3 页（共 20 页） A B C D 11 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F230，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x），x（0，+） ，当 x2x1时，不等
5、式 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，e B （，e） C D 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把正确答案写在答题纸上请把正确答案写在答题纸上.） 13 （5 分）设复数 a+bi（a，bR）的模为 3，则（a+bi） （abi） 14 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角 形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平 行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点 取自阴影部分的概率是
6、 15 （5 分）将正整数有规律地排列如图： 则在此表中第 45 行第 83 列出现的数字是 16 （5 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在圆 C：x2+y24 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足，则点 P 的轨迹方程为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，小题，17 小题小题 10 分，其它各小题每题分，其它各小题每题 12 分，共分，共 70 分分.） 第 4 页（共 20 页） 17 （10 分）已知命题 p：k28k200，命题 q：方程1 表示焦点在 x 轴上 的双曲线 （）命题 q 为真命题，求实数 k
7、的取值范围； （）若命题“pq”为真，命题“pq”为假，求实数 k 的取值范围 18 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |AF|1 （1）求抛物线 C 的方程； （2） 已知经过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， 证明：+ 为定值 19 （12 分）已知函数 f（x）e xsinx， （1）求函数 f（x） 在点 M（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若 x0，试求函数 f（x） 的最值 20 （12 分）某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出 1 个利润为 5 元，未售出的每个亏 损 3 元根
8、据以往 100 天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了 130 个这种蛋糕以 x（单位：个，100x150）表示这天的市场需求量T（单位：元） 表示这天售出该蛋糕的利润 需求量/个 100，110） 100，120） 120，130） 130，140） 140，150 天数 10 20 30 25 15 （1）将 T 表示为 x 的函数，根据上表，求利润 T 不少于 570 元的概率； （2）估计这 100 天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表） ； （3）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了 50 名市民进行问卷调查，调 查结果如表所示，已
9、知在购买意愿强的市民中，女性的占比为 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 28 男性 22 合计 28 22 50 完善上表，并根据上表，判断是否有 97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有 第 5 页（共 20 页） 关？ 附：K2 P（K2k） 0.05 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 21 （12 分）已知椭圆的离心率是，且过点，直 线与椭圆 C 相交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求PAB 的面积的最大值； 22 （12 分）设 f（x）xalnx（a，x
10、R） （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）若 a1，证明：f（x）1； （3）若函数 f（x）有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求实数 a 的取值范围； 第 6 页（共 20 页） 2018-2019 学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只分，在每小题所给的四个选项中，只 有一个是正确的有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上请把正确答案涂在答题卡上.） 1 （
11、5 分）已知复数 za+i，aR，若 z+ 2，则复数 z 的共轭复数 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】由已知结合复数相等列式求得 a 值，则复数 z 的共轭复数 可求 【解答】解：由 za+i，aR，得， 又 z+ 2，2a2，得 a1 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 2 （5 分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ， 则该样本的中位数、众数、极差分别为（ ） A46 45 53 B46 45 56 C47 45 56 D46 47 53 【分析】利用茎叶图的性质
12、、中位数、众数、极差的定义直接求解 【解答】解：由样本的茎叶图知： 该样本的中位数为：46， 众数为：45， 极差为：681256 故选：B 【点评】本题考查样本的中位数、众数、极差的求法，考查茎叶图的性质、中位数、众 数、极差的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 第 7 页（共 20 页） 3 （5 分）从 2 名男生和 2 名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每 天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ） A B C D 【分析】试验包含的所有事件是从 4 个人安排两人，共 12 种，其中事件“星期六安排一 名男生、星期日安
13、排一名女生”包含 4 种，再由概率公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验包含的所有事件是从 4 个人安排两人，总共有 C42A2212 种 其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有 C21C214 种， 其中至少有 1 名女生的概率 P 故选：A 【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事 件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体 4 （5 分）否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ） A有一个解 B有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解 【分析】根据命题的否定命题的解答办法，我们结合至
14、多性问题的否定思路：至多 n 个 的否定为至少 n+1 个，易根据已知原命题“至多有两个解”得到否定命题 【解答】解：至多 n 个的否定为至少 n+1 个 “至多有两个解”的否定为“至少有三个解” 故选：C 【点评】本题考查的知识是命题的否定，其中熟练掌握多性问题的否定思路：至多 n 个 的否定为至少 n+1 个，是解答本题的关键 5 （5 分）已知下列命题： 命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x” ； 已知 p，q 为两个命题，若“pq”为假命题，则“ （p）（q）为真命题” ； “a2”是“a5”的充分不必要条件； “若 xy0，则 x0 且 y0”的逆否命题为真命题 其
15、中真命题 有（ ）个 A4 B3 C2 D1 第 8 页（共 20 页） 【分析】写出原命题的否定，可判断；根据复合命题真假判断的真值表，可判断； 根据充要条件的定义，可判断；判断原命题的真假，进而可判断 【解答】解：命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x” ，故错误； 已知 p，q 为两个命题，若“pq”为假命题，则命题 p，q 均为假命题， 则p，q 均为真命题，则“ （p）（q）为真命题” ，故正确； “a2”是“a5”的必要不充分条件，故错误； “若 xy0，则 x0 且 y0”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误 故选：D 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，
16、考查了命题的否定，充要条件，四种命 题，复合命题，难度中档 6 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判 断框中的条件可能为（ ） Ax3 Bx4 Cx4 Dx5 【分析】方法一：由题意可知：输出 y2，则由 ylog2x 输出，需要 x4，则判断框中 的条件是 x4， 方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案 【解答】解：方法一：当 x4，输出 y2，则由 ylog2x 输出，需要 x4， 故选 B 方法二：若空白判断框中的条件 x3，输入 x4，满足 43，输出 y4+26，不满足， 故 A 错误， 若空白判断框中的条件 x4
17、， 输入 x4， 满足 44， 不满足 x3， 输出 yylog242， 第 9 页（共 20 页） 故 B 正确； 若空白判断框中的条件 x4，输入 x4，满足 44，满足 x4，输出 y4+26，不满 足，故 C 错误， 若空白判断框中的条件 x5，输入 x4，满足 45，满足 x5，输出 y4+26，不满 足，故 D 错误， 故选：B 【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题 7 （5 分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x+0.35，那
18、么表中 m 值为（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 A4 B3.15 C4.5 D3 【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数 据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于 m 的方程，解方程 即可 【解答】 解： 根据所给的表格可以求出 4.5， 这组数据的样本中心点在线性回归直线上， 0.74.5+0.35， m3， 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关 键是理解样本中心点在线性回归直线上 8 （5 分）函数 f（x）lnxx2的图象大致是（ ） A B 第
19、 10 页（共 20 页） C D 【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的 单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案 【解答】解：（x0） （x0） 则当 x（0，1）时，f（x）0，函数 f（x）为增函数； 当 x（1，+）时，f（x）0，函数 f（x）为减函数； 当 x1 时，f（x）取最大值，f（1）； 故选：B 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是 解答本题的关键 9 （5 分）若函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A （，2 B （，1 C2，+） D
20、1，+） 【分析】求出导函数 f（x） ，由于函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增， 可得 f（x）0 在区间（1，+）上恒成立解出即可 【解答】解：f（x）k， 函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增， f（x）0 在区间（1，+）上恒成立 k， 而 y在区间（1，+）上单调递减， k1 k 的取值范围是：1，+） 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中 档题 第 11 页（共 20 页） 10 （5 分）已知双曲线的一个焦点坐标为（0，3） ，则此双曲线的渐近线方程为 （ ） A B C D 【分析】利用双曲线的焦点
21、坐标求出 m，然后求解双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线的一个焦点坐标为（0，3） ， 可得 5+m9，所以 m4，所以双曲线方程为：双曲线， 渐近线方程为： 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题 11 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F230，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由已知条件推导出 PF2x 轴，PF2，PF2，从而得到，由 此能求出椭圆的离心率 【解答】解：线段 PF1的中点在 y 轴上 设 P 的横坐标为 x，F1
22、（c，0） ， c+x0，xc； P 与 F2的横坐标相等，PF2x 轴， PF1F230， PF2， PF1+PF22a，PF2， tanPF1F2， 第 12 页（共 20 页） ，e 故选：A 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简 单性质的灵活运用 12 （5 分）已知函数 f（x），x（0，+） ，当 x2x1时，不等式 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，e B （，e） C D 【分析】根据题意可得函数 g（x）xf（x）exax2在 x（0，+）时是单调增函数， 求导，分离参数，构造函数，求出最值即可 【解答】解：x（0，+
23、） ， x1f（x1）x2f（x2） 即函数 g（x）xf（x）exax2在 x（0，+）时是单调增函数 则 g（x）ex2ax0 恒成立 2a， 令， 则， x（0，1）时 m'（x）0，m（x）单调递减， x（1，+）时 m'（x）0，m（x）单调递增， 2am（x）minm（1）e， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导 数的应用，属于中档题 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把正确答案写在答题纸上请把正确答案写在答题纸上.） 13 （5 分）设复数 a+b
24、i（a，bR）的模为 3，则（a+bi） （abi） 9 【分析】由已知结合求解 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：复数 a+bi（a，bR）的模为 3， （a+bi） （abi）|a+bi|2329 故答案为：9 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 14 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角 形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平 行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点 取自阴影部分的概率是 【分析】求出阴影部分的面积，根据几何概
25、型的定义求出满足条件的概率即可 【解答】解：设正方形的面积是 1， 结合图象，1 和 2 两个三角形的面积之和等于小正方形的面积； 所以阴影部分是和大三角形的面积相等， 从而阴影部分占正方形的； 故满足条件的概率 p， 故答案为： 【点评】本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题 15 （5 分）将正整数有规律地排列如图： 第 14 页（共 20 页） 则在此表中第 45 行第 83 列出现的数字是 2019 【分析】第 n 行的数字个数为 2n1，先计算出前 44 行的数字个数，进而即可得到第 45 行第 83 列出现的数字 【解答】解：依题意，第 n 行有 2n1 个数， 故
26、前 44 行共有：1+3+5+（2441）1936， 故此表中第 45 行第 83 列出现的数字是：1936+832019 故答案为：2019 【点评】本题考查了归纳推理，考查了等差数列的前 n 项和，考查分析解决问题的能力 和推理能力，属于中档题 16 （5 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在圆 C：x2+y24 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 点 P 满足，则点 P 的轨迹方程为 +y21 【分析】设 M（x0，y0） ，由题意可得 N（x0，0） ，设 P（x，y） ，运用向量的坐标运算， 结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程 【解答】解：设 M（x0，y0
27、） ，由题意可得 N（x0，0） ， 设 P（x，y） ，由点 P 满足， 可得（xx0，y）（x0x，y0y） ， 可得 xx0，yy0， 即有 x0x，y02y， 代入 x02+y024，可得 x2+4y24，即+y21 点 P 的轨迹方程为：+y21 故答案为：+y21 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查转化 第 15 页（共 20 页） 思想以及计算能力 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，小题，17 小题小题 10 分，其它各小题每题分，其它各小题每题 12 分，共分，共 70 分分.） 17 （10 分）已知命题 p：k28k200
28、，命题 q：方程1 表示焦点在 x 轴上 的双曲线 （）命题 q 为真命题，求实数 k 的取值范围； （）若命题“pq”为真，命题“pq”为假，求实数 k 的取值范围 【分析】 （）命题 q 为真命题，由已知得，可求实数 k 的取值范围； （）根据题意得命题 p、q 有且仅有一个为真命题，分别讨论“p 真 q 假”与“p 假 q 真”即可得出实数 a 的取值范围 【解答】解： （）当命题 q 为真时，由已知得，解得 1k4 当命题 q 为真命题时，实数 k 的取值范围是 1k4（5 分） （）当命题 p 为真时，由 k28k200 解得2k10（7 分） 由题意得命题 p、q 中有一真命题、有
29、一假命题 （8 分） 当命题 p 为真、命题 q 为假时，则， 解得2k1 或 4k10（10 分） 当命题 p 为假、命题 q 为真时，则，k 无解（12 分） 实数 k 的取值范围是2k1 或 4k10（13 分） 【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的 应用 18 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |AF|1 （1）求抛物线 C 的方程； （2） 已知经过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， 证明：+ 为定值 【分析】 （1）抛物线
30、上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1 转化到准线的距离减 1，求出 p 第 16 页（共 20 页） 的值； （2）设过焦点的直线方程联立抛物线，由根与系数的关系，到焦点的距离的倒数和用坐 标来写，整理得与参数没有关系，既是定值 【解答】解： （1）由题意可得：抛物线上的点 A 到焦点的距离等于准线 x的距离， 所以1p2，所以：抛物线 C 的方程：y24x； （2）由（1）得，焦点 F 坐标（1，0）A（x，y） ，B（x'，y'） ，显然斜率不为零，设直线 AB 的方程为： xmy+1， 代入抛物线中： y24my40， y+y'4m， yy'4， x
31、， x'， 所以|AF|x+1，|BF|x'+1，所以：+ 1， 所以：+为定值 1 【点评】考查过焦点的弦与抛物线的关系，所以中档题 19 （12 分）已知函数 f（x）e xsinx， （1）求函数 f（x） 在点 M（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若 x0，试求函数 f（x） 的最值 【分析】 （1）根据导数的几何意义即可求解， （2） 先对函数求导， 结合导数与单调性的关系可求函数的单调性， 进而可求函数的最值 【解答】解： （1）f（x）， 故 f（0）1， 又 f（0）0， 所以函数 f（x）在点 M（0，f（0） ）处的切线方程为 yx （2）
32、因为 x0，由 f（x）0，得 x， 当 x0，） ，时，f（x）0；当 x（，） ，时，f（x）0， 函数 f（x）在0，）单调递增，在（单调递减， 第 17 页（共 20 页） 又 f（0）f（）0，f（）， 故 x0，函数 f（x） 的最小值 0，最大值，f（） 【点评】本题考查了函数的导数的几何意义的应用，同时考查了函数在闭区间上最值， 属于中档题 20 （12 分）某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出 1 个利润为 5 元，未售出的每个亏 损 3 元根据以往 100 天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了 130 个这种蛋糕以 x（单位：个，100x150）表示这
33、天的市场需求量T（单位：元） 表示这天售出该蛋糕的利润 需求量/个 100，110） 100，120） 120，130） 130，140） 140，150 天数 10 20 30 25 15 （1）将 T 表示为 x 的函数，根据上表，求利润 T 不少于 570 元的概率； （2）估计这 100 天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表） ； （3）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了 50 名市民进行问卷调查，调 查结果如表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 28 男性 22 合计
34、 28 22 50 完善上表，并根据上表，判断是否有 97.5%的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有 关？ 附：K2 P（K2k） 0.05 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 【分析】 （1）用分段函数将 T 表示为 x 的函数，并求出利润 T 不少于 570 元的概率值； （2）利用区间中点值乘以对应的频率，计算平均数即可； （3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）当 x100，130）时，T5x3（130x）8x390， 当 x130，150时，T51306
35、50， 将 T 表示为 x 的函数为 T， 当 T570 时，即 8x390570，解得 120x130，又 650570， 120x150， 即利润 T 不少于 570 元的概率为 P0.7； （2）计算 （10510+11520+12530+13525+14515）126.5， 估计这 100 天的平均需求量为 126.5 个； （3）由题意，购买意愿强的市民中女性人数为2820，男性为 8 人； 填写列联表如下； 购买意愿强 购买意愿弱 合计 女性 20 8 28 男性 8 14 22 合计 28 22 50 计算 K26.155.024， 对照临界值知，有 975%的把握认
36、为市民是否购买这种蛋糕与性别有关 【点评】本题考查了频率分布与独立性检验的应用问题，是基础题 21 （12 分）已知椭圆的离心率是，且过点，直 线与椭圆 C 相交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求PAB 的面积的最大值； 【分析】 （1）根据离心率和点在椭圆上，列出方程，可解出 a，b； （2）直线方程与椭圆方程联立，表示出|AB|，并不是出三角形的面积，然后求最值； 【解答】解： （1）设椭圆的的半焦距为 c 第 19 页（共 20 页） 因为椭圆 C 的离心率是 所以，即 a22b2 由，解得 所以椭圆 C 的方程为： （2）将直线代入椭圆 C 的方程， 消去 y 整理
37、得：得：； 令2m24（m22）0，解得：2m2； 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， 所以 点 P到直线的距离为： 所以PAB 的面积； 当且仅当时， 故PAB 的面积的最大值是； 【点评】本题考查椭圆方程，椭圆的几何性质，弦长公式，三角形的面积的最值，属于 中档题 22 （12 分）设 f（x）xalnx（a，xR） （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）若 a1，证明：f（x）1； （3）若函数 f（x）有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求实数 a 的取值范围； 【分析】 （1）先求导，利用导数即可求出函数 f（x）的单调区间； （2）若 a1，则 f（x）xln
38、x，求导求出函数的最小值为 f（1）1，所以 f（x）1； 第 20 页（共 20 页） （3）把函数 f（x）有两个零点 x1，x2转化为 y与 g（x）有两个交点，从而求 出 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）xalnx，定义域为（0，+） ， f'（x）1， 当 a0 时，f'（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f'（x）0 得 xa，令 f'（x）0 得 0xa； 综上所求：当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，f（x）的递减区间 为（0，a） ，递增区间为（a，+） ； （2
39、）若 a1，则 f（x）xlnx，f'（x）1， 令 f'（x）0 得：x1，令 f'（x）0 得：0x1， f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 当 x1 时，f（x）minf（1）1， f（x）1； （3）由题设 f（x）有两个零点，显然 a0， 设 g（x），g'（x）， 令 g'（x）0 得：1lnx0，解得 xe， 列表： x （0，e） e （e，+） g'（x） + 0 g（x） 递增 极大值 递减 g（x）maxg（e）， 当 0时，函数 f（x）有两个零点， ae， 实数 a 的取值范围： （e，+） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，是中档题